Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Aufnahmeprüfung Januar 9 MATHEMATIK Teil A Zur Verfügung stehende Zeit: 4 Minuten. Die Lösungsgedanken, die einzelnen Schritte müssen sauber und übersichtlich dargestellt werden. Hilfsmittel: Keine. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Punkte 4x. a) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x = + p für die folgenden zwei Fälle a ) p = und a ) p =. b) Welcher Wert muss für p eingesetzt werden, damit die Gleichung aus a) die Lösung x = hat? c) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: 7 x + x + = ( x ) + 4. a) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung bezüglich G = Z: x + x + x > 4. 4 8 4 a b) Für welche Werte von a ist der Term a + positiv? 4x 8 x c) Vereinfache so weit wie möglich: +. 8 d) Vereinfache so weit wie möglich: (x y) + (x y) + 7(x y).. a) Welche der folgenden Aussagen bedeuten dasselbe? In einem Schulhaus... A: kommen % der Kinder mit dem Velo zur Schule. B: kommt jedes vierte Kind mit dem Velo zur Schule. C: kommt eines von fünf Kindern mit dem Velo zur Schule. D: kommt ein Sechstel der Kinder mit dem Velo zur Schule. E: kommen 7% der Kinder nicht mit dem Velo zur Schule. F: kommen zwei von zehn Kindern mit dem Velo zur Schule. G: kommen 6% der Kinder mit dem Velo zur Schule. H: kommen sechs von zehn Kindern mit dem Velo zur Schule. b) Nach einem Regenguss sammeln sich in einem quaderförmigen Becken mit einer m grossen Grundfläche, Liter Wasser. Wie viel ml sind pro cm gefallen? c) Anna rennt m in Sekunden. Vergleiche ihre Geschwindigkeit mit jener eines Autos, das mit einer Geschwindigkeit von km/h fährt. Bitte wenden Seite von 7
Punkte 4. Löse diese Aufgabe auf dem Beiblatt! Gegeben sind die drei Punkte P, Q und R. a) Konstruiere alle rechtwinkligen Dreiecke QRT, bei denen T von P 4 cm entfernt ist. b) Konstruiere alle rechtwinkligen Dreiecke PQU, bei denen U von Q und R gleich weit entfernt ist. Seite von 7
Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Aufnahmeprüfung Januar 9 MATHEMATIK Teil A - Beiblatt Name, Vorname, Nr.: Schule: Löse die Aufgabe 4 auf diesem Blatt! Punkte 4. Gegeben sind die drei Punkte P, Q und R. a) Konstruiere alle rechtwinkligen Dreiecke QRT, bei denen T von P 4 cm entfernt ist. b) Konstruiere alle rechtwinkligen Dreiecke PQU, bei denen U von Q und R gleich weit entfernt ist. Seite von 7
Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Aufnahmeprüfung Januar 9 MATHEMATIK Teil B Zur Verfügung stehende Zeit: 4 Minuten. Die Lösungsgedanken, die einzelnen Schritte müssen sauber und übersichtlich dargestellt werden. Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Punkte. In einer Packung sind Luftballons enthalten. Es gibt 7, die entweder gelb oder orangefarben sind, 4 sind rot, 8 Prozent aller Luftballons sind blau. Die Restlichen sind grün oder weiss. a) Wie gross ist der prozentuale Anteil der roten Luftballons in der Packung? b) Wie viele grüne Luftballons sind in der Packung, wenn es doppelt so viele grüne wie weisse gibt? c) Für meine Geburtstagsfeier habe ich gelbe, 7 orangefarbene und alle roten Luftballons entnommen. Wie viel Prozent der verbleibenden Luftballons sind entweder gelb oder orange?. Der Kanton Solothurn mit einer Fläche von 79 km hat eine komplizierte Form. Die Länge seiner Grenze beträgt 8 km. a) Welche Fläche könnte man mit dieser Grenzlänge einschliessen, wenn der Kanton die folgende Form hätte: a ) ein Quadrat, a ) ein Rechteck, das dreimal so lang wie breit ist? b) b ) Welche Fläche hätte der Kanton Solothurn, falls er bei gleichem Umfang die Form eines Kreises hätte? b ) Wie viel Prozent dieser Kreisfläche beträgt die wirkliche Fläche des Kantons Solothurn? Das Ergebnis ist in der Tat erstaunlich und zeigt, wie kompliziert die Grenze verläuft!. Ein Motorroller fährt mit 4 km/h um den Bodensee (Gesamtstrecke:, km). Ein Fahrradfahrer fährt mit 4 km/h auf derselben Strecke aber in Gegenrichtung um den Bodensee. Annahme: Beide fahren mit konstanter Geschwindigkeit. a) Wie weit kommt der Radfahrer in der Zeit, in der der Rollerfahrer 86, km zurücklegt? b) Beide starten um 8: Uhr in Kreuzlingen. Um wie viel Uhr begegnen sie sich, wenn sie keine Pause machen? c) Der Fahrradfahrer macht immer nach ½ Stunden Fahrzeit eine Pause von 4 Minuten. Wie lange benötigt er damit für die Umrundung des Bodensees? Bitte wenden Seite 4 von 7
Punkte 4. Im Quadrat ACEF sind zwei Kreisbögen gezeichnet. Die Punkte B und C sind je Mittelpunkte der Kreisbögen. Gegeben ist der Winkel α =. Wähle,4 als π. a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCD. b) Berechne den Umfang des Kreissektors ABD. c) Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche ADE. Seite von 7
Lösungen Teil A:. a ) x = a ) x = 4 ( ) 7 b) ( ) = + p p = 7 7 x c) x + = x + L = {} 4. a) x > 6 oder L = {7, 8, 9, } 4 b) a < c) 4x + = 6 x + d) 9x 7y = 9(x y). a) A=C=F und B=E b), l/m =, ml/cm c) Anna : 4 km/h bzw. 6 m/s Auto : km/h bzw. Das Auto ist schneller bzw. Anna ist langsamer. 8 m/s Seite 6 von 7
4. Seite 7 von 7
Lösungen Teil B:. a) Luftballons entsprechen % 4 rote Luftballons entsprechen % b) (gesamt) 7 (gelb oder orange) 4 (rot) 6 (blau) = 4 (grün oder weiss) 6 grüne Luftballons (=/ von 4) c) (gesamt) (gelbe) 7 (orange) 4 (rote) = 48 restliche Luftballons 7 = 8 gelbe oder orange, die noch übrig sind 48 Luftballons entsprechen % 8 Luftballons entsprechen 9,9% 9,9% der verbleibenden Luftballons sind entweder gelb oder orange. a ) Quadrat: a = 9 km F = 9 km a ) Rechteck: 8 = a + b = a + 6a a = 47, km und b = 4, km F = 6768,7 km b ) Kreis: r = 6,48 km F = 49,99 km b ) 49,99 km entsprechen % 79 km entsprechen 6,88%. a) Der Motorroller braucht für 86, km, h (= min.). In dieser Zeit schafft der Velofahrer 49, km. 4 4 b) x sei die Zeit in min. x + x =, x = 9 min. 6 6 Sie begegnen sich nach h min, also um. Uhr c) Der Velofahrer braucht für, km 8 min. Dazu kommen Pausen à 4 min. 8 min + 9 min = 68 min = h 8 min 4. a) CD = cm F Dreieck = cm, 46 cm b) U ABD = 4 cm + 4 cm + b = 8 cm + π 4 cm 6, 7 cm c) F ADE = F Viertelkreis F Drittelkreis F Dreieck BCD = π 6 π 4 4 cm 8, cm Seite 8 von 7
Häufige Fehler Teil A Aufgabe a ) x = x = 4x x = + x = 4x + a ) b) c) 9 x = 4x L = {} oder unlösbar Fehlender Lösungsweg 4 = + p 9 = 4 + p 7 = p Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren Bei der Multiplikation mit dem Hauptnenner beide Faktoren multipliziert Schlussfolgerung von Endgleichung zur Lösungsmenge falsch oder nicht vorhanden Rechenfehler durch ungünstige Hauptnennerbildung Rechenfehler durch zu späte Multiplikation mit Hauptnenner Rechenfehler bei Termumformungen Aufgabe a) Rechte Seite der Gleichung nicht mit 8 multipliziert Lösungsmenge inhaltlich und/oder formal falsch angegeben b) c) d) Kein Ansatz vorhanden Term > gesetzt statt > Termumformung statt Ungleichung durchgeführt Nenner weggelassen Minus vor dem Bruch nicht für den ganzen Zähler verwendet + nicht beachtet oder nicht verrechnet Falsch ausgeklammert Bei 7 (-y) = - y das letzte y vergessen ( + + 7) falsch berechnet (8 oder ) Seite 9 von 7
Aufgabe a) E=B übersehen A=C=F eines der übersehen Weitere Zuordnungen (z.b. G=H oder D=G) b) c) Umrechnung m in cm falsch (Faktor oder ) Umrechnung l in ml falsch cm / ml statt ml / cm berechnet Angabe in Liter statt in ml Falsche Umrechnung m/s in km/h (,6 falsch angewendet) Vergleich der Geschwindigkeiten fehlt Geschwindigkeiten konnten nicht verglichen werden, da nicht in derselben Art dargestellt (z.b. gleiche Masseinheit) Umrechnung Sekunden in Stunden falsch (nur Faktor 6) Aufgabe 4 a) Thaleskreis nicht konstruiert (zwei Lösungen fehlen). Senkrechte nicht konstruiert (zwei Lösungen fehlen). Senkrechte konstruiert, aber die zweite Lösung nicht gesehen. Konstruktion ungenau (dadurch falsche Zusatzlösung). b) Thaleskreis nicht konstruiert (zwei Lösungen fehlen). Senkrechte nicht konstruiert (zwei Lösungen fehlen). Aufgabenstellung missverstanden (Punkte falsch benutzt.) Seite von 7
Häufige Fehler Teil B Aufgabe a) Fehlender Lösungsweg Formfehler (Gleichheitszeichen statt entspricht ) b) c) Formfehler Kettenrechnung Anzahl der roten Ballons wurde nicht subtrahiert Neuer Grundwert wurde nicht erkannt Aufgabe a) Umfang als Quadratseite benutzt. a) Rechteckseiten aus dem Umfang falsch berechnet. b) Kreisumfang- und Kreisflächenformel falsch Radius falsch berechnet. b) Falscher Grundwert Aufgabe a) Einheiten fehlen Rundungsfehler Rechenfehler (unübersichtliche Darstellung) b) c) Differenz der Fahrzeiten für ganze Umrundung gebildet kgv gesucht und falsch damit umgegangen Ergebnis nicht als Uhrzeit angegeben (nur, h) Keine ganzzahlige Pausenanzahl verwendet Seite von 7
Aufgabe 4 a) Höhe des Dreiecks (CD) falsch (z.b. h = 4) CD = 4 + Faktor ½ bei Flächenberechnung vergessen b) c) Nur Länge des Kreisbogens, nicht Umfang des Sektors angegeben Statt Umfang, Fläche berechnet Kreisbogen AD als Vollkreis berechnet Lösungsweg nicht erkennbar Kreissegmente nicht geviertelt / gedrittelt Vergessen das Dreieck BCD abzuziehen Seite von 7
Wie gut wurden die einzelnen Aufgaben im Schnitt gelöst? (Teil A) 9 8 7 6 4 a b c a b c d a b c 4a 4b Wie gut wurden die einzelnen Aufgaben im Schnitt gelöst? (Teil B) 9 8 7 6 4 a b c a a b b a b c 4a 4b 4c Seite von 7
Notenverteilung A 4 Anzahl...7...7...7 4 4. 4. 4.7...7 6 Note Durchschnitt Teil A,9 Notenverteilung B Anzahl...7...7...7 4 4. 4. 4.7...7 6 Note Durchschnitt Teil B.47 Seite 4 von 7
Punkteverteilung Teil A 4 6 7 8 9 4 6 Punkteverteilung Teil B 8 6 4 8 6 4 4 6 7 8 9 4 6 Seite von 7
Notenverteilung Mittelwert A und B 8 6 4 Anzahl 8 6 4...8..6.7.88...8..6.7.88...8..6.7.88 4 4. 4. 4.8 4. 4.6 4.7 4.88...8..6.7.88 6 Note Durchschnitt gesamt.4 Notentabellen Teil A Punkte Note.....7 4. 4....7 6 7. 7.. 8.7 9 4 9. 4. 4. 4.7.....7 4 6 Teil B Punkte Note...7 4. 6. 6..7 7. 8. 9. 9..7. 4 4. 4.. 4.7. 4. 4...7. 6 Seite 6 von 7
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