Kapitalwert und Endwert

4-0 Kapitel Kapitalwert und Endwert

4-1 Kapitelübersicht 4.1 Der Ein-Perioden-Fall 4.2 Der Mehr-Perioden-Fall 4.3 Diskontierung 4.4 Vereinfachungen 4.5 Der Unternehmenswert 4.6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

4-2 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Endwert Wenn man 10 000 zu 5% Zinsen für ein Jahr anlegt, wächst der angelegte Betrag auf 10 500 500 Zinsen (10 000 0,05) 10 000 ist die Rückzahlung der Hauptschuld (10 000 1) 10 500 ist der Gesamtbetrag. Er kann auch wie folgt berechnet werden: 10 500 = 10 000 1,05. Der am Periodenende fällige Gesamtbetrag der Investition heißt der Endwert (FV).

4-3 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Endwert Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für FV so geschrieben werden: FV = C 0 (1 + r) wobei C 0 der Zahlungsstrom heute (Zeitpunkt 0) und r der betreffende Zinssatz sind.

4-4 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert Wenn einem 10 000, fällig in einem Jahr, bei heute herrschenden Zinsen in Höhe von 5% geboten werden, ist das Investment 9 523,81 in heutigen wert. 9523,81 10000 = 1, 05 Der Betrag, den ein Schuldner heute beiseite legen müsste, um eine zugesagte Zahlung von 10 000 in einem Jahr leisten zu können, heißt der Barwert (PV) von 10 000. Man bemerke, dass 10000 = 9523.81 1,05 gilt.

4-5 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für PV so geschrieben werden: PV C1 = 1 + r wobei C 1 der Zahlungsstrom im Zeitpunkt 1 und r der betreffende Zinssatz sind.

4-6 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Kapitalwert Der Kapitalwert (NPV) einer Investition ist der Barwert des erwarteten Zahlungsstromes abzüglich der Kosten der Investition. Angenommen, eine Investition verspreche 10 000 in einem Jahr und stehe für 9 500 zum Verkauf. Der Zinssatz betrage 5%. Sollte man zugreifen? 10000 NPV = 9500 + 1, 05 NPV = 9500 + 9523,81 NPV = 23,81 Ja!

4-7 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Kapitalwert Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für NPV so geschrieben werden: NPV = Kosten + PV Wenn wir das Projekt der letzten Folie mit dem positiven NPV nicht durchgeführt und statt dessen unsere 9 500 anderweitig zu 5% investiert hätten, wäre unser FV niedriger als 10 000, die die Investition vesrpricht und wir wären zweifelsfrei schlechter dran in Bezug auch auf FV: 9500 1,05 = 9975 < 10000.

4-8 4.2 Der Mehr-Perioden-Fall: Endwert Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition über viele Perioden kann so geschrieben werden: FV = C 0 (1 + r) Wobei gilt C 0 ist der Zahlungsstrom im Zeitpunkt 0, r ist der betreffende Zinssatz und ist die Anzahl der Perioden, über die das Geld investiert wird.

4-9 4.2 Der Mehr-Perioden-Fall: Endwert Angenommen, Jürgen Ritter hätte bei der Aktienemission der Modigliani AG Aktien erworben. Gegenwärtig zahlt MAG eine Dividende von 1,10 je Aktie. Man erwartet, dass die Dividende in den nächsten fünf Jahren um 40% pro Jahr wächst. Wie groß wird die Dividende in fünf Jahren sein? FV = C 0 (1 + r) 5,92 = 1,10 1,40 5

4-10 Endwert und Zinseszins Man bemerke, dass die Dividende im fünften Jahr, 5,92, ersichtlich höher ist als die Summe der ursprünglichen Dividende zuzüglich von fünf Anstiegen von 40% auf die ursprüngliche 1,10 Dividende: 5,92 > 1,10 + 5 [1,10 0,40] = 3,30 Das liegt am Zinseszinseffekt.

4-11 Endwert und Zinseszins 3 1,10 1, 40 2 1,10 1,40 1,10 1, 40 5 1,10 1, 40 4 1,10 1,40 1,10 1,54 2,16 3,02 4,23 5,92 0 1 2 3 4 5

4-12 Barwert und Zinseszins Wieviel muss ein Investor heute beiseite legen, um über 20 000 in fünf Jahren verfügen zu können, wenn der Zinssatz 15% beträgt? PV 20000 0 1 2 3 4 5 9943,53 = 20000 5 1,15

4-13 Wie lange muss man warten? Wie lange dauert es, bis 10000 erreicht sind, wenn man 5000 heute auf ein Konto bei einem Zinssatz von 10% einzahlt,? FV = C ( + r) 10000 = 5000 1,10 0 1 10000 1,10 = = 2 5000 ( ) ( ) log 1,10 = log 1,10 = log 2 log 2 0.6931 = = = log 1,10 0.0953 ( ) 7,27 Jahre

4-14 Welcher Zinssatz reicht aus? Angenommen, die Gesamtkosten eines Universitätsstudiums betrügen 50000, wenn Ihr Kind in 12 Jahren Abitur macht. Sie haben heute 5000 zur Investition zur Verfügung. Wie hoch muss der Anlage-Zinssatz sein, um die betreffende Summe bereit zu stellen? = ( + ) 50000 = 5000 ( 1+ r) 12 FV C r 0 1 ( 1+ r) = = 10 ( r) 12 50000 5000 Ungefähr 21,15%. 1+ = 10 112 r = 10 1= 1,2115 1= 0,2115 112

4-15 4.3 Zinsperioden Eine Investition m mal je Jahr für Jahre zu verzinsen, bedeutet für den Endwert: FV m 1 r 0 = C + m Beispiel: Wenn man 50 für 3 Jahre zu 12% bei halbjährlicher Zinsgutschrift anlegt, wächst das Investment auf FV 23 0,12 6 50 1 50 1,06 70,93 = + = = 2

4-16 Jährlicher Effektivzins Mit Bezug auf das angeführte Beispiel ist eine naheliegende Frage die nach der effektiven jährlichen Verzinsung? 0,12 23 6 FV = 50 (1 + ) = 50 1,06 = 70.93 2 Der jährliche Effektivzins (EAR) ist der jährliche Zinssatz, der nach 3 Jahren zu demselben Endwert führen würde: 50 1+ = 70,93 ( EAR) 3

4-17 Jährlicher Effektivzins (Fortsetzung) FV = 50 1+ = 70,93 ( EAR) 3 ( 1+ EAR) 3 = 70,93 50 Also: Zu 12,36% bei jährlicher Zinsgutschrift zu investieren, ist dasselbe, wie zu 12% mit halbjährlicher Zinsgutschrift zu investieren. 13 70,93 EAR = 1= 0,1236 50

4-18 Jährlicher Effektivzins (Fortsetzung) Gesucht sei der jährliche Effektivzins (EAR) eines Kredits mit 18% nominal p.a. bei monatlicher Zinsbelastung. Damit liegt ein Kredit mit einem Monatszins von 1½ Prozent vor. Der ist äquivalent zu einem Kredit mit einem jährlichen Zins in Höhe von 19,56 Prozent. nm 12 r 0,18 12 1+ = 1+ = 1,015 = 1,19561817 m 12

4-19 Stetige Verzinsung (Fortgeschritten) Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition mit stets unmittelbarer Zinsgutschrift ergibt sich zu: FV = C 0 e r Hierbei ist C 0 die Zahlung im Zeitpunkt 0, r der Zinssatz p.a., die Anzahl der Perioden, über die die Zahlung investiert wird e die Eulersche Zahl, ungefähr 2,718. e x finden Sie als Funktion auf jedem aschenrechner.

4-20 Stetige Verzinsung (Fortgeschritten) Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition mit stets unmittelbarer Zinsgutschrift ergibt sich aus folgender Überlegung: Der Endwert im Zeitpunkt t ändert sich durch Zuschreibung der Zinsen über den Zeitraum Δt zu FV t t FV = t r +Δ FV Δ t t FV t+δt FVt = r FV Δt t

4-21 Stetige Verzinsung (Fortgeschritten) Grenzübergang führt auf eine Differentialgleichung Grenzübergang führt auf eine Differentialgleichung FVt+Δ t FVt dfvt limλ t 0 = = r FV Δt dt mit der Lösung FV t = c e rt FV = C d.h. FV = C e 0 0 t 0 rt t

4-22 4.4 Vereinfachungen Ewige Rente Ein konstanter Zahlungsstrom, der für immer fließt. Ewig wachsende Rente Strom von Zahlungen, die mit einer konstanten Rate ewig wachsen. Annuität konstante Zahlung über eine feste Anzahl von Perioden. Wachsende Annuität Strom von Zahlungen, die mit einer konstanten Rate über eine feste Anzahl von Perioden wachsen.

4-23 4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt) Allgemein gilt für den Barwert einer Zahlungsreihe PV = t= 1 1 C t ( + r) t

4-24 4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt) Gleiche Zahlungen Gleiche Zahlungen PV = C t= 1 1 ( 1+ r) t Wachsende Zahlungen Wachsende Zahlungen PV = C t= 1 ( 1+ g) ( 1+ r) t t

4-25 4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt) Allgemeine Formel ( geometrische Reihe ) Allgemeine Formel ( geometrische Reihe ) + 1 t t+ 1 t ; t= 1 t= 1 t= 2 S = q S q= q = q + 1 S q S = q q S = 1 q + q q 1

4-26 4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt) geometrische Reihe : Anwendung Annuität geometrische Reihe : Anwendung Annuität S 1 () = q + 1 q q q 1 + 1 1 1 1 1 1 1+ r 1+ r 1+ r = S = = 1+ r 1 1 r 1+ r

4-27 4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt) geometrische Reihe : Anwendung Wachsende Annuität S + 1 q q = q 1 + 1 1 1 1 g g g + + + 1 1 g 1 r 1 r 1 r + + + + = = = + 1+ r 1+ g 1 r g 1+ r ( 2 ) q S ( 1 g)

4-28 Ewige Rente Ein konstanter Strom von Zahlungen, der ewig dauert. Ein konstanter Strom von Zahlungen, der ewig dauert. C C C 0 PV 1 2 C C C + + 2 ( 1+ r) (1 + r) (1 + r) = 3 Die Formel für Barwert einer ewigen Rente lautet: 1 1 1 + r C PV = C lim = r r 3 +

4-29 Ewige Rente: Beispiel Welchen Wert hat ein Britischer Konsolen-Bond, der verspricht, jedes Jahr 15 zu zahlen, jedes Jahr, bis die Sonne zum roten Riesen wird und die Erde in einen Knusper-Chip verwandelt? Der Zinssatz ist 10%. 15 15 15 0 1 2 15 PV = = 0,10 3 150

4-30 Ewig wachsende Rente Endlos wachsender Strom von Zahlungen. Endlos wachsender Strom von Zahlungen. C C (1+g) C (1+g) 2 0 1 ( g) 2 2 C C 1 + C (1 + g) PV = + + + 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) 1 g 1 + 1 r + C = C lim = r> g r g r g ( ) Die Formel für den Barwert einer ewig wachsenden Rente lautet: PV = C r g 3

4-31 Ewig wachsende Rente : Beispiel Die heutige Dividende beträgt 1,30 ; es wird ein dauerhaftes Wachstum der Dividende in Höhe von 5% erwartet. Der Diskontierungssatz ist 10%; wie hoch ist der Wert dieses versprochenen Dividendenstroms? 1,30 1,05 1,30 (1.05) 2 1,30 1,05 3 0 1 2 3 1, 30 PV = 1, 05 = 27,30 0,10 0, 05

4-32 Annuität Konstanter Strom von Zahlungen mit festem Horizont. Konstanter Strom von Zahlungen mit festem Horizont. PV C 0 1 C C C = + + + 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 C + r Die Formel für den Barwert einer Annuität ist: PV C r C 2 1 1 (1 + r) = C 3 ) C

4-33 Annuität (Intuition) Eine Annuität kann als Differenz zweier ewiger Renten aufgefasst werden: Die erste beginnt im Zeitpunkt 1, die zweite beginnt im Zeitpunkt + 1 C 0 1 PV C 2 ( 1+ r) C 3 C 1 1 C r + = = C r r ( 1 r) C

4-34 Annuität: Beispiel Wenn Sie monatlich 400 Ratenzahlung für ein Auto erübrigen können: Wieviel Auto können Sie sich leisten bei einem Ratenkredit von 36 Monaten bei 7% Zinsen? $400 $400 $400 $400 0 1 2 3 36 400 1 PV = 1 = 12954.59 0,07 /12 ( 1 0,07 12) 36 +

4-35 Annuitäten in Excel Wechsel zum Excel-Blatt Wechsel zum Excel-Blatt Die gefundene Formel für die Annuität heißt Rentenbarwertfaktor 1 1 1 + 1 + 1 RBF = = + ( r) ( r) r r ( 1 r) Der Kehrwert heißt Wiedergewinnungsfaktor WGF 1 1 1 = = ( 1+ r) r ( 1+ r ) r ( + r ) 1 1

4-36 Wie hoch ist der Barwert einer 4-jährigen Annuität in Höhe von 100 pro Jahr, deren erste Zahlung in, von heute aus gesehen, zwei Jahren erfolgt (Zinssatz 9% p.a.)? PV 4 100 100 100 100 100 = = + + + = 323,97 1 t 1 2 3 4 t= 1 1, 09 1, 09 1, 09 1, 09 1, 09 297,22 323,97 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 323,97 PV = = 297, 22 0 1, 09

4-37 Wachsende Annuität Ein wachsender Strom von Zahlungen mit fester Laufzeit. Ein wachsender Strom von Zahlungen mit fester Laufzeit. C 0 1 2 3 C C ( 1+ g) C ( 1+ g) PV = + + + 2 ( 1+ r) ( 1+ r) ( 1+ r) Die Formel für den Barwert einer wachsenden Annuität: PV C (1+g) C (1+g) 2 C 1+ g = 1 r g + r ( 1 ) C (1+g) -1 1

4-38 Barwert einer wachsenden Annuität Sie bewerten Mieteigentum, das steigende Mieten abwirft. Die Nettomiete ist jeweils am Ende des Jahres zahlbar. Die erste Jahresmiete soll 8500 betragen, die Miete soll jedes Jahr um 7% steigen. Wie hoch ist der Barwert des abzusehenden Einkommensstroms über die ersten 5 Jahre bei einem Zinssatz von 12%? 2 4 8500 1,07 = 8500 1,07 = 3 8500 1,07 = 8500 1,07 = 8500 9095 9731,65 10412,87 11141, 77 0 1 2 3 4 5 34706,26

4-39 Wachsende Annuität Eine Betriebsrentenvereinbarung garantiere 20000 pro Jahr für 40 Jahre mit einem Inflationsausgleich von drei Prozent pro Jahr. Wie hoch ist der Barwert bei Eintritt in den Ruhestand bei einem Zinssatz von 10 percent? 20000 20000 1,03 0 1 2 20000 1,03 39 40 20000 1,03 PV = 1 = 265121,57 0,10 0,03 1,10 40

4-40 Barwert einer verzögerten wachsenden Annuität Ihr Unternhmen plant eine ordentliche Kapitalerhöhung; Sie sollen eine Schätzung für einen angemessenen Emissionspreis vorlegen. Es ist folgende Dividendenprognose gegeben: Jahr: 1 2 3 4 Dividende pro Aktie 1,50 1,65 1,82 5% Wachstum danach Welcher Preis ist angemessen, wenn Investoren bei diesem Risikoniveau 10% Rendite auf ihre Investition erwarten?

4-41 Barwert einer verzögerten wachsenden Annuität Jahr 0 1 2 3 4 Zahlung 1,50 1,65 1,82 1,82 1.05 Erster Schritt: Zeitstrahl zeichnen. Zweiter Schritt: Was ist gegeben und was soll gesucht und gefunden werden?

4-42 Barwert einer verzögerten wachsenden Annuität Jahr 0 1 2 3 Zahlung 1,50 1,65 1,82 Dividende + P = 1,82 + 38,22 PV der Zahlungen 32,81 P 3 1,82 1,05 = = 38, 22 0,10 0,05 P 1,50 1,65 1,82 + 38, 22 = + + = 32,81 1,10 1,10 1,10 0 2 3

4-43 4.5 Was ist ein Unternehmen wert? Im Prinzip sollte ein Unternehmen den Barwert seiner Cashflows wert sein. Die Schwierigkeiten liegen in der Bestimmung der Höhe, der zeitlichen Verteilung und des Risikos dieser Cashflows.

4-44 4.6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Zwei grundlegende Konzepte, Barwert und Endwert, wurden in diesem Kapitel eingeführt. Zinssätze werden üblicherweise auf Jahresbasis (p.a.) ausgedrückt, aber es gibt auch halbjährliche, vierteljährliche, monatliche und sogar stetig verrechnende Zinsarrangements. Formel für den Netto-Barwert (Kapitalwert) einer Investition, die C t für die t=0,1,,n Perioden (ein-)zahlt: N C1 C2 CN C NPV = C0+ + + + = C0+ + + + + 2 N ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) t= 1 ( 1 r) t t

4-45 4.6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen (fortgesetzt) Wir haben vier vereinfachende Formeln kennen gelernt: C Ewige Rente : PV = r C Wachsende ewige Rente : PV = r g C 1 Annuität : PV = 1 r ( 1+ r) C 1+ g Wachsende Annuität: PV = 1 r g 1 + r

4-46 Problem 1 Sie haben 30000 Verbindlichkeiten aus Studiengebühren, die Sie monatlich innerhalb von 10 Jahren zurück zahlen sollen. 15000 sind zu 7% p.a. finanziert. 8000 sind zu 8% p.a. finanziert. 7000 sind zu 15% p.a. finanziert. Wie hoch ist der Zinssatz für Ihr Portfolio insgesamt? Hint: don t even think about doing this: = 15,000 7% 30,000 + 8,000 30,000 8% + 7,000 30,000 15%

4-47 Problem 2 Sie überlegen den Kauf einer auf US-Dollar lautenden Ausbildungsversicherung für Ihre 8-jährige ochter. Sie soll ihr Studium in genau 10 Jahren an einem amerikanischen College beginnen, wobei die erste Gebührenzahlung von $12,500 am Beginn des Jahres fällig ist. In den folgenden Studienjahren werden $15,000, $18,000 und $22,000 fällig. Wieviel ist heute einzuzahlen, um die Gebühren vollständig zu finanzieren? Der Rechnungszins ist 14%.

4-48 Problem 3 Sie überlegen, ein neues Auto zu kaufen. Das jetzige haben Sie für 25000 vor genau drei Jahren gekauft und zu 7% p.a mit einer Laufzeit von 60 Monaten finanziert. Sie wollen abschätzen, mit welcher Summe Sie den Kredit ablösen könnten, um den benötigten Verkaufserlös für Ihr gebrauchtes Auto zu bestimmen.

4-49 Problem 4 Sie haben gerade Ihre erste Arbeitsstelle angetreten und wollen den Eigenkapitalanteil für einen Hauskauf anzusparen beginnen. Sie planen 20% des Kaufpreises anzusparen und den Rest durch Bankdarlehen zu finanzieren. Sie haben eine Investitionsgelegenheit, die 10% p.a verspricht. Häuser Ihrer Vorstellung kosten gegenwärtig 100000. Die Immobilienpreise steigen z.z. um 5% pro Jahr und Sie schätzen, dass dieser rend vorerst anhält. Wieviel müssen Sie monatlich sparen, wenn Sie in 5 Jahren das benötigte Eigenkapital beisammen haben wollen?