Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 6 Lr Algr Du wolltst doch Algr, d hst du d Slt [Juls Vr, 88 95] E Algr cht hor dr Rchoprto stmmtr mthmtschr Ojkt D Ojkt dr lr Algr sd Vktor ud Mtr Huptl sd ( d rsformto vo Vktor ud ( d Lösug lrr Glchugsstm 6 Wou Iformtkr Lr Algr ruch Vktor schr Pukt m Rum durch Zhltupl Ddurch läßt sch mt Pukt ud dr Ojkt m Rum fft rch Vktor ud Mtr lst kompkt gomtrsch Brchug (ltsch Gomtr Ds ht dr Iformtk wchtg Bdutug dr Computrgrfk, drür hus uch llgmr dm gomtrsch Zusmmhäg tchschr Sstm Mt d wchtgst Dtstruktur sd Arrs Ds mthmtsch Ggstück sd Mtr Zu d wchtgst Hlfsmttl dr Lösug vo Prolm uf dm Computr ghör lr Glchugssstm (LGS B dr forml Lösrkt ud prktsch Lösug vo LGS spl Mtr ud Dtrmt hrusrgd Roll Mtr rucht m uch für dr Dtstruktur dr Iformtk, B für d Drstllug vo Grph m Rchr (Adjmtr >> s Mthmtk 6 Mtr - ssr: Eführug hd vo Mth-Mtr_Vppt - Zwsch w Sstm mthmtschr Größ sth häufg Bhug dr Art:,,,, ud,,, m m m m m D sd dr Rgl d Größ j, vorgg, d sd gsucht E solchs Glchugsstm hßt Sstm vo m lr Glchug Ukt E Bspl dfür st lktrschs twrk, dm d vorgg Spug sd, d j sd d Wdrstäd ds ts ud d sd d u rchd lström W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Für solchs Sstm führt m d Schrws: A ud t ds Kofftschm A Mtr ud Spltvktor gschr wrd d ls Df D 6- Mtr Utr r Mtr A vom p (m, (uch ls us m Zl ud Splt gordts Zhlschm: m cht vrstht m A ( k m m k k k mk m t Zl k- t Splt D hß: k : Mtrlmt, Kofft : Zld k: Spltd m: Ahl dr Zl : Ahl dr Splt (Auch hr glt lso wdr: Zl urst, Splt spätr Df D 6- Vktor E Vktor st Spltvktor st Mtr mt Splthl (= E Zlvktor st Mtr mt Zlhl (m= W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 (,,, -tr Zlvktor (trsportr Vktor M schrt hr ur Agrug dr l Mtrlmt ggdr oft Komm mk k k k-tr Spltvktor Df D 6- Spll Mtr Bgrff Bschrug Bspl rsport Mtr A Vrtuschug Zl Splt ( k ( k ullmtr ll Elmt = Qudrtsch Mtr Spll qudrtsch Mtr: Smmtrsch Mtr Dgolmtr Ehtsmtr Drcksmtr Zlhl = Splthl, m= Huptdgol =,,, A 5 8 4 6 A=A, dh ( k (k ur dr Huptdgol vo vrschd Wrt Dgolmtr, ll Dgolwrt = or/utr Drcksmtr U/L: lls orhl/utrhl dr Huptdgol = 4 8 4 8 6 6 u u U u A Huptdgol ht,,6 u u u l L l l l l l Bm: W Ko ZDgsmt-tdoc St 8
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Or Drcksmtr spl d trl Roll dr Lösug lrr Glchugssstm D ülch Lösugsstrtg stht dr, vorgg Mtr A Drcksmtr U u ürführ U stht für "uppr", L für "lowr" D rsport s Spltvktors st Zlvktor ud umgkhrt 6 Rchrgl für Mtr Df D 6-4 Glchht wr Mtr Zw Mtr sd glch, gschr A = B, w s Zl- ud Splthl ürstmm (dh w s vom glch p sd ud w glt: k k für ll,k Df D 6-5 Multplkto mt Sklr B pa( k pk für ll,k Sklr Multplkto rfolgt kompotws Df D 6-6 Mtrddto ud -sutrkto Für w Mtr A, B vom glch p glt: C AB( c k k k fürll,k dh d Addto wrd kompotws usgführt D Sutrkto D A B A ( B läßt sch ür d Multplkto mt Sklr - uf d Addto urückführ St S 6- Rchrgl "Sklr mt Mtr" Kommuttvgst: pa Ap Assotvgst: p(q A (pq ApqA Dstrutvgst: p( A B pa pb (p q A pa qa Bmrkug: Aschulch dut ds Gst, dß d ülch Rchrgl für rll Zhl Mtr kompotws uwd sd Für Mtr mt pssdr Zl- ud Splthl läßt sch uch Multplkto dfr, d wdr Mtr lfrt Ds hlgdst wär wohl kompotws Multplkto Ds ht r für d Prs k Bdutug Wr wrd och sh, dß d Multplkto s Vktors (dh r (m-mtr mt r (m-mtr grd u (-Vktor lfrt, lso (sogr lr Aldug vo W Ko ZDgsmt-tdoc St 84
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Vktor dr Läg m uf Vktor dr Läg drstllt D Mtrmultplkto wrd u so dfrt, dß s grd dr Htrdrusführug wr solchr Aldug tsprcht Df D 6-7 Multplkto wr Mtr Gg s (m-mtr A ud (r Mtr B, d st ds Mtrprodukt C AB (mr-mtr D Elmt vo C sd dfrt durch: CAB (c j k kj k für =,,m ; j =,r Ü S A, B 5 Bld S AB ud BA Ü S, (Spltmtr = Vktor Bld S, ud St S 6- Egschft ds Mtrprodukts Ds Kommuttvgst glt m Allgm cht, dh m llgm st AB BA Es st sogr oft gr cht möglch, d Fktor u vrtusch, d d Zl- ud Splthl cht mhr usmmpss Es glt Assotv- ud Dstrutvgst: ( AB C A( BC A( B C AB AC Für d trsport Mtr glt: ( AB B A W m Oprto, w hr d Mtrmultplkto dfrt ht, stllt sch mmr d Frg ch dm utrl Elmt (dh ud dm vrs (dh Elmt St S 6- Multplkto mt dr Ehtsmtr Für d (mm -Ehtsmtr E m, d (-Ehtsmtr E ud d (m-mtr A glt: AE = E m A = A W Ko ZDgsmt-tdoc St 85
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Bws durch Ausrch! Drus wrd klr, wso d Ehtsmtr so dfrt st, dss s ur uf dr Dgol "" ht Zur vrs Mtr s Kp 66 W Ko ZDgsmt-tdoc St 86
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 64 Vktor E Vktor st ch Df D 6- Zhltupl dr Form (Spltvktor Gomtrsch fsst Vktor ll Pfl usmm, d Läg ud Rchtug ürstmm E sodrr Rprästt für ds Pfl st dr sog Ortsvktor, Pfl, dr d ullpukt mt dm Pukt odr Ort (,, R vrdt Gur: Df D 6-8 Vktor, Ortsvktor Jdr Pfl, dr Läg ud Rchtug ürstmmt mt dm Pfl, dr d ullpukt mt dm Pukt (,, R vrdt, st Rprästt für d Vktor (Spltvktor, Ortsvktor -dm ud -dm Vktor sd sodrs wchtg, r -dm kommt uch vor (LGS >> Kp 66, Umsät Märkt,, Vktor wrd ülchrws ls Pfl (Vktor lt = Pfl m Koordtsstm drgstllt Hr Bspl für Koordtsstm mt Rchtug (-dmsol E: E A I ogr Zchug ch ud w Achs (Rchtug s ud d Ehtsvktor (dh Vktor dr Läg Koordtsstms ud d tsprchd Rchtug (Bssvktor D Ehtsvktor sd Pfl vom Ursprug u d Pukt (, w (,, lso glt d Drstllug W Ko ZDgsmt-tdoc St 87
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 88 ud I dr Rgl sth d Ehtsvktor skrcht ufdr (krtssch Bss Dr Vktor st lso durch s Kompot ud vollstädg stmmt Aus dsm Grud wrd Vktor oft mt dr Spltmtr sr Kompot (Df D 6- dtfrt: Es läßt sch lcht g, dss glt D: W us ogr Zchug u sh st, k Vktor ls sog Rchtugsvktor uch durch Afgspukt A ud Edpukt E spfrt wrd M ldt Edpukt Afgspukt ud rhält dsl Koordtdrstllug ds Pfls w m Ortsvktor Dr Btrg (d Läg ds Vktors rgt sch D mt dm St vo Pthgors u: Etsprchd wrd Vktor mt Kompot w folgt drgstllt: St S 6-4 Koordtdrstllug ud Btrg Für Vktor Kompot rhält m d Koordtdrstllug: Für d Btrg rgt sch: D sd türlch Ehtsvktor tlg dr Koordtchs vorgg (Koordtss
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Kovto: Sttt wrd uch oft gschr Wr wrd m Folgd häufg d Form m gdruckt t vrwd w, w wr hdschrftlch rt Für d Btrg schrt m oft uch (lso "" oh Vktorpfl, k Fttdruck M sgt (mthmtsch tws l: "Dr Vktor st Ojkt ds R ", wl sch Vktor dutg durch ds Zhltupl (,, R schr läßt Bspl für Vktor sd d phsklsch Größ Krft, Gschwdgkt, Bschlugug, lktrsch Fldstärk Dgg st d mprtur rts durch d Ag hrs Wrts vollstädg stmmt Solch Größ hß Sklr St S 6-5 Rchrgl für Vktor ch Df D 6- kö wr Vktor uch ür d Spltmtr dfr D Rchrgl für Vktor (Glchht, Addto, Sutrkto, Multplkto mt Sklr rg sch dshl sgmäß us d Dfto Df D 6-4 - Df D 6-6 für Mtr Eso glt St S 6- Gomtrsch stllt sch d Summ wr Vktor w folgt dr: c Dr Vktor wrd prlll vrscho, so dß s Afgspukt uf d Edpukt ds Vktors fällt Gomtrsch dutt d Multplkto mt m Sklr p Ädrug ds Btrgs s Vktors um d Fktor p ud ggf Ädrug dr Rchtug (flls p < Ü Üug: Fd S rll Zhl,, so dss Vktorglchht (, 4 ( 4, glt 6 W Ko ZDgsmt-tdoc St 89
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Ü Üug: Gg sd d Pukt A,B,C ud D Stll d Pfl AB ud CD dsl Vktor dr? ( A=(,, B=(,, C=(,-, D=(, ( A=(4,, B=(,, C=(,, D=(, 64 Sklr- ud Vktorprodukt Ds Sklrprodukt wr Vktor läßt sch ls Splfll ds Mtrprodukts dfr: Df D 6-9 Sklrprodukt Ds Sklrprodukt wr -kompotgr Vktor ud st dfrt ls Mtrprodukt vo ud Ds Ergs dss Produkts st rll Zhl ( Sklr Bmrkug: Ds Sklrprodukt drf m cht mt dr sklr Multplkto vrwchsl! B dr sklr Multplkto wrd Vktor mt m Sklr multplrt ud lfrt Vktor Bm Sklrprodukt wrd w Vktor mtdr multplrt ud lfr Sklr St S 6-6 Rchrgl Sklrprodukt cos(, cos(, (Produkt dr Bträg ml Cosus Wkl ( c c 4 cos für, I Vorlsug vrtft: D gomtrsch Dutug ds Sklrprodukts st d Projkto Mt Hlf ds Sklrprodukts läßt sch dr Wkl wsch w Vktor rch: St S 6-7 Wkl wsch Vktor Für d Wkl wsch w Vktor ud ds R glt: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 cos(, Mchml muss m Vktor kostrur, dr uf w gg Vktor skrcht stht (Bsp ormlvktor Hssschr ormlform, s Df D 6- Du st ds Vktorprodukt gut: Df D 6- Vktorprodukt (ur für drdmsol Vktor c ( c s(, c,,, c ld Rchtssst m gsproch: " kru ", st ls vktorlls Produkt wr Vktor Vktor S Btrg st glch dm Produkt us d Bträg dr d Fktor ud dm Sus ds gschloss Wkls S Rchtug rgt sch us dr Fststug, dß c skrcht uf dr vo ud gldt E stht ud d Vktor,, c dsr Rhfolg Rchtssstm ld (Rcht-Hd-Rgl Folgrug: - Für w prlll Vktor, st ds Kruprodukt ull st d Fläch ds vo, uf gspt - D Läg vo Prlllogrmms (s u St S 6-8 Rchrgl Vktorprodukt c ( c c tkommuttv dstrutv Ds Assotvgst glt ICH! Dh m Allgm st c ( c ( Bspl: Drhmomt: M r F Ds Drhmomt M gt, o d Krft F d Vktor r drh k Gomtrsch Dutug Vorlsug! W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 r F F F M F Mrkrgl für Kruprodukt: s Kptl 65 (Dtrmt Ü Üug: S, Brch S, cos(,,, ( 4 64 Grd- ud Eglchug Awdugsspl: I m Computrspl fur S mt m Gwhr uf Wd Wo durchschlägt ds Projktl d Wd, wo müss S ds Loch "ch"? Ahm: Projktl flgt lägs r Grd, d Wd st E Wr rkptulr kur Grudlg us dr Altsch Gomtr Frgstllug sd: W schrt m Grd odr E m Rum (D? W rcht m d Schttmg Grd/Grd, Grd/E odr E/E? Atwort uf ds Frg rucht m oft dr Computrgrfk, m CAD ud vl dr Awdug dr Gomtr E Grd g läßt sch schr durch hr Rchtugsvktor r ud (Orts-Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: r g O g r Ü Bstmm S d Grdglchug dr durch P=[4,,] ud Q=[-,5,8] vrlufd Grd! E E E läßt sch schr durch w Vktor r ud s, d dr E lg ud Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 r s E E r s, (r drf k Vlfchs vo s s, ud r, s Altrtv läßt sch E ls Hsssch ormlform schr durch ormlvktor ud Vktor, dr vom Ursprug uf lg Pukt dr E gt: E E mt ˆ ( ˆ Df D 6- E Vktor ormlvktor st ormlvktor dr E E, w r uf ll Vktor, d dr E lg, skrcht stht I dr Hsssch ormlform fdt dr ormlhtsvktor ˆ Vrwdug Glchug ( t m mplt Glchug, wl s k drkt (kostruktv Brchug vo rlut, dfür k m r für jds umttlr tst, o s dr E lgt W stmmt m d Vktor? W r ud s kt sd, ür ds Kruprodukt: r s Zusmmfssug: Drstllugsform für E Pukt-Rchtugsform r s (= Prmtrform Hsssch ormlform ( mt ˆ Koordtform + + = d mt d W rcht m vo dr Koordtform uf d Prmtrform um? Lös d Koordtform ch uf, d schr utolog-glchug = ud = du: W B d Koordtform lutt: + = 5, d: W Ko ZDgsmt-tdoc St 9
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 94 5 5 D Vrl uf dr rcht St ld d Prmtr = ud = Schttmg (Schttpukt odr Schttgrd stmm: Grd/ Grd r r Glchug Ukt, Grd/E, Mthod s r r g g g Glchug Ukt g,, (mst uötg komplrt Grd/E, Mthod ( g g g r Glchug Ukt g E/E, Mthod s r s r Glchug 4 Ukt,,, (mst uötg komplrt E/E, Mthod ( ( Glchug Ukt =(,, Bspl: Wlch Schttpukt S h : g g ud : E? Üug: Wlch Schttpukt S h : g ud : g? Üug: S } { E ud } { E w E Wlch Schttgrd g h E ud E? 64 Drhug I dr Computrgrphk odr dr gomtrsch Awdug muss m oft Vktor (odr Pukt m Rum drh D wrd j jdr Pukt m Rum drsrtg ( Btrg odr Rchtug vrscho W rcht m ds fft us? M k d trgoomtrsch Glchug r Mtr kompkt usmmfss: Ü Ü
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 ' ' '= + Df D 6- Drhmtr E qudrtsch Mtr dr Form Achs durch Mtrmultplkto: cos s O s cos drht Vktor um d - O Es glt für Drhmtr: O = O - D w S d "vrs" Drhwkl st (dr Drhug um Wkl wdr rückgägg mcht, d ld S gu dr trsport Mtr O Wl solch Mtr rcht Wkl (vo Vktor wdr rcht Wkl ürführt, cht m solch Mtr uch ls orthogol Ü Üug: M drh d Vktor gl dr -Achs um o (Es glt cos ud s Mch S ggt Pro: Wo gu fdt sch dr Bhug vo u ' dr Wkl wdr? Lösug Vorlsug! 65 Dtrmt Btrcht wr ds folgd Sstm vo w lr Glchug w Ukt ud : ch Auflösug rgt sch: W Ko ZDgsmt-tdoc St 95
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Bd r sd glch Außrdm tschdt (dtrmrt dr Wrt ds rs, o ds Sstm ürhupt lösr st Ist dr r glch ull, st ds Sstm cht (dutg lösr Aus dsm Grud wrd dr r ls Dtrmt cht ud w folgt gschr: D Wr wrd d Bgrff dr Dtrmt dr Utrsuchug dr Lösrkt vo LGS ötg Für -Schm rcht sch d Dtrmt ch dm: St S 6-9 St vo Srrus D Lägs dr dck, gstrchlt L wrd d Produkt mt "+"-Zch ufgschr, lägs dr dr dü, durchgog L wrd d Produkt mt " "-Zch ufgschr Df D 6- Dtrmt, Utrdtrmt E -rhg Dtrmt st Zhl, d us m Schm mt Elmt dr Form W Ko ZDgsmt-tdoc St 96
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 D rcht wrd k E -rhg Utrdtrmt st d Dtrmt, d tstht, w m us m (p q-zhlschm (p,q p- Zl ud q- Splt strcht Bmrkug: Dr rst Id s Elmts cht d ughörg Zl, dr wt d Splt (Zl urst, Splt spätr W rcht m u Dtrmt für >? Ds rfolgt mt dm Etwcklugsst vo Lplc: St S 6- Etwcklugsst vo Lplc k k k k cost kcost k k D ( D ( D k D cht Dk d Utrdtrmt, d durch Strch dr -t Zl ud k-t Splt us D tstht D Forml "twcklt" d Dtrmt ch dr Zl, d Forml ch dr k Splt Bmrkug: Im Splfll = rgt sch dsl Forml w dr St vo Srrus, w m durch Ausrch g k I Vorlsug: Bld u Vorch m Etwckl ud Bspl (Drcksdtrmt St S 6- D Dtrmt r Drcksmtr st glch dm Produkt dr Huptdgollmt Dr Bws folgt drkt us St S 6- (Lplc'schr Etwcklugsst Für d Brchug vo Dtrmt glt d folgd Rgl: W Ko ZDgsmt-tdoc St 97
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 98 Multplkto mt m Fktor: Wrd ll Elmt r Zl mt m kostt Fktor multplrt, so vrädrt sch dr Wrt dr Dtrmt um ds Fktor Addto vo Zl: Addrt m u r Zl lgs Vlfchs r dr Zl, so ädrt sch dr Wrt dr Dtrmt cht Ethält Zl lutr ull, so st d Dtrmt ull (folgt us St S 6- durch Etwckl ch gu dsr Zl 4 Sd w Zl dr proportol, so ht d Dtrmt d Wrt ull (folgt us Rgl ud durch ggt Addto I ds Rgl k ürll "Zl" gusogut durch "Splt" rstt wrd Üug: M rch mttls dr og Rgl 4 4 D Gomtrsch Bdutug dr Dtrmt: Volum Prlllflch Im R st dr Btrg dr Dtrmt d Fläch ds durch hr Spltvktor ud ufgspt Prlllogrmms Im R st d Dtrmt ds Volum ds durch hr Spltvktor, ud c ufgspt Prlllflchs Wtrr ut dr -Dtrmt: W mrkt m sch d Forml für ds Kruprodukt c? c c c c c c c Rgl: M schrt (ur forml! d Ehtsvktor,, d Splt r Dtrmt, d - ud -Kompot d Splt d ud twcklt d Dtrmt ch dr Splt Ü
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Awdugsspl: Woh klckt d Mus? Lt: [Hrtm4, S 87] W m m Zchprogrmm m Computr uf L klckt, wrd ds mrkrt j, gugomm st L udlch dü Gur: E gwssr "schrfr" Brch um d L (Brt, gl Zchug ut führt ur Auswhl dr L W rcht m möglchst fch us, o Klck m gl Rchtck lgt? D L st grt durch Vktor u ud v Musklck Vktor m soll d L gu d mrkr, w m m vrtull Rchtck mt Brt um d L lgt: m v m u Lösug: ( Prüf, o m sch m durch u ud v grt Strf fdt: ud müss spt Wkl s, lso cos(> ud cos(> ( Ds durch v u ud m u ufgspt Prlllogrmm muss klr Fläch h ls v u, d lgt m m gl Rchtck: ( ( m v m v u u Ds lls k m durch Sklr- ud Vktorprodukt vo,, c schll usrch: cos( > cos( > c D Prlllogrmmfläch st dr Btrg dr Dtrmt dr Vktor, : dt(, dt Isgsmt h wr für d Bdgug ( W Ko ZDgsmt-tdoc St 99
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 ur 5 Multplkto ud Wurl u rch Ü Üug: S =, u, 5 v, 6 m Lgt m rhl odr ussrhl? 4 66 Lr Glchugssstm Lt: [Hrtm4, Kp 8: Guß'schr Algo ud LGS rppform; Ppul, Bd II, Kp 4: Rg r Mtr ud Kp 4: Lr Glchugssstm] W rts dr Eltug u Kptl gdutt, st wchtgs Zl dr lr Algr d Lösug lrr Glchugssstm, d dr Prs shr häufg uftrt, B dr Brchug sttschr Sstm (B Sttk vo Butl, sttoärr Btr vo Chmlg, lktrschr t odr trswrtschftlchr Optmrugsufg B dr mthmtsch och wstlch ufwdgr Brchug komplrtr dmschr Sstm (B Schwgugsvrhlt vo Brück, Dämpfugs- ud Schwgugsvrhlt vo Achskostrukto, Crshsmulto vo Fhrugkrossr, Brchug vo rgflächprofl, A- ud Afhrvrhlt vo Chmlg, Wttrrchug müss häufg groß lr Glchugssstm (g s g hudrttusd Glchug ls lprolm dr ürgordt Aufgstllug utr Umstäd hudrt vo Ml glöst wrd Etsprchd groß st ds Itrss dr umrsch Mthmtk lstugsfähg Vrfhr ur Lösug lrr Glchugssstm Wchtg Frg sd lso: W löst m LGS? Wr wrd m Folgd ds fchst Vrfhr, ds Gußsch Elmtosvrfhr, dskutr Utr wlch Vorusstug st LGS ürhupt lösr? W stt s, w mhrr, w udlch vl Lösug? 66 Lösrkt vo Glchugssstm Gg st lso (m-mtr A ud Spltvktor dr Läg m Utr r Lösug ds LGS A vrstht m Spltvktor dr Läg mt: m m m = Agkürt schrt m dss LGS durch d Mtr A w A : m m Glchug, Ukt W Ko ZDgsmt-tdoc St
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 A m m m ( A m m m m Zl ds Gußvrfhrs st s, durch äquvlt Umformug (s ut, Kptl 66 ds Sstm A d folgd rppform A* * odr uch Zl-Stuf-Form u ürführ: Hr müss d Zhl d rppstuf, d sog Ltkofft (hr: * * *,,, rs, sämtlch uglch ull s, ll dr Vrl sd lg Utrhl dr rpp sd ll * j Schu wr us uächst m Kptl Äquvlt Umformug ml, w m rppform mt Guß rrcht * * * D Zhl r, r,, m tschd ür d Lösrkt ds LGS: Ist uch ur dsr Zhl uglch ull, so st LGS ulösr, d ds * tsprcht r Glchug dr Form r, wlch für ll urfüllr st * * * W rm ud r r m, d st ds LGS lösr Im Fll r< gt s sogr udlch vl Lösug M ht d Vrl f(, f(,, f(r ( d Splt oh Ltkofft ls fr Prmtr ud k ür d Zl r s rkursv d Vrl r,, ( dsr Rhfolg! ls Fukto dr fr Prmtr stmm (Bsp s ut Aus dr rppform k m sofort d Lösug ds Glchugssstms kostrur: Zu jdr Splt OHE Ltkofft ghört fr Vrl D Vrl MI Ltkofft kö dutg ls Zhl odr lr Glchug d fr Vrl gg wrd M gt mt dr * utrst Vrl s (r / rs ud rtt sch lws ch o vor W Ko ZDgsmt-tdoc St
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W r=m= st, d wrd d rppmtr ur Drcksmtr Ds LGS k dutg, gd mt Zl r, rkursv glöst wrd (s Bspl ut Es thält k fr Vrl Df D 6-4 Rg r Mtr Dr Rg r (m-mtr A st d mml Zhl r, für d s vo ull vrschd, r- rhg Utrdtrmt (s Df D 6- gt M schrt: Rg(A = r Bspl: D og Mtr A* ht d Rg r (Ahl dr rppstuf * * * W r r m, d ht uch d og Mtr * * Rg r * * * Ist uch ur dr Zhl r, r,, m uglch ull, so ht d Mtr A* * d Rg r+ Bws Vorlsug! A d Wr kö lso d og Rgl ur Lösrkt vo LGS folgdm St usmmfss: St S 6- Lösrkt lrr Glchugssstm Gg s (m,-lgs A, dh m Glchug ud Ukt D rgt sch d Lösrkt us folgd Dgrmm: Ist Rg(A Rg(A Rg(A=Rg(A =r r= r< k Lösug gu Lösug BEACHE: s gt IE LGS mt, odr 4 Lösug! vl Lösug, mt -r fr Prmtr Splfll m=: W dt(a glt, d lgt dr Fll r= vor, dh wr h gu Lösug Im Fll dt(a = kö wr r oh wtr Utrsuchug chts ür d Lösrkt ds LGS ussg W Ko ZDgsmt-tdoc St
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W stmmt m Rg(A ud Rg(A? u, gu ch dm og Vrfhr, ds ur rppform A* * führt D s glt dr chfolgd St S 6-, dss sog äquvlt Umformug d Rg r Mtr cht vrädr: 66 Äquvlt Umformug ud Guß-Vrfhr A* * u rhlt, müss wr us och klrmch, ws Um d rppform m lr Glchugssstm äquvlt, dh d Lösugsmg cht vrädrd Umformug sd D glt dr wchtg St: Ich drf r Glchug uf d St ds Glch tu! St S 6- Äquvlt Umformug r Mtr A sd: Zw Glchug dürf mtdr vrtuscht wrd Ds ädrt j ur d Rhfolg, dr d Glchug ufgschr wrd Jd Glchug drf mt r vo ull vrschd Zhl multplrt wrd Rll Vlfch r Glchug dürf u r dr Glchug ddrt wrd (uf d St ds Glch gt Äquvlt Umformug ädr d Rg dr Mtr cht Bschrug ds Gußsch Elmtosvrfhr durch rkursv Fukto Guss(,j, d =j= gt: Guss(,j: Flls =Zlhl odr j>splthl: Ed Flls j =: such Splt j kj, k>, w s ks gt: Guss(,j+, Ed vrtusch Zl mt Zl k kj Addr u jdr Glchug k> jwls ds - fch dr -t Glchug j (Ddurch wrd ll Glchug k> dr Kofft vor j u ull 4 Guss(+,j+, Ed Ds gt d Mächtgkt rkursvr Algorthm, d dr gtlch rcht vl Sodrfäll umfssd Algorthmus läßt sch so wg Zl mplmtr H wr d rwtrt Mtr rppform, d kö wr d Lösug schrttws vo ut ls: Jd Splt oh Ltkofft (oh rppstuf stllt fr Vrl dr Es gt mhrr (udlch vl Lösug, d sch durch Whl lgr Wrt d fr Vrl utrschd [I dr og rppform A* * sd umdst, s+, s+,, fr Vrl] Jd Splt mt Ltkofft k Ahäggkt vo d fr Vrl usgrcht wrd M gt mt dr utrst Zl mt Ltkofft ud rtt sch schrttws ur Zl vor [I dr og rppform A* * gt m lso mt s, dss Wrt sch us Zl r rgt] W Ko ZDgsmt-tdoc St
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 4 Bspl : Z - ( 4 Z - ( ( 4 ( A D rst Glchug wrd üromm Zur wt wrd ds --fch dr rst Zl ddrt, ur drtt wrd ds --fch dr rst Zl ddrt Es rgt sch: Z (' 7 (' 5 ( 7 5 ( A Zur Zl wrd u ds -fch dr Zl ddrt: (" (' 5 ( 5 * * ( A Dmt h wr ds Sstm uf Drcksform grcht Aus ( folgt u uächst St wr u d Wrt für dr Glchug ( folgt = - ud schlßlch us dr rst Glchug = Bspl : Wr schr wtrs (,4-LGS drkt dr Form A uf: Zl ( A Zl ( A * * ( A
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 Hr h wr d Sodrfll vorlg, dss dr Splt lutr ull uftrt Hr müss wr gmäß Schrtt "Guss(," wähl ud lmr d mt "+Zl " d - dr Zl Wr rhlt d rppform, d wr u vo ut ch o uflös: = lg ( Splt st oh Ltkofft 4 = (us Zl = (us Zl = - (us Zl Ü Üug: Bstmm S d Lösugsmg ds LGS ( A 5 7 9 66 Brchug dr Ivrs Mtr Df D 6-5 Ivrs, rgulär ud sgulär Mtr Ist ds Produkt wr qudrtschr Mtr glch dr Ehtsmtr E, so t m d Mtr d vrs Mtr (kur Ivrs dr dr ud schrt: A A AA E E Ivrs strt gu d, w dt A D Mtr A hßt d rgulär, drflls lso dt A = hßt A sgulär W d Ivrs strt, d st s dutg stmmt D Ivrs vo A läßt sch us dr smult Lösug vo Glchugssstm rch: d k-t Splt k dr Ivrs A - rgt sch us dr Glchug: A, wo k d Ehtsvktor mt r dr k-t Zl drstllt (Guß-Jord- Algorthmus k k Bspl: Brch d Ivrs u A >> Lösug Vorlsug 4 Mt Hlf dr Ivrs läßt sch d Lösug s lr Glchugssstms drkt g: W Ko ZDgsmt-tdoc St 5
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 A A A A A Allrdgs läßt d Ivrs sch cht g lcht rch Dr Aufwd stgt mt dr drtt Pot dr Zl- w Splthl D Brchug dr Ivrs loht sch r d, w m vl LGS dr Form A mt glchm A, r vrschd rcht St u rch ht St S 6-4 Ds Bld dr Ivrs ud ds rspor sd vrtuschr, dh: ( A ( A Bws: ( AA E ( AA E E (St S 6- ( A A E Also st A ( divrsu A 664 Lr Uhäggkt Vktor hß lr uhägg, w s ll vrschd Rchtug g c, c j R, j=,, u fd, d Gur: w s cht möglch st, lr Vlfch usmmddrt d ullvktor rg, mt Aushm dr trvl Lösug c =c =c = Ds läßt sch ls lrs Glchugssstm formulr: Schr d Vktor spltws Mtr V ud such Lösug für vj c v j V c c v Kj W ds Glchugssstm dutg lösr st (trvl Lösug c =c =c =, d sd d Vktor lr uhägg W s mhrr (udllch vl Lösug gt, d sd d Vktor lr hägg v j j 665 Awdugsspl Ausglchsgrd (Lst Squr Dr chfolgd Awdugsfll gt, wou m d trsport Mtr ud d Kovrmtr v v für Vktor v ruch k Wr schr d Grd durch G v v p Hr st p dr (strkt Prmtrvktor, dr d Grd schrt W Ko ZDgsmt-tdoc St 6
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 7 Wlchs sd d rchtg Prmtr ud? u, dlrws sollt jdr Dtpukt v uf dr Grd lg, dh jdr Dtpukt lfrt Bstmmugsglchug + = Ds lfrt Bstmmugsglchug, w wr Dtpukt h, d wr Mtrform c p A ufschr: c A Dss Glchugssstm ht dr tschdd chtl: Es st (uötg komplrt, w groß st (B st = dr Prs k Sltht Es wrd für k Lösug h (!! ussr m Sodrfll, dss ll Pukt schö ordtlch uf dr Grd lg W s scho k kt Lösug gt, hätt wr gr möglchst gut, d, d d rd m st wdrgt [Wr wrd Mth gur dfr, ws "möglchst gut" hßt >> Guss'sch Mthod dr klst Qudrt, Lst Squr] u kommt wchtgr ud trm prktschr rck, dr ll dr Prolm uf Schlg löst: Wr multplr vo lks mt A durch: A A A C Auch w's komplrt ussht: Ds st jtt kls, hdlchs -LGS, ds (fst mmr lösr st Wlch Lösug lfrt s? M k g (s Kp 86, Mth, dss s gu d Lst-Squr-Lösug st (! - hr Mpl-Bspl us fucto-plotsmws, w Zt! - D Mthod st sogr och vl llgmr: Immr w ch Prolm ftt wll, ds lr vo lg vl Prmtr (,,c,d,,f, hägt, k ch d Mthod ud / / + =
Prof Dr Wolfgg Ko Mthmtk, WS4 94 W Ko ZDgsmt-tdoc St 8 d og rck vrwd Awdugsspl: Wrpg ud Rgstrrug dr Bldvrrtug, Stchwort GooglErth D Mtr C hßt Kovrmtr dr Dtpukt, s ht groß Bdutug v v v v v v C M k dr Kovrmtr rk (Stchwort Egwrt, o d Dtpukt grmß uf r Grd lg odr wt vrstrut sd Ds st r Kptl für d wtrführd Lr Algr 67 Ft Lr Algr I dsm Kptl h wr d Grudlg dr Lr Algr (LA kglrt: Vktor, Sklrprodukt, Vktorprodukt (ur für =, Dtrmt, Mtr Mt Mtr lss sch mhrr lr Glchug kompkt usmmfss E LGS ht twdr k, odr udlch vl Lösug Wlchr Fll vorlgt ud w d Lösug ussht, fdt m mt dm Guß'sch Elmtosvrfhr hrus, ds d Mtr A durch äquvlt Umformug rppform ürführt E Zl mt lutr ull A ud k ull m -Kofft dutt: "k Lösrkt" D Ivrs A - r Mtr A rcht m, dm m (A E durch äquvlt Umformug (E A - ürführt (Guß-Jord-Vrfhr Grd- ud Eglchug, dr Schttmg Wtr wchtg Bgrff dr Lr Algr (Bsswchsl, Vktorrum, lr Aldug, Egwrt wrd wr m wtrführd Kptl dr Lr Algr klr ( Spll Mthmtk m Mstr