Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Überblick 2/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Äquivalenzrelationen 3/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Äquivalenzrelationen Definition 4/77

Definition Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R M M auf einer Menge M, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. typischerweise Notation,,, oder ähnlich Infixschreibweise also x M : x x, x M : y M : x y = y x x M : y M : z M : x y y z = x z Äquivalenzrelationen Definition 5/77

Einfachstes Beispiel: Identität I = {(x, x) x M} ist Äquivalenzrelation (für jede Menge M), denn x M : x = x, x M : y M : x = y = y = x x M : y M : z M : x = y y = z = x = z Äquivalenzrelationen Definition 6/77

Wichtiges Beispiel: Kongruenz modulo n Es sei n N +. x, y Z heißen kongruent modulo n, wenn die Differenz x y durch n teilbar, also ein ganzzahliges Vielfaches von n, ist. Schreibweise x y (mod n) Das sind Äquivalenzrelationen, denn Reflexivität: x x = 0 ist Vielfaches von n Symmetrie: mit x y ist auch y x = (x y) Vielfaches von n Transitivität: Wenn x y = k 1n und y z = k 2n (mit k 1, k 2 Z), dann auch x z = (x y) + (y z) = (k 1 + k 2)n ganzzahliges Vielfaches von n Äquivalenzrelationen Definition 7/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 8/77

Definition L A beliebige formale Sprache Äquivalenzrelation von Nerode L auf der Menge A aller Wörter so definiert: für alle w 1, w 2 A ist w 1 L w 2 ( w A : w 1 w L w 2 w L ) das muss man erfahrungsgemäß mehrfach lesen w 1 und w 2 genau dann äquivalent, wenn gilt: Gleich, welches Wort w A man die beiden anhängt, immer sind entweder beide, w 1 w und w 2 w, in L, oder keines. Aber ist eines in L und das andere nicht. Anders gesagt: w 1 und w 2 genau dann nicht L -äquivalent, wenn es ein Wort w A gibt, so dass genau eines der Wörter w 1 w und w 2 w in L liegt, aber das andere nicht. Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 9/77

Diskussion betrachte das leere Wort w = ε wenn w 1 L w 2 dann beide Wörter w 1 w und w 2 w in L oder beide nicht in L also beide Wörter w 1 und w 2 in L oder beide nicht in L Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 10/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a Hängt man an beide Wörter ein w a* an, dann sind sowohl w 1w als auch w 2w in L. Hängt man ein w a*bb* an, dann sind sowohl w 1w als auch w 2w in L. Hängt man ein w an, das ba enthält, dann sind also beide nicht in L. Andere Möglichkeiten für w gibt es nicht, also sind die beiden Wörter L -äquivalent. 2. w 1 = aaab und w 2 = abb 3. w 1 = aa und w 2 = abb 4. w 1 = aba und w 2 = babb 5. w 1 = ab und w 2 = ba Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb Hängt man ein w b* an, dann sind sowohl w 1w als auch w 2w in L. Hängt man ein w an, das ein a enthält, dann sind also beide nicht in L. Andere Möglichkeiten gibt es nicht, also sind die beiden Wörter L -äquivalent. 3. w 1 = aa und w 2 = abb 4. w 1 = aba und w 2 = babb 5. w 1 = ab und w 2 = ba Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb Hängt man w = a an, dann ist zwar w 1w = aaa L, aber w 2w = abba / L. Also sind die beiden Wörter nicht L -äquivalent. 4. w 1 = aba und w 2 = babb 5. w 1 = ab und w 2 = ba Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb Beide ba. Egal was man anhängt,es bleibt so, d. h. immer sind w 1w / L und w 2w / L. Also sind die beiden Wörter L -äquivalent. 5. w 1 = ab und w 2 = ba Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb: äquivalent 5. w 1 = ab und w 2 = ba Da w 1 L, aber w 2 / L, zeigt w = ε, dass die beiden nicht L -äquivalent sind. Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb: äquivalent 5. w 1 = ab und w 2 = ba: nicht äquivalent Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 11/77

Die Nerode-Relation ist immer eine Äquivalenzrelation Lemma Für jede formale Sprache L ist L eine Äquivalenzrelation. Beweis prüfe alle drei Eigenschaften: Reflexivität: Ist w 1 A, dann gilt für jedes w A offensichtlich: w 1 w L w 1 w L. Symmetrie: Für w 1, w 2 A und alle w A gelte: w 1 w L w 2 w L. Dann gilt offensichtlich auch immer w 2 w L w 1 w L. Transitivität: Es seien w 1, w 2, w 3 A und es möge gelten w A : w 1 w L w 2 w L (1) w A : w 2 w L w 3 w L (2) Zeige: w A : w 1 w L w 3 w L.... Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen von Nerode 12/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 13/77

Bild einer Äquivalenzrelation Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 14/77

Bild einer Äquivalenzrelation Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 15/77

Definitionen Äquivalenzklasse von x M ist {y M x y} Schreibweise [x] oder einfach [x], falls klar ist Faktormenge (oder Faserung) von M nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen. Schreibweise M / = {[x] x M} Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 16/77

Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } [1] = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... } statt Z/ n schreibt man oft Z n Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 17/77

Anzahl der Äquivalenzklassen Beispiel: L für L = a*b* genauere Betrachtung der Argumentation von vorhin zeigt: jedes Wort zu genau einem der Wörter ε, b und ba äquivalent Also: A / L besteht aus drei Äquivalenzklassen: [ε] = a* [b] = a*bb* [ba] = a*bb*a(a b)* Wahl der Repräsentanten willkürlich; hätten auch schreiben können: [aaaaa] = a* [aabbbbb] = a*bb* [aabbaabbba] = a*bb*a(a b)* Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 18/77

Anzahl Äquivalenzklassen bei Nerode-Äquivalenz durch L induzierte Nerode-Äquivalenz kann auch unendlich viele Äquivalenzklassen haben betrachte L = {a k b k k N 0 } Ist k m, dann sind w 1 = a k und w 2 = a m nicht äquivalent wie man durch Anhängen von w = b k sieht: w 1 w = a k b k L, aber w2 w = a m b k / L. jedes Wort a k, k N 0, in einer anderen Äquivalenzklasse Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 19/77

Ahnen Sie was...? Für die reguläre Sprache L 1 = a*b* hat L endlich viele Äquivalenzklassen. Für die nicht reguläre Sprache L 2 = {a k b k k N 0 } hat L unendlich viele Äquivalenzklassen. Für L 1 gibt es einen endlichen Akzeptor, für L 2 gibt es keinen. Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 20/77

Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Äquivalenzrelationen Beispiele: Kongruenz modulo n Nerode-Äquivalenzen Das sollten Sie üben: definierenden Eigenschaften überprüfen Anzahl Äquivalenzklassen bestimmen Äquivalenzrelationen Äquivalenzklassen und Faktormengen 21/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Kongruenzrelationen 22/77

Äquivalenzrelationen auf Mengen mit Struktur Beispiel: n auf additiver Gruppe (oder Ring) Z Frage: Wie ändern sich Funktionswerte, wenn man Argumente durch äquivalente ersetzt? Kongruenzrelationen 23/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen 24/77

Verträglichkeit mit einstelligen Funktionen und binären Operationen Sei Äquivalenzrelation auf M und f : M M eine Abbildung. ist mit f verträglich, wenn für alle x 1, x 2 M gilt: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Sei Äquivalenzrelation und eine binäre Operation auf M. ist mit verträglich, wenn für alle x 1, x 2 M und alle y 1, y 2 M gilt: x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 1 x 2 y 2. Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen 25/77

Veträglichkeit: Beispiel modulo Äquivalenz modulo n. Diese Relationen sind mit Addition, Subtraktion und Multiplikation verträglich. Beispiel: ist dann auch x 1 x 2 (mod n) also x 1 x 2 = kn und y 1 y 2 (mod n) also y 1 y 2 = mn (x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) = (k + m)n. mit anderen Worten x 1 + y 1 x 2 + y 2 (mod n). Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen 26/77

Veträglichkeit: Beispiel Nerode-Äquivalenzen Sei w A beliebig. Sei f w : A A die Abbildung, die w anhängt, also f w (v) = vw. Behauptung: L ist mit f w verträglich ist, d. h.: w 1, w 2 A : w 1 L w 2 = w 1 w L w 2 w Zeige: Wenn w 1 L w 2 ist, dann ist auch w 1 w L w 2 w. Also: für alle w A gielte w 1 w L w 2 w L. Zeige: für alle v A gilt: (w 1 w )v L (w 2 w )v L. für beliebiges v A gilt: (w 1 w )v L w 1 (w v) L w 2 (w v) L weil w 1 L w 2 (w 2 w )v L. Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen 27/77

Kongruenzrelationen Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Funktionen oder/und Operationen verträglich ist, nennt man auch eine Kongruenzrelation. Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen 28/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen29/77

Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen (1) L eine beliebige formale Sprache L A. für jedes x A ist die Abbildung f x : A A : w wx mit L verträglich. Wir schreiben nun einmal hin: Ist das in Ordnung? f x : A / L A / L : [w] [wx] Huch? Wo kann ein Problem sein? Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen30/77

Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen (1) L eine beliebige formale Sprache L A. für jedes x A ist die Abbildung f x : A A : w wx mit L verträglich. Wir schreiben nun einmal hin: Ist das in Ordnung? f x : A / L A / L : f x([w]) = [wx] Huch? Wo kann ein Problem sein? Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen30/77

Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen (2) Versuch Abbildung zu definieren, die Äquivalenzklasse auf Äquivalenzklasse abbildet. Aber [w] enthält ja im allgemeinen nicht nur w, sondern noch viele andere Wörter. Zum Beispiel hatten wir uns weiter vorne überlegt, dass im Fall L = a*b* die Wörter ε, a, a 2, a 3, usw. alle in einer Äquivalenzklasse liegen. also [ε] = [a] = [a 2 ] =. damit [w] [wx] wirklich eine Definition ist, die für jedes Argument eindeutig einen Funktionswert festlegt, sollte bitte auch [εx] = [ax] = [a 2 x] = sein. Aha: Das sichert gerade die Verträglichkeitsbedingung zu! w 1 L w 2 = w 1 x L w 2 x also w 1 L w 2 = f x (w 1 ) L f x (w 2 ) also [w 1 ] = [w 2 ] = [f x (w 1 )] = [f x (w 2 )] Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen31/77

Induzierte Abbildungen für Äquivalenzklassen Allgemein gilt: Wenn mit f : M M verträglich ist, dann ist wohldefiniert. f : M / M / : f ([x]) = [f (x)] Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen32/77

Ein letzter Blick auf die Nerode-Äquivalenzen (1) sei L eine formale Sprache, für die L nur endlich viele Äquivalenzklassen hat. schreibe abkürzend Z = A / L definiere f : Z A Z : f ([w], x) = [wx] Diese Abbildung ist wohldefiniert. Die Erinnerung an endliche Akzeptoren ist kein Zufall. Legt man nämlich noch fest z 0 = [ε] und F = {[w] w L} dann hat man einen endlichen Akzeptor, der genau L erkennt. Überlegen Sie sich das! Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen33/77

Ein letzter Blick auf die Nerode-Äquivalenzen (2) Ohne Beweis nehme man bitte noch zu Kenntnis: Für jede reguläre Sprache hat L nur endlich viele Äquivalenzklassen. Der gerade konstruierte Akzeptor ist unter allen, die L erkennen, einer mit minimaler Zustandszahl. Dieser endliche Akzeptor ist bis auf Isomorphie (also Umbenenung von Zuständen) sogar eindeutig. Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen34/77

Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Kongruenzrelationen: Verträglichkeit induzierte Abbildungen/Operationen für Äquivalenzklassen Nerode-Äquivalenzen liefern minimale Akzeptoren Das sollten Sie üben: mit Äquivalenzklassen rechnen Kongruenzrelationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen35/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen 36/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen Grundlegende Definitionen 37/77

Definition antisymmetrischer Relationen Relation R M M heißt antisymmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: xry yrx = x = y Beispiel Mengeninklusion: zum Beispiel M = 2 M Potenzmenge einer Menge M Relation R = {(A, B) A M B M A B} = {(A, B) A M B M A B} M M R ist antisymmetrisch: A B B A = A = B Halbordnungen Grundlegende Definitionen 38/77

Definition Halbordnung Relation R M M heißt Halbordnung, wenn sie ist. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man auch M eine halbgeordnete Menge. Beispiel Mengeninklusion: A A A B B A = A = B A B B C = A C Beachte: es gibt im allgemeinen unvergleichbare Elemente z. B. {1, 2, 3} {3, 4, 5} und {3, 4, 5} {1, 2, 3} Halbordnungen Grundlegende Definitionen 39/77

Beispiel: Halbordnung auf Wörtern M = A Relation p auf A : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 zum Beispiel im Duden: Klaus kommt vor Klausur aber: p ist echte Halbordnung keine Beziehung zwischen Klausur und Übung Halbordnungen Grundlegende Definitionen 40/77

Darstellung von Halbordnungen (1): Graph der gesamten Relation Beispiel (2 {a,b,c}, ) {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} {} Halbordnungen Grundlegende Definitionen 41/77

Darstellung von Halbordnungen (2): Hassediagramm zeichne nur H R = (R I ) (R I ) 2 Beispiel (2 {a,b,c}, ) {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} {} Halbordnungen Grundlegende Definitionen 42/77

Hassediagramm: enthält alles Wesentliche Wenn R Halbordnung auf einer endlichen Menge M ist, dann kann man aus H R das R wieder rekonstruieren: H R = R Halbordnungen Grundlegende Definitionen 43/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen Extreme Elemente 44/77

Minimale und maximale Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt minimales Element von T, wenn es kein y T gibt mit y x und y x. x T heißt maximales Element von T, wenn es kein y T gibt mit x y und x y. Halbordnungen Extreme Elemente 45/77

Minimale und maximale Elemente: Beispiele Teilmenge von (2 {a,b,c}, ): ab bc b c {} zwei maximale Elemente: ab und bc ein minimales Element: {} Halbordnungen Extreme Elemente 46/77

Kleinste und größte Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt kleinstes Element von T, wenn für alle y T gilt: x y. x T heißt größtes Element von T, wenn für alle y T gilt: y x. Halbordnungen Extreme Elemente 47/77

Kleinte und größte Elemente: Beispiele Teilmenge von (2 {a,b,c}, ): ab bc b c {} kein größtes Element kleinstes Element: {} Achtung: Eine unendliche Teilmenge kann z. B. genau ein minimales Element haben und trotzdem kein kleinstes! Halbordnungen Extreme Elemente 48/77

Kleinste und größte Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. T kann nicht zwei verschiedene kleinste (bzw. größte) Elemente haben. Beweis für Eindeutigkeit des kleinsten Elements seien x 1 und x 2 kleinste Elemente, dann ist x1 x 2, weil x 1 kleinstes Element, und es ist x2 x 1, weil x 2 kleinstes Element, also wegen Antisymmetrie: x1 = x 2 Beweis für Eindeutigkeit des größten Elements analog Halbordnungen Extreme Elemente 49/77

Untere und obere Schranken sei (M, ) halbgeordnet und T M. x M heißt obere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: y x. x M heißt untere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: x y. Beachte: untere und obere Schranken von T dürfen außerhalb von T liegen. Halbordnungen Extreme Elemente 50/77

Untere und obere Schranken: Beispiele abc ab ac bc a b c {} Standardbeispiel: T = {{}, {a}, {b}}: obere Schranken {a, b} und {a, b, c}. T = {{}, {a}, {b}, {a, b}}: die gleichen oberen Schranken. Halbordnungen Extreme Elemente 51/77

Untere und obere Schranken müssen nicht existieren Teilmenge muss keine obere Schranke besitzen In Schranke. besitzt z. B. die Gesamtmenge keine obere In (N 0, ) besitzt die die Gesamtmenge keine obere Schranke. Halbordnungen Extreme Elemente 54/77

Supremum und Infimum Besitzt die Menge aller oberen Schranken einer Teilmenge T ein kleinstes Element, so heißt dies das Supremum von T Schreibweisen T oder sup(t ) Besitzt die Menge aller unteren Schranken einer Teilmenge T ein größtes Element, so heißt dies das Infimum von T. brauchen wir hier nicht Supremum (bzw. Infimum) einer Teilmenge müssen nicht existieren weil gar keine oberen Schranken vorhanden oder weil von den oberen Schranken keine die kleinste ist Halbordnungen Extreme Elemente 55/77

Supremum und Infimum: Beispiele Bei Halbordnungen (2 M, ) existieren Suprema immer: Supremum von T 2 M ist die Vereinigung aller Teilmengen von M, die in T liegen Beispiel für das Beispiel: M = {a, b} also ist M = 2 M die Menge aller formalen Sprachen L M für i N0 sei L i = {a j b j j i} L 0 = {ε} L 1 = {ε, ab} L 2 = {ε, ab, aabb}... sei T = {Li i N 0 } dann ist T = i=0 L i = {a j b j j N 0 } Halbordnungen Extreme Elemente 56/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen Vollständige Halbordnungen 57/77

Aufsteigende Ketten aufsteigende Kette abzählbar unendliche Folge (x 0, x 1, x 2,... ) von Elementen mit der Eigenschaft: i N 0 : x i x i+1. kurz x 0 x 1 x 2 x 3 Beispiel: (2 {a,b}, ) {ε} {ε, ab} {ε, ab, aabb} {ε, ab, aabb, aaabbb}... Halbordnungen Vollständige Halbordnungen 58/77

Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Beispiele: (2 M, ) kleinstes Element {} Supremum von T 0 T 1 T 2 ist T i. Halbordnungen Vollständige Halbordnungen 59/77

Vollständige Halbordnungen: weitere (Nicht-)Beispiele (N 0, ) ist keine vollständige Halbordung unbeschränkt wachsende aufsteigende Ketten wie z. B. 0 1 2 besitzen kein Supremum in N 0. Ergänze weiteres Element u über allen Zahlen: N = N 0 {u} und x y ( x, y N 0 x y ) (y = u) also sozusagen 0 1 2 3 u später noch nützlich N = N 0 {u 1, u 2 } und x y ( x, y N 0 x y ) ( ) x N 0 {u 1 } y = u 1 y = u2 also sozusagen 0 1 2 3 u 1 u 2 Halbordnungen Vollständige Halbordnungen 60/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 61/77

Monotone Abbildungen eine Halbordnung auf einer Menge M. Abbildung f : M M monoton, wenn für alle x, y M gilt: x y = f (x) f (y) Beispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x + 1 x y = x + 1 y + 1 Nichtbeispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x mod 5 3 10, aber f (3) = 3 0 = f (10). Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 62/77

Stetige Abbildungen (D, ) sei vollständige Halbordnung Abbildung f : D D heißt stetig, wenn für jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 gilt: f ( i x i ) = i f (x i ) Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 63/77

Stetige Abbildungen: Beispiele (1) N = N 0 {u 1, u 2 } mit wie eben Abbildung f : N N mit x + 1 falls x N 0 f (x) = u 1 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 ist stetig. warum? Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 64/77

Stetige Abbildungen: Beispiele (2) f (x) = { x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) Zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 : 1. Die Kette wird konstant. also x0 x 1 x 2 x i = x i+1 = x i+2 = = n. also jedenfalls i x i = n ; zwei Unterfälle: Wenn n = u j ist, dann ist wegen f (u j ) = u j ist auch i f (x i) = u j, also ist f ( i x i) = i f (x i). Wenn n N 0 ist, dann ist f ( i x i) = f (n ) = n + 1. Andererseits ist die Kette der Funktionswerte f (x 0) f (x 1) f (x 2) f (x i ) = f (x i+1 ) = f (x i+2 ) = = f (n ) = n + 1. Also ist f ( i x i) = i f (x i). 2. Die Kette wird nicht konstant. dann alle xi N 0 und die Kette wächst unbeschränkt gleiches gilt für Kette der Funktionswerte. Also haben beide Ketten Supremum u 1 und wegen f (u 1 ) = u 1 ist f ( i x i) = i f (x i). Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 65/77

Stetige Abbildungen: Beispiele (3) N = N 0 {u 1, u 2 } mit wie eben Abbildung g : N N mit x + 1 falls x N 0 g(x) = u 2 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 ist nicht stetig Unterschied zu f : g(u 1 ) = u 2 unbeschränkt wachsende Kette x 0 x 1 x 2 natürlicher Zahlen hat Supremem u 1 also g( i x i) = u 2, aber Kette der Funktionswerte g(x 0 ) g(x 1 ) g(x 2 ) hat Supremem i g(x i) = u 1 g( i x i). Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 66/77

Fixpunktsatz Satz Es sei f : D D eine monotone und stetige Abbildung auf einer vollständigen Halbordnung (D, ) mit kleinstem Element. Elemente x i D seien wie folgt definiert: x 0 = i N 0 : x i+1 = f (x i ) Dann gilt: 1. Die x i bilden eine Kette: x 0 x 1 x 2. 2. Das Supremum x f = i x i dieser Kette ist Fixpunkt von f, also f (x f ) = x f. 3. x f ist der kleinste Fixpunkt von f : Wenn f (y f ) = y f ist, dann ist x f y f. Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 67/77

Fixpunktsatz: Beweis 1. Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn xi x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. 2. Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f Wegen Stetigkeit von f ist f (x f ) = f ( i x i) = i f (x i) = i x i+1. Folge der xi+1 unterscheidet sich von Folge der x i nur durch fehlendes erstes Element. Also haben beide Folgen das gleiche Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (xf ) = x f 3. Behauptung: x f ist kleinster Fixpunkt. Sei f (y f ) = y f. Induktion lehrt: i N 0 : x i y f. also ist y f eine obere Schranke der Kette, also ist gilt für die kleinste obere Schranke: xf = i x i y f. Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 68/77

Fixpunktsatz: Beweis 1. Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn xi x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. 2. Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f Wegen Stetigkeit von f ist f (x f ) = f ( i x i) = i f (x i) = i x i+1. Folge der xi+1 unterscheidet sich von Folge der x i nur durch fehlendes erstes Element. Also haben beide Folgen das gleiche Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (xf ) = x f 3. Behauptung: x f ist kleinster Fixpunkt. Sei f (y f ) = y f. Induktion lehrt: i N0 : x i y f. also ist y f eine obere Schranke der Kette, also ist gilt für die kleinste obere Schranke: x f = i x i y f. Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 68/77

Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Halbordnungen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv vollständige Halbordnungen: jede aufsteigende Kette hat Supremum stetige Abbildungen: f ( x i ) = f (x i ) Fixpunktsatz Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von (vollständigen) Halbordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Halbordnungen gewöhnen (Unendlichkeit lässt grüßen) (siehe auch gleich) Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen 69/77

Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen Kongruenzrelationen Verträglichkeit von Relationen mit Operationen Wohldefiniertheit von Operationen mit Äquivalenzklassen Halbordnungen Grundlegende Definitionen Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Stetige Abbildungen auf vollständigen Halbordnungen Ordnungen Ordnungen 70/77

Totale Ordnungen: Definition Relation R M M ist eine Ordnung oder genauer totale Ordnung, wenn R Halbordnung ist und gilt: x, y M : xry yrx Es gibt keine unvergleichbaren Elemente. Beispiele: (N 0, ) (Z Z, ) mit (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) x 1 < y 1 (x 1 = y 1 x 2 y 2 ) ({a, b}, 1 ) mit 1 wie im Wörterbuch Ordnungen 71/77

Totale Ordnungen auf A Relation p auf {a, b} : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 ist keine totale Ordnung z. B. sind a und b unvergleichbar Wie kann man aus p eine totale Ordnung machen? jedenfalls totale Ordnung A auf A nötig, z. B. a A b und dann? mehrere Möglichkeiten, z. B. wie im Wörterbuch, oder... Ordnungen 72/77

Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) Seien w 1, w 2 A Sei v A das maximal lange Präfix, so dass es u 1, u 2 A gibt mit w 1 = v u 1 und w 2 = v u 2. v ist immer eindeutig bestimmt. Fallunterscheidung: 1. Falls v = w 1 ist, gilt w 1 1 w 2 2. Falls v = w 2 ist, gilt w 2 1 w 1 3. Falls w 1 v w 2, gibt es x, y A und u 1, u 2 A mit x y und w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 Dann gilt w 1 1 w 2 x A y. Beispiele Klaus kommt vor Klausur Klausur kommt vor Übung (im Duden, aber nicht im Studium!) Ordnungen 73/77

Lexikographische Ordnung 1 (2) Wenn man nur endlich viele Wörter ordnen muss (Wörterbuch), dann harmlos ; Beispiel: a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 ab 1 aba 1 abbb 1 b 1 baaaaaa 1 baab 1 bbbbb wenn man A ordnet, nicht ganz so harmlos; unvollständig ε 1 a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 besitzt kein Supremum, denn jedes Wort, das mindestens ein b enthält, ist obere Schranke, zu jeder oberen Schranke w ist a w b ist eine echt kleine obere Schranke (weil w ein b enthält) b 1 ab 1 aab 1 aaab 1 aaaab 1 hat kein Infimum Ordnungen 74/77

Lexikographische Ordnung 2 andere lexikographische Ordnung 2 auf A : w 1 2 w 2 gilt genau dann, wenn entweder w 1 < w 2 oder w1 = w 2 und w 1 1 w 2 gilt. Diese Ordnung beginnt also z. B. im Fall A = {a, b} bei naheliegender Ordnung A so: ε 2 a 2 b 2 aa 2 ab 2 ba 2 bb 2 aaa 2 2 bbb 2 aaaa 2 2 bbbb Ordnungen 75/77

1 und 2 sind totale Ordnungen 1 auf Menge A n aller Wörter fester Länge n ist totale Ordnung Halbordnung: nachprüfen... für verschiedene Wörter gleicher Länge niemals w1 = v oder w 2 = v. da A als total vorausgesetzt wird, ist bei w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 stets x A y oder y A x also stets w 1 1 w 2 oder w 2 1 w 1. also 2 auf A totale Ordnung 1 für verschieden lange Wörter: nachprüfen... Ordnungen 76/77

Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: totale Ordnungen sind Halbordnungen ohne unvergleichbare Elemente Anwendung an diversen Stellen in der Informatik (z. B. Semantik, Testmuster,... ) Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von totalen Ordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Ordnungen gewöhnen (Unendlichkeit lässt grüßen) Ordnungen 77/77