HYPERBOLISCHE SYMMETRIEN

HYPERBOLISCHE SYMMETRIEN Nina Dietsche Robert Papin Technische Universität München Seminar: Kombinatorische und Algebraische Strukturen in der Geometrie Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Dipl.-Inf. Martin von Gagern im Sommersemester 2010 Zusammenfassung: Die Hyperbolische Geometrie ist nicht nur aus historischen Gründen - als Alternativmodell zur Euklidischen Geometrie - interessant. Sie zeichnet sich auch durch interessante Querverbindungen zur komplexen Analysis, zur Algebra und Gruppentheorie sowie zur Differentialgeometrie und niedrigdimensionalen Topologie aus. Die folgende Arbeit beschäftigt sich mit den Grundlagen der hyperbolischen Geometrie und führt von den unterschiedlichen Repräsentationsmodellen über die Isometrien in der hyperbolischen Ebene hin zu den hyperbolischen Symmetrien.

Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen. (Galileo Galilei) 2

INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 4 1.1 Axiome der euklidischen Geometrie............... 5 1.2 Notwendigkeit des Parallelenaxioms.............. 5 1.3 Nichteuklidische Geometrien................... 6 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie 9 2.1 H + -Modell............................ 9 2.2 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E......... 10 2.3 Beltrami-Klein Modell...................... 12 3 Isometrien und Möbiustransformationen 13 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene............ 13 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen.......... 15 4 Hyperbolische Spiegelungen und Drehungen 17 4.1 Spiegelungsgruppen....................... 18 4.2 Hyperbolische Parkettierungen................. 19 4.3 Drehgruppen........................... 20 5 Hyperbolische Ornamente 20 6 Ausblick 21

1 EINFÜHRUNG 4 1 Einführung Euklid von Alexandria (ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker. Sein Werk Elemente (griech. Stoicheia) ist über 2000 Jahre alt und bis in das letzte Jahrhundert das meistverkaufte Werk nach der Bibel. Es kann mit Recht als eines der bedeutendsten Werke der mathematischen Literatur betrachtet werden. Die Elemente bestehen aus insgesamt 13 Lehrbüchern 1, die sich mit unzähligen Themen u.a. aus den folgenden mathematischen Gebieten beschäftigen: Ebene Geometrie Proportionalitätslehre Ähnlichkeitslehre Zahlentheorie Irrationalitäten Raumgeometrie Hierbei muss erwähnt werden, dass die Elemente inhaltlich nicht die eigene Leistung Euklids darstellen, sondern dieser vielmehr wichtige mathematische Grundlagen aus älteren Schriften zusammengetragen und - darin besteht die eigentliche Leistung Euklids - in einer didaktisch ansprechenden Weise systematisch präsentiert hat. Das Werk baut auf insgesamt 23 Definitionen und fünf sogenannten Postulaten, den Axiomen der euklidischen Geometrie, auf. Bemerkenswert ist, dass allein daraus alle 465 Sätze der Elemente hergeleitet werden können. Abbildung 1: Euklid von Alexandria 2 1 [On1] http://did.mat.uni-bayreuth.de/mmlu/pythagoras/lu/elemente.html 2 [On2] http://www.im-blog.com/biographien/euklid-von-alexandria/

1 EINFÜHRUNG 5 Abbildung 2: Parallelenaxiom 1.1 Axiome der euklidischen Geometrie Die fünf Axiome lauten im Einzelnen wie folgt 3 : 1. Es ist möglich, eine Strecke von jedem beliebigen Punkt zu einem anderen Punkt zu zeichnen. 2. Es ist möglich, eine Strecke beliebig zu erweitern. 3. Es ist möglich, einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen. 4. Alle rechten Winkel sind gleich. 5. Wenn eine Strecke zwei Strecken schneidet und die Innenwinkel auf der gleichen Seite (in der Summe) weniger als zwei rechte Winkel sind, so treffen sich die zwei Strecken auf der Seite, auf der die Winkel weniger als zwei rechte Winkel sind (Parallelenaxiom). Bemerkungen: Im Folgenden bezeichnen wir eine in beide Richtungen ins Unendliche erweiterte Strecke als Gerade. Vereinfacht ausgedrückt besagt das Parallelenaxiom, dass es zu einer gegebenen Geraden g und einem Punkt P, der außerhalb dieser Geraden liegt, höchstens eine parallele Gerade geben kann (siehe hierzu die Abbildung 2). 1.2 Notwendigkeit des Parallelenaxioms Auffallend ist, dass sich das fünfte euklidische Axiom in seiner Komplexität wesentlich von den anderen vier Axiomen unterscheidet. Für mehr als 2000 Jahre stellte man sich die Frage, ob dieses Axiom (unter anderem evtl. auch wegen der Komplexität) für die Definition der euklidischen Geometrie entbehrlich ist, diese also allein aus den ersten vier Axiomen aufgebaut werden 3 [Scr] Scriba, Christoph J., Schreiber, Peter: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). 2. Auflage. Springer, 2005

1 EINFÜHRUNG 6 kann. Viele berühmte Mathematiker (z.b. Archimedes, Lambert, Legendre) scheiterten am Parallelenproblem 4. Viele Versuche scheiterten allein an der Tatsache, dass die Beweise Aussagen enthielten, die alle äquivalent zum Parallelenaxiom sind, nach [On4] z.b. Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Gerade durch P, die g nicht schneidet. Es gibt ein Rechteck (ein Viereck mit vier rechten Winkeln). Die Winkelsumme in jedem Dreieck ist 180. Es gibt ähnliche Dreiecke, d.h. Dreiecke bei denen entsprechende Winkel übereinstimmen, aber nicht entsprechende Seiten. Eine weitere äquivalente Aussage ist beispielsweise der Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate in einem rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Hier kann man sofort auf die Metrik eines nicht-euklidischen Raumes schließen: diese kann nicht durch den Satz des Pythagoras gegeben sein. 1.3 Nichteuklidische Geometrien Der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß erkannte als Erster, dass das Parallelenproblem grundsätzlich unlösbar ist, veröffentlichte seine Erkenntnisse aber nicht. János Bolyai und Nikolai Ivanowitsch Lobatschweski gelang im Jahr 1825 (unabhängig voneinander und fast zeitgleich) die Konstruktion einer Geometrie aus den ersten vier Axiomen, in denen das fünfte Axiom nicht gilt 5. Man erhält also nicht-euklidische Geometrien, indem man das Parallelenaxiom verändert. Die grundlegenden Änderungsmöglichkeiten sind nach [On4]: 1. Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es unendlich viele Geraden durch P, die g nicht schneiden. 2. Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es keine einzige Gerade durch P, die g nicht schneidet. Die Abbildung 3 veranschaulicht den ersten Fall. Durch die entsprechende Abänderung des fünften Axioms erhält man eine hyperbolische Geometrie. Den zweiten Fall kann man sich beispielsweise zweidimensional durch die Geometrie auf einer Kugeloberfläche (S 2 ) vor Augen führen, wie in Abbildung 4 dargestellt. Durch die Abänderung des fünften Axioms erhält man 4 [On3] http://eom.springer.de/f/f040110.htm 5 [Hen] Hentschel, Klaus: Vorlesung über die nicht-euklidische Geometrie. Universität Stuttgart, 2010

1 EINFÜHRUNG 7 Abbildung 3: unendlich viele parallele Geraden zu L durch P 6 Abbildung 4: elliptische Geometrie auf der Kugeloberfläche 7 hier eine elliptische Geometrie. An dieser Stelle soll noch kurz auf zwei wichtige geometrische Begriffe im Kontext des hyperbolischen und elliptischen Falls eingegangen werden: die Parallelität zweier Geraden und die Winkelsumme im Dreieck. Die Parallelität zweier Geraden bedeutet im hyperbolischen Fall lediglich, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben, jedoch nicht, dass sie überall den gleichen Abstand haben sowie keinen gemeinsamen Fernpunkt. Dies werden wir im folgenden Kapitel noch näher beleuchten. Im elliptischen Fall existieren keine parallelen Geraden. Das wiederum kann man sich sehr schön auf der Kugeloberfläche klar machen: Geraden sind Großkreise, die durch die beiden Pole der Kugel verlaufen. Sie schneiden sich stets in zwei Punkten, pdf 6 [On4] http://kortenkamps.net/papers/2000/euklidisch-nichteuklidisch.pdf 7 [On5]http://www.hopfenwiesen.de/download/sphaerGeometriePraesentation.

1 EINFÜHRUNG 8 den beiden Polen, und sind somit nicht parallel (siehe Abbildung 4). Während die Winkelsumme im elliptischen Fall stets größer als 180 ist, so hat die Winkelsumme im hyperbolischen Dreieck stets einen Wert, der kleiner als 180 ist. Wie es dazu kommt, werden wir uns ebenfalls in einem späteren Kapitel vor Augen führen. Um ein erstes Verständnis für die hyperbolische Geometrie zu erlangen, beschäftigen wir uns im kommenden Kapitel zunächst mit ein paar grundlegenden Modellen, welche die Basis für alle noch folgenden Betrachtungen darstellen werden.

2 MODELLE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 9 2 Modelle der hyperbolischen Geometrie Zur Veranschaulichung der hyperbolischen Geometrie existieren zahlreiche Modelle. Um den Rahmen dieser Arbeit nicht zu sprengen, werden wir im Folgenden drei grundlegende Modelle betrachten. Jedes dieser Modelle benutzt Elemente der euklidischen Geometrie, jedoch jeweils in einem ganz anderen Zusammenhang. So kann beispielsweise ein Polygon in jedem der Modelle verschiedenartig aussehen, und das, obwohl es dieselbe Punktmenge beschreibt. Dies ist darauf zurückzuführen, dass jedem der betrachteten Modelle eine andere Metrik zugrunde liegt 8. Es ist möglich, zwischen den einzelnen Modellen umzurechnen, wobei Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie vom verwendeten Modell unabhängig sind. Es ist wichtig, sich für alle weiteren Betrachtungen stets vor Augen zu halten, dass es nur eine (abstrakte) hyperbolische Geometrie gibt, jedoch mehrere Modelle existieren, um diese darzustellen. 2.1 H + -Modell Abbildung 5: H + -Modell 9 Das erste Modell, welches wir behandeln, ist das Grundmodell H + (auch Minkowski-Modell genannt). Es verwendet als Punktmenge die Oberfläche des rechten zweischaligen Hyperboloids, der durch die Gleichung x 2 1 + x2 2 x 2 0 = 1 gegeben ist. Die Abbildung 5 veranschaulicht dies. Hyperbolische Geraden sind im H + -Modell Hyperbeln, die durch Schnitte von durch den Ursprung verlaufenden euklidischen Ebenen mit dem Hyperboloid entstehen. Der große Vorteil des H + -Modells liegt in der Analogie zur sphärischen Geometrie S 2. Viele Gesetze, die für H + gelten, haben eine große Ähnlichkeit zu den entsprechenden Gesetzen in S 2. Die folgende Tabelle zeigt die Ähnlichkeit 8 [On6] http://www.mathe-seiten.de/hypergeom.pdf 9 [On7] http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf

2 MODELLE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 10 der beiden Modelle auf: Ht+ S 2 Form der Grundfläche Einheitshyperbel x 2 y 2 = 1 Einheitskreis x 2 + y 2 = 1 parametrisiert durch (cosh(t), sinh(t)), t R (cos(t), sin(t)), t R quadratische Form σ(x, y) := x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 σ(x, y) := 2 i=0 x iy i Punktmenge R 3 H + := {x R 3 ; q(x) = 1, x 0 > 0} S 2 := {x R 3 ; q(x) = 1} Metrik d(x, y) := arcosh(σ(x, y)) d(x, y) := arccos(σ(x, y)) für x = x 0 x 1 x 2, y = y 0 y 1 y 2 H+ bzw. S 2 und q(x) := σ(x, x) Ein Nachteil des H + -Modells besteht darin, dass sich die Geometrie auf dem Hyperboloid zeichnerisch teils nur sehr schwer realisieren lässt, so beispielsweise bei Geradenspiegelungen. Das folgende Modell ist in dieser Hinsicht weitaus besser geeignet. 2.2 Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E Abbildung 6: Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E 10 Abbildung 7: hyperbolische Geraden im Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodell E 11 10 [On7] http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf 11 [On7] http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf

2 MODELLE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 11 Um das Poincaré sches Einheitskreisscheibenmodell E zu erhalten, bildet man das H + -Modell auf eine Teilmenge des R 2 ab, die offene Einheitskreisscheibe E:= {x = (x 1, x 2 ) R 2 ; x < 1}. E ergibt sich also durch die Zentralprojektion von ( 1, 0, 0) auf die (x 1, x 2 )-Ebene. Die Abbildung 6 veranschaulicht dies. Punkte, die im H + -Modell auf dem Hyperboloid weit außen liegen, werden im Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodell E also sehr nah an den Kreisrand projeziert. Die hyperbolischen Geraden in E sind entweder Kreisbögen in E, die den Rand von E senkrecht schneiden, oder Durchmesser von E (siehe Abbildung 7). Die Durchmesser kann man hierbei einfach als Kreisbögen unendlich großer Kreise sehen, die den Rand von E senkrecht schneiden. Die hyperbolische Winkelmessung entspricht in diesem Fall der euklidischen, d.h. der Winkel zwischen zwei Kreisbögen wird über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt. Die hyperbolische Längenmessung erfolgt im Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodell E durch eine spezielle Distanzfunktion. Wir fassen die Ebene E als komplexe Zahlenebene auf, wobei der hyperbolische Abstand zweier Punkte A und B mit Hilfe des (komplexen) Doppelverhältnisses (a, b, p, q) definiert wird: d(a, B) := ln( (a q) (b p) (b q) (a p) ) Hierbei sind a, b, p, q die Koordinaten der Punkte A, B, P, Q. Die geometrische Interpretation des beschriebenen Doppelverhältnisses zeigt die Abbildung 8. Abbildung 8: Längenmessung im Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodell E 12 12 [On7] http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf

2 MODELLE DER HYPERBOLISCHEN GEOMETRIE 12 2.3 Beltrami-Klein Modell Das Modell von Beltrami-Klein ist sehr einfach gehalten. Die hyperbolische Ebene wird durch die offene Einheitskreisscheibe E := {x = (x 1, x 2 ) R 2 ; x < 1} (oder einen anderen Kegelschnitt) modelliert. Man erhält das Modell durch vertikale Projektion von S 2 + auf die x 1, x 2 -Ebene. Die hyperbolischen Geraden entsprechen somit euklidischen Kreissehnen (siehe Abbildung 9). Abbildung 9: Geraden im Beltrami-Klein Modell Anhand des Modells von Beltrami-Klein kann man sich in Abbildung 9 sehr schön die Parallelität zweier Geraden in der hyperbolischen Welt vor Augen führen. Die Geraden e und g sind parallel, da sie sich weder im Inneren des Modells noch auf dessen Rand treffen. Man nennt diese daher auch divergent oder ultraparallel. Die beiden Geraden e und f haben im Inneren der Kreisscheibe keinen Punkt gemeinsam, treffen sich aber auf dem Rand des Modells (im Unendlichen). Man bezeichnet e und f daher auch als asymptotisch parallel. Falls beide Geraden weder im Inneren des Modells noch auf dessen Rand einen Punkt gemeinsam haben, so sind diese nicht parallel. Dies trifft für die Geraden f und g zu. Längen werden im Beltrami-Klein-Modell durch eine spezielle Distanzfunktion definiert. Da man (wie auch im Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodell) Strecken beliebiger Länge zeichnen möchte, man aber mit der offenen Einheitskreisscheibe nur eine begrenzte Ebene zur Verfügung hat, muss auch hier die Metrik entsprechend angepasst werden. Man definiert diese wieder mit Hilfe des Doppelverhältnisses, d.h. der hyperbolische Abstand d(a, B) zweier Punkte A und B im Inneren der Kreisscheibe wird definiert als: d(a, B) := 1 2 ln( RA SB RB SA ) Hierbei sind R und S die Schnittpunkte der Geraden durch A und B mit dem Kreisrand (siehe Abbildung 8).

3 ISOMETRIEN UND MÖBIUSTRANSFORMATIONEN 13 3 Isometrien und Möbiustransformationen In diesem Kapitel wollen wir uns mit den Isometrien in der hyperbolischen Ebene beschäftigen. Wir benutzen das Modell von Poincaré und untersuchen zunächst, welche Isometrien möglich sind. Im weiteren Verlauf stossen wir dabei auf eine bestimmte Art von Abbildungen, bei denen sich gewisse Spezialfälle als Isometrien herausstellen werden: die Möbiustransformationen. 3.1 Isometrien in der hyperbolischen Ebene In der hyperbolischen Ebene gibt es (wie im Euklidischen) genau vier verschiedene Isometrien: Reflexion/Spiegelung Rotation/Drehung (Spezialfall: Grenzdrehung) Translation/Verschiebung Gleitspiegelung Wir betrachten im Folgenden zunächst den Fall der Spiegelung, im Hyperbolischen auch Inversion am Kreis genannt (siehe Abbildung 10). Gegeben sei ein euklidischer Kreis K (mit Mittelpunkt S und euklidischem Radius r), der die hyperbolische Ebene D schneidet. Die Schnittmenge ist dabei die hyperbolische Gerade a. Man bestimmt nun einen Punkt P innerhalb von D, der an a gespiegelt werden soll. Wir bezeichnen den zu erhaltenden Bildpunkt mit Q. Dieser liegt auf der euklidischen Geraden durch P und S innerhalb von D. Q wird dabei so gewählt, so dass e(p, S) e(q, S) = r 2 (*) gilt. Abbildung 10: Inversion am Kreis 13 13 [Ros] Rosebrock, Stephan: Geometrische Gruppentheorie: Ein Einstieg mit dem Computer. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004

3 ISOMETRIEN UND MÖBIUSTRANSFORMATIONEN 14 Falls a ein Durchmesser in D ist, dann handelt es sich um eine gewöhnliche euklidische Spiegelung. Liegt P auf a, so ist e(p, S) = r. Daraus folgt mit (*) sofort, dass e(q, S) = r ist. Da Q auf der euklidischen Geraden durch P und S liegt, gilt demnach P = Q. Die Spiegelgerade a bleibt also unter der Spiegelung fix. Für den Fall, dass P auf dem Rand von D liegt, erhält man als Spiegelpunkt Q ebenfalls wieder einen Randpunkt. Eine Drehung um einen Punkt P (Schnittpunkt zweier Geraden) erhält man, indem man jeden Punkt des zu drehenden Objekts an den beiden sich schneidenden Geraden nacheinander spiegelt. Man geht also wie im euklidischen Fall vor, wobei der Drehwinkel der doppelte Winkel der beiden Spiegelachsen ist. Die Tatsache, dass Drehungen auf die gleiche Art und Weise wie im Euklidischen funktionieren, liegt daran, dass der entsprechende Beweis das fünfte Axiom nicht benutzt. Ein Spezialfall der Drehung ist die sogenannte Grenzdrehung. Hierbei wird an zwei asymptotischen Geraden hintereinander gespiegelt, d.h. man dreht um einen Punkt im Unendlichen (siehe Abbildung 11). Abbildung 11: Grenzdrehung 14 Das Produkt zweier Spiegelungen entlang paralleler Geraden bezeichnet man auch als Translation. Diese verläuft senkrecht zu den Spiegelachsen um das Doppelte ihres Abstands (siehe Abbildung 12). Hierbei ist g senkrecht zu a durch P und h senkrecht zum Mittelpunkt der Strecke von P nach Q. Die hyperbolischen Geraden g und h sind parallel, da beide auf a senkrecht stehen. τ = s h s g ist in diesem Fall eine Translation, wobei s x die Spiegelung an der Geraden x ist (x {g, h}). Eine Gleitspiegelung ist analog zum Euklidischen das Produkt einer Spiegelung und einer Translation. 14 [Ros] Rosebrock, Stephan: Geometrische Gruppentheorie: Ein Einstieg mit dem Computer. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004

3 ISOMETRIEN UND MÖBIUSTRANSFORMATIONEN 15 Abbildung 12: Translation 15 Es gibt also ebenfalls genau vier Isometrietypen im Hyperbolischen. Hierbei stellt man fest, dass Geraden durch Isometrien wieder in Geraden übergehen und Winkel durch Isometrien ihre Größe nicht ändern. Eine interessante Folgerung dieser beiden Tatsachen ist der Satz über die Winkelsumme eines hyperbolischen Dreiecks, welcher besagt, dass diese stets kleiner als 180 ist. In Kapitel 4 werden wir diese zunächst verblüffend erscheinende Aussage näher untersuchen. Im Folgenden wollen wir jedoch zunächst noch eine spezielle Art von Abbildungen untersuchen, bei denen sich bestimmte Spezialfälle als Isometrien des Poincaré schen Einheitskreisscheibenmodells E herausstellen werden: die Möbiustransformationen. 3.2 Isometrien von E, Möbiustransformationen Bei der Betrachtung von Isometrien ist es oft zweckmässiger zur komplexen Darstellung überzugehen. Wir identifizieren den R 2 mit C und definieren die offene Einheitskreisscheibe E wie folgt: E := {z C; z < 1}. Als Szenario wählen wir die bereits in Kapitel 3.1 betrachtete Inversion am Kreis. Der Punkt p wird am Kreis K gespiegelt und damit auf den Punkt p im Inneren des Kreises abgebildet (siehe Abbildung 13). Es gilt für die betrachtete Abbildung φ: φ(p) = p und φ(p ) = p, d.h. offensichtlich ist φ 2 = id. Die Abbildung ist jedoch nicht für alle Punkte p definiert, sie hat Lücken: φ(p) für p m. Wie können wir nun dafür sorgen, dass unsere Abbildung total ist? Wir erweitern unseren Definitionsbereich R 2 bzw. C einfach um den Punkt und definieren ˆR 2 :=R 2 { } bzw. Ĉ:=C { }. Für einen Punkt p ˆR 2 lässt sich somit die folgende Abbildungsgleichung aufstellen: 15 [Ros] Rosebrock, Stephan: Geometrische Gruppentheorie: Ein Einstieg mit dem Computer. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004

3 ISOMETRIEN UND MÖBIUSTRANSFORMATIONEN 16 m + r2 (p m), falls p m, p φ(p) = p p m 2 =, falls p = m m, falls p = Wir betrachten die obige Abbildungsgleichung nun für den Fall p m und p. In Ĉ gilt: p m 2 = (p m) (p m) = (p m) (p m) φ(p) = p = m + mit p C, p, p m r2 p m Bringt man alles auf einen Nenner und formt etwas um, so erhält man insgesamt: Der Quotient hat also die Form φ(p) = mp+(r2 m 2 ) p m ( a b mit p, a, b, c, d C,wobei det c d φ(p) = ap+b cp+d (**) ) 0. Eine Abbildung der Form (**) heißt auch Antimöbiustransformation, ihr Pendant φ(p) = ap+b cp+d heißt Möbiustransformation. Beide Begriffe fasst man auch als allgemeine Möbiustransformation zusammen. Abbildung 13: Inversion am Kreis 16 Wie man leicht nachrechnen kann, ergibt die Komposition zweier Möbiustransformationen bzw. zweier Antimöbiustransformationen wieder eine Möbiustransformation. 16 [On7] http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf

4 HYPERBOLISCHE SPIEGELUNGEN UND DREHUNGEN 17 So ist beispielsweise die in Abbildung 13 betrachtete Inversion am Kreis eine Antimöbiustransformation, die zweimalige Hintereinanderausführung einer solchen Kreisinversion, d.h. eine Drehung, ergibt jedoch eine Möbiustransformation. Die allgemeinen Möbiustransformationen haben viele interessante Eigenschaften. Zwei Aspekte möchten wir an dieser Stelle noch kurz erwähnen: Die allgemeinen Möbiustransformationen bilden Geraden und Kreise auf Geraden und Kreise ab. Die allgemeinen Möbiustransformationen bilden bzgl. der Komposition eine Gruppe, die allgemeine Möbiusgruppe. Auf die einfachen Beweise der beiden Aussagen wollen wir hier verzichten. Sie seien dem geneigten Leser als Übungsaufgabe überlassen. Wir haben in Kapitel 3.1 die vier hyperbolischen Isometrien kennengelernt, insbesondere Spiegelungen und Drehungen. Im folgenden Kapitel wollen wir diese beiden Isometrietypen aus algebraischer Sicht etwas näher betrachten. Wir stossen dabei auf Spiegelungs- und Drehgruppen, mit deren Hilfe sich -angewandt auf ein hyperbolisches Ausgangsdreieck- wunderschöne Pflasterungen der Ebene ergeben. 4 Hyperbolische Spiegelungen und Drehungen Den Startpunkt für unsere folgenden Betrachtungen bildet das hyperbolische Ausgangsdreieck in Abbildung 14. Abbildung 14: Konstruktionsskizze des hyperbolischen Ausgangsdreiecks 17 Die Seite BC des euklidischen Dreiecks ABC wird durch einen Kreisbogen ersetzt, der durch B und C verläuft. Dieser soll im Inneren des euklidischen Dreiecks ABC liegen. Aus der Konstruktionsskizze ist sofort ersichtlich, dass die Winkelsumme des entstandenen hyperbolischen Dreiecks nun einen Wert kleiner als 180 haben muss: α + β + γ < π. 17 [On8] http://www.claus-rohrbach.de/symm-home.pdf

4 HYPERBOLISCHE SPIEGELUNGEN UND DREHUNGEN 18 4.1 Spiegelungsgruppen Das hyperbolische Ausgangsdreieck ABC werden wir nun an seinen drei Seiten AB, BC und AC spiegeln. Wir bezeichnen die Spiegelung an AC mit S 1, die Spiegelung an AB mit S 2 und die Spiegelung an BC mit S 3. Die drei Spiegelungen bilden eine Gruppe, die man auch als Spiegelungsgruppe < S 1, S 2, S 3 > bezeichnet. Hierbei sind S 1, S 2 und S 3 das Erzeugendensystem der Spiegelungsgruppe. Jede Spiegelung ist zu sich selbst invers, da die zweimalige Hintereinanderausführung einer Spiegelung die Identität ergibt: S x S x = id für x {1, 2, 3} Sehr lange Kompositionen von Spiegelungen des Dreiecks an seinen drei Seiten können aufgrund dieser Tatsache schrumpfen, wie das folgende Beispiel illustrieren soll: S 1 S 3 S 3 S 2 S 2 S 1 S 3 S 3 S 1 = S 1 Dennoch kann man sich leicht überlegen, dass die Spiegelungsgruppe unendlich viele Elemente enhalten muss. Dies soll die Abbildung 15 veranschaulichen. Abbildung 15: Unendlichkeit der Spiegelungsgruppe 18 In Z l und Z r befinden sich gleich viele Dreiecke, da Z l und Z r durch die Spiegelung an BC bijektiv aufeinander abgebildet werden. Durch eine Drehung um den Ursprung kann jedes Dreieck aus Z r schließlich in ein enstprechendes Bilddreieck in Z d überführt werden, wobei Z d Z l ist. Da diese Abbildung wiederum bijektiv ist, gilt also, dass Z l = Z r = Z d. Da aber Z d Z l gilt, muss Z l = sein. 18 [On8] http://www.claus-rohrbach.de/symm-home.pdf

4 HYPERBOLISCHE SPIEGELUNGEN UND DREHUNGEN 19 4.2 Hyperbolische Parkettierungen Wie bereits in Kapitel 3.1 festgestellt, entspricht die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen S 1 und S 2 einer Drehung D 2α (A) um den doppelten Winkel α der beiden Spiegelachsen, wobei A das Drehzentrum ist. Unter einer hyperbolischen Parkettierung versteht man nach [On8] nun die lückenlose, überlappungsfreie und regelmäßige Überdeckung der Ebene durch hyperbolische Dreiecke (Parkettsteine). Wenn man sich das hyperbolische Ausgangsdreieck betrachtet, so muss die Drehung D 2α (A) mindestens k-mal wiederholt werden, um wieder zum hyperbolischen Ausgangsdreieck zu gelangen. Wir fordern, dass dieses kleinste k N die Gleichung D 2α (A) k = (S 1 S 2 ) k = id erfüllt. Es muss also gelten: 2αk = 2π und das Drehzentrum A hat die Ordnung k. Analog gehen wir für die beiden anderen Drehungen des hyperbolischen Ausgangsdreiecks um die Drehzentren B und C vor und erhalten: 2βm = 2π 2γn = 2π Da wir bei der Konstruktion des hyperbolischen Ausgangsdreiecks eingangs gesehen haben, dass für die Winkelsumme α + β + γ < π gelten muss, kann man direkt folgern: α + β + γ = π k + π m + π n < π und damit schließlich 1 k + 1 m + 1 n < 1 (***) Den Ausdruck (***) nennt man auch Hyperbolizitätsbedingung. Zu der Spiegelungsgruppe < S 1, S 2, S 3 > gehört jedes Zahlentripel (k, m, n) (k, m, n N), das der Hyperbolizitätsbedingung genügt. Die unendliche Spiegelungsgruppe nennt man nach ihrem Entdecker Harold S. M. Coxeter auch Coxeter-Gruppe und bezeichnet sie mit T (k, m, n). Wendet man nun die Elemente S 1, S 2 und S 3 auf das hyperbolische Ausgangsdreieck unendlich oft an, so erhält man eine Parkettierung des Einheitskreises mit hyperbolischen Dreiecken. Bemerkenswert ist, dass es aufgrund der Hyperbolizitätsbedingung unendlich viele Möglichkeiten gibt, den

5 HYPERBOLISCHE ORNAMENTE 20 Einheitskreis mit hyperbolischen Dreiecken zu parkettieren. Im euklidischen Fall gilt hingegen lediglich 1 k + 1 m + 1 n = 1. Es gibt hier nur endlich viele Möglichkeiten, die Gleichung zu erfüllen. Dies sind die Tripel (3, 3, 3), (2, 4, 4) und (2, 3, 6). 4.3 Drehgruppen Wie wir bereits wissen, entspricht die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen S 1 und S 2 einer Drehung D 2α (A) um den doppelten Winkel α der beiden Spiegelachsen, wobei A das Drehzentrum ist. Daher bilden die Abbildungen aus T (k, m, n) eine Untergruppe T (k, m, n), die man auch als Drehgruppe bezeichnet. Die Untergruppe wird von den drei Drehungen D(A), D(B) und D(C) erzeugt. 5 Hyperbolische Ornamente In Kapitel 4.2 haben wir gesehen, dass man eine Parkettierung des Einheitskreises mit hyperbolischen Dreiecken erhält, wenn man die Elemente S 1, S 2 und S 3 der Spiegelungsgruppe auf das hyperbolische Ausgangsdreieck unendlich oft anwendet. Das entstehende Muster bezeichnet man auch als Ornament. Ein Ornament (lat.: ornare = zieren, schmücken ) ist ein meist sich wiederholendes, oft abstraktes oder abstrahiertes Muster. 19 In diesem Kapitel betrachten wir ein interessantes hyperbolisches Ornament. Dieses wurde mit dem Programm morenaments erstellt, das von Dipl.-Inf. Martin von Gagern, Mitarbeiter am Zentrum für Mathematik, TU München, im Rahmen seiner Dissertation entwickelt wird. Wir wissen bereits, dass ein hyperbolisches Dreieck ABC die Hyperbolizitätsbedingung erfüllen muss, d.h. für seine Winkel α, β und γ muss gelten, dass α + β + γ < 180. Wir haben uns ebenfalls überlegt, dass es unendlich viele Tripel (α,β,γ) gibt, die diese Bedingung erfüllen. Betrachten wir nun ein spezielles Tripel, das dieser Bedingung genügt: das Tripel (7,3,2). Das zugehörige Ornament ist in Abbildung 16 dargestellt. Wir nehmen an, dass das hyperbolische Ausgangsdreieck türkis gefärbt ist und die an das Dreieck angrenzenden Spiegelbilder schwarz gefärbt sind. Die Gruppe T (7, 3, 2) bildet die Dreiecke überlappungsfrei, lückenlos und in abwechselnder türkis/schwarz-färbung auf die hyperbolische Ebene ab. Auch die Auswirkungen der Drehgruppe T (7, 3, 2) auf das hyperbolische Ausgangsdreieck lassen sich an diesem Ornament studieren. Das türkis gefärbte Dreieck hat an seinen drei Ecken Drehzentren der Ordnung 2, 3 und 7. Das bedeutet, dass durch eine 2-, 3- bzw. 7-malige Rotation des Dreiecks um die 19 [Mey] Meyer, Franz Sales: Handbuch der Ornamentik. Seemann, Leipzig 1927, Nachdr. Seemann, Leipzig 1986

6 AUSBLICK 21 Abbildung 16: Hyperbolisches Ornament zur Gruppe T (7, 3, 2) 20 jeweilige Ecke dieses in sich selbst überführt werden kann. Die Drehgruppe erzeugt also die Vereinigung aller türkis gefärbten Dreiecke. 6 Ausblick Die nichteuklidische Geometrie spielt mittlerweile eine wichtige Rolle in der Kosmologie und theoretischen Physik. Da Schwerefelder den Raum krümmen, weicht die Geometrie des Weltalls von der euklidischen Geometrie ab. Eine der großen aktuellen Fragestellungen der Physik betrifft die Geometrie des Universums im Großen. Ist diese sphärisch (elliptisch), eben (euklidisch) oder hyperbolisch? Die mögliche Geometrie und Form des Universums hängt gemäß den Friedmann- Gleichungen, die die Universumentwicklung im Standard-Urknallmodell beschreiben, grundlegend von der Massendichte bzw. Energiedichte im Universum ab: Ist die Dichte kleiner als ein bestimmter Wert (auch als kritische Dichte bezeichnet), so wird die Geometrie als hyperbolisch bezeichnet. Ist die Massendichte gleich der kritischen Dichte, so ist die Geometrie flach, d.h. euklidisch. 20 erstellt mit dem Programm morenaments, entwickelt von Dipl.-Inf. Martin von Gagern, TU München

6 AUSBLICK 22 Ist die Massendichte größer als die kritische Dichte, so wird die Geometrie des Universums als sphärisch bezeichnet. Interessant ist hierbei der dritte Fall. Anders als beim euklidischen und hyperbolischen Fall würde sich ein Universum mit sphärischer Geometrie irgendwann nicht mehr ausdehnen, und, im Gegensatz zum Stillstand beim euklidischen Fall, wieder in sich zusammenstürzen. 21 21 [Haw] Hawking, Stephen: Das Universum in der Nussschale. Dtv München, 2003

LITERATUR 23 Literatur [Haw] [Hen] [Mey] [Ros] [Scr] [On1] [On2] [On3] [On4] [On5] [On6] [On7] [On8] Hawking, Stephen: Das Universum in der Nussschale. Dtv München, 2003 Hentschel, Klaus: Vorlesung über die nicht-euklidische Geometrie. Universität Stuttgart, 2010 Meyer, Franz Sales: Handbuch der Ornamentik. Seemann, Leipzig 1927, Nachdr. Seemann, Leipzig 1986 Rosebrock, Stephan: Geometrische Gruppentheorie: Ein Einstieg mit dem Computer. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004 Scriba, Christoph J., Schreiber, Peter: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). 2. Auflage. Springer, 2005 http://did.mat.uni-bayreuth.de/mmlu/pythagoras/lu/elemente.html letzter Zugriff am 17.07.2010 http://www.im-blog.com/biographien/euklid-von-alexandria/ letzter Zugriff am 17.07.2010 http://eom.springer.de/f/f040110.htm letzter Zugriff am 17.07.2010 http://kortenkamps.net/papers/2000/euklidisch-nichteuklidisch.pdf letzter Zugriff am 17.07.2010 http://www.hopfenwiesen.de/download/sphaergeometriepraesentation.pdf letzter Zugriff am 17.07.2010 http://www.mathe-seiten.de/hypergeom.pdf letzter Zugriff am 17.07.2010 http://augat.zsg-rottenburg.de/zula.pdf letzter Zugriff am 17.07.2010 http://www.claus-rohrbach.de/symm-home.pdf letzter Zugriff am 17.07.2010