Escher-Parkettierungen

Transkript

1 Escher-Parkettierungen Manfred Dobrowolski Universität Würzburg

2 Escher-Parkettierungen 1 Maurits Cornelis Escher 2 Symmetrien periodischer Parkettierungen 3 Escher-Parkette 4 Analyse einiger bekannter Bilder 5 Parkettierungen der hyperbolischen Ebene

3 Maurits Cornelis Escher ( ) Selbstporträt, Lithographie 1929

4 Frühe Werke Selbstporträt im Stuhl Papagei Holzschnitt 1920 Linolschnitt 1919

5 Erstes Parkett Acht Köpfe, Holzschnitt 1922

6 Italienische Periode Die Brücke Castrovalva Lithographie 1930 Lithographie 1930

7 Im Spiegel Stilleben mit sphärischem Spiegel, Lithographie 1934

8 Unmögliche Figuren Belvedere, Lithographie 1958

9 Unmögliche Figuren Druckgallerie, Lithographie 1956

10 Unmögliche Figuren Wasserfall, Lithographie 1961

11 Aus dem Alhambra-Palast1

12 Beispiele symmetrischer Kacheln Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln

13 Beispiele periodischer Parkette v v u Translationssymmetrie

14 Beispiele periodischer Parkette u u Gleitspiegelsymmetrie

15 Beispiele periodischer Parkette Dreh- und Spiegelsymmetrie

16 Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts.

17 Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist.

18 Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist. Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß man nicht.

19 Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist. Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß man nicht. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien.

20 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung:

21 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Umkehrung: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α

22 Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Umkehrung: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderschaltung der Abbildungen.

23 Die Untergruppe der Translationen Sind T u und T v die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v, so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien.

24 Die Untergruppe der Translationen Sind T u und T v die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v, so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien. T ij = T iu T jv, i, j sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe ( 2, +) isomorph ist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthält damit diese Untergruppe.

25 Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form n heißt Ordnung der Drehung. α = 2π n = 3600 n.

26 Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form n heißt Ordnung der Drehung. α = 2π n = 3600 n. Satz über die kristallographische Beschränkung: In jedem periodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4 oder 6.

27 Beweis der Kristallographischen Beschränkung Q P P α α Q Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip).

28 Beweis der Kristallographischen Beschränkung Q P P α α Q Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π/n und erhalten den Punkt P, der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist.

29 Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen werden folgendermaßen notiert: Spiegelachse Gleitspiegelachse Drehung der Ordnung 2 Drehung der Ordnung 3 Drehung der Ordnung 4 Drehung der Ordnung 6 Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommen nicht alle 17 Gruppen vor.

30 Gruppe p1 Es gibt nur Translationen, keine anderen Symmetrien.

31 Gruppe p2 Hell: Dunkel: Translative Zelle Kachel

32 Gruppe p3

33 Gruppe p4

34 Gruppe p6

35 Gruppe pg

36 Gruppe pgg

37 Laves-Netze charakterisieren periodische Parkette graphentheoretisch. Man geht im Gegenuhrzeigersinn die Kachel entlang und notiert von jedem Knoten die Zahl der Nachbarknoten. (6,3,3,3,3) Anzahl der Ecken der Kachel ist daraus auch zu ersehen.

38 Die 11 Laves-Netze I (3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3) (4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3)

39 Die 11 Laves-Netze II (12,12,3) (4,4,4,4) (8,8,4) (12,6,4) (6,6,6)

40 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt.

41 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen:

42 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T G C C n Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6

43 Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T G C C n Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt von Heinrich Heesch ( ).

44 Ein Beispiel Typ 19 TGTG Netz (4,4,4,4) D C Gruppe pg A B

45 Die 28 grundlegenden Escher-Parkette Ecken Netze ,12,3 p1 TTTTTT 2 TTTT 1 p2 TCCTCC 7 TCTCC 6 CCCC 4 CCC 3 TCTC 5 p3 C3C3C3C3C3C3 9 C3C3C2C2 8 p6 CC3C3C6C6 13 C3C3C6C6 12 CC6C6 11 CC3C3 10 p4 CC4C4C4C4 16 C4C4C4C4 15 CC4C4 14 pg TG1G1TG2G2 18 TG1G2TG2G1 20 G1G1G2G2 17 TGTG 19 TCCTCC 24 TCTGG 23 CCGG 22 pgg CG1CG2G1G2 28 CG1G2G1G2 27 CGCG 25 G1G2G1G2 26 CGG 21

46 Ecken Netze p1 TTTTTT 2 p2 TCCTCC 7 TCTCC 6 p3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 9 C 3 C 3 C 2 C 2 8 p6 CC 3 C 3 C 6 C 6 13 C 3 C 3 C 6 C 1 p4 CC 4 C 4 C 4 C 4 16

47 Beispiel Dreieck Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir für periodische Parkette die folgenden Möglichkeiten: CCC, CC? C?, CGG.

48 Beispiel Dreieck Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir für periodische Parkette die folgenden Möglichkeiten: CCC, CC? C?, CGG. CTT kannn nicht vorkommen, da zwei Dreiecksseiten immer einen Punkt gemeinsam haben.

49 Typ 3 Typ 3 CCC Netz (6,6,6) Gruppe p2 A B C Die Punkte A,B,C bilden ein beliebiges, nichtdegeneriertes Dreieck. Die Eckpunkte werden durch beliebige C-Linien miteinander verbunden.

50 Typ 10: Typ 10 C CC 3 C 3 Netz (12,12,3) Gruppe p6 A B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 120 o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.

51 Typ 10: Typ 10 C CC 3 C 3 Netz (12,12,3) Gruppe p6 A B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 120 o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie. Dies ist der einzige Typ, der von Escher nie realisiert wurde.

52 Typ 11 Typ 11 C CC 6 C 6 Netz (6,6,6) A 60 0 Gruppe p6 B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 60 o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie.

53 Typ 14 Typ 14 C CC 4 C 4 Netz (8,8,4) Gruppe p4 A 90 0 B Die Punkte A,B,C bilden ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck. Eine Kathete wird frei gewählt und auf die andere gedreht. Die dritte Seite besteht aus einer frei gewählten C-Linie.

54 Typ 21 Typ 21 C CGG Netz (6,6,6) B Gruppe pgg A Gleitspiegele die frei gewählte Linie AB auf BC mit Achse parallel zu AC mit gleichem Abstand zu A und B. Verbinde A und C mit einer beliebigen C-Linie.

55 C B D A Pegasus, Symmetriezeichnung 105, 1959 TTTT Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe p1 Typ 1

56 C D B A G 1G 1G 2G 2 Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe pg Typ 17 Reiter, The Regular Division of the Plane, 1957

57 C B D A C 4C 4C 4C4 Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe p4 Typ 15 Symmetriezeichnung 104, 1959

58 C 3C 3C 3C 3 C 3 C3 Laves-Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3 Typ 9 Symmetriezeichnung 25, 1939

59 D E C A F TG 1G 1TG 2G2 Laves-Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe pg Typ 18 B K. Moser: Forellenreigen, 1899

60 C B Symmetriezeichnung 56, 1942 D A C 3C 3C 6C6 Laves-Netz (6,4,3,4) Gruppe p6 Typ 12

61 E D A B C CG 1G 2G 1G2 Laves-Netz (4,3,4,3,3) Gruppe pgg Typ 27 Symmetriezeichnung 16, 1942

62 Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält,

63 Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist,

64 Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt.

65 Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt. Längentreue Karten des Globus kann es nicht geben.

66 Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt. Längentreue Karten des Globus kann es nicht geben. Normale Karten sind winkel- und maßstabstreu. Es gibt beliebig viele solcher Karten (=Projektionen), bei denen die Kontinente immer etwas unterschiedlich aussehen.

67 Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet.

68 Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter.

69 Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter. Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g durch P.

70 Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter. Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g durch P. Hyperbolisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es mindestens zwei Parallele g und g durch P.

71 Hyperbolische Geometrie Durch das hyperbolische Parallelenaxiom und die übrigen Axiome der euklidischen Geometrie ist die hyperbolische Geometrie eindeutig bestimmt. Es gibt keine einfache Darstellung dieser Geometrie, sondern nur unterschiedliche Karten wie es unterschiedliche Karten des Globus gibt.

72 Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene P Q P Punkte : Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der Stützgeraden. Geraden : Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der Stützgeraden einen rechten Winkel bilden.

73 Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene P Q P Punkte : Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der Stützgeraden. Geraden : Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der Stützgeraden einen rechten Winkel bilden. Diese Karte ist winkel- und maßstabstreu.

74 J. Leys: Monsters, 2005

75 Transformation auf den Einheitskreis Wir bilden die obere Halbebene auf den Einheitskreis der Ebene mit Hilfe einer Möbius-Transformation ab, nämlich in komplexer Schreibweise z z i z + i, was sich weniger elegant reell schreiben lässt, ( ) ( ) x 1 x 2 + y 2 1 y x 2 + (y + 1) 2. 2x

76 Transformation auf den Einheitskreis Die Möbius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildet Kreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab: (0,1) (1,0) (0,0)

77 Transformation auf den Einheitskreis Die Möbius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildet Kreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab: (0,1) (1,0) (0,0) Punkte : Punkte innerhalb des Einheitskreises Geraden : Kreissegmente des Einheitskreises, die den Rand im rechten Winkel schneiden.

78 Circle Limit III, 1959 Circle Limit IV, 1960