9-9 Strahlungsgleihungen Ein spontanes Ereignis bedarf keines nstoßes von außen, um ausgelöst zu werden. Das Liht thermisher Strahler, das wir visuell wahrnehmen, entsteht dadurh, dass eine Substanz bei hohen Temperaturen spontan Lihtquanten aussendet. Ein induziertes oder stimuliertes Ereignis erfolgt nur nah einem nstoß von außen. Demnah ist ein bsorptionsvorgang immer induziert (stimuliert). ber auh ein Emissionsvorgang kann induziert werden, wenn von außen eine Frequenz eingestrahlt wird, die der des emittierenden Übergangs entspriht. Wir betrahten zwei Energieniveaus eines isolierten Teilhens, siehe unten. Da die folgenden etrahtungen für zwei beliebige Zustände gelten, kann man sie allgemein mit i und j bezeihnen. Hier und in den nähsten beiden bshnitten setzen wir i und j 2. Es sei E 2 > E und E 2 E hν, wobei h 6,626 34 Js die Plank-Konstante ist. Die esetzungszahlen der Zustände sind 2 und. Energie E 2 E hν 2 ρ ν ρ ν bsorption Induzierte Emission Spontane Emission Die von den Teilhen beim Übergang absorbierte Energie wird durh Die Zahl der Teilhen, die vom Zustand in den Zustand 2 übergehen, ist d 2 w ν dt, (9.) wobei 2 w ν die bsorptionswahrsheinlihkeit mit der spektralen Energiedihte w ν bezeihnet. dw abs hν d (9.2) und die als Strahlung beim Übergang von 2 nah emittierte Energie durh dw em hν d 2 (9.3) beshrieben. Für die ilanz der Teilhen, die von 2 nah gehen, muss zusätzlih zur induzierten Übergangswahrsheinlihkeit w ν eine spontane Übergangswahrsheinlihkeit berüksihtigt werden: d 2 ( w ν + ) 2 dt. (9.4) Die Wahrsheinlihkeit hängt niht von äußeren Feldern ab. Die Wahrsheinlihkeit eines induzierten Übergangs ist dagegen das Produkt des -Koeffizienten mit der spektralen Energiedihte der äußeren Felder im Frequenzbereih zwishen ν und ν + dν. Die spektrale Energiedihte w ν hat die Dimension Energie pro Volumen und Frequenz. Oft wird anstelle dieser Größe die spektrale Strahldihte (Strahlungsdihte) L ν verwendet. L ν entspriht der Leistung, die im Frequenzbereih zwishen ν und ν + dν pro Fläheneinheit in einen Kegel mit dem Raumwinkel Ω ausgestrahlt wird. Der Raumwinkel Ω ist dadurh definiert, dass er auf der Oberflähe einer Kugel mit dem Radius m eine Flähe von m 2 aus der Gesamtoberflähe von 4π m 2 ausshneidet. Der Öffnungswinkel des entsprehenden Kegels ist etwa 73. Im Vakuum gilt mit der Lihtgeshwindigkeit : 2 L ν w ν /4π. (9.5) Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23
9-2 2 und sind die Einstein-Koeffizienten für bsorption und induzierte Emission. Mit Hilfe dieser Koeffizienten konnte lbert Einstein 97 einen einfahen und gut gesiherten eweis der Strahlungsformel erbringen, die bereits Ende 9 von Max Plank durh eine Interpolation (des Verhaltens der zweiten bleitung der Entropie nah der Energie) zwishen dem Wien-Strahlungsgesetz und dem Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz abgeleitet worden war. Die Einstein-bleitung geht von einem abgeshlossenen Hohlraum im Wärmebad mit der Temperatur T aus. Wegen des Gleihgewihts sind für beliebige zwei Zustände, zwishen denen Übergänge stattfinden, die Zahlen der absorbierten und emittierten Energiequanten gleih. w ν entspriht in diesem Fall der spektralen Energiedihte eines shwarzen Körpers, die mit ρ ν bezeihnet wird. us ( + ρ ν ) 2 2 ρ ν folgt 2 2 ρ + ν ρ ν (9.6) ndererseits gilt für das System die oltzmann-statistik: 2 g2 E exp g E g g 2 2 exp hν. (9.7) k bezeihnet die oltzmann-konstante und h ist das Plank-Wirkungsquantum. Die statistishen Gewihte g,2 sind im weiteren g g 2 gesetzt, d. h. eine Entartung der Energieniveaus wird niht berüksihtigt. us Gleihungen (9.6) und (9.7) ergibt sih ρ ν e h ν 2. (9.8) In Gleihung (9.8) ist über das Verhältnis zwishen 2 und noh keine Festlegung getroffen. Maht man aber die plausible nnahme, dass für T auh ρ ν gelten muss, ergibt sih aus G (9.8) die Relation 2. Für die estimmung des Verhältnisses zwishen und wird das im Juni 9 von Lord Rayleigh und James Hopwood Jeans aufgestellte Strahlungsgesetz herangezogen. Im niederfrequenten ereih (hν «) muss G (9.8) mit dem Rayleigh-Jeans- Gesetz ρ ν 8 2 π ν 3 (9.9) übereinstimmen, das auf Grundlage der klassishen Elektrodynamik bzw. klassishen Statistik hergeleitet werden kann und im niederfrequenten ereih auh experimentell bestätigt worden ist. Mit exp (hν/) + hν/ für hν «ergibt sih unter eahtung von 2 aus G (9.8) ρ ν hν. (9.) Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23
9-3 us den Gleihungen (9.9) und (9.) folgt damit das für beliebige Relationen von hν zu gültige Verhältnis des spontanen zum induzierten Übergangskoeffizienten 3 8 h π ν 3. (9.) G (9.) in (9.8) eingesetzt ergibt die berühmte Plank-Strahlungsformel: π ν ρ 8 3 h ν 3 e hν. (9.2) Verwendet man anstelle der frequenzabhängigen Energiedihte ρ ν dν die wellenlängenabhängige Energiedihte ρ λ dλ, ergibt sih im Vakuum unter eahtung von ν /λ und dν /λ 2 dλ π ρ 8 h λ 5 h. (9.3) λ λ e Das für hν «gültige Rayleigh-Jeans-Gesetz ist bei Einsteins bleitung der Plank- Strahlungsgleihung verwendet worden. ndere Strahlungsgesetze sind aber niht verwendet worden und können im Rahmen der Einstein-bleitung als Shlussfolgerung aus der Plank- Strahlungsgleihung präsentiert werden: Für hν» gilt exp (hν/)», und es ergibt sih aus G (9.2) als Spezialfall das bereits 896 von Wilhelm Wien in dieser Form (bis auf die später bestimmten Faktoren 8πh/ 3 und h/k) abgeleitete und nah ihm benannte Wien-Strahlungsgesetz π ν ρ 8 3 h ν 3 e hν. (9.4) ildet man von Gleihung (9.3) die erste bleitung nah der Wellenlänge und setzt sie null, erhält man ein Maximum der spektralen Energiedihte des shwarzen Körpers bei λ max. Die Wellenlänge folgt der eziehung λ max T onst. h k 4, 965 2,8978 mm K (9.5) und beshreibt eine Vershiebung des Maximums der Intensitätsverteilung mit wahsender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen hin. (Die Zahl 4,965 ist die in der letzten Dezimale gerundete ullstelle der bleitung; entsprehend ist die Zahl 2,8978 gerundet.) Dieses von Wien 893 abgeleitete Vershiebungs-Gesetz war die Grundlage für seine Überlegungen zur ufstellung der ersten Form des Strahlungs-Gesetzes. ei 3 K liegt das Maximum der Strahlung des shwarzen Körpers bei a. µm im Infrarot. Erst bei etwa 4 K rükt es ins sihtbare Spektrum. Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23
9-4 us den Gleihungen (9.3) und (9.5) ergibt sih das Gesetz ρ λ max onst. T 5 (9.6) für die Energiedihte im ereih des Maximums. Der Vollständigkeit halber wird noh das von Josef Stephan 878 experimentell gefundene und von Ludwig Eduard oltzmann thermodynamish begründete Stefan-oltzmann-Gesetz genannt, das sih aus der Integration von G (9.3) ergibt: 6 4 8π k ρλdλ T 4 3 3 5 h σ T4. (9.7) Die Gesamtstrahlung des shwarzen Körpers ist der vierten Potenz der Temperatur proportional. Es soll nohmals darauf hingewiesen werden, dass bei obigen Gleihungen Energiedihten verwendet worden sind. Zur Umrehnung in die häufig in der Literatur anzutreffenden Strahldihten ist G (9.5) zu verwenden. Zum eispiel wandelt sih in G (9.7) bei Verwendung von L λ?an Stelle von ρ λ der Faktor σ in 2π 5 k 4 /(5 2 h 3 ) 5,67 8 W m 2 K 4 um. ρ ν / Jsm -3,2E-5,E-5 8,E-6 6,E-6 4,E-6 2,E-6,E+ Rayleigh-Jeans 5 K Plank 5 K Wien 5 K Plank 3 K 2 3 4 Wellenzahlen / m - Links ist die Frequenzabhängigkeit der spektralen Energiedihte des shwarzen Körpers bei einer Temperatur von 5 K nah den Gesetzen von Wien, Rayleigh-Jeans und Plank dargestellt. nstelle der Frequenz ν ist die Wellenzahl ν ~ ν/ aufgetragen. Zusätzlih ist der Verlauf nah Plank für die Temperatur von 3 K angegeben. Der sihtbare ereih des Spektrums liegt zwishen 3 m und 26 m. ei Verwendung der Einstein-Koeffizienten ergibt sih aus einer Umstellung von G (9.) das Verhältnis von spontaner zu induzierter Emissionswahrsheinlihkeit hν ρ. (9.8) ν Für eine Temperatur von 3 K liegt das Gleihgewiht zwishen beiden Wahrsheinlihkeiten bei ν k 3 K / h 6,25 2 Hz, bzw. ~ ν 28 m oder λ 48 µm, also im fernen Infrarot. Das gilt für den shwarzen Strahler, der am besten durh einen temperierten Hohlraum realisiert wird, dessen Strahlung durh eine kleine Öffnung nah außen tritt. eim Laser treten wesentlih höhere Strahlungsdihten als im shwarzen Körper auf. Durh Konzentration der Strahlungsdihte auf ein extrem shmales Frequenzspektrum überwiegt für die Laser auh im höherfrequenten ereih die induzierte Emission. Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23
9-5 Zur weiteren Erläuterung des Verhältnisses von spontaner zu induzierter Emission führen wir die Eigenshwingungen ein, für die sih auh im deutshen Sprahgebrauh das englishe Wort Mode (engl. mode rt und Weise) eingebürgert hat. Dabei kann man das Photonenbild oder das Wellenbild in einem mit parallelen Spiegeln abgeshlossenen kubishen Raum verwenden: Im Photonenbild wird ein Photon zwishen den Spiegeln hin und her reflektiert. Im Wellenbild vershwindet die Feldstärke einer stehenden Welle am Rand des Raumes. Deshalb muss ein ganzzahliges Vielfahes von λ/2 dem Spiegelabstand L entsprehen. Es gibt in der Literatur ein weiteres Wellenbild, das anstelle einer stehenden Welle eine hin- oder zurüklaufende Welle verwendet. Dann muss der Spiegelabstand einem Vielfahen von λ entsprehen, und der Wellenvektor k ergibt sih wegen der untersheidbaren positiven und negativen usbreitungsrihtung als k (2π/L) (n x, n y, n z ) für positive und negative ganze Werte von n i. Wir betrahten jedoh im weiteren das ild einer stehenden Welle im Vakuum. Der Wellenvektor für eine beliebige stehende Welle im Würfel mit der Kantenlänge L ist k π L (n x, n y, n z ) (9.9) mit n i als positiven ganzen Zahlen. Es gilt mit k 2π/λ ν ω 2π λ k 2π 2 L 2 2 2 n + n + n. (9.2) x y z Der Vektor ergibt sih aus der Summe aller Moden mit a j sin (k j r ω j t), (9.) j wobei die a j zeitabhängige Vektoren darstellen und jeder Index j ebenso wie jeder Wellenvektor k j für eine bestimmte Kombination von (n x, n y, n z ) stehen. Wir nehmen an, dass das Vektorpotential des elektromagnetishen Feldes ist und setzen div. Damit gilt für jeden Wert von j das Skalarprodukt k j a j. Der Wellenvektor steht also senkreht auf dem mplitudenvektor. Die Welle ist transversal und kann als Linearkombination zweier linear polarisierter Wellen dargestellt werden. Deshalb hat jeder Vektor k j zwei Eigenshwingungen (zwei Zustände, zwei Moden). Wegen der in Gleihung (9.9) dargestellten Form des Wellenvektors lässt sih jeder Vektor k durh einen Punkt in einem dreidimensionalen k-raum darstellen. Dieser Raum untersheidet sih von dem gewöhnlihen Raum dadurh, dass er nur Punkte für die ganzzahligen Werte von n x, n y und n z enthält. Die Zahl n der möglihen Werte von k in den Intervallen k x, k y und k z ist gleih dem Produkt n x n y n z, d. h., es gilt wegen k i (π/l) n i n L3 3 π k x k y k z. (9.22) Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23
9-6 Die Zahl der Punkte im ereih k bis k + k entspriht dem Volumen einer Kugelshale. Da jedoh nur positive n i betrahtet werden, ist nur der entsprehende Oktant (/8 des gesamten Kugelshalenvolumens) zu betrahten: n L3 3 π 4π 2 k k. (9.23) 8 erüksihtigt man nun außerdem, dass für jeden Vektor die beiden Polarisationsmöglihkeiten der Welle zwei Moden ergeben, gilt für die Zahl der untershiedlihen Moden pro Einheitsvolumen n L 3 2 π k 2 k. (9.24) Der Übergang von Differenzen ( ) zu differentiellen Größen (d) ergibt sih, wenn man n/l 3 durh n(ν) dν (Zahl der Moden pro Volumen im differentiell kleinen Frequenzbereih) und k durh d k unter eahtung von k 2πν/ ersetzt. Damit wird n(ν) dν 8 2 πν dν 3. (9.25) Setzt man G (9.) in (9.25) ein, ist das Verhältnis der Emissionskoeffizienten n(ν) hν. (9.26) Durh Erweiterung dieser eziehung mit der spektralen Energiedihte w ν ergibt sih das Verhältnis der induzierten zur spontanen Emissionswahrsheinlihkeit als wν w ν n ( ) ν h ν Energie von Photonen Volumen Frequenz Volumen Frequenz Zahl der Moden Energie eines Photons Zahl der Photonen. Zahl der Moden (9.27) uf eine Mode bezogen heißt das: Das Verhältnis der induzierten zur spontanen Emissionswahrsheinlihkeit ist für eine beliebige Mode gleih der Zahl der Photonen in dieser Mode. Damit erhält die Darstellung der induzierten Emission in bbildung am eginn dieses Kapitels folgende Erklärung: Induzierte Emission tritt auf, wenn ein Photon mit der entsprehenden Energie auf eine Mode trifft, die viele Photonen enthält. Grundlagen der Physik für auingenieurwesen, D. Freude Version vom Juni 23