Technische Universität Dresden 15. August 2008 Institut für Numerische Mathematik Dr. K. Eppler Klausur Mathematik I für Studierende der Fakultät Maschinenwesen (mit Lösungshinweisen) Name: Matrikelnummer.: Studiengang: Vorname: Geburtsdatum: Immatrikulationsjahrgang: Aufgabe Nr. 1 2 3 4 5 6 7 Σ Punkte Soll 4 5 5 8 5 8 10 45 Punkte Ist Ein Lösungsweg kann nur bewertet werden, wenn er deutlich erkennbar ist und sich auf den für die Aufgabe vorgesehenen Seiten befindet. Die Ergebnisse sind in die dafür vorgesehenen Felder einzutragen.
1. (a) Ermitteln Sie das Newtonsche Interpolationspolynom p(x) niedrigsten Grades zur Wertetabelle x i 0 1 2 3, wobei α ein reeller Parameter ist. 3 y i 1 2 1 α p(x) = 1 + x x(x 1) + 2 + α x(x 1)(x 2) 6 Ansatz p(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + a 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) Berechnung (z.b.) mit gestaffeltem Gleichungssystem p(x i ) = y i, i = 0,..., 3 (b) Für welches α gibt es ein Interpolationspolynom zweiten Grades, welches alle Interpolationsbedingungen erfüllt? 1 α = 2 ergibt a 3 = 0 Lösungsweg zu Aufgabe 1:
2. Gegeben sei die Funktion f : R R durch f(x) = ln sin(3x + π 2 ). (a) Ermitteln Sie den natürlichen Definitionsbereichs D f von f. 1 D f = {x R : x π + π k, k = 0, ±1, ±2,... } 6 3 (b) Bestimmen Sie den Wertebereich W f von f. 1 W f = (, 0] (c) Bestimmen Sie Lage und Art aller Extremstellen von f in D f. 1 Maximumstellen bei π k, k = 0, ±1, ±2,... } 3 f ist maximal wenn sin(3x + π 2 ) = 1 bzw. wenn 3x + π 2 = kπ + π 2 für ganzzahliges k (d) Berechnen Sie f (x) für x ( 0.1, 0.1) D f. 1 f (x) = 3cot(3x + π 2 ) Es ist zu beachten: im Intervall ( 0.1, 0.1) gilt sin(3x+ π) = sin(3x+ π ). Dann kann differenziert 2 2 werden. (e) Ermitteln Sie das Taylor-Polynom p(x) zweiten Grades zu f mit der Entwicklungsstelle x 0 = 0. 1 p(x) = 9 2 x2 (unter Verwendung von (d)) Lösungsweg zu Aufgabe 2:
3. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von w = z z 1, wobei z = x + iy. 2 2 z Re(w) = 0 Im(w) = 2y x 2 + y 2 (b) Berechnen Sie diejenige Lösung z 1 von (z (1 + i)) 4 = 1, für die Re(z 1 ) = 0 gilt. 1 z 1 = i w 4 = 1 hat die Lösungen w 1 = 1, w 2 = 1, w 3 = i, w 4 = i z k = w k + 1 + i, k = 1,..., 4 (c) Ermitteln Sie alle komplezen Zahlen z = x + i y mit z 2 = z 2. 1 {z = x + iy : y = 0} Aus x 2 y 2 + 2xyi = x 2 + y 2 folgt die Bedingung xyi = y 2. (d) Welchen Polynomgrad n > 0 muss ein Polynom p n mit reellen Koeffizienten mindestens haben, wenn es die Nullstellen z 1 = 1 und z 2 = 2 i besitzt? 1 n = 3, da mit z 2 auch z 3 = 2 + i Nullstelle ist Lösungsweg zu Aufgabe 3:
4. Betrachtet werden Matrizen der Form A = I + aa T, wobei I die n, n-einheitsmatrix ist und a R n, a 0 und n 2. (a) Berechnen Sie Aa und Ay, wobei y R n ein Vektor ist, der senkrecht auf a steht. 2 Aa = a + a(a T a) = (1 + a T a)a Ay = y + aa T y = y da a T y = 0 (b) Zeigen Sie, dass A symmetrisch ist. 1 A T = (I + aa T ) T = I T + (aa T ) T = I + aa T = A (c) Welche Eigenwerte einschließlich ihrer Vielfachheit hat A? 2 λ 1 = 1 + a T a mit Vielfachheit 1, λ 2 = 1 mit Vielfachheit n 1 Folgt alles aus (a). (d) Welcher Vektor a ergibt die Matrix A = 10 6 3 6 5 2 3 2 2? 1 a = (3, 2, 1) T (e) Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat die Matrix A aus (d)? 2 λ 1 = 15, Eigenvektor a aus (d), λ 2,3 = 1, Eigenvektoren (z.b.) ( 1, 1, 1) T, (0, 1, 2) T Folgt aus (a) und (d) oder wie üblich berechnen. Lösungsweg zu Aufgabe 4:
5. Gegeben seien die Punkte P 1 (5, 5, 8), P 2 (4, 5, 6), P 3 (5, 2, 4) und L(2, 2, α) mit α R. (a) Ermitteln Sie die parameterfreie Darstellung der Ebene E 1, die durch die Punkte P 1, P 2 und P 3 aufgespannt wird. 1 E 1 : 6x + 4y 3z = 26 Viele Wege führen nach Rom! (b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches durch die Punkte P 1, P 2 und P 3 aufgespannt wird. 1 61/2 Der Betrag des Normalenvektors, erhalten mit dem Vektorprodukt der beiden das Dreieck aufspannenden Vektoren, ist gleich der Fläche des aufgespannten Tetraeders. (c) Für welches α liegt L auf E 1? 1 α = 2 (d) Für α = 3 2 trifft ein Lichtstrahl, der von L aus durch den Punkt P 1 geht, im Punkt P 0 auf die Ebene E 2 : x + 3y 2z = 7. Berechnen Sie P 0. 2 P 0 = ( 4, 4, 23/2) (Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene) Lösungsweg zu Aufgabe 5:
6. Durch die zwei Flächen z = 0 und z = 4 x 2 y 2 wird ein Körper K eingeschlossen. (a) Welches Volumen V K besitzt der Rotationskörper K? 1 V K = π 4 z=0 (4 z)dz = 8π Die Rotation erfolgt um die z-achse. (b) Ermitteln Sie die Tangentialebene z T für z im Punkt (1, 3, z(1, 3)). 1 2 2 z T (x, y) = z(x 0, y 0 ) + z x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + z y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 3 2(x 1) 3(y 3) 4 2 (c) In K soll ein Quader Q mit Länge 2a (in x-richtung) und Breite 2b (in y-richtung), a, b > 0, so einbeschrieben werden, dass dessen Volumen V Q maximal ist. Berechnen Sie die optimale Länge a und Breite b. 3 V Q (a, b) = ab z(a, b) max a = b = 1 (d) Unter Verwendung der Lagrange-Methode ermittle man Parameterwerte a und b so, dass 4a 2 + b 2 = 4 gilt und das Volumen des Quaders maximal ist. 3 a = 3/2 b = 1 L(a, b, u) = ab (4 a 2 b 2 ) + u(4a 2 + b 2 4) L a (a, b, u) = b (4 a 2 b 2 ) 2a 2 b + 8ua = 0 L b (a, b, u) = a (4 a 2 b 2 ) 2ab 2 + 2ub = 0 L u (a, b, u) = 4a 2 + b 2 4 = 0 b 2 = 4 4a 2 bl a 4aL b = (4 a 2 b 2 ) (b 2 4a 2 ) 2a }{{}}{{}} 2 b 2 {{ + 8a 2 b } 2 3a 2 4 8a 2 6a 2 (4 4a 2 ) 12a 2 24a 4 + 24a 2 24a 4 = 12a 2 (3 4a 2 ) = 0 Lösungsweg zu Aufgabe 6: = 0
7. (a) Gegeben sei die Differentialgleichung. (D): x(x 1)y + (2x 1)y = 3x 2. (α) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung y h der homogenen Differentialgleichung zu (D). 1 y h (x) = TdV: dy y c x 2 x, c R = 2x 1 x(x 1 dx ln y = ln x(x 1) 1 + ln c, c > 0 (β) Ermitteln Sie eine partikuläre Lösung y p der Differentialgleichung. 1 Var. d. Konst.: y p (x) = x3 x 2 x = x2 x 1 (γ) Welche Lösung erhält man für (D) unter der Anfangsbedingung y(2) = 0? 1 y h (x) = c x 2 x + x3 x 2 x y(x) = x3 8 x 2 x (b) Betrachtet werde das lineare Differentialgleichungssystem ẋ = 3x + 3y, ẏ = 5x + y. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung. 3 ( ) ( ) ( ) x(t) 1 3 = c y(t) 1 e 1 6t + c 2 e 5 2t, c 1, c 2 R ( ) 3 3 2 und 6 sind Eigenwerte von und zugehörige Eigenvektoren ermitteln. 5 1 (c) Gegeben sei die Differentialgleichung (G): y (6 + ρ)y + (13 + 6ρ)y 13ρy = r(x), wobei ρ ein reeller Parameter ist. Weiterhin ist bekannt, dass y 1 (x) = e ρx eine Lösung der homogenen Differentialgleichung zu (G) ist. (α) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung y h der homogenen Differentialgleichung zu (G). 3 y h (x) = c 1 e ρx + e 3x (c 2 cos(2x) + c 3 sin(2x)), c 1, c 2, c 3 R Durch Polynomdivision (mit Horner-Schema) erhält man für die charakteristische Gleichung λ 3 (6 + ρ)λ 2 + (13 + 6ρ)λ 13ρ = (λ ρ)(λ 2 6λ + 13) = 0 und damit die beiden weiteren Basislösungen. (β) Welche partikuläre Lösung hat (G) für r(x) = 2x und ρ = 1? 1 y(x) = 2 19 (x + 13 13 ) = 2 (13x + 19) 169 Ansatz: y p (x) = ax + b (da keine Resonanz) Lösungsweg zu Aufgabe 7: