Seite 1 / 9 Lineares Wachstum/exponentielles Wachstum 1. Herr Apfalterer und Frau Bader haben ein Jahresgehalt von 18.000. Für die jährliche Gehaltserhöhung stehen zwei verschieden Möglichkeiten zur Auswahl. Herr Apfalterer entscheidet sich für die Variante A: die jährliche Gehaltserhöhung beträgt 600. Frau Bader entscheidet sich für die Variante B: die jährliche Gehaltserhöhung beträgt 3% des letzten Gehaltes. Welche Funktion beschreibt die Gehaltsentwicklung von Herrn Apfalterer? Wie nennt man die Art des Wachstums der Variante A? Welche Funktion beschreibt die Gehaltsentwicklung von Frau Bader? Wie nennt man die Art des Wachstums der Variante B? Berechnen und vergleichen Sie die Jahresgehälter beider Personen nach 5 bzw. nach 10 Gehaltserhöhungen. 2. Computerviren stellen für IT-Anwender eine große Gefahr dar. Die Anzahl der bekannten Computerviren ist in den letzten Jahren weltweit stetig gewachsen. Folgende Daten sind dabei aus den Anfängen bekannt: Ende 1990 (t = 0) waren gerade einmal ca. 180 Viren bekannt Ende 1998 waren schon ca. 18.500 Computerviren bekannt. Modellieren Sie eine exponentielle Wachstumsfunktion der Form a(t)=a 0 b t. i. Interpretieren Sie in dieser Funktion die Parameter im gegebenen Sachzusammenhang. ii. Argumentieren Sie, um wie viel Prozent die Anzahl der Viren pro Jahr wächst. iii. Berechnen Sie, wie viele Computerviren es nach diesem Modell im Jahr 2017 geben wird/gegeben hat. iv. Berechnen Sie, in welchem Jahr es nach diesem Modell 2.000.000 Viren gegeben hat/geben wird. Modellieren Sie eine lineare Wachstumsfunktion. i. Interpretieren Sie in dieser Funktion die Parameter im gegebenen Sachzusammenhang. ii. Berechnen Sie, in welchem Jahr es nach diesem Modell 2.000.000 Viren gegeben hat/geben wird und vergleichen Sie mit dem Wert aus dem exponentiellen Modell. 3. Die Umfragewerte (in Prozent) einer bestimmten Partei sahen in den angegebenen Jahren folgendermaßen aus: 2000: 56% 2007: 41% 2016: 32% i. Modellieren Sie für die Jahre 2000 bis 2007 jeweils eine exponentielle und eine lineare Zerfallsfunktion. ii. Interpretieren Sie in beiden Modellen die erhaltenen Parameter. iii. Berechnen Sie in beiden Modellen jeweils die Zeit, in der sich die Umfragewerte halbieren (genannt Halbwertszeit).
Seite 2 / 9 i. Modellieren Sie für die Jahre 2007 bis 2016 jeweils eine exponentielle und eine lineare Zerfallsfunktion ii. Berechnen Sie in beiden Modellen jeweils die Zeit, in der sich die Umfrage halbieren (genannt Halbwertszeit) und vergleichen Sie diese mit. 4. In einem Betrieb wurde festgestellt, dass sich der Energieverbrauch nach folgenden Werten verändert hat: Der Verbrauch von elektrischer Energie hat im Gründungsjahr 6200 kwh betragen und ist in den folgenden Jahren jeweils um 800 kwh gestiegen. Der Verbrauch von fossiler Energie hat im Gründungsjahr 84 MJ betragen und ist in den folgenden Jahren jeweils um 5% gestiegen. Benennen Sie das mathematische Modell, das den Verbrauch von elektrischer Energie in Abhängigkeit von der Zeit angibt, und geben Sie die Funktionsgleichung an. Geben Sie an, nach wie vielen Jahren ein Jahresverbrauch an elektrischer Energie von 11.000 kwh erreicht wurde. Geben Sie an, nach wie vielen Jahren sich der Verbrauch an elektrischer Energie verdreifachte (bezogen auf das Gründungsjahr). (d) Benennen Sie das mathematische Modell, das den Verbrauch von fossiler Energie in Abhängigkeit von der Zeit angibt, und geben Sie die Funktionsgleichung an. (e) Geben Sie an, nach wie vielen Jahren 124 MJ pro Jahr verbraucht wurden. (f) Geben Sie an, nach wie vielen Jahren sich der Verbrauch an fossiler Energie verdoppelte und stellen Sie eine Gleichung auf, mit der diese Jahresanzahl berechnet werden kann. (g) Der Verbrauch fossiler Energie eines Betriebs kann durch die Funktion B(t)=60 0,974 t beschrieben werden. t... Zeit in Jahren B(t) Verbrauch fossiler Energie in MJ zur Zeit t i. Beschreiben Sie, was die Zahl 0,974 in diesem Zusammenhang angibt. ii. Die Gleichung 0,1=0,974 t wird gelöst. Beschreiben Sie die Bedeutung der Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
Seite 3 / 9 5. Ein neues Spiel für Smartphones verbreitet sich rasant. Am Tag des Erscheinens kauften 350 Personen das Spiel, eine Woche später waren bereits 2100 Stück verkauft. Ermitteln Sie den prozentuellen Zuwachs in der ersten Woche. i. Geben Sie die Funktionsgleichung für ein lineare Wachstumsmodell an, wobei t die Zeit in Tagen ist. ii. Berechnen Sie, mit wie vielen Spielern nach diesem Modell 6 Wochen nach Erscheinen des Spiels zu rechnen ist. Wenn man exponentielle Zunahme annimmt, erhält man folgende Funktion: N(t)=350 e 0,256 t N(t): Anzahl der verkauften Spiele, t: Zeit in Tagen i. Zeigen Sie, dass diese Funktion den Daten aus der Angabe entspricht. ii. Ermitteln Sie die prozentuelle Zunahme der verkauften Spiele pro Tag nach diesem Modell. iii. Dokumentieren Sie, wie Sie nach diesem Modell den Zeitraum berechnen, zu dem eine Million Menschen das Spiel besitzen. (d) Ein weiteres Wachstumsmodell ist in der folgenden Grafik dargestellt: Lesen Sie aus dem Grafen ab i. wie viele Spiele nach 30 Tagen verkauft worden sind. ii. wie viel Stück maximal verkauft werden können.
Seite 4 / 9 6. Ein Bericht des Uno-Kinderhilfswerks Unicef von 2014 zeigt, dass in den wohlhabendsten Ländern der Welt seit 2008 rund 2,6 Millionen Kinder unter die Armutsgrenze gefallen sind. Die Gesamtzahl der Kinder, die in diesen Ländern im Jahr 2014 Armut lebten, betrug laut Unicef 76,5 Millionen. Um wie viel Prozent hat sich die Anzahl der in Armut lebenden Kinder im obigen Zeitraum erhöht? Wenn man ein exponentielles Wachstumsmodell annimmt, beträgt der jährliche Wachstumsfaktor 1,00578. i. Wie hoch ist dabei das jährliche Wachstum in Prozenten? ii. Stellen Sie eine Gleichung für dieses Wachstumsmodell auf. Dokumentieren Sie, wie man den Zeitpunkt t berechnen kann, zu welchem sich die Zahl der in Armut lebenden Kindern verdoppelt hat, wenn diese Zahl jährlich um p % wächst. (d) Stellen Sie das Wachstumsgesetz unter der Annahme linearen Wachstums auf. (e) Berechnen Sie, wie viele Kinder unter der Armutsgrenze in den wohlhabenden Ländern im Jahr 2050 zu erwarten sind, wenn sich die i. konstante jährliche Zunahme fortsetzt. ii. prozentuelle jährliche Zunahme fortsetzt. 7. Der Hersteller der Handymarke Masterphone verkaufte im Jahr 2011 genau 2,5 Millionen und im darauffolgenden Jahr 3,2 Millionen Smartphones. Der Wachstumsverlauf kann durch die Gleichung N(t)=N 0 e λ t dargestellt werden. Berechnen Sie die Wachstumskonstante λ. [Hinweis: Wählen Sie als Zeitpunkt t = 0 das Jahr 2011.] Geben Sie eine Formel an, mit der man aus der Wachstumskonstante λ die jährliche Wachstumsrate in Prozent ermitteln kann. i. In welchem Jahr werden 4,6 Millionen Smartphones der Firma Masterphone verkauft, wenn man für λ=0,24686 annimmt? ii. In welchem Jahr wird sich die Anzahl der verkauften Smartphones verdreifacht haben? (d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion N(t)=2,5 e 0,24686 t auf dem Intervall [3; 5] und auf dem Intervall [5; 7]. Gehen Sie nun davon aus, dass der Wachstumsverlauf durch eine lineare Funktion modelliert werden kann. (e) Geben Sie die Funktionsgleichung an, die das lineare Wachstum der jährlichen Verkaufszahlen beschreibt. [Hinweis: Wählen Sie als Zeitpunkt t = 0 das Jahr 2011.] (f) Um wie viele Smartphones nimmt die jährlich verkaufte Menge zu?
Seite 5 / 9 (g) Wie viele Smartphones werden nach dieser Prognose im Jahr 2016 verkauft werden? (h) In welchem Jahr wird sich die Anzahl der verkauften Smartphones nach diesem Modell verdoppelt haben (ausgehend vom Jahr 2011)? 8. Laut einem Zeitungsartikel vom 18.5.2015 nimmt die Zahl der gesendeten SMS ab. Wurden im Jahr 2012 noch 8,4 Milliarden Kurznachrichten verschickt, so hat sich die Anzahl der SMS im Jahr 2014 auf 4,6 Milliarden drastisch reduziert. Geben Sie an, um wie viel Prozent die Zahl der versendeten Kurznachrichten von 2012 auf 2014 gesunken ist. Dieser Trend soll sich auch im Jahre 2015 fortsetzen. Setzen Sie für die Zahl der gesendeten SMS einen linearen Zusammenhang voraus und geben Sie eine Formel an, mit der man die Anzahl der gesendeten SMS für die nächsten Jahre berechnen kann. Dazu verwenden Sie folgende Variablen: G(t) Anzahl der gesendeten SMS (in Milliarden) nach t Jahren t Zeit in Jahren ab 2012 Erstellen Sie zu der Funktion aus eine Wertetabelle für die (zu erwartenden) Anzahlen der gesendeten SMS für die Jahre 2012 bis 2016. (d) Setzen Sie für die Zahl der gesendeten SMS einen exponentiellen Zusammenhang voraus und berechnen Sie die nach diesem Modell zu erwartende Anzahl an gesendeten Kurznachrichten für 2016. 9. Lena feiert ihren fünfzehnten Geburtstag. Sie erhält pro Monat von ihrer Mutter 40 Taschengeld. Ihre Mutter macht ihr folgenden Vorschlag: Pro Monat bekommst du nun jeweils um 5 mehr Taschengeld. Also im nächsten Monat 45, ein Monat später 50 und so weiter! Lena hätte gerne eine andere Regelung und schlägt vor, dass ihr Taschengeld pro Monat um jeweils 5% erhöht werden soll. i. Modellieren Sie einen funktionalen Zusammenhang für den Vorschlag der Mutter. Verwenden Sie dafür die folgenden Variablen: m Anzahl der Monate nach Beginn der neuen Regelung T(m) Höhe des Taschengeldes pro Monat in Euro ii. Modellieren Sie einen funktionalen Zusammenhang für den Wunsch von Lena. Verwenden Sie dafür die gleichen Variabeln T(m) und m wie in i.
Seite 6 / 9 Hubert hat mit seinem Vater am ersten Jänner eine ähnliche Diskussion geführt. Bis zum Jahresende hat Hubert 44 Taschengeld pro Monat erhalten. Sein Vater schlägt ihm vor, dass er nach folgender Funktion das Taschengeld erhöhen wird: T (m)=5 m+44 m Anzahl der Monate nach Beginn der neuen Regelung T(m) Höhe des Taschengeldes pro Monat in Euro Hubert hätte dagegen gerne eine Erhöhung nach dieser Funktion: T (m)=44 e 0,05 m i. Berechnen Sie, nach wie vielen Monaten Huberts Taschengeld verdoppelt wird, wenn sich sein Vater durchsetzt. ii. Berechnen Sie, nach wie vielen Monaten Huberts Taschengeld nach seinem Vorschlag verdoppelt wird. iii. Zeigen Sie, wie Sie in Huberts Modell von e 0,05 auf die monatliche prozentuelle Zuwachsrate schließen können. 10. In folgender Tabelle ist die Gehaltsentwicklung von Herrn W. in den letzten Jahren gegeben: Jahr 2012 2013 2014 2015 2016 Jahreseinkommen in 18540 19096 19669 20259 20867 Angenommen, Herrn W.s Jahreseinkommen wächst linear. i. Berechnen Sie den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs von 2012 bis 2016. ii. Geben Sie eine lineare Funktion an, die Herrn W.s Gehaltsentwicklung von 2012 bis 2016 beschreibt. iii. Berechnen Sie, wie groß Herrn W.s Gehalt nach diesem Modell 2011 gewesen sein muss. Legen Sie der Gehaltsentwicklung eine Exponentialfunktion zugrunde. i. Bestimmen Sie die Gleichung der Exponentialfunktion, die die Gehaltsentwicklung Herrn W.s von 2012 bis 2016 angibt. ii. Argumentieren Sie, dass das Gehalt unter Annahme einer Exponentialfunktion um etwa 3% jährlich wächst. iii. Berechnen Sie, wie groß Herrn W.s Gehalt nach diesem Modell 2011 gewesen sein muss. Geben Sie an, ab wann Herr W. nach diesem Modell mehr als 30.000 verdient.
Seite 7 / 9 Ergebnisse: 1. G A (t) = 600t + 18000, lineares Wachstum G B (t)=18000 1,03 t, exponentielles Wachstum G A (5) = 21000, G A (10) = 24000, G B (5) = 20 867, G B (10) = 24191; zu Beginn wächst Frau B.s Gehalt langsamer, nach 10 Jahren aber verdient sie mehr als Herr A 2. a(t)=180 1,7844 t i. 180 Viren zu Beginn; 1,7844 Wachstumsfaktor ii. da Wachstumsfaktor 1,7844, Wachstum um 78,44% pro Jahr iii. a(27) 1,11 10 9 Viren iv. t = 16,09; im Jahr 2007 v(t) = 2290t + 180 i. 180 Viren zu Beginn; jedes Jahr um 2290 Viren mehr ii. t = 873,28; im Jahr 2864; mit linearem Modell dauert es länger bis man 2 Mio. Viren hat 3. i. u(t)=56 0,9564 t ; u(t)=56 15 7 t 4. 5. ii. 56 Umfragewert in % zu Beginn; 0,9564 Zerfallsfaktor, jährliche Abnahme um 15 4,36%; jedes Jahr um 2,14 Prozentpunkte weniger 7 iii. 15,56 bzw. 13,07 Jahre i. u(t)=41 0,9728 t ; u(t)=41 t ii. 25,17 bzw. 20,5 Jahre; Abnahme langsamer, daher Halbwertszeiten größer lineare Funktion, E 1 (t) = 800t + 6200 nach 6 Jahren nach 15,5, Jahren (d) exponentielles Wachstum, E 2 (t)=84 1,05 t (e) nach 7,98 Jahren (f) 2=1,05 t, nach 14,21 Jahren (g) i. Zerfallsfaktor, pro Jahr Abnhame um 2,6% ii. t Zeit, in der Verbrauch auf 10% sinkt +500% i. s(t) = 250t + 350 ii. s(42) = 10850 Spieler i. 2100 350 e 0,256 7 ii. 29,18% iii. für N(t) 10 6 einsetzen, Gleichung nach t auflösen
Seite 8 / 9 6. 7. 8. 9. (d) i. ca. 48 000 Stück ii. 50 000 Stück +3,52% i. 0,578% ii. A(t)=73,9 1,00578 t t Zeit in Jahren seit 2008 ln(2) ln(1+ p =t 100 ) (d) A(t)= 13 t+73,9 t Zeit in Jahren seit 2008 30 (e) i. A(42) = 92,1 Mio ii. A(42) = 94,1 Mio λ = 0,24686 p = 100 (e λ - 1) i. im Jahr 2013/2014 ii. im Jahr 2015/2016 (d) 1,6735 bzw. 2,7419 Smartphones / Jahr (e) s(t) = 0,7t + 2,5 (f) um 0,7 Mio / Jahr (g) s(5) = 6 Mio (h) im Jahr 2014/2015 45,24% G(t) = 8,4 1,9t t (d) 2,52 Mrd G(t) 0 8,4 1 6,5 2 4,6 3 2,7 4 0,8 i. T(m) = 5m + 40 ii. T (m)=40 1,05 m i. nach 8.8 Monaten
Seite 9 / 9 10. ii. nach 13,86 Monaten iii. p = 100(e 0,05 1) i. 581,75 / Jahr ii. G(t) = 581,75t + 18540 iii. G(-1) = 17956,25 i. G(t)=18540 1,03 t ii. da Wachstumsfaktor 1,03 wächst Gehalt um 3%/Jahr iii. G(-1) = 18000 im Jahr 2028/2029