Finanzmathematik - Grundlagen

Finanzmathematik - Grundlagen Aufgabensammlung Sommersemester 2005 Marco Papatrifon Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie

Klausur 2002 Aufgabe 1 Student K. Toffel überzieht sein Girokonto und hat am 1.1.2000 einen Kontostand in Höhe von 1 500,. Da sein Dispositionskredit somit erschöpft ist, beachtet er das Konto vier Jahre lang nicht und findet am 31.12.2003 einen Kontostand von 2 407, vor. Das Konto wird vierteljährlich (zinseszinslich) verzinst. a) Wie hoch ist sein nomineller (Jahres )Zins? b) Um ihn zum Bezahlen zu bewegen, beschließt die Bank ab dem 1.1.2004 einen nominellen Überziehungszins von 13% zu verlangen und diesen jährlich um einen Prozentpunkt zu erhöhen. Welchen Kontostand hätte demzufolge K. Toffel am 31.12.2009 bei vierteljährlicher Verzinsung? Aufgabe 2 Ein Unternehmer hat die Wahl zwischen zwei Investitionsmöglichkeiten, von denen er eine verwirklichen will. Die folgende Tabelle stellt die Einzahlungen (E t ) und Auszahlungen (A t ) der Projekte zum Zeitpunkt t während der nächsten 3 Jahre dar (in EURO). Dabei sei t = 0 der Anfang des Jahres 1,t = 1, 2, 3 und 4 jeweils das Ende der Jahre 1, 2, 3 und 4. t 0 1 2 3 4 Projekt A: E t 500 400 528 A t 1000 Projekt B: E t 1099 A t 500 a) Wie lauten die Kapitalwerte der beiden Projekte, wenn ein Kalkulationszins von 25% angenommen wird? Für welches Projekt würden Sie sich aufgrund dieses Ergebnisses entscheiden? b) Bestimmen Sie die internen Zinssätze p beider Projekte. Hinweis: Sollten Sie ein iteratives Verfahren einsetzen, so genügen 2 Iterationsschritte. Aufgabe 3 Student Olaf Bock beschließt am Ende seines BWL-Studiums, genau 30 Jahre lang zu arbeiten und danach in den wohlverdienten Ruhestand zu gehen. Da er nicht glaubt, dass seine staat- Finanzmathematik - Grundlagen 1

liche Altersversorgung zum Überleben reichen wird, beschließt er, monatlich eine konstante Summe zurückzulegen, um in 30 Jahren über 100 000, zusätzlich verfügen zu können. Ein Finanzdienstleistungsunternehmen überredet ihn, das Geld in einen Fond einzubezahlen und behauptet, dass er so mit einer Rendite von jährlich 10% rechnen könne. a) Welchen Betrag muß O. Bock monatlich nachschüssig in den Fond einzahlen (bei einer Verzinsung von jährlich 10%), um in 30 Jahren die 100 000, angesammelt zu haben? b) O. Bock bezahlt monatlich nachschüssig 48,44 in den Fond. Nach 10 Jahren harter Arbeit merkt er jedoch, dass das Finanzdienstleistungsunternehmen sich verschätzt hat und dass der Fond in diesem Zeitraum nur 6% Zinsen jährlich erbracht hat. Welchen Betrag muss O. Bock in den folgenden 20 Jahren monatlich nachschüssig einbezahlen, wenn er davon ausgehen muss, dass die Verzinsung bei 6% bleiben wird und er trotzdem sein Ziel ( 100 000, in insgesamt 30 Jahren) erreichen will? c) In den nächsten Jahren folgt ein Börsencrash dem anderen und O. Bock verliert all sein bisher eingezahltes Geld. Er beschließt nun, monatlich nachschüssig so viel Geld unter seinem Kopfkissen zu verstecken, dass er in den letzten 10 Jahren bis zu seiner Pension wenigstens 24 000, gespart hat. Wie viel Geld benötigt er pro Monat dazu? Klausur 2003 Aufgabe 4 entfällt Aufgabe 5 entfällt Finanzmathematik - Grundlagen 2

Aufgabe 6 Auf welchen monatlich vorschüssigen Betrag konstanter Höhe kann ein Rentner 20 Jahre lang zurückgreifen, wenn er seine Ersparnisse in Höhe von 100.000,, die auf einem mit 3% verzinsten Konto angelegt sind, in dieser Zeit restlos aufbrauchen möchte? Übungsaufgaben Aufgabe 7 Für die Verzinsung einer am Ende der Laufzeit in einem Betrag zurückzahlbaren Schuld K 12 bei 12 Jahren Laufzeit wurde Folgendes vereinbart: Im 1. Jahr nach Ausgabe des Darlehens K 0 sind 0,5 % Zinsen fällig, im 2. Jahr 1 %. Mit Beginn des 3. Jahres steigen die Zinsen jeweils im Zwei-Jahres-Rhythmus um 0,5 Prozentpunkte (also sind im 3. und 4. Jahr 1,5 %, im 5. und 6. Jahr 2 % etc. zu bezahlen). Die Zinsen werden angesammelt und zum jeweils gültigen Zinssatz mitverzinst. a) Welcher Betrag ausgedrückt als Vielfaches von K 0 ist am Ende des 12. Jahres zu zahlen? b) Wie hoch ist der Effektivzins dieses Darlehens? c) Welche Auswirkungen hätte eine Umkehr der anfallenden Zinszahlungen (also im 12. Jahr 0,5 % Zins, im 11. Jahr 1 % usw.) auf den in b) errechneten Zinssatz? Aufgabe 8 Die Kraut & Rüben GmbH führt ihr Konto bei der Nepptun-Bank. Die Nepptun-Bank berechnet den Kontoabschluss vierteljährlich zum Quartalsende, wobei sie einen Habenzins in Höhe von 1 % und einen Sollzins in Höhe von 15 % zu Grunde legt. Beide Zinssätze sind jährliche Nominalzinssätze. Folgende Buchungen sind im ersten Quartal 2001 angefallen: 31.12.2000 Kontostand 1 394,17 Haben 07.02.2001 Auszahlung 3 000, 18.03.2001 Einzahlung 1 200, Finanzmathematik - Grundlagen 3

a) Führen Sie den Kontoabschluss zum 30.03.2001 durch, ermitteln Sie die angefallenen Sollund Habenzinsen und geben Sie den Kontostand zum 01.04.2001 an. b) Welchen effektiven Jahreszins berechnet die Nepptun-Bank für den Kontokorrentkredit? Finanzmathematik - Grundlagen 4

Aufgabe 9 Die Sparnix-Bank verzinst Sparbücher vierteljährlich jeweils zum Quartalsende. Der Zins hängt vom Guthaben auf dem Sparbuch ab. Bis 9 999,99 beträgt der nominelle Jahreszins 2 %. Ab einem Guthaben von 10 000, wird das gesamte Guthaben mit einem nominellen Jahreszins von 3 % verzinst. a) Geben Sie den effektiven Jahreszins für Guthaben ab 10 000, an. b) Herr Reich eröffnet am 24.6.2001 ein Sparbuch bei der Sparnix-Bank und zahlt 7 000, ein. Geben Sie das Guthaben von Herrn Reich am Jahresende 2001 an. c) Am 17.2.2002 zahlt Herr Reich weitere 7 000, auf das Sparbuch ein. Geben Sie die Höhe der Zinsgutschrift an, die Herr Reich am Quartalsende erhält. Aufgabe 10 Am 21. März 2001 wird ein Sparkonto eröffnet, bei dem Zinsen jeweils zum Quartalsende gutgeschrieben werden. Am Tag der Eröffnung wurde ein Betrag K 0 auf das Sparkonto eingezahlt. Der nominelle Zinssatz beträgt 4 %. Weitere Einzahlungen erfolgen nicht. Wann kann frühestens ein im Vergleich zu K 0 mindestens doppelt so hoher Betrag von diesem Sparkonto abgehoben werden? Aufgabe 11 Am 2. September 1988 wurde ein Sparkonto eröffnet, bei dem Zinsen jeweils zum Quartalsende gutgeschrieben werden. Am Tag der Eröffnung wurde ein Betrag K 0 auf das Sparkonto eingezahlt. Weitere Einzahlungen erfolgten nicht. Am 30. April 2001 konnte von diesem Sparkonto ein im Vergleich zu K 0 doppelt so hoher Betrag abgehoben werden. a) Wie hoch muss der über den gesamten Anlagezeitraum als gleichbleibend vereinbarte nominelle Jahreszinssatz auf eine Dezimalstelle genau gewesen sein? b) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz auf eine Dezimalstelle genau? Finanzmathematik - Grundlagen 5

Aufgabe 12 Am 11. November 2001 wird ein Sparkonto eröffnet, bei dem die Zinsen jeweils zum Quartalsende gutgeschrieben werden. Am Tag der Eröffnung wird ein Betrag von 10 000, auf das Sparkonto eingezahlt. Weitere Einzahlungen erfolgen nicht. Ausgehend von dem im Jahr 2001 gewährten Jahreszinssatz wird für das Jahr 2002 eine Erhöhung des Jahreszinssatzes um 1,2 Prozentpunkte und für das Jahr 2003 nochmals eine Erhöhung um 1,2 Prozentpunkte vereinbart. Am 31. Dezember 2003 befindet sich auf diesem Sparkonto inklusive aller im Jahr 2003 angefallenen Zinsen ein Betrag von 10 633,23. a) Wie hoch ist der im Jahr 2001 gewährte nominelle Zinssatz auf eine Dezimalstelle genau? b) Wie hoch ist die effektive Verzinsung in den Jahren 2002 bzw. 2003? Aufgabe 13 Einem Unternehmen bieten sich zwei jeweils nur einmalig durchführbare Investitionsprojekte, die durch die folgenden Einzahlungen E t und Auszahlungen A t (jeweils in ) charakterisiert sind: t 0 1 2 3 Projekt A: E t 9 000 3 000 1 000 A t 10 000 Projekt B: E t 11 500 A t 10 000 a) Berechnen Sie jeweils den Kapitalwert von Projekt A bei einem Kalkulationszins von 20 bzw. 25 Prozent. b) Bestimmen Sie den internen Zinssatz der beiden Investitionsprojekte auf zwei Dezimalstellen genau. c) Das Unternehmen verfügt in t = 0 lediglich über 10 000, eigene Mittel. Grundsätzlich können eigene Mittel zu jedem Zeitpunkt in beliebiger Höhe zu 4 Prozent effektivem Jahreszins angelegt werden. Darüber hinaus kann das Unternehmen einen Kontokorrentkredit bis zu 10 000, zu 12 Prozent effektivem Jahreszins bei seiner Hausbank in Anspruch nehmen. Die Geschäftsleitung bittet Sie um Rat, wie sie sich bezüglich der Durchführung der beiden Investitionsprojekte entscheiden sollte. Was antworten Sie? Finanzmathematik - Grundlagen 6

Aufgabe 14 Einem Unternehmen bieten sich zwei jeweils nur einmalig durchführbare Investitionsprojekte, die durch die folgenden Einzahlungen E t und Auszahlungen A t (jeweils in ) charakterisiert sind: t 0 1 2 3 Projekt A: E t 15 000 9 000 A t 20 000 1 560 Projekt B: E t 28 000 A t 20 000 a) Berechnen Sie den Kapitalwert von Projekt A bei einem Kalkulationszins von 10 Prozent. b) Bestimmen Sie den internen Zinssatz der beiden Investitionsprojekte auf eine Dezimalstelle genau. Aufgabe 15 Konrad Kraut, Mitgründer und ehemaliger Geschäftsführer der Kraut & Rüben GmbH, hat seine Geschäftsanteile an die Schall & Rauch AG veräußert. Mit dieser hat er vereinbart, dass der Kaufpreis in 60 gleich großen monatlich-nachschüssigen Raten zu je 50 000, gezahlt wird. Der Endwert des resultierenden Zahlungsstromes beträgt 3 650 000,, der mittlere Zinstermin 2,45 Jahre. a) Welche Einmalzahlung zu Beginn des ersten Jahres ist hierzu äquivalent? b) Welche Einmalzahlung im Zeitpunkt t = 2,45 (Jahre) ist hierzu äquivalent? c) Welche vorschüssigen konstanten jährlichen Zahlungen (bei gleicher Laufzeit) sind hierzu äquivalent? Aufgabe 16 Frau S. muss in ihrer Firma eine Investition tätigen, die 150 000, kostet. 3 Alternativen stehen ihr zur Auswahl: Finanzierung bei Bank A, die 10 Jahre lang dafür jährlich nachschüssig 22 800, fordert. Finanzierung bei Bank B, die 8 Jahre lang 2 140, monatlich nachschüssig verlangt. Eigenfinanzierung, wobei die Opportunitätskosten bei 8,5 % liegen. Geben Sie Frau S. einen finanzmathematisch fundierten Rat! Finanzmathematik - Grundlagen 7

Aufgabe 17 Ein Versicherungsnehmer möchte seine zum 60. Geburtstag fällige Lebensversicherung in Höhe von 300 000, zum Auszahlungstermin verrenten lassen. Bei der Berechnung der Rentenansprüche unterstellt die Versicherungsgesellschaft eine Restlebenserwartung von 17 Jahren sowie einen Kalkulationszins von 5 Prozent. Welche a) vorschüssige Jahresrente b) vorschüssige Monatsrente wird die Versicherungsgesellschaft dem Versicherungsnehmer anbieten? Aufgabe 18 Ein Absolvent der hat während seines Studiums 8 Semester lang jeweils zu Monatsbeginn 800, BAföG erhalten. Die eine Hälfte des Betrages wurde ihm als zinsloses Darlehen gewährt, während die zweite Hälfte einen Zuschuss darstellt, der nicht zurückgezahlt werden muss. 5 Jahre nach Beendigung seines Studiums erhält der Absolvent einen Bescheid vom BAföG-Amt, der ihn zur Rückzahlung der gesamten Darlehensschuld auffordert. Dabei werden ihm die folgenden beiden Rückzahlungsalternativen zur Wahl gestellt: Alternative 1: Zahlung von jeweils 600, zum Quartalsende, beginnend ab dem ersten Quartal des Folgejahres bis zur vollständigen Tilgung der Darlehensschuld. Alternative 2: Einmalige Rückzahlung der gesamten Darlehensschuld abzüglich eines Teilerlasses von 25 Prozent der Darlehensschuld zum 1. Januar des Folgejahres. a) Wie hoch ist die Darlehensschuld? b) Für welche der beiden Rückzahlungsalternativen wird sich der Absolvent entscheiden, wenn er über eigene Mittel in unbegrenzter Höhe verfügt, die er beliebig lang zu 4 % effektivem Jahreszins anlegen kann? Finanzmathematik - Grundlagen 8

Aufgabe 19 Herr F. will sich ab sofort um seinen Wohlstand im Alter kümmern. Er hat noch 12 Jahre zu arbeiten und möchte in dieser Zeit einen bestimmten Betrag jeweils monatlich nachschüssig auf ein Konto einzahlen. Nach Ablauf der 12 Jahre sollen ihm 20 Jahre lang monatlich jeweils 2 500, zur Verfügung stehen, die er am jeweiligen Monatsersten abheben möchte. Welchen Betrag muss Herr F. 12 Jahre lang monatlich nachschüssig zu diesem Zweck einzahlen, wenn durchgängig ein Zins von 6 % p.a. angenommen werden kann? Aufgabe 20 Ein Vater beschließt bei der Geburt seiner Tochter am 1.1.2000, in diesem und in den folgenden Jahren jeweils zum Monatsende einen konstanten Betrag auf ein Konto einzuzahlen. Der angesammelte Geldbetrag soll der Tochter dann zur Finanzierung ihrer Berufsausbildung ab dem 18. Geburtstag zur Verfügung gestellt werden. a) Wie hoch müssen die monatlichen Einzahlungen des Vaters mindestens sein, um bei einer dreiprozentigen jährlichen Verzinsung während des gesamten relevanten Zeitraums sicher zu stellen, dass die Tochter ab ihrem 18. Geburtstag 5 Jahre lang einen Betrag in Höhe von 1 000, jeweils zum Monatsanfang von diesem Konto abheben kann? b) Wie hoch müssen die monatlichen Einzahlungen des Vaters mindestens sein, um bei einer monatlichen Verzinsung mit 0,25 Prozent während des gesamten relevanten Zeitraums sicher zu stellen, dass die Tochter ab ihrem 18. Geburtstag 5 Jahre lang einen Betrag in Höhe von 1 000, jeweils zum Monatsanfang von diesem Konto abheben kann? Finanzmathematik - Grundlagen 9

Aufgabe 21 Die aus der Fusion zweier renommierter Banken entstandene Com-Post-Bank bietet Ihnen folgende Anlagemöglichkeiten an: I) Anfang 2002 werden 50 000, eingezahlt, am Ende des Jahres 2009 erfolgt eine Auszahlung von 71 105,. II) Anfang 2002 werden 50 000, eingezahlt. Die Bank zahlt jährlich 2,6 % Zinsen (zinseszinslich) und jährlich 2 % Prämie auf das eingesetzte Kapital, wobei die kumulierten Prämien dem Konto erst am Ende der Laufzeit (Ende 2008) gutgeschrieben werden. III) Anfang 2002 werden 50 000, eingezahlt. Ab 31.1.2007 werden 830, monatlich nachschüssig 7 Jahre lang ausgezahlt. Gehen Sie davon aus, dass keine der Anlagemöglichkeiten vorzeitig gekündigt werden kann und ermitteln Sie die Anlageform mit der höchsten Rendite. Aufgabe 22 Eine Bank wirbt mit dem Slogan Sie zahlen 10 Jahre 10 000, jährlich ein, wir zahlen danach 10 Jahre lang 20 000, aus. Alle Zahlungen erfolgen zum Jahresende. a) Der Kundenberater behauptet, die Rendite dieser Anlageform liege zwischen 7,1 % und 7,2 %. Stimmt das? (Berechnung erforderlich!) b) Sei p eff der genannten Anlageform = 7,18 %. Was würden Sie als Kundenberater einem Kunden anbieten, der bei identischem Effektivzins zwar 10 Jahre lang 10 000, jährlich nachschüssig einzahlen möchte, der aber anschließend 10 Jahre lang nachschüssig Zahlungen erhalten möchte, die eine konstante Inflation von 2,5 % (im Sinne der Kaufkraft) jährlich ausgleichen? Geben Sie den Zahlungsstrom einer geeigneten Rente für die Jahre 11, 12, 13 und 20 an. Finanzmathematik - Grundlagen 10

Aufgabe 23 Herr Leichtfuß möchte sich selbständig machen und benötigt zur Existenzgründung 487 500,. Da er die Bedingungen seiner Hausbank kennt (2,5 % Disagio, Laufzeit 33 Jahre, Nominalzins 8,5 % p.a., monatliche Annuitätentilgung), möchte er seine monatlichen Belastungen (Zins und Tilgung) errechnen. a) Wie hoch ist die Schuldsumme S für das Darlehen, das Herr Leichtfuß bei seiner Hausbank aufnehmen müßte? b) Welche monatliche Belastung hat Herr Leichtfuß ermittelt, falls er richtig gerechnet hat und sofortige Tilgungsverrechnung erfolgt? c) Bei einem Beratungsgespräch erfährt Herr Leichtfuß, dass er von einer staatlichen Institution ein Existenzdarlehen zu folgenden Konditionen beziehen kann: Kreditsumme 487 500, Auszahlung 100 % n = 30 Jahre davon die ersten 2 Jahre tilgungsfrei p = 8,5 % Annuitätentilgung ab dem 3. Jahr mit gleichbleibenden, jährlich nachschüssigen Annuitäten. Keine Bearbeitungs- oder sonstigen Gebühren. Wie hoch ist der Effektivzins dieses Existenzgründungsdarlehens? Stellen Sie dem Tilgungsplan für die ersten 4 Jahre auf. Finanzmathematik - Grundlagen 11

Aufgabe 24 Herr Arm will sich ein Auto kaufen. Der Listenpreis beträgt 20 000,. Seine Hausbank unterbreitet ihm folgendes Angebot: Nominalzins: 6 % Bearbeitungsgebühr von der Schuldsumme: 5 % Laufzeit: 3 Jahre Rückzahlung: jährlich nachschüssig Bei Barzahlung bietet der Autohändler einen Rabatt von 10 % auf den Listenpreis an. a) Herr Arm will das Auto bar bezahlen und nimmt dazu einen Kredit bei seiner Hausbank auf. Geben Sie die Anfangsschuld an, die Herr Arm zu tilgen hat. Geben Sie die Höhe der jährlichen Annuität an. Gehen Sie davon aus, dass Herr Arm jedes Jahr denselben Betrag zu zahlen hat. Alternativ bietet der Autohändler folgende Finanzierung über den Hersteller an: Anzahlung: 30 % des Listenpreises Jährlicher Zins auf die Restschuld nach Anzahlung: 2 % Laufzeit: 3 Jahre Rückzahlung: jährlich nachschüssig Keine Bearbeitungsgebühr Herr Arm kann bei der Finanzierung durch den Hersteller keinen Rabatt auf den Listenpreis erhalten. b) Geben Sie die Anfangsschuld an, die Herr Arm zu tilgen hat. Geben Sie die Höhe der jährlichen Annuität an. Gehen Sie ebenfalls davon aus, dass Herr Arm jedes Jahr denselben Betrag zu zahlen hat. Herr Arm hat unerwartet 20 000, im Lotto gewonnen und ist somit in der Lage, das Auto ohne zusätzliches Finanzierungsangebot zu erwerben. Gehen Sie davon aus, dass Herr Arm ausschließlich Zugang zu einem unverzinsten Konto hat. c) Welche der drei möglichen Alternativen soll Herr Arm auswählen, wenn er seinen Kontostand nach 3 Jahren maximieren will? Finanzmathematik - Grundlagen 12

Aufgabe 25 Herr Edison erwägt den Kauf einer neuen Maschine. Der Kaufpreis beträgt 11 000, (Lebensdauer 5 Jahre, nach 5 Jahren ist die Maschine wertlos). Die geschätzten jährlichen Rückflüsse bei Kauf der Maschine betragen 3 000,. Herr Edison entscheidet grundsätzlich auf Basis der Kapitalwertmethode mit einem Kalkulationszins von 10 %. Die Hausbank von Herrn Edison ist zu folgenden Konditionen bereit, die Maschine mit einem Kredit zu finanzieren: Auszahlung: 90 % Nominalzins: 6 % Laufzeit: 5 Jahre Tilgung: jährlich nachschüssige Annuitätentilgung Die Superleasing AG bietet die Maschine zu einer jährlich nachschüssigen Leasingrate von 2 800, an (Leasingdauer 5 Jahre, keine Sonderzahlungen, die Maschine bleibt Eigentum des Leasinggebers). Steuerliche Aspekte sind nicht zu berücksichtigen. a) Stellen sie den Tilgungsplan für den Kredit auf. b) Klären Sie, ob das Leasingangebot oder der Kredit zu bevorzugen ist. c) Klären Sie, ob sich die Investition lohnt. d) Beantworten Sie die Fragen b) und c), wenn der Liquidationserlös der Maschine nach 5 Jahren 1 000, beträgt. Finanzmathematik - Grundlagen 13

Aufgabe 26 Herr S. benötigt zur Beteiligung an einer Dienstleistungsgesellschaft 225 000,. Mangels Barvermögen ist er dabei auf eine Kreditfinanzierung angewiesen. Zwei Banken hat Herr S. aus diesem Grund aufgesucht und dabei folgende Angebote erhalten: Angebot A: Finanzierung der Beteiligung zu einem nominalen Jahreszins von 5 % bei 90 % Auszahlung, Laufzeit 15 Jahre. Angebot B: Existenzgründungsdarlehen, Auszahlung 100 %, n = 12 Jahre, davon die ersten 2 Jahre tilgungsfrei, Nominalzins 6,5 % p.a. Beide Angebote sehen monatliche Annuitätentilgung mit sofortiger Tilgungsverrechnung vor. Gebühren etc. fallen nicht an. a) Welche monatlich nachschüssigen Annuitäten muss Herr S. zahlen, wenn er sich für Angebot A entscheidet? b) Bestimmen Sie für Angebot B den effektiven Zinssatz. Aufgabe 27 Sie sind Kundenberater der XY-Bank. Ein Kunde möchte von Ihnen ein Darlehen für die Renovierung seines Hauses. Dazu benötigt er einen Betrag in Höhe von 45 000,. Der Kunde möchte, dass Sie ein Disagio in Höhe von 10 % der Kreditsumme bei der Berechnung zu Grunde legen. Der Kredit soll in 7 Jahren durch jährlich gleich hohe nachschüssige Annuitäten getilgt werden. Ermitteln Sie auf zwei Dezimalstellen genau den Nominalzins, der dem Kredit zu Grunde liegen muss, damit der effektive Jahreszins 8 % beträgt. Aufgabe 28 Zur Finanzierung Ihrer neuen Spülmaschine nehmen Sie einen Konsumentenkredit auf. Die Tilgung des Kredits erfolgt in 24 konstanten monatlich-nachschüssigen Raten. Der Monatszins beträgt 0,6 Prozent und es fallen keine weiteren Gebühren an. Wie hoch ist der Effektivzins nach Uniform-Methode? Finanzmathematik - Grundlagen 14

Aufgabe 29 Bernhard Blauaug möchte einen PKW erwerben und erwägt zur Finanzierung des Kaufpreises in Höhe von 22 000, einen Kredit der Nepptun-Bank. Die Bank bietet ihm folgende Konditionen (Alternative I): Laufzeit: Nominalzins: Gebühren: Tilgung: 5 Jahre 7 % p.a. 12 % Disagio; keine weiteren Gebühren die ersten zwei Jahre tilgungsfrei; danach jährlich nachschüssige Annuitätentilgung Daneben bietet der Automobilhändler Herrn Blauaug einen Konsumentenkredit mit folgenden Konditionen an (Alternative II): Höhe: 22 000, Laufzeit: 36 Monate Nominalzins: 0,6 % monatlich Gebühren: keine Tilgung: monatlich nachschüssige Ratentilgung a) Stellen Sie den Tilgungsplan für Alternative I auf. b) Für welche Finanzierungsalternative sollte sich Blauaug entscheiden? (Sollten Sie ein iteratives Verfahren einsetzen, so genügt ein Iterationsschritt. Wählen Sie dann q 0 = 1,1.) Aufgabe 30 Eine Schuld in Höhe von 40 000, soll mithilfe halbjährig-nachschüssiger Zahlungen in Höhe von jeweils 5 000, zurückgezahlt werden (wobei die letzte Zahlung von diesem Betrag abweichen darf). Die Zahlungen umfassen sowohl Tilgungs- als auch Zinsanteil. Der zur Anwendung kommende jährliche Nominalzinssatz beträgt 6 Prozent; weitere Kosten fallen nicht an. Berechnen Sie mit diesen Daten die Laufzeit in Jahren, die Restschuld zu Beginn des letzten Jahres der Laufzeit die letzte Annuität und den effektiven Jahreszins für den Fall einer... a) sofortigen Tilgungsverrechnung, b) jährlichen Tilgungsverrechnung. Finanzmathematik - Grundlagen 15

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 1 ( ) 16 2 407 a) p = 1 500 1 400 = 11, 99936 12% ( 4 ( 4 b) 2 407 0,13 4 + 1) 0,14 4 + 1) 5 993, 12 ( 0,15 4 + 1) 4 ( 4 ( 4 ( 4 0,16 4 + 1) 0,17 4 + 1) 0,18 4 + 1) = Lösung zu Aufgabe 2 a) A: K 0 = 500 1,25 + 400 + 528 1 000 = 73, 66 1,25 2 1,25 3 B: K 0 = 500 1,25 + 1 099 = 50, 15 1,25 4 Entscheidung für Projekt B b) A: 1 000q 4 + 500q 3 + 400q 2 + 528q = K n 1 000q 3 + 500q 2 + 400q + 528 = 0 mit Newton-Verfahren p = 20, 0% B: 1 099 = 500q 3 q = 1, 300197 p = 30, 0% Lösung zu Aufgabe 3 a) K 30 = 100 000,m = 12,p = 10% r e = 100 000 0,1 1,1 30 1 = 607, 92 r = 607,92 = 48, 44 12+11 0,1 2 b) m = 12,p = 6%,r = 48, 44 c) K 10 = 48, 44 (12 + 0, 06 11 ) 2 1 1,06 10 1 1,06 = 7 872, 43 Es fehlen: 100 000 7 872, 43 1, 06 20 = 74 752, 05 0,06 r e = 74 752, 05 = 2 032, 10 1,06 20 1 r = 2 032,10 164, 81 12+0,06 11 2 24 000 12 10 = 200 Lösung zu Aufgabe 4 entfällt Finanzmathematik - Grundlagen 16

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 5 entfällt Lösung zu Aufgabe 6 R 0 = r e = 100 000 1,0320 0,03 1,03 20 1 r = 6 721,57 = 551, 17 12+ 13 0,03 2 = 6 721, 57 Lösung zu Aufgabe 7 a) K 12 = K 0 1,005 1,01 1,015 2 1,02 2 1,025 2 1,03 2 1,035 2 = K 0 1,299 b) p eff = ( 12 1,299 1) 100 = 2,2 % c) keine (Kommutativgesetz) Lösung zu Aufgabe 8 a) ZD H = 360, ZD S = 360 15 = 24 Tag t T Zahlung K ZZ 1 ZZ 2 31.12.00 36 1 394,17 502 07.02.01 37 41-3 000-1 605,83-658 18.03.01 78 13 +1 200-405,83-53 30.03.01 90 1,39-29,63-434,07 b) p eff = (1,0375 4 1) 100 = 15,865 % Finanzmathematik - Grundlagen 17

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 9 a) p eff = (1,0075 4 1) 100 = 3,034 % b), c) Staffelmethode: ZD 1 = 360 2 = 180, ZD 2 = 360 3 = 120 Tag t T Zahlung K ZZ 1 ZZ 2 24.06.01 174 7 7 000,00 7 000,00 490 30.06.01 180 90 2,72 7 002,72 6 302 30.09.01 270 90 35,01 7 037,73 6 333 31.12.01 360 35,18 7 072,91 31.12.01 46 7 072,91 3 253 17.02.02 47 44 7 000,00 14 072,91 6 192 30.03.02 90 69,67 14 142,58 Lösung zu Aufgabe 10 21.3. = Tag 81 des ersten Quartals t 1 = 90 81 + 1 = 10 ( K x = K 0 1 + 0,01 10 ) ( ) 1,01 m 1 + 0,01 t2 = K 0 901 ( 90 90 900 1,01m 1 + t ) 2 9 000 Näherung: K x = K 0 901 900 1,01 m = 2 K 0 m = ln 1 800 901 ln 1,01 69,55 Und damit m = 69,55 = 69, d.h. drei Quartale in 2001, 16 ganze Jahre (bis 2017) sowie 2 Quartale und t 2 Tage in 2018. Dabei: K x = K 0 901 ( 900 1,0169 1 + t ) ( ) 2 2 = 2 K 0 t 2 = 9 000 901 900 1 1,0169 Und damit t 2 = 49,31 = 50. Abhebung also möglich am 21. August 2018. 9 000 49,31 Lösung zu Aufgabe 11 a) 2.9. = Tag 62 des dritten Quartals 1988 t 1 = 90 62 + 1 = 29 30.4. = Tag 30 des zweiten Quartals 2001 t 2 = 29 Finanzmathematik - Grundlagen 18

- Lösungen Dazwischen liegen m = 1 + 4 12 + 1 = 50 ganze Quartale [ K x = K 0 1 + (q 1) 29 ] [ q 50 1 + (q 1) 29 ] ( 61 = 2K 0 90 90 90 + 29 ) 2 q 90 q 50 2 = 0 Newton-Verfahren mit q 0 = 1,01 und ( 61 g(q) = 90 + 29 g (q) = 2 ) 2 90 q q 50 2 ) ( 61 90 + 29 90 q 29 ( 61 90 q50 + 90 + 29 ) 2 90 q 50 q 49 i q i g(q i ) g (q i ) 0 1,01 0,3448 82,825 1 1,0142 0,0424 102,0 2 1,01378 b) p eff = (1,01378 4 1) 100 = 5,6 % p = 1,378 4 = 5,5 % Lösung zu Aufgabe 12 a) Bezeichne q den Quartalszinsfaktor 2001. 11.11. = Tag 41 des vierten Quartals t 1 = 90 41 + 1 = 50 [ 10 633,23 = 10 000 ) ( 4 9 + 5 9 q Newton-Verfahren mit q 0 = 1,005 und 1 + (q 1) 50 90 ] (q + 0,003) 4 (q + 0,006) 4 (q 2 + 0,009 q + 0,000018) 4 1,063323 = 0 ( 4 g(q) = 9 + 5 ) 9 q (q 2 + 0,009 q + 0,000018) 4 1,063323 g (q) = 5 ( 4 9 (q2 + 0,009q + 0,000018) 4 + 4 9 + 5 ) 9 q (q 2 + 0,009q + 0,000018) 3 (2q + 0,009) i q i g(q i ) g (q i ) 0 1,005 0,018239079 9,170293744 1 1,003011069 0,000035751 9,033334056 2 1,002996043 Finanzmathematik - Grundlagen 19

- Lösungen p = 0,3 4 = 1,2 % b) 2002: p eff = [(1,003 + 0,003) 4 1] 100 = 2,42 % 2003: p eff = [(1,003 + 0,006) 4 1] 100 = 3,65 % Lösung zu Aufgabe 13 a) K 0 = 10 000 + 9 000 1,2 + 3 000 1,2 2 + 1 000 1,2 3 = 162,04 K 0 = 10 000 + 9 000 1,25 + 3 000 1,25 2 + 1 000 1,25 3 = 368 b) Projekt A: Newton-Verfahren mit q 0 = 1,2 und g(q) = 10 000 q 3 + 9 000 q 2 + 3 000 q + 1 000 g (q) = 30 000 q 2 + 18 000 q + 3 000 Projekt B: K 0 = 10 000 + i q i g(q i ) g (q i ) 0 1,2 280 18 600 1 1,2151 7,05 19 422,24 2 1,2147 0,71 19 400,28 3 1,2147 p = 21,47 % 11 500 11 500 q 3 = 0 q = 3 = 1,0477 = 4,77 % 10 000 c) Möglichkeit 1: Projekt A fremdfinanzieren, Projekt B eigenfinanzieren Endbetrag = [( 10 000 1,12+9 000) 1,12+3 000] 1,04+1 000+11 500 = 13 057,44 Möglichkeit 2: Projekt A eigenfinanzieren, Projekt B unterlassen Endbetrag = 9 000 1,04 2 + 3 000 1,04 + 1 000 = 13 854,40 Wähle Möglichkeit 2. (Bei den restlichen denkbaren Möglichkeiten ist auch ohne Rechnung ersichtlich, dass der sich ergebende Endbetrag geringer ist.) Finanzmathematik - Grundlagen 20

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 14 15 000 a) K 0 = 20 000 + 1,1 + 9 000 1 560 = 97,67 1,1 2 1,1 3 b) Projekt A: Newton-Verfahren mit q 0 = 1,1 und g(q) = 20 000 q 3 + 15 000 q 2 + 9 000 q 1 560 g (q) = 60 000 q 2 + 30 000 q + 9 000 i q i g(q i ) g (q i ) 0 1,1 130 30 600 1 1,095751634 0,918944 30167,74956 2 1,095721173 Projekt B: K 0 = 20 000 + p = 9,6 % 28 000! = 0 q q 3 = 3 28 000 20 000 = 1,119 = 11,9 % Lösung zu Aufgabe 15 50 000 60 q 5 2,45 = 3 650 000 q = a) K 0 = 3 650 000 1,08 5 = 2 484 128,67 b) 50 000 60 = 3 000 000 c) r e q = 50 000 (12+ 0,08 2 11) 1,08 = 575 925,93 ( ) 1 3,65 2,55 3 1,08 Finanzmathematik - Grundlagen 21

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 16 Bank A: Bank B: R 0 = 22 800 1 1,085 10 = 149 598,74 (1 1,085) 1,08510 ( R 0 = 2 140 12 + 0,085 ) 1 1,085 8 11 = 150 495,94 2 (1 1,085) 1,0858 Wegen 149 598,74 < 150 000 < 150 495,94 gilt: Bank A besser als Eigenfinanzierung besser als Bank B. Lösung zu Aufgabe 17 a) r = 300 000 1,0516 1,05 17 1 1,05 17 = 25 342,61 b) r e = 25 342,61 1,05 = 26 609,74 r = 26 609,74 12 + 0,05 2 13 = 2 159,01 Lösung zu Aufgabe 18 a) Darlehensschuld = 1 2 800 6 8 = 19 200 b) Vergleich der Barwerte mit t = 0 = 1.1. des Folgejahres: Alternative 1: vierteljährlich nachschüssige Rente mit Laufzeit 19 200 4 600 = 8 Jahren ( r e = 600 4 + 0,04 ) 2 3 1 1,04 8 = 2 436 R 0 = 2 436 = 16 400,97 (1 1,04) 1,048 Alternative 2: K 0 = 0,75 19 200 = 14 400 < 16 400,97 Wähle Alternative 2. Lösung zu Aufgabe 19 Rentenbarwert der Auszahlungen: ( r e = 2 500 12 + 0,06 ) 2 13 = 30 975 R 0 = 30 975 1 1,06 20 = 355 280,81 (1 1,06) 1,0620 Finanzmathematik - Grundlagen 22

- Lösungen Rentenendwert der Einzahlungen: r e 1 1,0612 1 1,06 = 355 280,81 r e = 21 059,99 r = 21 059,99 12 + 0,06 2 11 = 1 708,03 Lösung zu Aufgabe 20 a) Rentenbarwert der Auszahlungen (am 1.1.2018): ( r e = 1 000 12 + 0,03 ) 2 13 = 12 195 R 0 = 12 195 1 1,03 5 = 55 849,53 (1 1,03) 1,035 Notwendige Einzahlungen: r e = 55 849,53 b) Wie a), aber Zinsperiode 1 Monat: 1 1,03 2 385,26 = 2 385,26 r = 1 1,0318 12 + 0,03 2 11 = 196,08 R 0 = 1 000 1,0025 1,0025 61 (1 1,0025) 1,0025 60 = 55 791,49 r = 55 791,49 1 1,0025 = 195,12 1 1,0025216 Lösung zu Aufgabe 21 8 71 105 I) 50 000 = 1,045 = 4,5 % 7 50 000 1,026 II) 7 +7 50 000 0,02 50 000 = 1,0423 = 4,23 % III) Prüfung, ob Rendite < 4,5 %; Endwert 2006: 50 000 1,045 5 = 62 309,10 1,045) 1,0457 r e = 62 309,10 (1 1 1,045 7 = 10 573,94 r = Wähle Anlagemöglichkeit I. 10 573,94 12 + 0,045 = 863,35 > 830 2 11 Lösung zu Aufgabe 22 a) R Einz 10 = R Ausz 0 10 000 1 q10 1 q = 20 000 1 q 10 (1 q) q 10 q 10 = 2 q = 1,0718 = 7,18 % Behauptung korrekt. Finanzmathematik - Grundlagen 23

- Lösungen b) Geometrisch veränderliche Rente mit g = 1,025. Zunächst R Einz 10 = 10 000 1 1,071810 1 1,0718 R Ausz 10 = r ( 1,025 1,0718 ) 10 = 139 344,74 1 = 139 344,74 1,0718 1,025 r = 18 108,97 also r 11 = 18 108,97 r 12 = 18 108,97 1,025 = 18 561,69 r 13 = 18 108,97 1,025 2 = 19 025,74 r 20 = 18 108,97 1,025 9 = 22 615,62 Lösung zu Aufgabe 23 a) S = b) 487 500 0,975 = 500 000 (1 1,085) 1,08533 A = 500 000 1 1,085 33 = 45 587,94 45 587,94 a = 12 + 11 = 3 656,54 (monatlich nachschüssig) 2 0,085 Bemerkung: monatlich vorschüssig auch zulässig; dann: a = 3 631,78 c) p eff = 8,5 %; A = 487 500 (1 1,085) 1,08528 1 1,085 28 = 46 136,58 k RS k Z k T k A k 1 487 500 41 437,50 0 41 437,50 2 487 500 41 437,50 0 41 437,50 3 487 500 41 437,50 4 699,08 46 136,58 4 482 800,92 41 038,08 5 098,50 46 136,58 Finanzmathematik - Grundlagen 24

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 24 a) Kaufpreis = 20 000 0,9 = 18 000 Kreditsumme = 18 000 0,95 = 18 947,37 A = 18 947,37 b) Kreditsumme = 20 000 6 000 = 14 000 (1 1,06) 1,063 1 1,06 3 = 7 088,40 A = 14 000 (1 1,02) 1,023 1 1,02 3 = 4 854,57 c) Alternative Kontostand nach 3 Jahren Kauf ohne Kredit 20 000 18 000 = 2 000 Kauf mit Bankkredit 20 000 3 7,088,40 = 1 265,20 Kauf mit Herstellerfinanzierung 20 000 6 000 3 4,854,57 = 563,71 Wähle Kauf ohne Kredit. Lösung zu Aufgabe 25 a) S = 11 000 0,9 = 12 222,22 A = 12 222,22 (1 1,06) 1,065 1 1,06 5 = 2 901,51 k RS k Z k T k A k 1 12 222,22 733,33 2 168,18 2 901,51 2 10 054,04 603,24 2 298,27 2 901,51 3 7 755,77 465,35 2 436,16 2 901,51 4 5 319,61 319,18 2 582,33 2 901,51 5 2 737,28 164,24 2 737,27 2 901,51 b) (Leasingrate < Annuität) (Restwert = 0) Leasing besser c) Annuität < jährlicher Rückfluss Kapitalwert > 0 Investition lohnend d) b) Umrechnung Restwert in Annuität: A = 1 000 1 1,1 1 1,1 5 = 163,80 Reduziert Kreditannuität auf 2 901,51 163,80 = 2 737,71 < Leasingrate Kredit besser c) Kapitalwert zuvor bereits > 0, nun noch höher Investition noch lohnender Finanzmathematik - Grundlagen 25

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 26 225 000 a) S = 0,9 1 962,16 1,05) 1,0515 = 250 000 A = 250 000 (1 1 1,05 15 = 24 085,57 a = b) kein Disagio etc. p eff = p = 6,5 % 24 085,57 12 + 0,05 2 11 = Lösung zu Aufgabe 27 S = 45 000 0,9 = 50 000. Mit A=45 000 A=50 000 (1 1,08) 1,087 1 1,08 7 = 8 643,26 (1 q) q7 1 q 7 = 8 643,26 Newton-Verfahren mit q 0 = 1,06 und 8 643,26 q 7 8 643,26 = 50 000 q 8 50 000 q 7 g(q) = 50 000 q 8 5 8643,26 q 7 + 8 643,26 g (q) = 400 000 q 7 410 502,82 q 6 i q i g(q i ) g (q i ) 0 1,06 157,89 19 147,17 1 1,0518 22,98 13 833,44 2 1,0501 0,35 12 788,04 3 1,051007 p = 5,01 % Lösung zu Aufgabe 28 p eff 24 0,6 24 24 + 1 = 13,8 % Finanzmathematik - Grundlagen 26

- Lösungen Lösung zu Aufgabe 29 a) S = 22 000 0,88 = 25 000 A = 25 000 (1 1,07) 1,073 1 1,07 3 = 9 526,29 k RS k Z k T k A k 1 25 000 1 750 0 1 750 2 25 000 1 750 0 1 750 3 25 000 1 750 7 776,29 9 526,29 4 17 223,71 1 205,66 8 320,63 9 526,29 5 8 903,08 623,22 8 903,08 9 526,30 b) Alternative I: Newton-Verfahren mit q 0 = 1,1 und g(q) = 22 000 q 5 1 750 q 4 1 750 q 3 9 526,29 q 2 9 526,29 q 9 526,30 g (q) = 110 000 q 4 7 000 q 3 5 250 q 2 19 052,58 q 9 526,29 g(q 0 ) = 992,23, g (q 0 ) = 114 897,37 q 1 = 1,1086 p eff = 10,86 % Alternative II: Wähle Alternative I. p eff 24 0,6 36 36 + 1 = 14,01 % Lösung zu Aufgabe 30 a) A = 5 000 (2 + 0,06 2 1) = 10 150 T 1 = 10 150 0,06 40 000 = 7 750 n = RS 1,5 = 40 000 1,06 4 10 150 1 1,064 1 1,06 = 6 096,73 a 2,5 = 6 096,73 0,03 + 1 096,73 1,03 = 1 312,53 p eff = 6 % b) A = 5 000 2 = 10 000 T 1 = 10 000 0,06 40 000 = 7 600 n = RS 1,5 = 40 000 1,06 4 10 000 1 1,064 1 1,06 = 6 752,92 a 2,5 = 6 752,92 0,06 + 1 752,92 = 2 158,10 ln(10 150) ln(7 750) ln(1,06) = 4,63 = 5 ln(10 000) ln(7 600) ln(1,06) = 4,71 = 5 p eff : Effektive Annuitäten : Ã 1 = = Ã 4 = 5 000 1,03 + 5 000 = 10 150; Ã 5 = 5 000 Finanzmathematik - Grundlagen 27

- Lösungen 1,03 + 2 158,10 1 q 4 308,10 40 000 10 150 (1 q)q4 7 q 5 = 0 40 000(1 q)q 5 10 150(1 q 4 )q 7 308,10(1 q) = 0 Newton-Verfahren mit q 0 = 1,06 und g(q) = 40 000 q 6 50 150 q 5 + 2 841,90 q + 7 308,10 g (q) = 240 000 q 5 250 750 q 4 + 2 841,90 g(q 0 ) = 50,73, g (q 0 ) = 7 449,94 q 1 = 1,0668 p eff = 6,68 % Finanzmathematik - Grundlagen 28