Abiturprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe. x Gegeben ist die Funktion f( x) ( x ) in ihrer maximalen Definitionsmenge D f IR. Der zugehörige Graph heißt. Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie D f an, bestimmen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von und geben Sie die Gleichungen und Art aller Asymptoten an. Definitionsmenge: D f IR \ {} Zähler abrufen: z( x) numer( f ( x) ) x Nullstellenbedingung: z( x) x auflösen x Nullstellen: x x Schnittpunkte mit der x-achse: NS ( / ) NS ( / ) Schnittpunkte mit der y-achse: f( ) S y ( / ) lim x x ( x ) y horizontale Asymptote, da Zählergrad Nennergrad. x senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel. Teilaufgabe. (8 BE) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und bestimmen Sie daraus die Art und die Koordinaten des Extrempunktes von. [ Teilergebnis: f' ( x) x 8 ( x ). Ableitung: f' ( x) ( x ) x x ( x ) ( x ) x x x 8 ( x ) x 8 ( x ) Zähler abrufen: z' ( x) numer( f' ( x) ) 8 x Seite von 7
Horizontale Tangenten: z' ( x) 8 x auflösen x Nenner abrufen: n' ( x) denom( f' ( x) ) ( x ) Vorzeichentabelle x x Koordinaten des Hochpunkts: Zähler pos pos neg Nenner neg pos pos f '(x) neg pos neg smf sms smf f( ) HP. Pol HP Graph des Zählers von f ' Graph des Nenners von f ' x-achse Monotonieintervalle: ist streng monoton fallend in ; [. ist streng monoton steigend in ;. ist streng monoton fallend in [ ; [. Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie die Asymptoten und mithilfe der bisherigen Ergebnisse für x in ein kartesisches Koordinatensystem. ( LE cm) Werte "x" "y"... 7..8 Seite von 7
x y HP y-achse NS NS 7 7 S y x-achse Teilaufgabe. ( BE) Die Funktion Fx ( ) x ln ( x ) mit D x F IR \ {} ist eine Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich). und die Koordinatenachsen schließen im III. Quadranten ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts. A f( x) dx ( F( ) F( ) ) A [ ln( ) ( ln( 9) ) A ln( 9) Teilaufgabe. Gegeben ist die Funktion h mit hx ( ) ( x ) ln( x ) in der größtmöglichen Definitionsmenge D h IR. Der Graph von h wird mit G h bezeichnet. Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie D h und die Nullstelle von h sowie deren Vielfachheit. Untersuchen Sie das Verhalten von hx ( ) an den Rändern von D h und geben Sie die Gleichungen der Asymptote von G h an. Seite von 7
Definitionsmenge: x auflösen x x D h ; [ hx ( ) ln( x ) ( x ) ln( x ) auflösen x x auflösen x doppelte Nullstelle: x lim x [( x ) ln( x ) lim [( x ) ln( x ) x Vertikale Asymptote x Teilaufgabe. ( BE) Weisen Sie nach, dass G h an der Stelle x einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G h, schließen Sie daraus auf die Art des Extremums von G h und geben Sie die Wertemenge von h an. [ Teilergebnis: h'' ( x) x ( x ). Ableitungsfunktion: h' ( x) ln ( x ) ( x ) x h' ( ) also horizontale Tangente. Ableitungsfunktion: h'' ( x) x ( x ) ( x ) ( x ) x x ( x ) x x ( x ) z'' ( x) numer( h'' ( x) ) x z'' ( x) x auflösen x x ist nicht in der Definitionsmenge enthalten h'' ( x) für x > G h ist linksgekrümmt x ist ein absoluter Tiefpunkt, Wertemenge: W IR + Seite von 7
Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie die Asymptote von G h in ein Koordinatensystem und skizzieren Sie G h mithilfe der bisherigen Ergebnisse in das Koordinatensystem. 8 Graph von h mit senkr. Asymptote und Tiefpunkt x y-achse nicht definiert TP 8 x-achse Teilaufgabe. Gegeben sind zwei gleichartige Behälter, welche über ein Rohr miteinander verbunden sind. Am Anfang sind beide Ventile geschlossen und Behälter I hat einen Wasserstand von cm, Behälter II enthält kein Wasser. Beim ersten Experiment wird zum Zeitpunkt t nur das Ventil geöffnet. Der Wasserstand in Behälter II verhält sich entsprechend folgender Funktion: A () t e kt mit t, wobei A () t der Wasserstand (in cm) zum Zeitpunkt t ist. Die Zeit t wird in Sekunden gemessen. Bei den Rechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden. Runden Sie alle Werte auf eine Nachkommastelle. Seite von 7
Teilaufgabe. ( BE) Zum Zeitpunkt t 8.s beträgt der Wasserstand in Behälter II, cm. Bestimmen Sie daraus den Wert von k. [ Ergebnis: k. A ( 8) e k8 8 e 8 k ln ln( ) k auflösen k k 8. Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie die Zeit, nach der in Behälter II der Wasserstand auf, cm angestiegen ist. Funktionsterm: Bedingung: A () t e.t k A () t e.t e.t t ln t auflösen t ln ( ) ln ( ) t. Teilaufgabe.. Das Experiment wird noch einmal wiederholt, wobei jetzt auch der Abfluss hinter Behälter II (Ventil ) geöffnet ist, durch den gleichmäßig eine bestimmte Menge Wasser abfließt. Die Funktion für den Wasserstand in Behälter II verändert sich nun wie folgt: A () t e.t.t mit t t leer. Teilaufgabe.. ( BE) Ermitteln Sie, welcher Wasserstand in Behälter II maximal erreicht wird. Ableitung: A' () t (.) e.t. A' () t e.t. Horizontale Tangenten: A' () t e.t. auflösen t Gleitkommazahl. Extremum: t E. Vorzeichen von A' () t A' () t e.t. auflösen t Gleitkommazahl t. A' () t e.t. auflösen t Gleitkommazahl. t Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, das Extremum ist also ein Maximum. Höchster Wasserstand in Behälter II: A t E. also, cm. Seite von 7
Teilaufgabe.. ( BE) In der Praxis lässt sich die Funktion A () t für t durch ihre schiefe Asymptote ersetzen. Geben Sie die Gleichung der schiefen Asymptote an und berechnen Sie damit näherungsweise den Zeitpunkt t leer, zu dem der Behälter II wieder leer ist. lim t e.t.t Schiefe Asymptote: gt ().t gt ().t auflösen t. t leer Behälter II ist etwa nach Sekunden leer. Wasserstand in Behälter I Wasserstand in cm Zeit t in s t E Wasserstand in Behälter II t leer Wasserstand in cm Zeit t in s Seite 7 von 7