Die Logik der Sprache PL

II Die Logik der Sprache PL 16 Der Aufbau der Sprache PL Ein Beispiel Problem (1) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also: Sokrates ist sterblich. Intuitiv ist dieses Argument gültig. Aber mit aussagenlogischen Mitteln lässt sich seine Gültigkeit nicht nachweisen. Die Sprache PL Syntax 1 Denn wenn wir versuchen, das Argument (1) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also: Sokrates ist sterblich. in AL zu übersetzen, geht das nur so: (1 ) p q Also: r p! Alle Menschen sind sterblich q! Sokrates ist ein Mensch r! Sokrates ist sterblich Und das Argument (1 ) ist sicher nicht gültig. Die Sprache PL Syntax 2

Fazit Um die Gültigkeit von (1) nachzuweisen, benötigen wir eine reichere Sprache als AL eine Sprache, deren Sätze eine größere innere Struktur aufweisen. Aus diesem Grund betrachten wir im folgenden die strukturreichere Sprache PL. Vorbemerkung Da wir wiederum nur an Argumenten interessiert sind, enthält auch PL nur Aussagesätze. Die Sprache PL Syntax 3 Syntax 1. Aus welchen Grundzeichen oder Grundausdrücken sind die Sätze dieser Sprache aufgebaut? 2. Wie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache? Semantik 1. Was bedeuten die Grundzeichen der Sprache? 2. Wie ergeben sich aus der Bedeutung der Grundzeichen Wahrheitsbedingungen für die Sätze dieser Sprache? Die Sprache PL Syntax 4

16.1 Die Syntax von PL Vorüberlegungen Welche Arten von Ausdrücken gibt es im Deutschen? 1. Auch im Deutschen gibt es Satzoperatoren ( und, weil, obwohl, nachdem usw.). 2. Daneben gibt es aber auch Namen ( Hans, Edelgard Bulmahn, Paris, Spanien, Elbe usw.). 3. Es gibt Prädikate ( ist eine Großstadt, liegt an, trainiert usw.). 4. Und es gibt quantifizierende Ausdrücke ( alle, es gibt mindestens ein usw.). Die Sprache PL Syntax 5 Namen bezeichnen Gegenstände. Prädikate drücken Eigenschaften oder Beziehungen aus; sie treffen auf Gegenstände oder n-tupel von Gegenständen zu. Prädikate und Namen werden unter anderem dazu verwendet, Sätze zu bilden, in denen Gegenständen Eigenschaften zugesprochen werden oder in denen gesagt wird, dass Gegenstände in bestimmten Beziehungen zueinander stehen. Die Sprache PL Syntax 6

Beispiele Pablo Picasso ist berühmt. Rom ist eine Hauptstadt. Herbert trainiert. Dresden liegt an der Elbe. Heribert läuft schneller als Frieder. Bielefeld liegt zwischen Hannover und Dortmund.! Prädikate unterscheiden sich in ihrer Stellenzahl. Es gibt einstellige, zweistellige, dreistellige Prädikate usw. Die Sprache PL Syntax 7 Neben den Junktoren soll es in PL auch Zeichen geben, die den Namen und den Prädikaten im Deutschen entsprechen. Diese werden Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben heißen. Außerdem soll es in PL Ausdrücke geben, die den Ausdrücken alle und mindestens ein im Deutschen entsprechen. Die Sprache PL Syntax 8

Deskriptive Zeichen von PL Individuenkonstanten Individuenkonstanten sind kleine Buchstaben ab dem Buchstaben a, wenn nötig auch mit Indizes. Also z.b. die Zeichen a, b, c, d usw. sowie die Zeichen a 1, a 2,..., b 1, b 2 usw. Prädikatbuchstaben Prädikatbuchstaben sind Zeichen der Form F n, G n, H n usw., wenn nötig auch mit Indizes. (Das hochgestellte n steht für die Stellenzahl des Prädikatbuchstabens). Also z.b. die Zeichen F 1, F 2, F 3, G 1 G 2, H 1 usw. sowie die Zeichen F 11, F 21, H 13, usw. Die Sprache PL Syntax 9 Logische Zeichen von PL Die Junktoren,,, und. Die Quantorzeichen und. Individuenvariablen Individuenvariablen sind kleine Buchstaben ab dem Buchstaben x, wenn nötig auch mit Indizes. (Also z.b. die Zeichen x, y, z usw. sowie die Zeichen x 1, x 2,..., y 1, y 2 usw.) Quantoren Quantoren sind aus je einem Quantorzeichen und einer Individuenvariablen aufgebaut: x, y usw. Die Sprache PL Syntax 10

Hilfszeichen von PL Die beiden Klammern ( und ). Die Sprache PL Syntax 11 Sätze der Sprache PL 1. Atomare Sätze Atomare Sätze bestehen aus einem Prädikatbuchstaben, der von einer seiner Stellenzahl entsprechenden Anzahl von Individuenkonstanten gefolgt wird. Beispiele F 1 a G 1 e F 2 a 4 a 1 H 2 cc H 3 b 1 a 4 c 3 Die Sprache PL Syntax 12

2. Komplexe Sätze Komplexe Sätze entstehen, indem man vor einen Satz das Zeichen schreibt oder indem man zwischen zwei Sätze die Zeichen,, oder schreibt. Dabei muss außer bei der Anwendung des Negationszeichen der neu erzeugte Satz in Klammern gesetzt werden. Die Sprache PL Syntax 13 Beispiele F 1 a H 1 c (F 1 a H 1 c) (F 2 bb G 2 bc) ( G 2 ad G 1 b) ( F 1 a (G 2 ac H 3 dad)) Es gelten wieder die Klammerersparnisregeln 1. Äußerste Klammern dürfen weggelassen werden. 2. und binden stärker als und. Die Sprache PL Syntax 14

3. Quantifizierte Sätze (1) Um den Aufbau dieser dritten Art von Sätzen präzise beschreiben zu können, müssen zunächst noch einige Vorbereitungen getroffen werden. Als erstes muss ein zentraler Hilfsbegriff eingeführt werden der Begriff der Satzfunktion. Die Sprache PL Syntax 15 Vorläufige Definition Satzfunktionen sind Sätze und die Ausdrücke, die aus Sätzen entstehen, wenn man in ihnen eine oder mehrere Individuenkonstanten durch Individuenvariablen ersetzt. Beispiele Der Satz G 2 ab ist eine Satzfunktion. Aus ihm kann man unter anderem aber auch die folgenden Satzfunktionen gewinnen: G 2 xb G 2 ay G 2 xy G 2 xx Die Sprache PL Syntax 16

Aus Satzfunktionen kann man auf zwei Arten Sätze erzeugen: 1. Indem man die Individuenvariablen wieder durch Individuenkonstanten ersetzt. F 1 x F 1 a G 2 ay G 2 ac G 2 xy G 2 by G 2 ba 2. Indem man vor die Satzfunktionen geeignete Quantoren schreibt, um wie man sagt die Variablen zu binden. F 1 x xf 1 x G 2 ay yg 2 ay G 2 xy yg 2 xy x yg 2 xy Die Sprache PL Syntax 17 Weitere Hilfsbegriffe Definition 16.1 Der Bereich eines Quantors ist die kürzeste vollständige Satzfunktion, die unmittelbar auf den Quantor folgt. Beispiele (1) x(f 1 x G 1 x) (2) yf 2 ay (3) xf 1 x G 1 x (4) yf 2 xy (5) F 2 xy (6) x yf 2 xy (6) x yf 2 xy Die Sprache PL Syntax 18

Definition 16.2 Ist A eine Satzfunktion, in der die Variable α vorkommt, dann heißt ein Vorkommnis von α in A genau dann gebunden, wenn dieses Vorkommnis in einem Quantor oder im Bereich eines Quantors mit derselben Variable liegt. Definition 16.3 Ist A eine Satzfunktion, in der die Variable α vorkommt, dann heißt ein Vorkommnis von α in A genau dann frei, wenn dieses Vorkommnis nicht gebunden ist. Die Sprache PL Syntax 19 Beispiele (Freie Vorkommnisse sind durch grüne, gebundene Vorkommnisse durch rote Buchstaben gekennzeichnet.) (1) x(f 1 x G 1 x) (2) yf 2 ay (3) xf 1 x G 1 x (4) yf 2 xy (5) F 2 xy (6) x yf 2 xy Die Sprache PL Syntax 20

Auf der Grundlage der bisher getroffenen Festlegungen, die sich nur auf einzelne Vorkommnisse von Variablen beziehen, kann man weiter allgemein definieren: Definition 16.4 Eine Variable α kommt in einer Satzfunktion A genau dann frei vor, wenn wenigstens ein Vorkommnis von α in A frei ist. Definition 16.5 Eine Variable α kommt in einer Satzfunktion A genau dann gebunden vor, wenn wenigstens ein Vorkommnis von α in A gebunden ist. Die Sprache PL Syntax 21! Eine Variable kann in einer Satzfunktion sowohl frei als auch gebunden vorkommen. (Das ist etwa im Beispiel (3) der Fall.) Die Sprache PL Syntax 22

3. Quantifizierte Sätze (2) Ist B eine Satzfunktion und α die einzige Individuenvariable von PL, die in B frei vorkommt, dann sind αb und αb Sätze von PL. Die Sprache PL Syntax 23 Definition 16.6 A ist genau dann eine Satzfunktion der Sprache PL, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) Φ n ist ein n-stelliger Prädikatbuchstabe von PL, τ 1,..., τ n sind n Individuenkonstanten oder Individuenvariablen von PL und A = Φ n τ 1...τ n ; (ii) B und C sind Satzfunktionen von PL, und A = B, A = (B C), A = (B C), A = (B C) oder A = (B C); (iii) B ist eine Satzfunktion und α eine Individuenvariable von PL, die in B frei vorkommt, und A = αb oder A = αb. Die Sprache PL Syntax 24

Definition 16.7 A ist genau dann ein Satz von PL, wenn A eine Satzfunktion von PL ist, in der keine Variable frei vorkommt. Die Sprache PL Syntax 25 Beispiele (1) G 1 c (2) F 3 aac (3) G 1 y (4) F 2 xx (5) F 1 a G 2 ba (6) (H 1 a F 2 xy) (7) yg 1 y (8) x(f 1 y F 3 ayb)! Die Sprache PL Syntax 26

Weitere Beispiele (9) ( zf 3 zb) (10) x(f 1 x yf 3 ayb) (11) (F 1 a yh 1 y) (12) x(f 1 x yg 2 yx) (13) y(f 1 x F 2 axy) (14) x(f 1 x xg 1 x) (15) x(f 1 y xg 1 x)!!! Die Sprache PL Syntax 27 Verabredung Ist A eine Satzfunktion, α eine Individuenvariable und τ eine Individuenkonstante, dann soll mit [A]" die Satzfunktion bezeichnet werden, die entsteht, wenn man in A alle freien Vorkommnisse von α durch τ ersetzt Die Sprache PL Syntax 28

Beispiele (1) [F 1 x]# = F 1 a (2) [F 2 xy]$ = F 2 by (3) [F 1 x]%& = F 1 x (4) [ xf 2 xy]' = xf 2 xb (5) [[F 2 xy]#]%&= [F 2 ay]% = F 2 aa (6) [G 3 abx xf 1 x]# = G 3 aba xf 1 x (7) [ yg 3 ayy yf 1 y]% = yg 3 ayy yf 1 y (8) [ yf 2 xy xf 2 xx]# = yf 2 ay xf 2 xx Die Sprache PL Syntax 29

16.2 Die Semantik von PL Die Bedeutung der deskriptiven Zeichen der Sprache PL Die Bedeutung der deskriptiven Ausdrücke der Sprache PL wird durch eine Interpretation I festgelegt. Interpretationen spielen in PL die Rolle, die Bewertungen in AL spielen. Die Sprache PL Semantik 1 Interpretationen Jede Interpretation I besteht aus der Angabe eines nichtleeren Bereichs D und einer Funktion V, die jedem deskriptiven Zeichen von PL eine Bedeutung zuweist. Jede Interpretation I ist also ein geordnetes Paar <D, V> aus einem Bereich D und einer Funktion V. Erinnerung Die Individuenkonstanten von PL sollen den Namen der deutschen Umgangssprache entsprechen, und die Prädikatbuchstaben von PL den Prädikaten der deutschen Umgangssprache. Die Sprache PL Semantik 2

Individuenkonstanten In der deutschen Umgangssprache bezeichnen Namen einzelne Gegenstände (in einem weiten Sinne). So bezeichnet Gerhard Schröder die Person Gerhard Schröder und Rom die Stadt Rom. Auch Individuenkonstanten sollen Gegenstände bezeichnen; deshalb wird bei jeder Interpretation I = <D, V> jeder Individuenkonstanten τ von PL durch die Funktion V ein Gegenstand V(τ) des Bereichs D zugeordnet der Gegenstand, den τ bzgl. I bezeichnet. Die Sprache PL Semantik 3 Prädikatbuchstaben 1 Umgangssprachliche Prädikate zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf Gegenstände (bzw. auf Paare oder n-tupel von Gegenständen) zutreffen. So trifft das Prädikat... ist ein Freizeitradsportler auf Rudolf Scharping zu. Und... ist älter als... trifft z.b. auf das geordnete Paar aus Gerhard Schröder und Bill Clinton zu. Die Bedeutung jedes umgangssprachlichen Prädikats kann also durch die Menge der Gegenstände (bzw. die Menge der n-tupel von Gegenständen) angegeben werden, auf die das Prädikat zutrifft. Die Sprache PL Semantik 4

Prädikatbuchstaben 2 Entsprechend weist auch die Funktion V jedem Prädikatbuchstaben Φ n von PL eine Menge von Gegenständen der Grundmenge D zu bzw. eine Menge von n-tupeln von Gegenständen von D. Jede Interpretation I = <D, V> legt so für jeden Prädikatbuchstaben Φ n die Menge V(Φ n ) der Dinge (bzw.der n-tupel von Dingen) fest, auf die Φ n bzgl. I zutrifft. Die Sprache PL Semantik 5 Definition 16.9 Eine Interpretation I der Sprache PL ist ein geordnetes Paar <D, V> aus einer nichtleeren Menge D (dem Bereich von I) und einer Abbildung V, die 1. jeder Individuenkonstante τ von PL ein Element von D und 2. jedem n-stelligen Prädikatbuchstaben Φ n von PL eine Menge von n-tupeln von Elementen von D zuordnet. Die Sprache PL Semantik 6

Beispiel einer Interpretation I 1 = <D 1, V 1 > D 1 = die Menge der natürlichen Zahlen V 1 (a i ) = i für alle Individuenkonstanten a i von PL V 1 (F 1 ) = {x; x ist eine gerade natürliche Zahl} V 1 (G 1 ) = {x; x ist eine ungerade natürliche Zahl} V 1 (H 1 ) = {x; x ist eine Primzahl} V 1 (F 2 ) = {<x, y>; x ist kleiner als y} V 1 (G 2 ) = {<x, y>; x ist größer als y} V 1 (F 3 ) = {<x, y, z >; x + y = z} Die Interpretation der übrigen Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben sei beliebig. Die Sprache PL Semantik 7 Die Wahrheitsbedingungen der Sätze von PL 1. Atomare Sätze Atomare Sätze bestehen aus einem Prädikatbuchstaben, der von einer seiner Stellenzahl entsprechenden Anzahl von Individuenkonstanten gefolgt wird. Individuenkonstanten bezeichnen Gegenstände von D, Prädikatbuchstaben treffen auf Gegenstände bzw. auf n-tupel von Gegenständen zu. Die Sprache PL Semantik 8

Atomare Sätze 2 Betrachten wir einen Satz der Form Φ 1 τ. Ein solcher Satz ist bzgl. einer Interpretation I = <D, V> genau dann wahr, wenn der Gegenstand V(τ), den V τ zuordnet, zur Menge V(Φ 1 ) gehört, die V Φ 1 zuordnet. Beispiel F 1 a 1 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn V 1 (a 1 ) Element der Menge V 1 (F 1 ) ist, d.h. wenn 1 Element der Menge der geraden natürlichen Zahlen ist, wenn also 1 eine gerade natürliche Zahl ist. Die Sprache PL Semantik 9 Weitere Beispiele G 1 a 3 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn V 1 (a 3 ) Element der Menge V 1 (G 1 ) ist, d.h. wenn 3 Element der Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist, wenn also 3 eine ungerade natürliche Zahl ist. H 1 a 4 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn V 1 (a 4 ) Element der Menge V 1 (H 1 ) ist, d.h. wenn 4 Element der Menge der Primzahlen ist, wenn also 4 eine Primzahl ist. Die Sprache PL Semantik 9

Atomare Sätze 3 Generell Ein Satz der Form Φ n τ 1...τ n ist bzgl. einer Interpretation I = <D, V> genau dann wahr, wenn das n- Tupel <V(τ 1 ),, V(τ n )> der Gegenstände, die V den Individuenkonstanten τ 1,, τ n zuweist, zur Menge der n-tupel V(Φ n ) gehört, auf die Φ n (bzgl. I) zutrifft. Beispiel F 2 a 1 a 3 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn das geordnete Paar <V 1 (a 1 ), V 1 (a 3 )> Element der Menge V 1 (F 2 ) ist, d.h. wenn <1, 3> Element der Menge {<x, y>; x ist kleiner als y} ist, wenn also 1 kleiner als 3 ist. Die Sprache PL Semantik 11 Weitere Beispiele G 2 a 3 a 12 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn das geordnete Paar <V 1 (a 3 ), V 1 (a 12 )> Element der Menge V 1 (G 2 ) ist, d.h. wenn <3, 12> Element der Menge {<x, y>; x ist größer als y} ist, wenn also 3 größer als 12 ist. F 3 a 4 a 7 a 11 ist bgzl. I 1 genau dann wahr, wenn das Tripel <V 1 (a 4 ), V 1 (a 7 ), V 1 (a 11 )> Element der Menge V 1 (F 3 ) ist, d.h. wenn <4, 7, 11> Element der Menge {<x, y, z >; x + y = z} ist, wenn also 4 + 7 =11. Die Sprache PL Semantik 9

2. Komplexe Sätze Komplexe Sätze sind Sätze der Form B, (B C), (B C), (B C) und (B C). Ein Satz der Form B soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B falsch (nicht wahr) ist bzgl. I. Ein Satz der Form (B C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B und C beide wahr sind bzgl. I. Ein Satz der Form (B C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn von den Sätzen B und C mindestens einer wahr ist bzgl. I. Die Sprache PL Semantik 13 Komplexe Sätze 2 Ein Satz der Form (B C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B falsch ist bzgl. I und/oder C wahr ist bzgl. I. Ein Satz der Form (B C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B und C beide wahr sind oder beide falsch sind bzgl. I. Die Sprache PL Semantik 14

3. Quantifizierter Sätze Wann ist der Satz (1) x G 2 xa 3 bezüglich der Interpretation I 1 = <D 1, V 1 > wahr? Wir erinnern uns: D 1 = die Menge der natürlichen Zahlen. V 1 (a 3 )=3 V 1 (G 2 )= {<x, y>; x ist größer als y} Der Satz (1) soll also offenbar besagen, dass alle natürlichen Zahlen größer sind als 3. Wie kann man diese Wahrheitsbedingung präzise fassen? Die Sprache PL Semantik 15 Ausgangsüberlegung xg 2 xa 3 ist genau dann wahr bzgl. I 1, wenn der Satz G 2 aa 3 wahr ist unabhängig davon, welche Zahl die Individuenkonstante a bezeichnet. Die Sprache PL Semantik 16

Definition 16.10 Sind I = <D, V> und I = <D, V > zwei Interpretationen und ist τ eine Individuenkonstante von PL, dann ist I eine τ-variante von I (symbol.: I ( I) genau dann, wenn sich I von I höchstens bzgl. der Interpretation von τ unterscheidet, d.h. wenn gilt: (a) (b) (c) D = D, V ordnet allen Individuenkonstanten außer möglicherweise τ dieselben Gegenstände zu wie V und V ordnet allen Prädikatbuchstaben dieselben Werte zu wie V. Die Sprache PL Semantik 17 Die Ausgangsüberlegung lässt sich jetzt so formulieren xg 2 xa 3 ist genau dann wahr bzgl. I 1, wenn der Satz G 2 aa 3 wahr ist bzgl. aller a-varianten I von I 1. Außerdem gilt G 2 aa 3 = [G 2 xa 3 ]# Mit anderen Worten xg 2 xa 3 ist genau dann wahr bzgl. I 1, wenn der Satz [G 2 xa 3 ]# wahr ist bzgl. aller a-varianten I von I 1. Die Sprache PL Semantik 18

Generell Ein Satz der Form αa ist genau dann wahr bzgl. einer Interpretation I, wenn der Satz [A]" wahr ist bzgl. aller τ-varianten I von I, wobei τ eine Individuenkonstante ist, die in A nicht vorkommt. Für Existenzaussagen gilt entsprechend Ein Satz der Form αa ist genau dann wahr bzgl. einer Interpretation I, wenn der Satz [A]" wahr ist bzgl. zumindest einer τ-variante I von I, wobei τ eine Individuenkonstante ist, die in A nicht vorkommt. Die Sprache PL Semantik 19 Definition 16.11 Ist I = <D, V> eine Interpretation der Sprache PL, dann ist ein Satz A von PL genau dann wahr bzgl. I, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist atomar, d.h. A = Φ n τ 1...τ n, und das n- Tupel <V(τ 1 ),..., V(τ n )> ist Element der Menge von n-tupeln, die V dem Prädikatbuchstaben Φ n zuordnet, d.h. Element von V(Φ n ); (ii) A = B, und B ist falsch bzgl. I; (iii) A = (B C), und die Sätze B und C sind beide wahr bzgl. I; (iv) A = (B C), und von den Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. I; Die Sprache PL Semantik 20

Definition 16.11 (2) (v) (vi) (vii) A = (B C), und B ist nicht wahr bzgl. I oder C ist wahr bzgl. I oder beides; A = (B C), und die Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch bzgl. I; A = αb (B ist eine Satzfunktion von PL, in der nur die Variable α frei vorkommt), und [B]"&ist wahr bzgl. aller τ-varianten I von I, wobei τ eine Individuenkonstante von PL ist, die in B nicht vorkommt; Die Sprache PL Semantik 21 Definition 16.11 (3) (viii) A = αb (B ist eine Satzfunktion von PL, in der nur die Variable α frei vorkommt), und [B]" ist wahr bzgl. mindestens einer τ-variante I von I, wobei τ eine Individuenkonstante von PL ist, die in B nicht vorkommt. Die Sprache PL Semantik 22

Die folgenden Sätze sind wahr bzgl. I 1 (1) G 1 a 1 (2) F 1 a 3 (3) F 1 a 3 G 1 a 1 (4) F 2 a 1 a 3 (5) F 3 a 1 a 1 a 2 (6) F 3 a 1 a 2 a 3 (7) xg 2 xa 3 (8) x(h 1 x G 2 xa 2 ) (9) x(h 1 x F 2 xa 2 ) (10) x zf 2 xz Die Sprache PL Semantik 23 Die folgenden Sätze sind nicht wahr bzgl. I 1 (11) H 1 a 4 (12) F 3 a 2 a 2 a 4 G 1 a 2 (13) xf 2 xx (14) x yf 2 yx (15) x y z(f 3 xyz G 2 xy). Die Sprache PL Semantik 24