Verschränkung von Kay-Sebastian Nikolaus, Seminar Quantenmechanik am 4. Oktober 014 bei Prof. Dr. Wolschin Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Allgemeines Historische Hintergründe, Probleme 3.1 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon.............. 3. Erklärung, Bell sche Ungleichungen............... 4.3 Informationsübertragung.................... 6 3 Verschränkte Systeme 7 3.1 Erzeugung............................. 7 3. Qubit............................... 7 3.3 No-Cloning-Theorem....................... 7 3.4 Anwendungen........................... 8 4 Quellen 10 1
1 Definition und Allgemeines Verschränkte Zustände sind nicht separabel, d.h. nicht in einzelne Wellenfunktionen φ, χ zerlegbar. Daher gilt für einen verschränkten Zustand Ψ : Ψ φ χ. Etwas allgemeiner: Ψ = c ij i j. i,j Hierbei bezeichnet c ij ein Matrixelement und i bzw. j Vektoren eines Hilbertraumes. Lässt sich nun c ij nicht in a i b j zerlegen, so handelt es sich um einen verschränkten Zustand, also c ij i j a i b j i j. Ein einfaches Beispiel für einen verschränkten Zustand wäre folgendes: Ψ = 1 ( 0 0 + 1 1 ). Man sieht leicht: Wäre Ψ = φ χ, so ließe sich φ schreiben als φ = a 0 + b 1, ebenso χ = c 0 + d 1 mit komplexen Zahlen a, b, c, d. Multipliziert man nun die beiden Gleichungen miteinander, so ergibt sich Ψ = ac 0 0 + bc 1 0 + ad 0 1 + bd 1 1 Durch Koeffizientenvergleich erhält man die Bedingungen ac = 1, bc = 0, ad = 0 und bd = 1 Aufgrund der Nullteilerfreiheit komplexer Zahlen stellt dies einen Widerspruch dar, folglich lässt sich Ψ nicht wie gewünscht aufteilen. Bei verschränkten Teilchen sind die Messungen bestimmter Observablen korreliert, d.h. misst man bei Teilchen 1 einen bestimmten Wert, so hat dies direkte Auswirkungen auf Teilchen, welches sofort ebenfalls einen bestimmten Wert annimmt. Diese Verbindung ist dabei nichtlokal, die beiden Teilchen können beliebig weit voneinander entfernt sein, sodass sie nach der klassischen Physik in keinem kausalen Kontakt miteinander stehen. Dies führte zu einigen interessanten Einsichten, aber auch heftigen Diskussionen.
Historische Hintergründe, Probleme.1 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon Schwabl: Quantenmechanik Abbildung 1: EPR-Versuch Hierbei handelt es sich um ein sehr berühmt gewordenen Gedankenexperiment. Man betrachte eine Quelle, welche zwei verschränkte Teilchen produziert, beispielsweise Photonen mit verschränkter Polarisation (siehe Abbildung 1) und der gemeinsamen Funktion Ψ = 1 ( 0 0 + 1 1 ), wobei z.b. 0 = 0 und 1 = 90. Diese Eigenschaft kann nun mit Hilfe der Polarisatoren bestimmt werden. Misst man nun für Photon 1 eine Polarisationsrichtung von 0, so ist Photon um 90 polarisiert und umgekehrt. Projektiert man also einen Messzustand 0 auf die Wellenfunktion Ψ = 1 ( 0 0 + 1 1 ), so ergibt sich: 0 Ψ = 1 0 ( 0 0 + 1 1 ) = 1 ( 0 0 0 + 0 1 1 ) = 1 0 0 0 = 1 0. Diese Erkenntnis führte zu heftigen Debatten in der Physik. Einstein bezeichnete den Effekt als spukhafte Fernwirkung und lehnte vieles der Quantentheorie ab, da die Verschränkung direkt aus ihr folgt. Er befürchtete unter anderem Widersprüche zur Relativitätstheorie, da es scheinbar eine überlichtschnelle Informationsübertragung zwischen verschränkten Teilchen gibt. Seiner Ansicht nach, war die Quantentheorie unvollständig, er vermutete die Existenz versteckter Parameter, welche die Eigenschaften wie Polarisation bereits vor der Messung festsetzen und durch den Experimentator nicht messbar sind. Mittlerweile ist es möglich gewesen, dieses Gedankenexperiment auch praktisch durchzuführen, teils in einer etwas abgewandelten Form, folglich gibt es tatsächlich experimentelle Bestätigungen. Auf theoretischer Seite machten sich einige Physiker ans Werk das Rätsel um die versteckten Parameter und die Korrektheit der Quantentheorie zu lösen, einer von ihnen war John Steward Bell. 3
. Erklärung, Bell sche Ungleichungen Im Folgenden soll eine einfache Form der Bell schen Ungleichung (1964, On the EPR paradox, Physics 1 (3) 195-00) vorgestellt werden (siehe Schwabl, Quantenmechanik, Springer Verlag, Seite 400ff). Dabei gehe man von zwei verschränkten Teilchen T 1 und T aus, welche sich eine Funktion Ψ = 1 ( 0 1 + 1 0 ). teilen. Weiterhin sei N(α, β) = 1 4 (1 ˆn α ˆn β ) die relative Zahl der Versuchsausgänge, bei denen T 1 bei α und T bei β positiv gemessen wird. Durch die koplanaren Polarisatoren lässt sich dieser Ausdruck vereinfachen zu: N(α, β) = 1 sin ( β α ). Diese Formel ergibt sich aus einer quantenmechanischer Betrachtung. Nun gehe man davon aus, dass versteckte Parameter existieren. Somit gelte nun weiterhin N(α, β) = N(αγ, β) + N(α, βγ). N(αγ, β) bezeichne die relative Zahl der Teilchenpaare, mit einer positiven Messung von T 1 bei α und γ sowie einer negativen bei β. Existieren versteckte Parameter, so existieren auch diese Informationen. Weiterhin gilt: N(αγ, β) N(γ, β), denn N(γ, β) = N(αγ, β) + N(γ, βα), alle Summanden sich nicht-negativ, N(α, γβ) N(α, γ) analog. Daraus folgt: N(α, β) N(α, γ) + N(γ, β). Diese Ungleichung wird von der Quantenmechanik verletzt, was widerlegt, dass versteckte Parameter vorhanden sind. Die Quantenmechanik ist bereits vollständig beschrieben, sie ist weder real noch klassisch. Eine Messung misst nicht bereits vorhandene Werte, sondern legt die Werte überhaupt erst 4
Fest. Vor der Messung waren diese nicht existent. Man betrachte folgendes Beispiel: α = 0, β = 90, γ = 45 Aus der Quantenmechanischer Theorie folgt: N(α, β) = 1 sin (45 ), N(α, γ) = 1 sin (, 5 ), N(γ, β) = 1 sin (, 5 ). Eingesetzt in die Bell sche Ungleichung ergibt sich: sin (45 ) sin (, 5 ) 0, 5 0, 9. Man erhält offensichtlich einen Widerspruch, die Ungleichung wird folglich verletzt, die Annahme versteckter Parameter ist falsch. Schwabl: Quantenmechanik Abbildung : Vergleich Ungleichung und QM Auf der linken Seite von Abbildung ist ein Vergleich zwischen der Korrelation aus der Bell schen Ungleichung und der Quantentheorie zu sehen. Rechts experimentelle Ergebnisse von Lamehi-Rachti und Mittig im Verlgeich mit der Quantentheorie und der Bell schen Ungleichung. Für den Versuch wurden Protonen verwendet. 5
Alain Aspect: From Einstein s questions to Quantum bits: a new quantum era? Abbildung 3: Experiment von Grangier und Roger Abbildung 3 zeigt die Ergebnisse eines Versuchs von Grangier und Roger mit Photonen aus dem Jahr 198. Man kann deutlich erkennen, die die Quantenmechanischen Resultate die Bell schen Ungleichung verletzen..3 Informationsübertragung Es stellt sich nun die Frage, ob über die Verschränkung zweier Teilchen Informationen mit Überlichtgeschwindigkeit übertragen werden können. Wenn auch verständlich, ist die Vermutung falsch, es können keine Informationen übertragen werden. Man erfährt nur etwas über das Teilchen, das man vor Ort gemessen hat. Um zu wissen, was mit dem anderen geschehen ist, muss man dies über eine klassische Leitung in Erfahrung bringen. Es gibt entsprechend keinen Widerspruch zu Einsteins Relativitätstheorie. 6
3 Verschränkte Systeme 3.1 Erzeugung Hier werden kurz drei Beispiele zur Erzeugung verschränkter Teilchen vorgestellt. 1. Nichtlinear optische Kristalle: Ein Photon hoher Energie erzeugt im Kristall zwei verschränkte Photonen halber Energie.. Anregung bestimmter Atome mit einem Laser: Es werden zwei Photonen bei der Rückkehr in den Grundzustand emittiert. Beide Verfahren haben die Gemeinsamkeit, dass Photonen erzeugt werden, die bezüglich ihrer Polarisation verschränkt sind. 3. Hochangeregtes zweiatomiges Molekül mit Gesamtspin Null: Zerfall in zwei Atome mit entgegengesetztem Spin. 3. Qubit Hierbei handelt es sich um einen Vektor in einem zweidimensionalen Hilbertraum mit den Basisvektoren 0 und 1. Ein Qubit lässt sich allgemein schreiben als ψ = α 0 + β 1. Ein Qubit ist also kein reiner Zustand 0 oder 1 wie man ihn von klassischen Bits kennt, sondern eine Linearkombination zweier Zustände. 3.3 No-Cloning-Theorem Das No-Cloning-Theorem besagt, dass es unmöglich ist, einen Qubit perfekt auf einen anderen zu kopieren. Es treten dabei Fehler auf und der originale Qubit wird verändert. Instruktiv ist hierbei folgende Betrachtung: φ o 1 φ c 0 φo 1 φ o 1 φ o φ c 0 φo φ o φ o 3 φ c 0 φo 3 φ o 3 Dabei ist φ o i das zu kopierende Original und φc 0 eine Blankofunktion in einem anderen Hilbertraum, auf die das Original kopiert (projektiert) werden soll. Definiert man nun φ o 3 also folgende Linearkombination der ersten beiden Zustände, 7
φ o 3 := 1 (c 1 φ o 1 + c φ o ), so folgt aus der Linearität φ o 3 φ c 0 1 (c 1 φ o 1 φ o 1 + c φ o φ o ). Dies ist offensichtlich nicht die exakte Kopie von φ o 3, zu erwarten wäre: 1 ( c 1 φ o 1 + c φ o ) φ c 0 1 (c 1 φ o 1 + c φ o ) 1 (c 1 φ o 1 + c φ o ). Der erzeugte Widerspruch beweist das Theorem. 3.4 Anwendungen Hier werden drei mögliche Anwendungen der Quantenverschränkung vorgestellt 1. Quantenteleportation: Auch wenn es zunächst anders klingen mag, ist hier eine klassische Leitung notwendig. Man betrachte einen Sender (Alice) und einen Empfänger (Bob), welche über eine gemeinsame Funktion miteinander verschränkt sind (siehe Abbildung 4). Alice besitzt einen Qubit, welchen sie Bob schicken will. Jedoch sind sie nur über eine klassische Leitung miteinander verbunden, einen Quantenzustand kann sie folglich nicht verschicken. Eine Messung des Qubits würde dazu führen, dass er auf einen bestimmten Zustand projektiert wird und somit Informationen verloren gehen. Nun ist Alice jedoch mit Bob verschränkt. Sie misst ihren Teil des Qubits, während Bob folglich durch die Verschränkung einen anderen Teil erhält. Durch Austausch über eine klassische Leitung können sie nun gemeinsam den Qubit rekonstruieren und dabei die Koeffizienten α und β bestimmen. Abbildung 4: Quantenteleportation 8
. Quantenkryptographie: Dies ist eine ähnliche Situation wie zuvor. Nur möchte Alice diesmal ihren Qubit (Nachricht M) nicht über öffentlich senden, sodass ihn jeder abfangen kann (siehe Abbildung 5). Dazu verwendet sie einen Schlüssel K, welchen auch Bob kennt. Dabei wird der Schlüssel mit Hilfe der Verschränkung von Alice und Bob erzeugt. Sie versendet also die Nachricht M =M+K, sodass Bob die Nachricht M=M -K entschlüsseln kann. Versucht nun ein Abhörer )(Eve) dazwischenzuschalten, verursacht dies Fehler bei der Übertragung. Die Nachricht kann aufgrund des No-Cloning-Theorems nicht exakt kopiert werden und die Bell schen Ungleichungen werden verletzt. Alice und Bob können diese Fehler detektieren, sie befinden sich in einem maximal verschränkten Zustand, Eve kann nicht ebenfalls korreliert sein. Abbildung 5: Quantenkryptographie 3. Quantencomputer: Anstelle klassischer Bits verwendet ein Quantencomputer ein Ensemble an verschränkten Qubits. Dazu benötigt er neuartige Algorithmen, die auf der Quantenmechanik basieren. Diese neuen Computer hätten theoretisch eine enorme Rechenleistung, so hätte ein Hilbertraum N verschränkter Qubits die Dimension N, die Leistung wächst also exponentiell und eine Parallelisierung vieler Prozesse wäre möglich. Dadurch würden beispielsweise diverse Kryptographieverfahren unnütz, da ihre Verschlüsselung unter anderem darauf beruht, dass der Aufwand für das Knacken des Schlüssels exponentiell anwächst. Allerdings ist die Realisierbarkeit von Quantencomputer heutzutage noch sehr problematisch, so ist die Erhöhung der Anzahl verschränkter Qubits noch sehr schwer. Tatsächlich hat die Forschung auf diesem Gebiet in den letzten Jahren sehr große Fortschritte gemacht. So ist es bereits im Labor möglich gewesen unter bestimmten Bedingungen einen kleinen Quantencomputer zu betreiben. Von einer Marktreife ist dies jedoch noch weit entfernt. 9
4 Quellen Eleni Diamanti: Quantum entanglement: a unique resource for communication and computation tasks (ICNFP, Kolymbari, Crete, Greece August 8 September 5, 013) Alain Aspect: From Einstein s questions to Quantum bits: a new quantum era? (ASIAA/CCMS/IAMS/LeCosPA/NTUPhysics Joint Colloquium, Taipei, September 16 014) Franz Schwabl: Quantenmechanik, 7. Auflage, Springer Verlag Florian Scheck: Quantum Physics, Springer Verlag http://de.wikipedia.org/wiki/quantenverschränkung (abgerufen am 18. Oktober 014) http://de.wikipedia.org/wiki/quantenteleportation (abgerufen am 19. Oktober 014) http://de.wikipedia.org/wiki/no-cloning-theorem (abgerufen am 19. Oktober 014) http://de.wikipedia.org/wiki/einstein-podolsky-rosen-paradoxon (abgerufen am 18. Oktober 014) 10