Reihe 49 S 1 Verlauf Material Ein Stationenzirkel zum Thema Quader Helmut Meixner, Windhagen Quader im Raum Klasse: 5/6 Dauer: Inhalt: 6 Stunden Die Formeln zur Berechnung des Volumens und Oberflächeninhalts von Quadern entdecken und anwenden Ihr Plus: Entdeckendes und eigenständiges Lernen im Rahmen eines Stationenzirkels Quelle: Reinhard von Tümpling www.kunstlinks.de Quader treten in vielfältigen Zusammenhängen in unserem Alltag auf. Dieser Stationenzirkel eröffnet einen entdeckenden Zugang zu den Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt von Quadern und trainiert die Anwendung beider Formeln in verschiedenen Sachzusammenhängen.
Reihe 49 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Einordnung in den Lehrplan Das Thema Quader ist in den Lehrplänen aller Bundesländer für die Klasse 5 vorgesehen, unterrichtet wird es üblicherweise gegen Ende des Schuljahres. Erstmals üben die Schüler an diesem Beispiel, wie sie einfache Formeln anwenden, nämlich diejenigen zur Berechnung von Volumen und Oberflächeninhalt des Quaders. Darüber hinaus stellt das Thema Quader eine erste praktische Anwendung des ebenfalls in Klasse 5 behandelten Themas Maßeinheiten für Flächeninhalte und Volumina dar. Da Quader in unserer Lebenswelt allgegenwärtig sind, enthält der Beitrag viele Anregungen, das neu erworbene Wissen praktisch zu nutzen. Entdeckendes und eigenverantwortliches Lernen im Mathematikunterricht Anhand der Materialien in diesem Beitrag erschließen sich Ihre Schüler die Formeln zur Berechnung von Volumen und Oberflächeninhalt selbst. Die Materialien fördern entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. In dem vorliegenden Stationenzirkel legen wir an verschiedenen Stellen Wert darauf, dass die Schüler ihr Vorgehen möglichst genau begründen und dokumentieren. Dies trainiert ihre Fähigkeit, über mathematische Probleme sinnvoll zu kommunizieren. Sie, als Lehrkraft, haben hinterher die Möglichkeit, die Arbeitsergebnisse von Einzelnen zu bewerten. Ein weiteres Plus des Stationenzirkels stellt die Wiederholung verschiedener Techniken dar, die meist im Laufe der 5. Klasse eingeführt werden: Umgang mit Körpernetzen, Bau von Modellen, das Zeichnen von Schrägbildern, der Umgang mit Fermi-Aufgaben sowie das Arbeiten mit Schätzungen. Verlauf Die Unterrichtsreihe ist als Stationenzirkel konzipiert. Die ersten beiden Stationen sind Pflichtstationen. Sie sollten von allen Schülern bearbeitet werden. Alle folgenden Stationen sind unabhängig voneinander einsetzbar auch im herkömmlichen Unterricht. Sie bauen nicht aufeinander auf, sodass Ihre Schüler hier beliebige Stationen auswählen können. Einzige Ausnahme bilden die Stationen 9 und 12, für die die Station 5 zur Wiederholung der Körpernetze und Anwendung auf den Quader Voraussetzung ist. Damit alle Schüler auf den richtigen Formeln aufbauen und diese auch sicher anwenden können, empfiehlt es sich, nach Station 1 und 2 eine Phase der Sicherung einzubauen. Diese kann individuell geschehen oder auch im Klassenrahmen. Eine Kontrolle bietet der Laufzettel, den Sie aber beliebig nach Ihren Vorstellungen abändern können. Für Ihre Schüler stellt das Führen eines Laufzettels eine Strukturierungshilfe dar, Sie als Lehrkraft können anhand der Daten den Arbeitsweg des Schülers bzw. der Schülerin nachvollziehen. Die Pflicht, erledigte Stationen abzuhaken, ermöglicht eine gewisse Zwischenkontrolle, damit Ihre Schüler Stationen nicht halb erledigt abheften. Am Ende sollte der Laufzettel als Deckblatt einer Mappe dienen, die mit allen Arbeitsergebnissen abgegeben wird.
Reihe 49 S 5 Verlauf Material Auf einen Blick Station Thema Stunde 1 Auf der Suche nach der Formel für das Volumen Entdecken und Anwenden der Formel für das Volumen 2 Auf der Suche nach der Formel für die Oberfläche Entdecken und Anwenden der Formel für den Oberlächeninhalt 3 Zum Knobeln: Aus Spielwürfeln Quader bauen Anwendung der Volumenformel, Primfaktorenzerlegung 4 Aus Tetrawürfeln Quader bauen Anwendung der Volumenformel zur Lösung eines mathematischen Puzzles 5 Eine Bastelarbeit ein Quadernetz zeichnen Übertragung des Vorwissens über Würfelnetze auf Quader 6 Schrägbilder von Quadern zeichnen Wiederholung des Zeichnens von Schrägbildern und Übertragung des Verfahrens auf Isometrie-Papier 7 Ein Kästchen bauen Umsetzen einer exakten Beschreibung bei einer Faltaufgabe 8 Deinen Klassenraum berechnen Anwendung der Quader-Formeln auf ein praktisches Problem Beurteilung der eigenen Situation in Bezug auf Richtlinien 9 Ein Parallelepiped bauen Übertragung der Grundidee des Körpernetzes auf den Spat 10 Renovierung deines Zimmers Tandembogen Anwendung der Quader-Formeln auf ein praktisches Problem genaue Dokumentation eines Finanzierungsplans 11 Das Containerschiff eine Fermi-Aufgabe Fermi-Aufgabe zur Anwendung des Quadervolumens 12 Das Spinne-Fliege-Problem Problemlösen durch Zeichnen von Quadernetzen 1. 2. 3. 6. Minimalplan Die Materialien Station 1 und Station 2 sind Plicht. Die weiteren Stationen sind weitgehend voneinander unabhängig, sodass die Schüler hier Stationen auswählen können. Lediglich für Station 9 und 12 ist Station 5 (Quadernetze) Voraussetzung.
S 1 Station 1: Auf der Suche nach der Formel für das Volumen Aufgaben 1. Untersuche einen Quader, dessen Kanten 3 cm, 4 cm und 5 cm lang sind. Welches Volumen hat dieser Quader? 4 cm 5 cm a) Stelle ihn dir dazu mit kleinen Kubikzentimeter-Würfeln ausgefüllt vor: Wie viele solcher Würfel passen auf den Boden des Quaders? Wie viele solcher Lagen gibt es? Welches Volumen hat dann der Quader? b) Schau dir die folgende Internet-Seite an und spiele an den roten Schiebeknöpfen: http://www.realmath.de/neues/klasse5/volumen/quadervolumen.html 3 cm 2. Untersuche nun einen anderen Quader mit den Kantenlängen a = 10 cm, b = 7 cm und c = 5 cm. Findest du einen schnelleren Weg, um das Volumen zu berechnen? a b c 3. Wie könnte eine Formel für das Volumen eines Quaders aussehen? Beachte, dass in dieser Formel nur die drei Kantenlängen a, b und c vorkommen sollen. 4. Berechne mithilfe dieser Formel das Volumen folgender Quader: a) a = 6 cm, b = 9 cm, c = 30 cm b) a = 5 m, b = 7 m, c = 4 m c) a = 3 dm, b = 15 cm, c = 0,5 m zu Aufgabenteil c) Rechne die Angaben erst in die Einheit cm um.
S 3 Station 3: Zum Knobeln: Aus Spielwürfeln Quader bauen Aufgaben 1. Vor dir liegen 24 gleich große Würfel. Baue aus ihnen einen großen Quader zusammen, für den du alle verwendest. Wie viele Möglichkeiten dafür gibt es? Skizziere alle in deinem Heft. Foto: H. Meixner Zum besseren Verständnis der Aufgabenstellung ist in der nachfolgenden Abbildung ein Quader aus 6 Würfeln dargestellt, der die Abmessungen 2 3 1 hat: Foto: H. Meixner 2. Nun wählen wir andere Anzahlen von Würfeln. Schaffst du es, damit jeweils verschiedene Quader zu bauen? a) 36 Würfel b) 25 Würfel c) 43 Würfel d) 144 Würfel Für Experten Findest du eine Begründung dafür, warum es mal klappt und mal nicht?
Station 4: Aus Tetrawürfeln Quader bauen rosa violett rot gelb S 4 Stationenzirkel zum Thema Quader blau grün Jürgen Köller www.mathematische-basteleien.de Die acht abgebildeten Würfelkörper aus vier Würfeln heißen Tetrawürfel. Sie sind alle Körper, die man aus vier Würfeln bilden kann. Fünf der Würfelkörper sind eben, drei sind räumlich. grau türkis
S 5 Station 4: Aus Tetrawürfeln Quader bauen Aufgabe Vor dir liegen 8 Bauklötze, die aus jeweils vier Würfeln bestehen. Baue aus ihnen einen großen Quader zusammen, für den du alle verwendest. Jürgen Köller www.mathematische-basteleien.de a) Überlege dir vorher, welche Maße dieser Quader überhaupt aufweisen kann. b) Aus wie vielen kleinen Würfeln wird der große Quader bestehen? Wie kann man diese Zahl als Produkt aus drei Kantenlängen darstellen? Notiere deine Überlegungen im Heft. Für Experten Jürgen Köller www.mathematische-basteleien.de Aus den Klötzen lassen sich auch noch weitere Figuren bauen. Viel Spaß dabei: Anregungen hierzu unter: www.mathematische-basteleien.de
S 6 Station 5: Eine Bastelarbeit ein Quadernetz zeichnen Zurück zu unserem Quader mit den Kantenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm. Den sollst du jetzt aus einem zusammenhängenden Stück Papier oder Pappe bauen. Einen Spielwürfel hast du ja vielleicht schon einmal gebaut. Ein Netz für einen Spielwürfel sieht so aus: Seitenlächen Oder ohne Punkte: siehe Abbildung rechts. Einen Quader zu bauen, ist nur ein klein bisschen schwerer Wie sieht das Körpernetz eines Quaders aus? Welche unterschiedlichen Seitenlächen gibt es? Wie müssten diese zusammenhängen? Aufgabe Zeichne das Körpernetz des Quaders mit den Kantenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm. Baue den Quader dann aus Papier oder Pappe zusammen. 4 cm 3 cm 5 cm Überlege dir zunächst, wo im Netz welche Kante liegen muss. Zusätzlich zu den Seitenlächen solltest du noch Klebelaschen vorsehen. Aufgabe für Experten Findest du verschiedene Varianten für ein solches Körpernetz? Denke daran, dass es beim Würfel verschiedene Möglichkeiten gibt. 11 verschiedene Möglichkeiten für ein Würfelnetz Matroids Matheplanet
S 10 Station 10: Renovierung deines Zimmers Tandembogen Du möchtest dein Zimmer renovieren. Das muss gut geplant werden. Aufgabe a) Zeichne einen Grundriss deines Zimmers. Miss dazu Länge, Breite und Höhe deines Zimmers zu Hause möglichst genau aus. Wenn du ein sehr kompliziert geschnittenes Zimmer hast, vereinfache deinen Grundriss ruhig etwas, indem du rundest oder schwierige Ecken begradigst. b) Wie viel Farbe brauchst du für deine Wände und für die Decke? Informiere dich über Preise von Farben. Wie viel Farbe müsstest du kaufen? Denke daran, die Flächen der Fenster und Türen abzuziehen, die ja nicht gestrichen werden müssen. c) Du brauchst auch einen neuen Teppichboden? Was würde der Teppichboden kosten? Informiere dich über verschiedene Modelle und berechne jeweils die Kosten. d) Überzeuge mit einer ordentlich dargestellten Finanzierungsrechnung deine Eltern (und natürlich deine Lehrerin/deinen Lehrer) von deiner Renovierungsplanung! Insgesamt ergeben sich für dieses Zimmer Kosten in Höhe von 150 für die Renovierung. Musterlösung Renovierung: Beispielzimmer: Länge: 4 m, Breite: 3 m, Höhe: 2,50 m Fensterläche: 1 m 2, Fläche der Tür: 2 m 2 Deckenläche: O D = 4 m 3 m = 12 m2 Wandlächen: O W = 2 (4 m 2,50 m + 3 m 2,50 m) 1 m2 2 m 2 = 32 m 2 Die zu streichende Gesamtläche ist also 12 m 2 + 32 m 2 = 44 m 2 groß. Benötigte Farbmenge: Pro Quadratmeter werden 200 ml Farbe benötigt (Angabe von Hersteller abhängig). 44 m 2 0,2 l/m 2 = 8,8 l. Für 44 m 2 braucht man also 8,8 Liter. Ein 10-l-Eimer einer guten Farbe kostet etwa 30, damit sollte man bei einfachem Anstrich hinkommen. Bodenläche: OB = 4 m 3 m = 12 m2 Zusammenfassung: Die Preise für einen Quadratmeter Teppichboden variieren sehr stark, wir gehen von einem mittleren Preis von 10 /m 2 aus, dann ergeben sich Kosten von 120, da Teppich-Auslegeware üblicherweise in Rollen zu 3 bzw. 4 m Breite verkauft wird. Bei anderen Maßen muss natürlich noch der Verschnitt berücksichtigt werden.
S 1 Lösungen und Tipps zum Einsatz Station 1: Auf der Suche nach der Formel für das Volumen Die Stationen 1 und 2 bilden die Voraussetzung für die Behandlung der weiteren Stationen, daher sollten sie alle Schüler bearbeiten. Besprechen Sie die Lösungen ggf. in der Klasse, bevor an weiteren Stationen gearbeitet wird. Geben Sie den Schülern eine Definition für einen Quader vor: Ein Körper mit sechs rechteckigen Flächen, deren Winkel alle rechte Winkel sind, heißt Quader. Hier finden Sie eine didaktische Anleitung zum Applet: http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/würfel_und_quader Lösungen 1. Boden: 5 3 Würfel = 15 Würfel Lagen: 4 Lagen, also 4 15 = 60 Würfel Der Quader hat ein Volumen von 60 cm 3. 2. V = 10 cm 7 cm 5 cm = 350 cm 3 3. V = a b c 4. a) V = 6 cm 9 cm 30 cm = 1620 cm 3 b) V = 5 m 7 m 4 m = 140 m 3 c) V = 30 cm 15 cm 50 cm = 22 500 cm 3 (= 22,5 dm 3 ) Station 2: Auf der Suche nach der Formel für die Oberfläche 1. vordere/hintere Fläche: jeweils 4 cm 5 cm = 20 cm 2, obere/untere Fläche: jeweils 5 cm 3 cm = 15 cm 2, rechte/linke Fläche: jeweils 4 cm 3 cm = 12 cm 2 O = 2 (20 cm 2 + 15 cm 2 + 12 cm 2 ) = 94 cm 2 2. O = 2 (70 cm 2 + 50 cm 2 + 35 cm 2 ) = 310 cm 2 3. O = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c) 4. a) O = 2 (6 cm 9 cm + 6 cm 30 cm + 9 cm 30 cm) = 1008 cm 2 b) O = 2 (5 m 7 m + 5 m 4 m + 7 m 4 m) = 166 m 2 c) O = 2 (30 cm 15 cm + 30 cm 50 cm + 15 cm 50 cm) = 5400 cm 2 (= 54 dm 2 ) Station 3: Zum Knobeln: Aus Spielwürfeln Quader bauen Statt der Spielwürfel können Sie auch andere Würfel verwenden. Spielwürfel können Sie aber einfach in größeren Mengen beziehen (http://www.spiele-offensive.de) und eignen sich darüber hinaus auch gut für den praktischen Einsatz in der Stochastik. Lösungen: 1. 6 Möglichkeiten: 1 1 24; 1 2 12; 1 3 8; 1 4 6; 2 2 6; 2 3 4