Lösungsvorschlag Übung Aufgabe : Physikalische Einheiten a) Es existieren insgesamt sieben Basisgrössen im SI-System. Diese sind mit der zugehörigen physikalischen Einheit und dem Einheitenzeichen in der folgenden Tabelle aufgelistet. Grösse phys. Einheit Einheitenzeichen Länge Meter m Masse Kilogramm kg Zeit Sekunde s Stromstärke Ampere A Thermodynamische Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd b) Die physikalischen Einheiten für die folgenden Grössen lassen sich folgendermassen in SI-Basiseinheiten überführen: Energie: Joule J Nm Kraft: Newton N kg m s 2 kg m2 s 2 elektrisches Potential: Volt V VAs As J As Nm As kgm2 As 3 Beschleunigung: Meter/(Sekunde) 2 m s s m s 2 Geschwindigkeit: Meter/Sekunde m s elektrische Feldstärke: Volt/Meter Newton/(Ampere Sekunde) V m N As kg m s 2 A s kg m As 3 Stoffmengenkonzentration: Mol/Kubikmeter mol m 3 c) Die Vorfaktoren in den folgenden abgeleiteten Grössen berechnet man nach: Dichte: µg nm 0 6 0 3 kg 0 9 kg kg 3 (0 9 m) 3 0 27 08 m3 m 3 Druck: GN km 2 09 N (0 3 m) 09 N 2 0 6 m N 2 03 m 2 elektrischer Widerstand: fv pa 0 5 V 0 2 A 0 3 V A Aufgabe 2: Klassifizierung der Materie a) Holz ist ein Material, das zum Teil grobe Stukturen aufweist. Der grösste Teil besteht dabei aus Zellulose, Wasser- und Lufteinschlüssen. Damit ist Holz eine heterogene Mischung.
b) Argon ist ein gasförmiges Element und somit ein reiner Stoff. Zusätzlich liegt es atomar vor. c) Phosgen (COCl 2 ) ist ein farbloses, sehr giftiges Gas. Es handelt sich um einen reinen Stoff, eine Verbindung und ein Molekül. d) Rauch bezeichnet eine heterogene Mischung von Feststoffpartikeln in einer gasförmigen Umgebung und ist daher eine heterogene Mischung. e) Amalgam ist der Überbegriff für Metallegierungen, die Quecksilber enthalten. Legierungen sind im allgemeinen homogene Mischungen. f) Saphir (Al 2 O 3 ) stellt einen reinen Stoff und eine Verbindung dar, sofern es sich um einen Einkristall handelt. Befinden sich kleine Verunreinigungen im Kristallgitter, handelt es sich um eine homogene Mischung. Aluminiumoxid als Mineral ist farblos. Winzige Spuren anderer Elemente (und Kombinationen anderer Elemente) erzeugen verschiedene Farben (Vanadium: violett, Eisen: gelb-grün, Chrom: rosa, etc.). g) Rohöl ist je nach der Zusammensetzung (feste Komponenten und Verunreinigungen) eine homogene oder eine heterogene Mischung. Sie besteht aus einer Mischung verschiedenster flüssiger (evtl. auch fester) Kohlenwasserstoffe. h) Benzin ist eine homogene Mischung verschiedenster Kohlenwasserstoffe. In der EU besteht Benzin hauptsächlich aus Aromaten (ca. 36 Vol.-%), Alkenen (ca. 8 Vol.-%), Alkanen und diversen Zusatzstoffen (ca. 46 Vol-%). i) Butan (C 4 H 0 ) ist ein farbloses Gas. Es handelt sich um einen reinen Stoff, eine Verbindung und ein Molekül. j) Stahl ist eine homogene Mischung bestehend aus Eisen mit einem Kohlenstoffanteil unter 2.%. Je nach benötigten Eigenschaften des Stahls (Härte, Widerstandsfähigkeit, etc.) werden andere Metalle beigemischt. k) Mischung von Graphit und Diamanten ist im Prinzip eine heterogene Mischung, sofern die beiden Phasen der Kohlenstoffmodifikationen unterschieden werden können. Doch die Klassifizierung ist in diesem Fall nicht einfach, denn sowohl der Diamant als auch das Graphit bestehen nur aus einer Atomsorte. Demzufolge wäre die Mischung von Diamanten und Graphit auch ein reiner Stoff und ein Element. Aufgabe 3: Ideales Gasgesetz Für ein ideales Gas gilt die Beziehung pv nrt (3.) zwischen dem Druck p, dem Volumen V, der Stoffmenge n und der (absoluten) Temperatur T. Dabei ist R 8.345 J mol K die universelle Gaskonstante. a) Für V 0 dm 3 0 2 m 3, p 2.5 bar 2.5 0 5 Pa und T 305 K erhält man n p V R T 2.5 0 5 Pa 0 2 m 3 8.345 J mol K 305 K 0.986 mol. (3.2) Damit beträgt die Masse des Stickstoffs (Molmasse M N2 28.03 gmol ) im Gefäss m N2 nm N2 27.62 g. (3.3) 2
Hält man die Stoffmenge des Gases und das Volumen konstant, während die Temperatur von 305 K auf 250 K gesenkt wird, so muss sich aufgrund von Gleichung (3.) der Druck ändern. Das Verhältnis p nr bleibt dabei konstant. Daher gilt T V p 2 T 2 p T, (3.4) und somit erhält man mit p 2.5 bar, T 305 K und T 2 250 K p 2 T 2 p T 250 K 2.5 bar 305 K 2.05 bar. (3.5) Bei gegebenem Volumen und gegebener Stoffmenge verhält sich der Druck eines idealen Gases proportional zur (absoluten) Temperatur. Bei diesem Abkühlungsprozess ändert sich das Molvolumen von N 2 nicht, da sowohl das Volumen des Gefässes als auch die Stoffmenge konstant gehalten werden. b) Das Molvolumen bei einer gegebenen Temperatur T und einem gegebenen Druck p lässt sich berechnen gemäss V m V n RT p. (3.6) Dabei ist zu beachten, dass für die ideale Gasgleichung im speziellen (und für fast alle Gleichungen in der Physik und Chemie im allgemeinen) Temperaturen nicht in C, sondern in Kelvin (K) angegeben werden müssen. Die Umrechnung einer Temperatur θ in C in eine absolute Temperatur T in K erfolgt gemäss T K θ + 273.5 (3.7) C Für θ 2 C erhält man somit eine absolute Temperatur von T 285.5 K. Beachten Sie, dass auf dem Übungsblatt die Celsius-Temperatur mit dem Symbol T bezeichnet war; zur besseren Unterscheidung haben wir hier ein anderes Symbol gewählt. Die SI-Einheit des Druckes ist Pa (Pascal). 000 hpa (Hektopascal) entsprechen 000 00 Pa, also 0 5 Pa. Damit ergibt sich das Molvolumen von N 2 bei einer Temperatur von 285.5 K und einem Druck von 0 5 Pa zu V m RT p 8.345 J mol K 285.5 K 0 5 Pa (3.8) 23.7 0 3 kg m2 s 2 mol K K kg m s 2 (3.9) 23.7 0 3 m 3 mol 23.7 L mol. (3.0) 3
Aufgabe 4: Potenzreihen a) Zunächst wird ein Ausdruck für y bestimmt, den man durch Differenzieren von y erhält, Da y und y identisch sein sollen, gilt y dy dx d dx i (4.) a i x i (4.2) ia i x i (4.3) (i + )a i+ x i. (4.4) y y (4.5) a i x i (i + )a i+ x i. (4.6) Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn die Koeffizienten vor x i identisch sind. Demzufolge muss für alle a i, i N auf beiden Seiten a i (i + )a i+ (4.7) gelten, woraus a i+ a i (4.8) i + folgt. Diese Rekursionsformel kann nun weiter aufgelöst werden, um einen expliziten Ausdruck für a i zu erhalten. Wenn Gleichung (4.8) gilt, dann gilt auch a i a i (4.9) i i(i ) a i 2 (4.0) i(i )(i 2) a i 3 (4.) i! a 0. (4.2) Mit a 0 ergibt sich somit a i i!. (4.3) Mittels dieses Ausdrucks für a i kann nun y bestimmt werden, y i! xi. (4.4) 4
b) Die Differentialgleichgung (4.) ist für beliebige a 0 erfüllt, da a 0 lediglich ein konstanter Faktor ist, der beim Differenzieren erhalten bleibt. c) Ein Wert für y() lässt sich mittels Gleichung (4.4) aus der vorangegangenen Teilaufgabe erhalten, y() i! i (4.5) 0 0! +! + 2 2! + 3 3! +... (4.6) + + 2 + 6 +... (4.7) 2.7828... e. (4.8) e ist die Eulersche Zahl und die Ableitung von e x ist demzufolge wiederum e x. Die Funktion y e x lässt sich ausserdem durch die in Gleichung (4.4) gegebene Potenzreihe darstellen. Aufgabe 5: Molmasse von Bor und Fehlerfortpflanzung a) Die Molmasse von Bor M ist definiert als die mit den relativen Häufigkeiten h gewichtete Summe der Massen der einzelnen Isotope, M i h i m i (5.) h 0 m 0 + h m (5.2) h 0 m 0 + ( h 0 )m (5.3) 0.97 0.029369 g mol + ( 0.97).0093054 g mol (5.4) 0.830208 g mol. (5.5) b) Der Minimal- und Maximalwert von h 0 sind als h min 9. % und h max 20.3 % gegeben. Für die Berechnung der Standardabweichung muss zunächst der Mittelwert beider Grössen gebildet werden, h 0 k h j 9.7 %. (5.6) k j Die Standardabweichung kann nun näherungsweise aus dem mittleren quadratischen Fehler der Einzelmessungen bestimmt werden, σ h0 σ h0 k (h j k h 0 ) 2. (5.7) Im vorliegenden Fall gilt k 2, so dass sich [ σ h0 (hmin 2 h 0 ) 2 + (h max h 0 ) 2] (5.8) ergibt. j (0.9 0.97) 2 + (0.203 0.97) 2 (5.9) 2 0.6 % (5.0) 0.85 % (5.) 5
c) Die Molare Masse M hängt gemäss Gleichung (5.3) nur von h 0, m 0 und m ab. Gleichung (5.2) darf für die folgende Betrachtung nicht verwendet werden, da h 0 und h linear abhängig sind. Für den Fehler in M gilt M M(h 0, m 0, m ) M( h 0, m 0, m ), (5.2) wobei m 0 und m die Mittelwerte der Isotopenmassen sind. Da M stetig und beliebig differenzierbar ist, kann M durch eine Taylor-Entwicklung, deren allgemeine Form f(x + a) a i i! f (n) (5.3) ist (f (n) ist die n-te Ableitung von f), dargestellt werden. Die Fehler stellen relativ kleine Änderungen der unabhängigen Variablen dar, so dass M durch den linearen Term der Taylorentwicklung von M um M angenähert werden kann, M dm h 0 dh 0 + m 0 dm 0 + m dm. (5.4) Die partiellen Ableitungen können mittels Gleichung (5.3) für M bestimmt werden, {h 0m 0 + ( h 0 )m } m 0 m h 0 h 0 (5.5) {h 0m 0 + ( h 0 )m } h 0 m 0 m 0 (5.6) {h 0m 0 + ( h 0 )m } h 0. m m (5.7) Für die Standardabweichung von M, σ M, gilt nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 σ M σh0 2 h + σm0 2 + σm 2 (5.8) 0 m 0 m (m 0 m ) 2 σh0 2 + (h 0) 2 σm0 2 + ( h 0 ) 2 σm 2 (5.9) ( 0.9963685 g mol ) 2 (0.0085) 2 + (0.97) 2 (3 0 7 g mol ) 2 (5.20) + (0.803) 2 (4 0 7 g mol ) 2 0.0085 g mol. (5.2) Die Molmasse von Bor ist demzufolge M 0.830(85) g mol. 6