Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Martin Nagel Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 schwarze Kugeln. Bestimmen Sie die Menge E der Elementarereignisse, falls a) 3 Kugeln gleichzeitig, b) 3 Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen gezogen werden. R... Ziehen einer roten Kugel S... Ziehen einer schwarzen Kugel In (hoffentlich) verständlicher Kurzschreibweise: a) E = {RRR, RRS, RSS} b) E = {RRR, RRS, RSR, SRR, RSS, SRS, SSR} 2. Aus der Menge {1, 2, 3, 4, 5} wird zweimal hintereinander eine Ziffer ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie die Menge der Elementarereignisse an. E = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54} 3. Beim Werfen eines Dodekaeders (= regulärer 12-Flächner) ist die Menge der Elementarereignisse E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Mit den Buchstaben A bis D seien folgende Ereignisse bezeichnet: A: Werfen einer geraden Zahl B: Werfen einer durch 3 teilbaren Zahl C: Werfen einer Primzahl D: Werfen einer Zahl größer 5 a) Stellen Sie die Ereignisse A bis D durch die entsprechenden Mengen der Elementarereignisse dar. b) Stellen Sie ebenfalls die Ereignisse A B, B C, A D, A (B D), B D durch die Mengen ihrer Elementarereignisse dar und beschreiben Sie verbal die fünf obigen Ereignisse.
c) Stellen Sie folgende verbal beschriebene Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse A bis D und Mengenoperationen dar: H: Werfen einer durch drei teilbaren Zahl größer 5 I: Werfen einer ungeraden Zahl kleiner oder gleich 5 J: Werfen einer Primzahl oder einer nicht durch 3 teilbaren geraden Zahl K: Werfen einer ungeraden und nicht durch drei teilbaren Zahl a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12}, C = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. b) A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}... Werfen einer durch zwei oder durch drei teilbaren Zahl. B C = {3}... Werfen einer durch drei teilbaren Primzahl. A D = {2, 4}... Werfen einer geraden Zahl, die höchstens gleich fünf ist. Allgemein gilt für Mengen A, B, D: A (B D) = (A B) (A D) Daher gilt hier: A (B D) = {6, 12} {6, 8, 10, 12} = {6, 8, 10, 12} = A D... Werfen einer geraden Zahl größer oder gleich fünf. Allgemein gilt: B D = B D Daher gilt hier: B D = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}... Werfen einer Zahl, die höchstens gleich fünf und zugleich nicht durch drei teilbar ist. c) Stellen Sie folgende verbal beschriebene Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse A bis D und Mengenoperationen dar: H: Werfen einer durch drei teilbaren Zahl größer 5 I: Werfen einer ungeraden Zahl kleiner oder gleich 5 J: Werfen einer Primzahl oder einer nicht durch 3 teilbaren geraden Zahl K: Werfen einer ungeraden und nicht durch drei teilbaren Zahl H = B D, I = A D = A D, J = C (A B) = C (A B), K = A B = A B = A B. 4. A und B seien unabhängige Ereignisse mit P (A) = 0.2 und P (B) = 0.6. Bestimmen Sie P (A B), P (A B), P (A B)
P... probability = Wahrscheinlichkeit... w P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 6, A und B unabhängig Für unabhängige Ereignisse gilt nach Vorlesung: P (A B) = P (A)P (B). Daher gilt hier: P (A B) = 0, 2 0, 6 = 0, 12 Für beliebige Ereignisse gilt nach Vorlesung: P (A B) = P (A)+P (B) P (A B). Daher gilt hier: P (A B) = 0, 2 + 0, 6 0, 12 = 0, 68 Sind A, B unabhängige Ereignisse, so sind nach Vorlesung auch A, B unabhängige Ereignisse. Daher ist P (A B) = (1 0, 2) (1 0, 6) = 0, 8 0, 4 = 0, 32 5. Zur Früherkennung einer Krankheit, von der 0.5% der Bevölkerung befallen sei, werde ein medizinischer Test durchgeführt. Dieser zeigt bei Gesunden in 95% der Fälle eine negative und nur in 5% eine positive Reaktion, bei Kranken ist es genau umgekehrt. Wie wahrscheinlich ist, daß eine Person wirklich krank ist, wenn bei ihr der Test positive Reaktion gezeigt hat? Bezeichnungen: G... gesund K... krank P... positiv getestet, d.h. mit dem Testergebnis krank N... negativ getestet, d.h. mit dem Testergebnis gesund Ges.: w P (K) Geg.: w(k) = 0, 005, w G (N) = 0, 95, w G (P ) = 0, 05, w K (N) = 0, 05, w K (P ) = 0, 95. Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt:
w P (K) = w(p K) w(p ) (1) Für den Zähler: Nach dem Produktsatz gilt: w(p K) = w(p )w P (K) = w(k)w K (P ) (2) Das erste Gleichheitszeichen bringt nicht viel, aber das zweite Gleichheitszeichen können wir verwenden. Für den Nenner: P lässt sich schreiben als Vereinigung von unvereinbaren Ereignissen: P = P K + P G: In w(p ) = w(p K + P G) = w(p K) + w(p G) = w(k)w K (P ) + w(g)w G (P ) w(p ) = w(k)w K (P ) + w(g)w G (P ) (3) sind die Größen auf der rechten Seite alle gegeben bis auf w(g), und das ist 1 w(k), also auch bekannt. Aus (1) erhält man mit (2) und (3): w P (K) = w(k)w K (P ) w(k)w K (P ) + (1 w(k))w G (P ) = 0, 005 0, 95 0, 005 0, 95 0, 995 0, 05 = 5 95 5 95 + 995 5 = 95 1090 = 19 218 0, 087 = 8, 7% Obwohl nur bei 5 % der Gesunden fälschlich Krankheit angezeigt wird, wird bei etwa 91,3 % der positiv Getesteten fälschlich Krankheit angezeigt! 6. Ein Kasten Bier enthält 15 volle und 5 leere Flaschen. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zufällig eine leere Flasche zu ziehen, wenn die Flaschen nach dem Zug wieder in den Kasten zurückgestellt werden? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Zug zufällig eine leere Flasche zu ziehen, wenn die Flaschen nach dem Zug nicht in den Kasten zurückgestellt werden? Um sinnvoll rechnen zu können, müssen wir bei der Teilaufgabe 1 voraussetzen, dass man sich nicht merkt, welche Flaschen man schon gezogen hat und ob diese Flaschen leer waren. Wir setzen also voraus, dass in Teilaufgabe 1 die einzelnen Flaschenziehungen unabhängig voneinander sind. (Sonst müsste
über die Abhängigkeit etwas vorausgesetzt sein.) Wem die Aufgabe zu wenig realitätsnah ist, der kann sich vorstellen, dass der Bierkasten im Keller steht, es dunkel ist und die Lampe ausgebrannt ist. Außerdem kann er die leeren Flaschen durch (volle) Weißbierflaschen ersetzen und annehmen, dass jede Ziehung von einer anderen Person ausgeführt wird. 1. Die Wahrscheinlichkeit, eine leere Flasche zu ziehen ist nach der Laplaceschen Abzählregel in jedem Zug 5 = 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass 20 4 das dreimal hintereinander passiert ist (wegen der angenommenen Unabhängigkeit der Ereignisse) ( 1 4 )4 = 1 = 0, 015625 = 1, 5625% 64 2. Alle Möglichkeiten, beim dritten Zug eine leere Flasche zu ziehen, kann man in folgender Form aufschreiben: LLL, LVL, VLL, VVL. Dabei bedeutet V das Ziehen einer vollen Flasche, L das Ziehen einer leeren Flasche. Diese Ereignisse sind unvereinbar, und ihre Wahrscheinlichkeiten sind der Reihe nach: 5 20 4 19 3 18, 5 20 15 19 4 18, 15 20 5 19 4 18, 15 20 14 19 5 18. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser vier Wahrscheinlichkeiten, also gleich 1 (5 4 3 + 5 15 4 + 15 5 4 + 15 14 5) = 20 19 18 1 (5 4 (3 + 15 + 15) + 15 14 5) = 20 19 18 660 + 1050 20 19 18 = 1710 20 19 18 = 171 2 19 18 = 9 2 18 = 1 4 7. 4% der bayerischen Bevölkerung haben die Blutgruppe AB. Es werden zufällig 100 Bayern ausgewählt und deren Blutgruppe bestimmt. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau eine Person die Blutgruppe AB hat? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens eine Person die Blutgruppe AB hat? 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Personen die Blutgruppe AB haben? 1. Das Ereignis genau eine Person unter den 100 ausgewählten Personen hat die Blutgruppe AB kann man zusammensetzen aus den 100 unvereinbaren Ereignissen A i : Die i-te Person hat die Blutgruppe AB, die anderen 99 Personen haben nicht die Blutgruppe AB. (i = 1,..., 100)
Jedes der Ereignisse A i hat die Wahrscheinlichkeit w := w i = 0, 04 0, 96 99 Dabei haben wir verwendet, dass die Auswahl jeder Person zufällig erfolgt ist, dass also auch die Ereignisse Die i-te Person hat die Blutgruppe AB und Die j-te Person hat die Blutgruppe AB für i j unabhängig voneinander sind. Da w 0, 0007029299733, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Person die Blutgruppe AB hat, ungefähr gleich 0,07023, also ungefähr gleich 7,023%. 2. Höchstens eine Person hat die Blutgruppe AB heißt mit anderen Worten: Genau eine Person besitzt die Blutgruppe AB oder keine Person besitzt die Blutgruppe AB Da genau eine und keine unvereinbar sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit also w + w 0, wobei w schon berechnet wurde und w 0 die Wahrscheinlichkeit ist, dass keine der 100 Personen die Blutgruppe AB besitzt. w 0 = 0, 96 100 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher w+w 0 = 0, 96 99 (0, 04 100+0, 96) = 0, 96 99 4, 96 0, 087163316 8, 7167% 3. Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Personen die Blutgruppe AB haben, kann man berechnen über eine lange Summe: Genau zwei, genau drei, genau vier,... genau 99, genau 100 Personen haben die Blutgruppe AB. Die Summe über die Wahrscheinlichkeiten all dieser Aussagen liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Man berechnet aber besser 1 - die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Person die Blutgruppe AB hat, also 1 0, 96 99 4, 96 0, 9128366683 91, 28% 8. Folgende Tabelle zeigt die durchschnittlichen Durchfallquoten der Diplomvorprüfung in den 6 Prüfungsfächern eines fiktiven Studiengangs. Prüfungsfach Durchfallquote in % erste Teilnahme 1. Wiederholung 2. Wiederholung Mathematik und Statistik 30 50 50 Physik 60 50 40 Chemie 30 30 30 Biologie der Pflanzen 30 15 keine Angabe Biologie der Tiere 20 10 keine Angabe Volkswirtschaftslehre 30 20 keine Angabe 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Prüfungen bei der ersten Teilnahme zu bestehen, unter der Voraussetzung, daß das Bestehen einer Prüfung unabhängig vom Bestehen einer anderen ist?
2. Warum ist die Erfolgsquote in der Praxis höher? 3. Spätestens nach erfolgloser zweiter Wiederholung erfolgt die Exmatrikulation. Wieviele Studenten von 120 scheitern erwartungsgemäß am Fach Physik? 4. Es wird diskutiert, Mathematik und Statistik getrennt im Rahmen einer Klausur zu prüfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren beim ersten Mal zu bestehen, wenn angenommen wird, daß die Durchfallquote in Mathematik 40% und in Statistik 20% beträgt. Das Bestehen einer Klausur wird wiederum als unabhängig von der anderen vorausgesetzt. Folgende Tabelle zeigt die durchschnittlichen Durchfallquoten der Diplomvorprüfung in den 6 Prüfungsfächern eines fiktiven Studiengangs. Prüfungsfach Durchfallquote in % erste Teilnahme 1. Wiederholung 2. Wiederholung Mathematik und Statistik 30 50 50 Physik 60 50 40 Chemie 30 30 30 Biologie der Pflanzen 30 15 keine Angabe Biologie der Tiere 20 10 keine Angabe Volkswirtschaftslehre 30 20 keine Angabe 1. Die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Prüfungen bei der ersten Teilnahme zu bestehen, unter der Voraussetzung, daß das Bestehen einer Prüfung unabhängig vom Bestehen einer anderen ist, ist gleich (1 0, 3) (1 0, 6) (1 0, 3) (1 0, 3) (1 0, 2) (1 0, 3) = 0, 7 0, 4 0, 7 0, 7 0, 8 0, 7 = 0, 076832 7, 68% 2. Die Erfolgsquote ist in der Praxis höher, weil das Bestehen der verschiedenen Prüfungen nicht unabhängig voneinander ist: Wer eine Prüfung in Mathematik bestanden hat, besteht eine Prüfung in Physik mit einer höheren Wahrscheinlichkeit als jemand, der die Prüfung in Mathematik nicht bestanden hat. 3. Von 120 Studenten müssen 60 % die Prüfung einmal wiederholen, also 72 Studenten. Von 72 Studenten müssen 50 % die Prüfung ein zweites Mal wiederholen, also 36 Studenten. Von 36 Studenten fallen 40 % endgültig durch, also 14,4 Studenten. Es ist zu erwarten, dass von 120 Studenten 14 oder 15 endgültig am Fach Physik scheitern. 4. Sei w M die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik zu bestehen und w S die Wahrscheinlichkeit, in Statistik zu bestehen sowie w MS die Wahrscheinlichkeit, beide Prüfungen zu bestehen. Wegen der Unabhängigkeit ist dann w MS = w M w S = (1 0, 4) (1 0, 2) = 0, 6 0, 8 = 0, 48 = 48%
Die Aufgaben 1 bis 5 sollen - soweit möglich - in der Übung am Donnerstag, dem 29. Juni 2004 besprochen werden. Die Aufgaben 6 bis 8 sind zur häuslichen Bearbeitung gedacht. Gelegenheit zu Fragen gibt es nach der Vorlesung und nach der Übung sowie in den Tutorübungen.