1 FUNKTIONEN Zuordnungen und Abhängigkeiten Beispiele: a) Der Flächeninhalt A eines Quadrats hängt von dessen Seitenlänge a ab. Je größer die Seitenlänge a wird, desto größer wird auch der Flächeninhalt A. Vervollständige die Tabelle und die grafische Darstellung! Seitenlänge Flächeninhalt A a in cm in cm² 1 1 2 3 4 5 6 Jeder Seitenlänge a kann nur genau ein Flächeninhalt A zugeordnet werden. b) Im Supermarkt kostet 1kg Bananen 1,20. Lies aus dem Diagramm ab, wie viel 0,8 kg, 1,2 kg, 1,6 kg, 2,4 kg und 2,8 kg Bananen kosten und tragt die Ergebnisse in die Tabelle ein! Masse x in kg 0,5 1,5 2 3 4 Preis p in Euro Jeder Masse x kann nur genau ein Preis p zugeordnet werden. In den vorhergehenden Aufgaben sind Abhängigkeiten von Größen durch Tabellen und Diagramme dargestellt. Dabei ist die zugeordnete Größe von der Ausgangsgröße abhängig. Da jeder Seitenlänge genau ein Flächeninhalt und jeder Masse genau ein Preis zugeordnet werden, handelt es sich um eindeutige Zuordnungen. Zuordnungen dieser Art werden in der Mathematik Funktionen genannt.
2 Es sei A eine Menge reeller Zahlen. Wird jeder Zahl aus A genau eine reelle Zahl zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine (reelle) Funktion. Ein Auto, dessen Tank 50 Liter fasst, wird betankt. Es befinden sich am Beginn des Tankvorgangs 35 Liter Diesel im Tank. Pro Sekunde fließen ein halber Liter Diesel in den Tank. Ist der Tank vollständig befüllt, schnappt der Zapfhahn ab und der Tankvorgang ist beendetet. Vervollständige die Tabelle! Zeitpunkt t in Sekunden 0 5 10 15 20 25 30 35 Kraftstoffmenge x in Liter 35 Vervollständige die Tabelle, die jeder Seitenlänge a eines Quadrats a) dessen Flächeninhalt A, b) dessen Umfang u und c) dessen Diagonalenlänge d zuordnet! Runde sinnvoll! Seitenlänge a in m 0,1 0,5 1 10 20 30,5 200 Flächeninhalt A in Seitenlänge a in m 0,1 0,5 1 10 20 30,5 200 Umfang u in Seitenlänge a in m 0,1 0,5 1 10 20 30,5 200 Diagonalenlänge d in Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t = 0. Jedem Zeitpunkt t (in Minuten) wird genau eine Flughöhe h (in Meter) zugeordnet. Zeitpunkt t 0 5 10 15 20 25 30 Flughöhe h 0 1500 3000 3500 4000 4000 4000 a) Stelle diese Zuordnung in einem Koordinatensystem so dar, dass du mithilfe der Tabelle Punkte einzeichnest und diese durch Strecken miteinander verbindest! b) Begründe, dass es sich dabei um eine Funktion handelt! Lösung:
3 Die nachstehenden Diagramme stellen die Abhängigkeit des Preises p (in Euro) pro Monat von der Anzahl t der Gesprächsminuten dreier Telefontarife dar. Erkläre die Tarifmodelle! Lösung: Bei Tarifmodell 1 wird eine Grundgebühr von 5 eingehoben, die Gesprächsgebühr pro Minute beträgt 0,05. Finde für die beiden anderen Modelle selbst die passenden Erklärungen! Tarifmodell 2: Tarifmodell 3: Zu der Fahrt eines Personenaufzugs wird der folgende Graph erstellt, der die Geschwindigkeit des Aufzugs in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. a) Beschreibe die Aufzugsfahrt mithilfe des Graphen! b) Gib an, wie lang die Fahrt dauert! c) Begründe, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt!
4 d) Lies aus dem Graphen ab, wann der Aufzug eine Geschwindigkeit von 3m/s hat! e) Ermittle die Höchstgeschwindigkeit v des Aufzugs während der Fahrt! Gib diese Geschwindigkeit sowohl in m/s als auch in km/h an! f) Gib an, für welchen Zeitraum sich die Geschwindigkeit nicht verändert hat! g) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Aufzugs sechs Sekunden nach dem Start? Welche der drei Abbildungen stellt den Graphen einer Funktion dar? Begründe deine Entscheidung! Es sind fünf Gefäße abgebildet, die jeweils unter gleichmäßiger Wasserzufuhr befüllt werden. a) Ordne jedem Gefäß durch Verbindungslinien jenen Graphen zu, der dessen Füllvorgang korrekt beschreibt! (Einer der Graphen lässt sich dabei nicht zuordnen.) b) Begründe die Zuordnungsentscheidungen!
Bei einem Experiment bewegt sich ein Wagen anfangs schneller und wird dann langsamer. Welche Kurve im Zeit-Ort- Diagramm verdeutlicht die Bewegung des Wagens? Begründe die Entscheidung! 5 Termdarstellung reeller Funktionen Jeder Zahl x aus dem Intervall [-2; 2] wird eine reelle Zahl so zugeordnet, dass sie das Doppelte des Quadrats von x ist. a) Fertige hierzu eine Tabelle an! Vermehre dabei die Ausgangsgröße x jeweils um 0,5! b) Zeichne für das vorgegebene Intervall einen Funktionsgraphen! c) Gib einen Term für die zugeordnete Größe an! Eine Funktion f ordnet jedem Argument x das Dreifache des Arguments zu. Gib eine Termdarstellung der Funktion f an! Eine Funktion g ordnet jedem Argument t die Hälfte des Quadrats von t zu. Gib eine Termdarstellung der Funktion g an!
6 Gib eine Termdarstellung der Funktion an! Überlege, ob du für das Argument alle reellen Zahlen einsetzen kannst! a) Eine Funktion f ordnet jedem Argument x die Hälfte des Arguments zu. b) Eine Funktion r ordnet jedem Argument x das Dreifache des Arguments zu. c) Eine Funktion h ordnet jedem Argument x die Wurzel des Arguments zu. d) Eine Funktion V ordnet jedem Argument t den Kehrwert von t zu. e) Eine Funktion g ordnet jedem Argument x ein Viertel des Arguments zu. f) Eine Funktion p ordnet jedem Argument t das Fünffache des Quadrats von t zu. g) Eine Funktion q ordnet jedem Argument x das Negative des Quadrats von x zu. h) Eine Funktion s ordnet jedem Argument t das Argument selbst zu. i) Eine Funktion N ordnet jedem Argument x die Zahl 5 zu. j) Eine Funktion u ordnet jedem Argument b das um 1 vermehrte Argument zu. k) Eine Funktion w ordnet jedem Argument c das um 3 verminderte Argument zu. Darstellungsformen von Funktionen Funktionen können durch Tabellen dargestellt werden, in der jeder Ausgangsgröße in der ersten Spalte (Zeile) genau eine reelle Zahl in der zweiten Spalte (Zeile) zugeordnet wird. Funktionen können im rechtwinkeligen Koordinatensystem dargestellt werden, wobei jeder Ausgangsgröße auf der 1. Achse genau eine reelle Zahl auf der 2. Achse zugeordnet wird. Ausgangsgröße und zugeordnete Größe bilden zusammen jeweils ein Zahlenpaar. Eine weitere Darstellungsform ist die Termdarstellung. Tabelle Koordinatensystem Zahlenpaare Termdarstellung x f(x) -1 1 0 3 1 5 2 7 3 9 (-1/1) (0,3) (1,5) (2/7) (3/9) f(x) = 2x + 3
7 Direkte Proportionalitätsfunktionen Ein Liter Benzin kostet an einer Tankstelle 1,50. Es sei f (x) der Preis für x Liter Benzin. a) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion f in einem Koordinatensystem dar! b) Gib eine Termdarstellung der Funktion f an! Das Fundament eines Hauses wird mit Beton gefüllt. Ein LKW-Fahrmischer gießt dafür pro Minute 200 dm 3 Beton aus. Es sei t die Zeit in Minuten und V(t) das bereits ausgegossene Betonvolumen zum Zeitpunkt t. a) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion V in einem Koordinatensystem dar! b) Gib eine Termdarstellung der Funktion V an! Ist f eine reelle Funktion mit f(x) = k x (mit k 0), so nennt man die Funktion f eine direkte Proportionalitätsfunktion. Die Konstante k = f(1) ist der Proportionalitätsfaktor. Ist eine direkte Proportionalitätsfunktion nur durch eine Tabelle oder den Graphen im Koordinatensystem gegeben, kann der Proportionalitätsfaktor k stets als Funktionswert an der Stelle 1 ermittelt werden und so kann eine Termdarstellung der Funktion angegeben werden.
8 Der Graph einer direkten Proportionalitätsfunktion f ist stets eine Gerade mit f(0) = 0. Zeichne die 1. Achse des Koordinatensystems so ein, dass f eine direkte Proportionalitätsfunktion ist! Zeichne die 2. Achse des Koordinatensystems so ein, dass f eine direkte Proportionalitätsfunktion ist!
9 Allgemeine lineare Funktionen In einer Fritteuse befinden sich bereits 1,5 Liter Speiseöl. Eine Maschine füllt in diesen Behälter pro Minute gleichmäßig 0,4 Liter Speiseöl hinzu. Es sei t die Zeit in Minuten und V(t) das bereits vorhandene Speiseölvolumen zum Zeitpunkt t. a) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion V in einem Koordinatensystem dar! b) Gib eine Termdarstellung der Funktion V an! c) Wie viel Liter Speiseöl sind nach sieben Minuten in der Fritteuse? d) Nach wie vielen Minuten sind 5,5 Liter Speiseöl in der Fritteuse? Ist eine reelle Funktion f(x) = k x + d, so nennt man f eine allgemeine lineare Funktion. Dabei ist k die Steigung der Funktion (Gerade) und d der Funktionswert an der Stelle 0. Die Zahl k ist ein Maß dafür, wie stark der Graph steigt bzw. fällt. Ist k > 0, so steigt die Gerade, ist k<0, fällt die Gerade. Ist k = 0, so ist der Funktionsgraph parallel zu 1. Achse und man spricht von einer konstanten Funktion. Der Graph einer allgemeinen linearen Funktion f ist stets eine Gerade mit f(0) = d. Gib die Steigung der Funktion f an! a) f(x) = 7x + 9 b) f(x) = 3 x 5,2 4
10 Gib den Funktionswert an der Stelle 0 an! a) f(x) = 3x+2 b) p(t) = 12t Gib eine Termdarstellung der linearen Funktion f an! a) Steigung = 1, f(0) = 6 b) Steigung = 0, f(0) = 1 2 c) Steigung = 3 8, f(0) = 0 Welche Eigenschaft hat der Graph der Funktion mit der gegebenen Termdarstellung? Kreuze an! f mit f(x) = -4x + 9 g mit g(t) = t 3 h mit h(z) = 0,1z Steigende Gerade Fallende Gerade Gerade parallel zur 1. Achse p mit p(x) = 5 3 x + 1 6 q mit q(t) = -10 s mit s(z) = 0 Ein Baukran zieht eine schwere Last, die bereits in 2m Höhe liegt, weiter nach oben. Pro Minute wird die Last gleichmäßig weitere 5 m hinauf befördert. Es sei t die Zeit in Minuten und h(t) die Entfernung der Last zum Boden zum Zeitpunkt t. a) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle (von 0 bis 5 Minuten in Minutenschritten) und durch den Graphen der Funktion h in einem Koordinatensystem dar! b) Gib eine Termdarstellung der Funktion h an! c) In welcher Höhe befindet sich die Last nach sechs Minuten?
11 d) Nach wie vielen Minuten ist die Last an ihrem Ziel in 47m Höhe angekommen? Steigungsdreiecke Gegeben ist die lineare Funktion f mit a) f(x) = 2x + 1, b) f(x) = -3x + 6. Zeichne den Graphen von f und gib an, um wie viel sich der Funktionswert jeweils ändert, wenn das Argument x um 1 vergrößert wird! Ist f eine lineare Funktion mit f(x) = k x + d, dann gilt: f(x+1) = f(x) + k. Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert stets um k. Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion f. a) Zeichne einige Steigungsdreiecke ein! b) Gib eine Termdarstellung von f an!
12 Ergänze: Argumente sind und Funktionswerte sind. Gegeben ist die lineare Funktion f mit f(x) = 3x 1. a) Zeichne den Graphen von f und gib an, um wie viel sich der Funktionswert jeweils ändert, wenn das Argument x um 1 vergrößert wird! b) Gib drei Punkte an, welche auf dem Graphen der Funktion liegen! c) Gib drei Punkte an, die nicht Element der Graphen der Funktion sind! d) Gib an, um wie viel sich der Funktionswert jeweils ändert, wenn das Argument x um 2, 3, 0,5 und n vergrößert wird!
13 Änderung des Argumentes um 2: Änderung des Argumentes um 3: Änderung des Argumentes um n: In der Abbildung sind die Graphen verschiedener linearer Funktionen dargestellt. Gib für jede Funktion den Funktionswert an der Stelle 0 und die Steigung k sowie die jeweilige Termdarstellung der Funktion an! Gegeben: f(x) = -2x + 1 a) Gib die Steigung der Funktion an! b) Wie groß ist d = Abstand auf der y-achse? c) Bestimme die Nullstelle der Funktion! Beachte: Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt des Graphen mit der x-achse
14 d) Gib das Monotonieverhalten der Funktion an! Beachte: f ist streng monoton steigend, wenn k > 0 ist. f ist streng monoton fallend, wenn k < 0 ist. f ist konstant, wenn k = 0 ist. e) Zeichne die Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks! Führe die Schritte a) e) für die folgenden Funktionsterme durch. (zusätzlicher Zettel) (I) f(x) = x + 4 (II) f(x) = -x 5 (III) f(x) = 2x - 3 Lineare Funktionen: Allgemeine Darstellung: f(x) = k x + d bzw. y = k x + d k Steigung der Funktion d... Abstand auf der y-achse ( = Funktionswert an der Stelle 0) Man unterscheidet zwei Arten von linearen Funktionen: Inhomogene lineare Funktion Beispiel: y = 2x + 3 sowohl k (=Steigung) als auch d (=Abstand auf der y-achse) sind ungleich null Der Graph dieser Funktion geht nicht durch den Ursprung Homogene lineare Funktion y = 2x d (=Abstand auf der y-achse) ist gleich null Somit geht der Graph dieser Funktion immer durch den Ursprung
15 Spricht man von einer konstanten Funktion, so ist k (=Steigung) gleich null. y = 1 Lineare Kostenfunktionen und Zeit-Ort-Diagramme Produziert man Waren, dann gibt es meist Kosten, die von der produzierten Menge unabhängig sind. Diese nennt man Fixkosten oder fixe Kosten, z.b. Miete usw. Kosten, die direkt mit der Anzahl der produzierten Stück oder Mengeneinheiten (ME) in Zusammenhang stehen, werden oft als variable Kosten bezeichnet, z.b. Materialkosten usw. Von einer linearen Kostenfunktion spricht man dann, wenn sich die Gesamtkosten bei der Produktion von x ME durch die Termdarstellung K(x) = k x + d ausdrücken lassen. d = K(0) entspricht den Fixkosten und k gibt den Kostenzuwachs pro produzierter ME an. In der Abbildung ist der Graph einer Kostenfunktion K bei der Produktion von x Stück einer Ware dargestellt. Entnimm dem Graphen die fixen Kosten und die variablen Stückkosten in. Gib eine Termdarstellung für die Gesamtkosten bei einer Produktion von x Stück an! Indirekte Proportionalitätsfunktionen Eine Fahrtstrecke von 10 km kann zu Fuß oder mit Verkehrsmitteln zurückgelegt werden. Dabei gilt: Je höher die Geschwindigkeit v in km/h, desto kürzer ist die Gehzeit bzw. die Fahrtzeit t(v) in Stunden. a) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion t in einem Koordinatensystem dar! Beschreibe einige Ergebnisse in Worten! b) Gib eine Termdarstellung der Funktion t an!
16 Ginge jemand in der vorigen Aufgabe nur mit einer Geschwindigkeit von 1 km/h, würde diese Person 10 Stunden für die 10 km lange Strecke benötigen, d.h. t(1) = 10. Die benötigte Zeit t(v) ist zur Geschwindigkeit v indirekt proportional. Ist f eine reelle Funktion mit f(x) = k (mit k 0, x 0), so nennt man die Funktion f eine indirekte x Proportionalitätsfunktion. Für die Konstante k gilt: k = f(1) bzw. k = x f(x) Zwei Größen x und f(x) sind zueinander indirekt proportional. Einige Werte sind in der nachstehenden Tabelle angegeben. x 1 2 3 4 6 f(x) 36 24 18 9 a) Gib eine zu diesen Zahlenpaaren passende Termdarstellung an! b) Vervollständige die Tabelle!