)LQDQ]PDWKHPDWLNI U :LUWVFKDIWVZLVVHQVFKDIWOHU

1 )LQDQ]PDWKHPDWLNI U :LUWVFKDIWVZLVVHQVFKDIWOHU :,)%:/ :6 9RUOHVXQJEHL 3URI'U:DOWHU.LHO =XVDPPHQIDVVXQJ YRQ.DQGHUW'DQLHO

*UXQGODJHQGHU)LQDQ]PDWKHPDWLN => Analyse von dynamischen Kapitalvorgängen => Analyse des zeitlichen Aspekts der Verzinsung, der Verrentung und der Tilgung 2 Zins: =LQVUHFKQXQJ Art Leihgebühr für die Überlassung von Werten für eine bestimmte Zeitdauer (Laufzeit) Verzinsung vorschüssig (Mietzins, Pachten) QDFKVFK VVLJ Anfangskapital, Endkapital (AK + Zins = EK) Aufzinsen, Abzinsen (Diskontieren) Art der Verzinsung einfache zinseszinsliche - jährlich - unterjährlich - stetig Zeitbezug, Analysemittel: =HLWVWUDKO K0 Zeitperiode z.b. Jahr Einzahlungen 0 1 2 3 4 n t Bezugspunkt Auszahlungen Zeitpunkt Kn K0 Kn p i q v Anfangskapital (Barwert) Endkapital (nach n Zahlungsperioden) Zinsfuß in Prozent, zeitlich z.b. auf ein Jahr bezogen (p.a.) Zinssatz ( Zinsfuß-Hundertstel) Aufzinsungsfaktor T L bzw. 1 + (p/100) Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor) Y T!T bzw. 1 / 1 + i oder 1 / 1 + p / 100 n Anzahl der Jahre m Anzahl der Zinsperioden / Jahr

3 1.1 Einmalige Einzahlungen (LQIDFKHMlKUOLFKH9HU]LQVXQJ bürgerliche Verzinsung Zinsen werden nicht kapitalisiert! Erhebung von Zinseszinsen zw. Privatpersonen ist nicht statthaft! Kn = K 0 + Zn Zn = n * i * K 0 Kn = K 0 + n * i * K 0.Q. QL Beispiel: Gegeben: K 0 = 1.500 ¼S Q -DKUH Gesucht: K 5 K 5 = 1500 ( 1 + 5 * 0,04) K 5 = 1800 ¼!MlKUOLFK¼=LQVHQ Umformungen: - nach K 0 : K 0 = (Kn / 1) + i * n - nach i: 1 + i * n = Kn/ K 0 => i = 1/n (Kn/ K 0-1) - nach n: n = 1/i (Kn/ K 0-1) 8QWHUMlKUOLFKH9HU]LQVXQJ m = Zinsperiode pro Jahr 360 Tage => m = 360 bzw. t = 360.Q. WL Die unterjährliche Verzinsung ist bei einfacher Verzinsung weder vorteil- noch nachteilhaft.

4 =LQVHV]LQVMlKUOLFK => Zinsen werden kapitalisiert K 0 K 1 = K 0 (1 + i) K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) (1 + i) = K 0 (1 + i)² Kn * q = K 0 * q * q = K 0 * q² K 3 = K 0 * q 3.. T => geometrische Folge (nicht wie bei einfacher Verzinsung jedes Jahr 60 ¼) Umformungen: (Zwischenschritt: q n = Kn / K 0 ) - nach K 0 : K 0 = Kn / q n bzw. Kn * q -n - nach q: q = n Kn / K 0 - nach i: 1 + i = n Kn / K 0 => i = n Kn / K 0-1 - nach n: q n = Kn / K 0 => n * log q = log Kn/K 0 => n = log Kn/K 0 / log q Äquivalenzprinzip in der Finanzmathematik Kapitalien werden mit der Zinseszinsformel (Auflösungen Kn bzw. K 0 ) beliebig zeitnah transformiert. K 0 * q -n K 0 * q -n K 0 Kn Zeit n Zinsperioden in die Vergangenheit n Zinsperioden in die Zukunft

5 Beispiele: In wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei zinseszinslicher Verzinsung (Zinsannahme: 4% p.a.) verdoppelt? Gegeben: q = 1,04 ; Kn = 2 * K 0 Gesucht: n n = log 2 / log 1,04 = 17,67 Jahre Welcher Betrag muss zu 5% jährlicher Zinserhebung (mit Zinseszins!) angelegt werden, damit daraus nach 7 Jahren 15.000 ¼ZHUGHQ" Gegeben: n = 7 Jahre ; Kn = 15.000 ¼L Gesucht: K 0 K 0 = Kn / q n = Kn * q n = 15.000 ¼ -7 = 10.660,22 ¼ Aus einem Anfangskapital von 5.000 ¼ZXUGHQQDFK-DKUHQEHLXQYHUlQGHUWHP Zinssatz 5.624,32 ¼ Gegeben: K 0 = 5.000 ¼.Q ¼ ; n = 3 Gesucht: i i = n Kn / K 0 1 = 3 5.624,32 / 5.000 1 = 0,04

=LQVHV]LQVPLWXQWHUMlKUOLFKHU9HU]LQVXQJ 6 Kn = K 0 q n => Kn = K 0 (1 + i) n Kn => K 0 (1 + p/100) n.q. SP!#"%$ Beispiel: Ein Kapital von 2.500 ¼ZLUG]X-DKUHV]LQVHQTXDUWHLOVZHLVHYHU]LQVW Welches Endkapital wäre nach 3 Jahren verzinst? Gegeben: K 0 = 2.500 ¼ ; p = 6 % ; m = 4 ; n = 3 Gesucht: Kn Kn = 2.500 (1 + 6/4 * 100) 3 * 4 = 2.500 * 1,1956 = 2.989,05 ¼ => Hier haben wir HIIHNWLYPLWPHKUDOV=LQVHQ gerechnet, da nach Kn = K 0 q n das Ergebnis bei 2977,54 ¼OLHJW => 8PUHFKQXQJ]ZLVFKHQ1RPLQDOXQG(IIHNWLYYHU]LQVXQJLVWQRWZHQGLJ Umrechnung: jährlich unterjährlich $ K 0 (1 + p effektiv/100) n = K 0 (1 + p nominal/m * 100) n * m 1 + p effektiv/100 = (1 + p nominal/m * 100) m p effektiv/100 = (1 + p nominal/m * 100) m - 1 SHIIHNWLY >SQRPLQDOP ±@ p effektiv = [(1 + p nominal/m * 100) m 1] * 100 = [(1 + 6/4 * 100) 4 1] * 100 = 6,136355 => oben wurden bei der unterjährlichen Formel effektiv 6,13 % angesetzt. bzw. p nominal/m = [(1 + 6/100) 1/4-1] * 100 = 1,4673845 Probe: Kn = 2.500 (1 + 5,869538 / 400) 3 * 4 = 2977,54

7 =DKOHQEHLVSLHO Zur Verdeutlichung der Unterschiede zwischen einfacher und zinseszinslicher Verzinsung sowie jährlicher und unterjährlicher Verzinsung., HLQIDFKH9HU]LQVXQJ MlKUOLFK K 1 = 2.500 (1 + 0,06) = 2650,00 ¼ K 2 = 2.500 (1 + 0,06 * 2) = 2800,00 ¼ XQWHUMlKUOLFK4XDUWDOH!P K I. 1 = 2.500 (1 + 0,06 * 0,25) = 2537,50 ¼ K II. 1 = 2.500 (1 + 0,06 * 0,50) = 2575,00 ¼ K III. 1 = 2.500 (1 + 0,06 * 0,75) = 2612,50 ¼ K IV. 1 = 2.500 (1 + 0,06 * 1) = 2650,00 ¼ usw K IV. 2 = 2.500 (1 + 0,06 * 2) = 2800,00 ¼,, ]LQVHV]LQVOLFKH9HU]LQVXQJ MlKUOLFK K 1 = 2.500 (1 + 0,06) 1 = 2650,00 ¼ (Schnittpunkt der Graphen) K 2 = 2.500 (1 + 0,06) 1 = 2809,00 ¼ ) XQWHUMlKUOLFK4XDUWDOH!P SQRPLQDO > &(' @ K I. 1 = 2.500 (1 + 1,47 / 100) 1 = 2.536,75 ¼ K II. 1 = 2.500 (1 + 1,0147) 2 = 2.574,04 ¼ K III. 1 = 2.500 (1 + 1,0147) 3 = 2.611,88 ¼ K IV. 1 = 2.500 (1 + 1,0147) 4 = 2.650,27 ¼ (Rundungsdifferenz) usw. K IV. 2 = 2.500 (1 + 1,0147) 4 * 2 = 2.809,58 ¼ (Rundungsdifferenz)

8 VWHWLJH9HU]LQVXQJ6RQGHUIRUPGHUXQWHUMlKUOLFKHQ9HU]LQVXQJ Kn = lim m =>. 0 (1 + p / m * 100) m * n.q. * "! bzw. statt n, da kein ganzes Jahr W (für Zeit) Umformungen: (Zwischenschritt: Kn / K 0 = i * t ) K 0 = Kn * -i * t bzw. Kn / i * t t = LN ( Kn/K 0 ) / i i = LN ( Kn/K 0 ) / t Beispiel: Gegeben: K 0 = 10.000 ¼ ; p nominal = 5% Gesucht: Kn nach 10 Jahren! einfache Verzinsung: K 10 = 10.000 (1 + 0,05*10) = 15.000,00 ¼ zinseszinsl. jährlich: K 10 = 10.000*1,05 10 = 16.288,95 ¼ (Mit Jahresformel besteht kein Unterschied zwischen effektiv und nominell) quartal: (m = 4) K 10 = 10.000 ( 1 + 5 / 4*100) 4*10 = 16.436,19 ¼ monatlich: (m = 12) K 10 = 10.000 ( 1 + 5 / 12*100) 12*10 = 16.470,10 ¼ täglich: (m = 360) K 10 = 10.000 ( 1 + 5 / 360*100) 360*10 = 16.486,62 ¼ stündlich: (m = 360 * 24) K 10 = 10.000 ( 1 + 5 / 360*24*100) 360*24*10 = 16.436,19 ¼ stetig: (m = K 10 = 10.000 0,05*10 = 16.487,21 ¼ Da die stetige Verzinsung (stetiges Wachstum) ein Spezialfall der unterjährlichen Verzinsung ist, ist wieder eine => 8PUHFKQXQJ]ZLVFKHQ1RPLQDOXQG(IIHNWLYYHU]LQVXQJQRWZHQGLJ

9 Umrechnung: jährlich unterjährlich K 0 (1 + p effektiv/100) n = K 0 * p nominal/100 * n K 0 und n kürzen 1 + p effektiv/100 = p effektiv/100 = p nominal/100 p nominal/100-1 SHIIHNWLY +,!-$ *!./ ' & ± p effektiv = ( p nominal/100 1) * 100 p effektiv/100 = p nominal/100 1 p effektiv/100 + 1 = p nominal/100 /1 LN (p effektiv/100 + 1) = p nominal/100 100 * LN (p effektiv/100 + 1) = p nominal SQRPLQDO /1SHIIHNWLY Beispiel oben: p effektiv = 100 ( 0,05-1) = 5,127109638 Probe: Umgekehrt: in die jährliche Zinsformel einsetzten K 10 = 10.000 * 1,051271096 10 = 16,487,21 ¼ Um einen effektiven Jahreszins von 5% zu erhalten müsste bei der stetigen Verzinsung das folgende p nominal verwendet werden. p nominal = 100 * LN (1 + 5/100) = 100 * LN 1,05 = 4,879016417 % Probe: in die stetige Zinsformel einsetzten K 10 = 10.000 * 0,04879016417 = 16.288,95 ¼

10 1.2 Zinseszins mit regelmäßigen Einzahlungen MlKUOLFKH(LQ]DKOXQJHQ n vorschüsige Sparraten r E r E r E r E (letzte Sparrate) 0 1 2 n - 1 n Zeit Kn (Auszahlung) vorschüssige bzw. nachschüssige Sparraten 0 1 2 n - 1 n Zeit Kn Kn = r E * q n + r E * q n - 1 + r E * q n - 2 + + r E * q 1 = r E (q n + q n-1 + q n-2 + + q 1 ) = r E (q + q² + q 3 + + q n-1 + q n ) = r E * q (1 + q + q² + + q n-1 ).Q U0 T>T! T±@(vorschüssig) nachschüssig wird eine Einzahlung weniger verzinst => ein q weniger Beispiel: Im Rahmen eines Bausparvertrages werden jeweils zum 1. Januar 5.000 ¼ eingezahlt. Welches Kapital wird bei 3%iger Verzinsung nach 10 Jahren ausgezahlt? Gegeben: Gesucht: vorschüssig ; r E = 5.000 ¼i = 1,03 ; n = 10 Jahre Kn Kn = 5.000 * 1,03 * 1,03 10 1 / 1,03 1 = 59.038,98 ¼

11! Umformungen:.Q U0 T>T T±@(vorschüssig) r E = Kn * 1/q * q-1 / q n -1 = Kn * q-1 / q(q n -1) = Kn * q-1 / q n+1 - q n =? q n 1 = Kn * q-1 / r E *q q n = 1 + Kn * q-1 / r E *q ORJ n log q = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) ORJT n = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) log q q =? Kn (q-1) = r E * q (q n -1) Knq Kn = r E ( q n+1 q) r E Polynom (n+1)-ten Grades => Nährungsweise Lösung (Nst. suchen) Beispiele: Welche Jahressparrate müssen wir vorschüssig einzahlen, wenn bei einem über 100.000 ¼DEJHVFKORVVHQHQ%DXVSDUYHUWUDJELV]XUJHSODQWHQ=XWHLOXQJLQ-DKUHQ 40 % der Bausparsumme angespart sein sollen? (i = 0,025) Gegeben: Gesucht: n = 7 Jahre ; n 7 = 40.000 ¼T r E r E = 40.000 * 1,025-1 / 1,025 (1,025 7-1) = 5170,55 ¼

12 Jemand zahlt zu Jahresbeginn 2.000 ¼DXIHLQ.RQWRHLQ1DFKZLHYLHOHQ-DKUHQLVW bei einem Jahreszinssatz von 3 % ein Kontostand von mindestens 30.000 ¼HUUHLFKW" Gegeben: r E = 2.000 ; q = 1,03 ; Kn = 30.000 Gesucht: n n = n = log (1 + Kn * q-1 / r E *q) log q log (1 + 30.000 * 1,03-1 / 2.000*1,03) log 1,03 n = 12,26... => 13 Jahre XQWHUMlKUOLFKH(LQ]DKOXQJHQ m =? z.b. quartalsweise => m = 4 vorschüssig 1. Jahr 2. Jahr 0 1 2.. Zeit PS T!.Q U0 >P@ T Anhand der genannten Formeln kann (fast) jeder 3UR]HVVGHV.DSLWDODXIEDXV erfasst werden. Kompliziertere Prozesse müssen immer in 7HLOSUR]HVVH zerlegt werden. Typische Konstellationen im Rahmen der Zinsrechnung: Veränderung des =LQVVDW]HV. Der $QVSDUEHWUDJ kann während der Sparphase modifiziert werden..dslwdouxkw nach n Jahren werden Sparraten dazu gezahlt. Zwischen Ende der Ansparphase und der Auszahlung kann eine 5XKHSKDVHliegen.

13 Zahlenbeispiel: Auf einem Konto ruht seit dem 01.01.03 ein Guthaben von 10.000. Ab dem 01.01.05 werden für 5 Jahre jährlich 3.000 ¼HLQJH]DKOW'HU=LQVVDW]VHLI U und 2004 3% ab dem 01.01.05 5%. Wie hoch ist das Guthaben am 01.01.20? Unbedingt notwendig: =HLWVWUDKODQDO\VH 10.000 ¼ Zeit 03 1.1.04 1.1.05 1.1.06 1.1.07 1.1.08 1.1.09 1.1.10 1.1.20.. 3 % 5 % Zerlegung in Teilprozesse: K 1.1.20 = K1 1.1.20 + K2 1.1.20 aus den 10.000 ¼ aus den Sparraten K1 1.1.20 = 10.000 * 1,03 2 * 1,05 15 = 22.055,35 ¼ K2 1.1.20 = K2 1.1.10 * q 10 K2 1.1.10 = 3.000 * 1,05 * (1,05 5-1 / 0,05) = 17.405,74 ¼ = 17.405,74 * 1,05 10 = 28.352,11 ¼ K 1.1.20 = 50.407,46 ¼ Achtung: Nur zeitgleiche Beträge können addiert werden! ( Äquivalenzprinzip )

14 5HQWHQUHFKQXQJ r v = vorschüssig ; r n = nachschüssig extrem langer Planungshorizont bei Renten => langer Ansparvorgang => lange Rentenphase R 0 = Rentenbarwert (was man bis zum 65. Lebensjahr gespart haben sollte) R n = Rentenendwert R n = R 0 * q n => R 0 = R n * q -n NRQVWDQWHMlKUOLFKHQDFKVFK VVLJH5HQWH R 0 0 1 2 n - 1 n Zeit!!! r n r n r n r n Bewertung dieser Rente? R n = r n + r n * q + r n * q² + + r n * q n-1 R n = r n (1 + q + q² + + q n-1 ) 5 U >T ±T@ Beispiel: Welche nachschüssige jährliche Rentenendbetrag ergibt sich bei einer jährlichen Verzinsung von 4 % für 15 Jahre aus einem Rentenwert von 150.000 ¼ Gegeben: Gesucht: q = 1,04 ; n = 15 Jahre ; R n = 150.000 ¼ r n R n = r n * [(q n 1)/(q - 1)] >T n 1)/(q - 1)] r n = R n * [(q 1)/(q n -1)] r n = 150.000 * [0,04/1,04 15-1] r n = 7.491,17 ¼

15 5HQWHQEDUZHUW R 0 * q n = r n * [(q n 1)/(q - 1)] 5 U! T! >T! ±T@= nachschüssige Rentenbarwertfaktor Beispiel: Eine Bank hat an eine Firma für 10 Jahre eine jährliche Forderung von 3.000 ¼'D die Firma Konkurs angemeldet hat, kann beim Konkursverwalter der Barwert für diese Forderung geltend gemacht werden. Welchen Barwert muss die Bank fordern, wenn 4,5 % Zins unterstellt wird? Gegeben: q = 1,045 ; n = 10Jahre ; r n = 3.000 ¼ Gesucht: R 0 R 0 = r n * 1/q n * [(q n 1)/(q - 1)] R 0 = 23.738,15 ¼ Umformungen: r n = R 0 * q n * [(q 1)/(q n - 1)] bzw. r n = R 0 * q - 1 1 1/q n n =? r n (1-1/q n ) = R 0 * (q 1) / r n 1-1/q n = R 0 * (q 1) * 1/r n - 1-1/q n = R 0 * (q 1) * 1/r n 1 Vorzeichen vertauschen 1/q n = 1 -[R 0 * (q 1)]/r n q n = 1 1 -[R 0 * (q 1)]/r n 1 n log q = log ORJT 1 -[R 0 * (q 1)]/r n => siehe nächste Seite

n = log 16 1 1 -[R 0 * (q 1)]/r n log q q =? Polynom (n+1)-ten Grades => Nährungsweise Lösung (Nst. suchen) Beispiel: Aus einem Rentenbarwert von 250.000 ¼VROOHLQHQDFKVFK VVLJH5HQWHYRQMlKUOLFK 12.000 ¼JH]DKOWZHUGHQ Welche Laufzeit ergibt sich, wenn zusätzlich ein Zinsfluß von 3% unterstellt wird? Gegeben: Gesucht: q = 1,03 ; R 0 = 250.000¼U n = 12.000 ¼ n n = 1 log 1 -[250.000 * (1,03 1)]/12.000 log 1,03 n = 33,18 Jahre

Bisher war es nicht so wichtig wie ein Rentenbarwert im Zeitablauf in Rente umgewandelt wird. 17 Jetzt interessiert aber der Kontostand nach Jahren! R 0 Kontostand zum Zeitpunkt 0 1 j j +1 n Zeit r n r n r n r n 51 5 T 1 U! >T 1 ±T@ bzw..1. T 1 U! >T 1 ±T@ sog. Sparkassenformel für den Kapitalaufbau Zahlungen nach t=j bleiben unberücksichtigt Bankbeispiel (siehe Seite 15): Welchen Wert kann die Bank vom Konkursverwalter fordern, wenn die Firma unmittelbar nach Entrichtung der 4. Rate pleite gemacht hätte? M => K 4 = 23.738,15 * 1,045 4 3.000 * [(1,045 4 1)/(1,045-1)] Extrembeispiele: 15.473,62 ¼ M => K 0 = 23.738,15 * 1,045 0 3.000 * [(1,045 0 1)/(1,045-1)] 23.738,15 ¼ M => K 9 = 23.738,15 * 1,045 9 3.000 * [(1,045 9 1)/(1,045-1)] 2.870,81 ¼ (Probe: 2.870,81 * 1,045 = 3.000 ¼ M => K 10 = 23.738,15 * 1,045 10 3.000 * [(1,045 10 1)/(1,045-1)] 0 ¼ (aufzehren endlicher Rente)

18 (ZLJH5HQWH U!. T±E]Z. L K j = K 0 * q j - K 0 (q - 1) * [(q j 1)/(q-1)] einsetzen in Spark.formel K j = K 0 * q j - K 0 * q j + K 0 K j = K 0 Wenn nur das ausgeschüttet wird, was an Zinsen anfällt, bleibt der Barwert für alle Zeit (ewig!) unverändert. r n = K 0 (q 1) => r e-max r n < K 0 (q 1) => K 0 wird größer! Zahlenbeispiel Bank : r e-max = 23.738,15 ¼ r e-max = 1.068,22 ¼ Ewige Rente als Gleichgewichtspreis zwischen K 0, q und r. Sparkassenformel mit ewiger Rente j = 17 M => K 17 = 23.738,15 * 1,045 17 1.068,22 * [(1,045 17 1)/(1,045-1)] 23.738,15 ¼ => Barwert wird nicht angegriffen!

19 Umformungen:.1. T 1 U! >T 1 ±T@ Endliche Rente => K j = 0 q j 1 K 0 * q j - r n * = 0 q 1 r n =? K 0 * q j = r n q j 1 q 1 q 1 q 1 r n = K 0 * q j = K 0 q j 1 1 1/q j K 0 =? K 0 = r n * 1 q j 1 q j q 1 j =? j = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/r n log q Beispiel 1: Welcher Barwert R 0 ergibt bei einer jährlichen Verzinsung von 3,5 %, 20 Jahre lang eine jährliche Rente von 12.000 ¼ 1 1,035 20 1 R 0 = 12.0000 * * 1,035 20 1,035 1 R 0 = 170.548,84 ¼

20 Beispiel 2: Wie viel muss jemand 25 Jahre jährlich vorschüssig einzahlen, damit 25 Jahre lang eine nachschüssige jährliche Rente von 18.000 ¼DXVJH]DKOWZHUGHQNDQQ"L => Zuerst: Welchen Wert hat die Rente? 1 1,04 25 1 R 0 = 18.0000 * * 1,04 25 1,04 1 R 0 = 281.197,44 ¼ => Jetzt: Wie hoch ist die jährliche Einzahlung? Kn = r E * q * [(q n -1) / (q 1)] r E = Kn * [(q -1) / /(q (q n 1))] Kn = R 0 r E = 6492,41 ¼ Beispiel 3: Ein Kapital R 0 = 250.000 ¼ZLUGMlKUOLFK]XDQJHOHJW Wie lange kann daraus eine jährliche Rente von 18.000 ¼JH]DKOWZHUGHQ" j = 1 log 1 -[250.000 * (1,04 1)]/18.000 log 1,04 j = 20,68 Jahre => 20 Jahre Abrunden, Restbetrag wird Mit letzter Rente ausbezahlt. (einsetzten in Sparkassenformel) r n so berechnen, dass es genau aufgeht (r n > 18.000 ¼ Zusatzfrage: r e-max =? r e-max = 250.000 * 0,04 = 10.000 ¼

Differenzierung zwischen vorschüssiger und nachschüssiger Rente: 21 R 0 0 1 2 n - 1 n Zeit r n r n r n r n r v r v r v r v 5! U2 T>T! ±T@.1. T 1 U2 T>T 1 ±T@ 53 4 $,.65. T±T Auflösungen analog zur nachschüssigen Rente. (lediglich immer 1 q mehr) XQWHUMlKUOLFKH5HQWHQ]DKOXQJHQZLUGQLFKWLQ.ODXVXUJHIUDJW 1. Jahr 2. Jahr 0 1 2.. Zeit r n r n r n r n m = 4, d.h. quartalsweise (m - 1) * p r n = r n unterjährlich [m + ] 200 (m + 1) * p r n = r v unterjährlich [m + ] 200

Kompliziertere Prozesse müssen immer in 7HLOSUR]HVVH zerlegt werden. 22 Typische Konstellationen im Rahmen der Rentenrechnung: Variation der =LQVDQQDKPH. Wechsel zwischen vorschüssiger und nachschüssiger )looljnhlw. %DUZHUW ist nicht auf einmal da, sondern wird angespart. Zwischen Ende der Ansparphase und der Auszahlung kann eine 5XKHSKDVHliegen.

& 23 7LOJXQJVUHFKQXQJ => keine grundlegenden neuen Formeln! Zielsetzung: Analyse der Verzinsung und Rückzahlung einer Schuld Leistung der Schuldner wird zerlegt in 2 Komponenten: - Zinsanteil - Tilgungsanteil Gebräuchliche Tilgungsarten: - Unregelmäßig - Ratentilgung - Annuitätentilgung Später: Spezialkonstellation Tilgungsrechnung Zeitstrahlanalyse: K 0 Leistung Gläubiger 0 1 2 n - 1 n Zeit &! & 4 Z 1 Z 2 Z n-1 Z n Leistung Schuldner + T 1 + T 2 + T n-1 + T n $ $7 $ $ Weiteres Analyseinstrument: => Tilgungsplan Grundgleichungen der Tilgungsrechnung: & 4 & 8 9 $8 =8 78 Annuität als Summe von Zins + Tilgung.8.8 78 Schuld wird durch Tilgung abgetragen. 78 =8 L.8 Zinsberechnung. $T Ausgangsschuld ist gleich dem Barwert der Annuitäten

24 7LOJXQJPLWXQUHJHOPl LJHQ%HLWUlJHQ Analyse hier ausschließlich über Tilgungsplan. => Excel Beispiel: Ein Darlehen über 50.000 ¼ZLUGMlKUOLFK]XYHU]LQVWXQGVROOLQ-DKUHQ vollständig getilgt werden. Jeweils am Ende der ersten Jahre sind folgende Annuitäten vereinbart. A 1 = 10.000 A 2 = 12.000 A 3 = 11.000 A 4 = 10.000 A 5 = 12.000 A 6 wird aus dem Tilgungsplan abgeleitet Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresbeginn Jahresende 1 2 3 4 5 6 1 50.000,00 4.000,00 6.000,00 10.000,00 44.000,00 2 44.000,00 3.520,00 8.480,00 12.000,00 35.520,00 3 35.520,00 2.841,60 8.158,40 11.000,00 27.361,60 4 27.361,60 2.188,93 7.811,07 10.000,00 19.550,53 5 19.550,53 1.564.04 10.435,96 12.000,00 9.114,57 6 9.114,57 729,17 9.843,74 9.843,74 0 Bezüge zu den obigen Grundformeln: n K 0 = 7 t = 6.000 + 8480 + 8158,40 + 7811,07 + 10435,96 + 9114,57 = t=1 50.000 n K 0 = $T -t = 10.000/1,08 + 12.0001,08²... 9.843,74/1,08 6 = t=1 50.000

25 5DWHQWLOJXQJ T 1 = T 2 = T 3 =.. = T n K 0 = n * T T = K 0 /n Beispiel: Ein Darlehen zu 60.000 ¼VROOEHLLJHU9HU]LQVXQJzu 6 gleichen Raten zu je 10.000 ¼JHWLOJWZHUGHQ Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Jahresbeginn Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 1 2 3 4 5 6 1 60.000,00 4.800,00 10.000,00 14.800,00 50.000,00 2 50.000,00 4.000,00 10.000,00 14.000,00 40.000,00 3 40.000,00 3.200,00 10.000,00 13.200,00 30.000,00 4 30.000,00 2.400,00 10.000,00 12.400,00 20.000,00 5 20.000,00 1.600.00 10.000,00 11.600,00 10.000,00 6 10.000,00 800,00 10.000,00 10.800,00 0 Konstante Tilgungen führen zu (arithmetisch) degressiven Annuitäten. => Zinsen, Annuitäten und (Rest-)Schulden können bei einem regelmäßigen Prozess auch bestimmt werden, ohne den kompletten Tilgungsplan aufzustellen. (a) K t = K 0 - t * T K t = K 0 t * (K 0 /n).8. >±WQ@ (b) Z t = i * K t-1 =8 L >±WQ@. (c) A t = Z t + T A t = K 0 /n + i * [ 1 (t-1)/n ] $8. >QL±WQ@ oder: A t = K 0 /n + i [ n/n (t-1)/n ] * K 0 A t = K 0 /n + K 0 * i * [ (n t + 1)/n ] $8. Q>LQ±W@

26 Bezug zu dem Beispiel oben: K t = K 0 [ 1 (t/n) ] K 4 = 60.000 [ 1 (4/6) ] K 4 = 20.000 ¼ Z t = i * [ 1 (t-1)/n] * K 0 Z 4 = 0,08 * [ 1 (4-1)/6] * 60.000 Z 4 = 2.400 ¼ A t = K 0 /n [ 1 + i * (n t + 1) ] A t = 60.000/6 [ 1 + 0,08 * (6 4 + 1) ] A t = 12.400 ¼ Weitere Aspekte der Ratenzahlung (z.b. unterjährlich) werden hier nicht besprochen. $QQXLWlWHQWLOJXQJ A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A Beispiel: Ein Darlehen zu 60.000 ¼VROOEHLLJHU9HU]LQVXQJGXUFKJOHLFKH$QQXLWlWHQYRQ 12.978,92 ¼LQ-DKUHQJHWLOJWZHUGHQ Jahre 7LOJXQJVSODQI UGDV%HLVSLHO (Rest) Schuld Zinsen Tilgung Jahresbeginn Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 1 2 3 4 5 6 1 60.000,00 4.800,00 8.178,92 12.978,92 51.821,08 2 51.821,08 4.145,69 8.833,23 12.978,92 42.987,85 3 42.987,85 3.439,03 9.539,89 12.978,92 33.447,96 4 33.447,96 2.675,84 10.303,08 12.978,92 23.144,88 5 23.144,88 1.851.59 11.127,33 12.978,92 12.017,55 6 12.017,55 961,40 12.017,55 12.978,92 0 Struktur vergleichbar mit der Ä6SDUNDVVHQIRUPHOI UGHQ.DSLWDODEEDX³ Ä5HVWVFKXOGIRUPHO³

.8. T 8 $>T 8 ±T@ Gültigkeit dieser Formel am Zahlenbeispiel oben z.b. für t = 2 K 2 = 60.000 * 1,08 2-12.978,92 * [(1,08 2 1)/(1,08-1)] K 2 = 42.987,85 ¼ 27 Umformungen: (unter der Annahme, dass die Schuld getilgt wird) q t 1 K 0 * q t - A * = 0 q 1 A =? K 0 * q t = A q j 1 q 1 q 1 q 1 A = K 0 * q t = K 0 q t 1 1 1/q t K 0 =? K 0 = A * 1 q t 1 q t q 1 t =? t = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q Zusätzlich sind hier noch folgende Formeln wichtig! =8 $78 78 7 & T 8 4 & 78 $±= & T 8 4 & 78 $±. LT 8 4 &

28 Beispiel 1: Eine Hypothek zu 7% p.a. über 150.000 ¼VROOLQ-DKUHQYROOVWlQGLJYHU]LQVW werden. a) A =? b) Restschuld nach 5, 10 und 15 Jahren? T 1 =? c) Tilgungsplan in 10 Jahren? a) q 1 A = K 0 * q t q t 1 A = 150.000 * 1,07 20 * 0,07/1,07 20-1 A = 14.158,94 ¼ T 1 = A - Z 1 = A - K 0 * i = 14.158,94 10.500,00 = 3.658,94 ¼ b) Restschuldformel => K t = K 0 * q t - A * [(q t 1)/(q-1)] K 5 = 150.0000 * 1,07 5-14.158,94 * [(1,07 5 1)/(1,07-1)] = 128.958,39 ¼ K 10 = 150.0000 * 1,07 10-14.158,94 * [(1,07 10 1)/(1,07-1)] = 99.446,45 ¼ K 15 = 150.0000 * 1,07 15-14.158,94 * [(1,07 15 1)/(1,07-1)] = 58.958,39 ¼ c) T 10 = T 1 * q 9 K 10 = 99.446,45 ¼(siehe oben) = 3.658,94 * 1,07 9 = 6.726,81 ¼ K 9 = K 10 T 10 = 106.173,25 ¼ Z 10 = K 9 * i Z 10 = 106.173,25 * 0,07 Z 10 = 7.432,13 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 10 106.173,25 7.432,13 6.726,81 14.158,94 99.446,44

29 Beispiel 2: Jemand plant ein Haus zu bauen, hat aber kein Eigenkapital. Möglich wären jedoch jährliche Annuitäten von 10.000 ¼I UHLQH/DXI]HLt von 25 Jahren. Wie hoch könnte ein Hypothekendarlehen ausfallen, wenn ein Zinssatz von 9 % unterstellt wird? => Gesucht: K 0 K 0 = A * 1 q t 1 q t q 1 K 0 = 98.225,80 ¼ Beispiel 3: Hypothek von 100.000 ¼ZLUG]XYHU]LQVWXQGVROOPLW$QQXLWlWHQYRQ¼ zurückgezahlt werden. Gesucht: t und Tilgungsplan für das letzte Jahr! t = log 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q t = 9,9029333 Jahre Ungeradzahliges Ergebnis für Jahre; d.h. der Tilgungsplan geht nicht auf!? Restschuld nach 9 Jahren: K 9 = K 0 * q 9 - A * [(q 9 1)/(q-1)] K 9 = 12.587,09 ¼ Lösung des Problems von oben:,5hvwvfkxogzlug]xvdpphqplwghuohw]whqyroohq$qqxlwlwehjolfkhq A 9 = A + K 9 A 9 = 27.587,09 ¼

30,,D5HVWVFKXOGZLUGDOV6RQGHU]DKOXQJYRUDELQW EHJOLFKHQ S = K 9 * q -9 S = 6.296,68 ¼ K 0 * = K 0 S K 0 * = 100.000 6.296,68 K 0 * = 93.703,32 ¼,,E6RQGHU]DKOXQJQLFKWYRUDEVRQGHUQ]XVDPPHQPLWGHUHUVWHQ $QQXLWlW S = K 9 * q -8 S = 6.800,41 ¼,,,,UUHJXOlUH$EVFKOXVVDQQXLWlW A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A A 1 = Z 10 + T 10 (=K 9 ) A 10 = 12.587,09 * 0,08 + 12587,09 A 10 = 13.594,06 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 10 12.587,09 1.006,97 12.587.09 13.594,06 0,00 Spezialprobleme der Tilgungsrechnung: => Zerlegung in Teilprozesse (bereits angesprochen) => unterjährlich (bereits angesprochen) => Auswirkung von tilgungsfreien Zeiten => Zinsänderung => Prozentannuität => Auszahlungsgebühren (Disagio) => Aufgeld (Agio)

31 $XVZLUNXQJYRQ³WLOJXQJVIUHLHQ=HLWHQ³ Tilgung ist z.b. am Anfang nicht möglich. => 2KQH=LQV]DKOXQJ 6FKXOGVWHLJWDQ=LQVHV]LQVIRUPHO => 0LW=LQV]DKOXQJ. EOHLEWNRQVWDQW Zahlenbeispiel: Kredit über 25.000 ¼ZLUGPLWYHU]LQVW'LHHUVWHQGUHL-DKUHVHLHQWLOJXQJVIUHLH Zeiten. Am Ende des 4. Jahres soll eine Annuitätentilgung derart beginnen, dass die Schuld 10 Jahre nach Gewährung des Kredites getilgt ist. Gesucht: A=? I. ohne Zinszahlung: II. mit Zinszahlung: K 0 * = K 0 * q 3 Die ersten drei Jahre muss jedes Jahr 25.000 * 0,09 = 2.250 ¼=LQVHQ K 0 * = 32.375,73 ¼ gezahlt werden! Annuit. Tilgung für die restl. 7 Jahre: Annuit. Tilgung für die restl. 7 Jahre: A = 32.375,73 * 1,09 7 * 0,09/1,09 7-1 A = 25.000,00 * 1,09 7 * 0,09/1,09 7-1 A = 6.432,75 ¼ A = 4.967,26 ¼ =LQVlQGHUXQJ Zahlenbeispiel: K 0 = 100.000 ¼$ ¼ Zinsannahme für die ersten 5 Jahre: 9% danach 7 %. Wie lange ist die Laufzeit der Tilgung? %HUHFKQXQJGHU5HVWVFKXOGQDFK-DKUHQW & K 5 = K 0 * q 5 - A * [(q 5 1)/(q-1)] K 5 = 82.045,87 ¼ => neu K 0 %HUHFKQXQJGHU5HVWODXI]HLW log t 2 = 1 1 -[K 0 * (q 1)]/A log q

32 t 2 = 9,62537 Jahre %HUHFKQXQJGHU*HVDPWODXI]HLW t = t 1 + t 2 t = 14,62537 Jahre (ganzahliges Problem, siehe oben) 3UR]HQWDQQXLWlW(A = konstant!) Bisher bei annuitätischer Tilgung: - Vorgabe von Absolutbeträgen bei der Höhe der Annuität. ( z.b. A = 12.000 ¼ Jetzt: - Relative Bemessung der Höhe der Annuität Praxis: Neben dem =LQVVDW] wird ein 7LOJXQJVVDW] im ersten Jahr als Prozentsatz GHU *HVDPWVFKXOG vereinbart. $. LL! 3= Formulierung: Zinsen x % p. a. Tilgung y % p. a. Ä]X] JOLFKHUVSDUWHU=LQVHQ³ oder ÄGXUFKIRUWVFKUHLEHQGH7LOJXQJHUVSDUWH=LQVHQ³ Zahlenbeispiel: Ein Baudarlehen von 100.000 ¼VROOPLWYHU]LQVWXQGPLW]X] JOLFKHUVSDUWHU Zinsen getilgt werden. Tilgungsplan für die ersten 2 Jahre? Tilgungsdauer? Tilgungsplan: A = K 0 * ( i + i neu ) A = 100.000 * ( 0,08 + 0,02) A = 10.000 ¼

33 Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 1 100.000,00 8.000,00 2.000.00 10.000,00 98.000,00 2 98.000,00 7.840,00 2.160.00 10.000,00 0,00 2 % gilt nur für das erste Jahr! Laufzeit: t = log A A -[K 0 * (q 1)] log q GD $±.> T± $±.> L = $±=? 7? t = log A T 1 log q W ORJ$±ORJ7? ORJT t = (log 10.000 log 2.000) / log q t = 20,91 Jahre t = log A T 1 log q.> LL @AB ORJ.> L @AB W ORJT Unabhängig von K 0, nur abhängig von i und i neu also den beiden relativen Größen!

34 $XV]DKOXQJVJHE KUHQ'LVDJLR *UXQGPRGHOO Kredit wird QLFKWYROODXVJH]DKOW weil von der Schuldsumme sofort die.uhglw JHE KUDEJH]RJHQ wird. Zu tilgen ist die volle Schuldsumme. Zahlenbeispiel: Darlehen zu 200.000 ¼VROO]XDXVJH]DKOWZHUGHQ'LVDJLR$OV=LQVVDW] werden 8,5 % Zinsen vereinbart. Tilgung wird mit 1 % zuzüglich ersparter Zinsen festgelegt. Wie hoch ist die Annuität? A = K 0 * ( i + i neu ) A = 200.000 * ( 0,085 + 0,01) A = 19.000 ¼ (trotz 93%-iger Auszahlung bezieht sich der Tilgungsvorgang auf die 200.000!) 93% Auszahlung => 186.000 ¼ZHUGHQDXsgezahlt. Eventuell Problem der Finanzierungslücke von 14.000 ¼³!=XVDW]GDUOHKHQ *UXQGPRGHOO Kredit wird in der YROOHQ+ KHDXVJH]DKOW Anfangsschuld setzt sich aus der YHUHLQEDUWHQ6FKXOG]X] JOLFK$XV]DKOXQJVJHE KUHQ Zahlenbeispiel: Kredit über 50.000 ¼VROOYROODXVJH]DKOWZHUGHQ%HLGHU7LOJXQJZHUGHQ Kreditgebühren berücksichtigt. Als Zinssatz werden 7 % festgelegt. Tilgung zu 2 % zuzüglich ersparter Zinsen. Wie hoch ist die Annuität? K 0 neu K 0 neu K 0 neu = K 0 + K 0 * i Gebühr = 50.000 + 50.000 * 0,03 = 51.500 ¼ A = K 0 neu * ( i + i neu ) A = 51.500* ( 0,07 + 0,02) A = 4.635 ¼ (statt 4.500!)

35 $XIJHOG$JLR Häufig wird zwischen Gläubiger und Schuldner außer Zins und Tilgung noch ein ]XVlW]OLFKHV$XIJHOG vereinbart, das in der Regel als 3UR]HQWVDW]GHU7LOJXQJV UDWH festgelegt wird. %HLGHU5DWHQWLOJXQJ T 1 = T 2 = T 3 =.. = T n = T Mathematisch: Neben den Zinsen ist das (1 + Alpha)fache der Standardtilgungsrate zu zahlen. Beim Tilgungsplan ist eine zusätzliche Spalte für das Aufgeld zu berücksichtigen! $JLRW $OSKD7 $C =C $OSKD7 Zahlenbeispiel: Kredit über 10.000 ¼7LOJXQJLQ-DKUHQi = 6 %, Aufgeld: 2% der Tilgungsrate Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Agio Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 1 10.000,00 600,00 2.000.00 40 2.640,00 8.000,00 2 8.000,00 480,00 2.000.00 40 2.520,00 6.000,00 3 6.000,00 360,00 2.000.00 40 2.400,00 4.000,00 4 4.000,00 240,00 2.000.00 40 2.280,00 2.000,00 5 2.000,00 120,00 2.000.00 40 2.160,00 0,00

36 %HLGHU$QQXLWlWHQWLOJXQJ A 1 = A 2 = A 3 =.. = A n-1 = A n = A würden sich bei dieser Vorgehensweise VWHLJHQGH$QQXLWlWHQ ergeben. => Passt nicht zum Grundmodell mit NRQVWDQWHQ Annuitäten. Mathematische Lösung: Agio muss bei der Festlegung der Annuität einbezogen werden. neue Formel: C LN $.> N PLWN L$OSKD Zahlenbeispiel: K 0 = 60.000, das mit 6 % zu verzinsen ist und unter Einschluss eines Aufgeldes von 2 % annuitätisch in 6 Jahren getilgt werden soll. Tilgungsplan? K = 0,06/ 1,02 = 0,058823529 i (1 + k) t A = K 0 * = 12.399,83 ¼ (1 + k) t - 1 Z 1 = K 0 * i = 3.600 ¼ T = (A Z 1 ) / (1 + Alpha) = 8.627,28 ¼ Agio 1 = 0,002 * T 1 = 172,55 ¼ Jahre (Rest) Schuld Jahresbeginn Zinsen Tilgung Agio Annuität (Rest) Schuld Jahresende W.: ; < =: 7 $:.: 1 60.000,00 3.600,00 8.627,28 172,55 12.399,83 51.372,72 2 51.372,72 3.082,36 9.134,77 182,70 12.399,83 42.237,95 3 42.237,95 2.534,28 9.672,11 193,44 12.399,83 32.565,84 4 32.565,84 1.953,95 10.241,06 204,82 12.399,83 22.324,78 5 22.324,78 1.339,49 10.843,47 216,87 12.399,83 11.481,31 6 11.481,31 688,88 11.481,32 229,63 12.399,83 0,00