.1. Stochastische ökonometrische Modelle.1 Einführung Ziele: - Modelle der ökonomischen Theorie an der Wirklichkeit überprüfen - Numerische Konkretisierung ökonomischer Modelle und deren Analse.
. Variierende Charakteristika eines Modells: - Variable nichtvariierende - Beziehungen, Relationen (Gleichungen, Ungleichungen) - Parameter - Klassifikation der Variablen - nichtvariierende exogene Variablen, deren Entwicklung zu erklären nicht Aufgabe des Modells.
.3 Ökonomische Modelle in der Regel deterministisch. Ökonomische Relationen können Variation der Beobachtungswerte nicht bis in feinste Schwankungen erfassen. Deshalb Einfügen nicht beobachtbarer Zufallsvariablen, sog. Störvariablen. Damit werden alle durch das Modell erklärten ökonomischen Variablen stochastisch. Im allg. keine Realisationen der Störvariablen beobachtbar: Verteilung unterstellt. Im folgenden Variablen i.allg. durch Zeitreihen vertreten.
.4 Beispiel: Beobachtbare Variable (Stat. Merkmale) X, Y Zeitreihen x t, t Modell t 1 + x t + u t t 1,...,T Der Einfachheit halber: - und u Zufallsvariablen - u hat bestimmte Verteilung mit E(u) und Var(u) - x deterministisch (Verallgemeinerung: x auch Zufallsvariable, Fehler-in-den-Variablen-Modell mit besonderer Theorie)
.5 Auch multiplikative Verknüpfung der Störvariablen möglich. Wann? Vgl. Zeiterihenanalse Spezifikation des Modells: Festlegung der Modellstruktur inclusive Verteilung der Variablen.
.6 Identifikation: Eindeutige Bestimmung der Koeffizienten Stichprobe ---- Schätzverf. -----! Parameter, insbes. Koeffizienten Struktur eines ökonometrischen Modells: - Funktionsbeziehungen - Parameter dieser Funktionsbeziehungen (Koeffizienten) - Verteilungen der Zufallsvariablen - Parameter d. Verteilungen der Zufallsvariablen Stichprobe ---- Test -----! Spezifikation d. Mod. Signifikanz der Koef. Meist hat man keine zweite Stichprobe.
.7 Beispiel: - Funktionsbeziehung: t 1 + x t + u t t 1,...,T - Modell-Parameter 1, - u t normalverteilt -E(u t ) 0 Var(u t ) u Verteilungsparameter
.8. Endogene, exogene und verzögerte Variable Endogene Variablen werden durch das Modell "erklärt". Exogene Variablen werden nicht durch das Modell erklärt, sind unabhängig, werden von "außen" bestimmt. Beispiele: a) t b 0 + b 1 x 1t + b x t + u t, endogen, x 1, x exogen b) t b 0 + b 1 x 1t + b x t + u t x 1t c 0 + c 1 x t + e t, x 1 endogen, x exogen
.9 Verzögerte Variable: Beispiel: t b 0 + b 1 t-4 + c 0 x t + c 1 x t-1 + u t x t-1 - verzögerte exogene Variable, Lag 1 t-1 - verzögerte endogene Variable, Lag 4 Prädeterminierte Variable: Verzögerte und exogene Variable
.10.3 Das lineare Eingleichungsmodell.3.1 Annahmen Merkmale (Variable) x, x 3,...,x k und, wobei - von den x abhängt. - nur Zufallsvariable - keine Messfehler (Realistisch?)
Erwartungswert von ist eine lineare Funktion der gegebenen Realisationen der x:.11 t 1 + x t + 3 x 3t +... + k x kt + u t d.h. für Einzelzeitpunkte (oder Objekte): t 1,...,T t 1 + x 1 + 3 x 31 +... + k x k1 + u 1 t 1 + x + 3 x 3 +... + k x k + u......... T 1 + x T + 3 x 3T +... + k x kt + u T Achtung: Viele Darstellungen beginnen mit 0, dann ist unser k gleich k+1
.1 Dasselbe kürzer in Matrixschreibweise : 1 1 1 + T k k T T u X k 1 kt T k1 1 T 1 x x 1 x x 1 mit X
.13 Bedingungen für Störvariable: -E(u t ) 0 -Var(u t u unabhängig von t - Cov(u i u j ) E (u i u j ) 0 für i j, d.h. u i und u j unabhängig, keine Autokorrelation für gemessene Variable: - Variablen x it, t fehlerfrei, d.h. alle Fehler im u, d.h. im Modell -rg(x) k T ( rg(x X) k (regulär, nicht singulär) d.h. k x k (X X) -1 existiert)
.14.3. Kleinst-Quadrat-Schätzung des Koeffizientenvektors ß b b b b ß k gesuchter Schätzer für ˆ OLS: 1 kt k t 1 t T t t t x b x b b + + + ˆ mit min ) ˆ ( : Quadratsumme der Fehler 1
In Matrixschreibweise:.15 ( Xb) ( Xb) b + b Xb min nach b differenzieren : + Xb 0 Xb Kleinst-Quadrat-Schätzer: b ( X X ) X
Beispiel: Mfit, ukcon.fit Y-Einkommen im UK, C-Verbrauch im UK.16
.17
.18 Ordinar Least Squares Estimation ***************************************************** Dependent variable is C 140 observations used for estimation from 1960Q1 to 1994Q4 ***************************************************** Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio [Prob] ------------------------------------------------------------------------------- INPT 954.1058 513.711 1.8589 [.065] Y.8883.0073359 11.0796 [.000] ***************************************************** Modellgleichung? Varianten? b 1 und b sind Zufallsvariable, hängen von jeweiliger Zufallsstichprobe ab, haben auch eine Varianz.
.19
.0 Eigenschaften des OLS-Schätzers b (1) b ist linear in : b ((X X) -1 X ) () b ist erwartungstreu. Beweis: b (X X) -1 X (Xß + u) b ß + (X X) -1 X u wichtig! E(b) E(ß) + (X X) -1 X E(u) ß (3) Wenn (X X)/T ---- T p -----! Q, (Q nichtsingulär, endlich), dann ist b konsistent.
.1 Beweis : Varianz Kovarianz Matrix von cov( b) E(( b b ) ) b : E(( + ( X ) u + ( X) u ) ) E(( X ) u u X ( X) ) E(( X ) u I T X ( X) ) u ( X) (wichtig! ) u ( X /T) 1/ T u Q -1 0 0
. (4) b ist BLUE, d.h. effizient gegenüber allen anderen in linearen Schätzfunktionen, d.h. kleinste Varianz Bester linearer unverzerrter Schätzer
.3 Beweis : ~ Angenommen unverzerrter linearer ~ C, C ( X), d.h. C ( X) ~ E( ) E( C) E( C(X E(( X) + DX E((( X) + E(( X) E( + DX + + u)) X D + D)(X + D)u) ) + E(( X) 1 ~ + DX + u)) ) Schätzer b + D)u)
.4 Wenn ~ unverzerrt, dann D 0 (Nullmatrix) C ~ ( X) ( X) b
.5 Schätzen der Varianz von b Wir hatten im Beweis von (3) cov( b) X u ( X ) Varianzenderb b i : ( X) u ii Schätzung i sind Diagonalel emente ˆ b i : ˆ ( X) u ii
.6 Also Schätzung der Varianz der Störvariablen notwendig. Schwieriges Problem! Lösungsversuch mit Hilfe der Ergodizität. (s. Zeitreihenanalse ) über die Residuen: e X b ˆ mit ˆ X b Residuen sind nicht die Störvariable sondern deren Schätzwerte
.7
.8 Ein möglicher Schätzer für ist e t e e e T T nicht erwartungstreu, deshalb Korrektur u vgl.stat. I : Aber Schätzer ˆ u ist e e su T K erwartungstreu und konsistent.
.9 Aus Normalgleichungssstem X X b X folgt X e 6SH]LHOO H t 0) d.h. Residuen von x - Werten statistisch unabhängig
.30 Residuenquadratsumme ist darstellbar : e e t t e e ( Xb) ( b b Xb b Xb ˆ ˆ ( ŷ) ( Xb) + b Xb + b Xb t ŷ) ˆ t ˆ u ˆ ˆ T k s u
.31 Damit Schätzer der Varianz der Koeffizienten: ˆ b i u 1 ii s ( X) : s b i Standardfehler ist Wurzel daraus. Ermöglicht erste Einschätzung der Relevanz des Koeffizienten (s. Tabelle)