systeme Arbeitsgruppe Pharmazeutische Bioinformatik WS 2010/11
systeme Natürliche (N) N = {1, 2, 3, 4, 5,...} N 0 = {0} + N Ganze (Z) Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,..} Rationale (Q) Brüche Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer ( m n ) Irrationale Algebraische Lassen sich nicht als als Bruch zweier ganzer darstellen (z.b. 2) Transzendentale Beispiele: e, π
systeme Reelle (R) R = rationale + irrationale Imaginäre Zahl, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist. Bsp. x 2 = 1 Komplexe (C) C = {reele + imaginäre }
systeme systeme Dezimalsystem Binärsystem 1 oder 0 Hexadezimalsystem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
systeme systeme Dezimalzahl im Dualzahlsystem 18/2 = 9 Rest 0 9/2 = 4 Rest 1 4/2 = 2 Rest 0 2/2 = 1 Rest 0 1/2 = 0 Rest 1 Dualzahl: 10010 Dualzahl im Dezimalsystem 11001 1 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 16 + 8 + 1 = 25
Runden von Dezimalzahlen systeme Runden auf k Stellen nach dem Komma absoluter maximaler Rundungsfehler: z = 0, 5 10 k
Runden von Dezimalzahlen systeme Runden auf k Stellen nach dem Komma absoluter maximaler Rundungsfehler: z = 0, 5 10 k Runden auf k signifikante Ziffern signifikante Ziffern: angegebene Ziffern ohne führende Nullen z.b. 0, 0030 zwei signifikante Ziffern
Signifikante Stellen systeme Ganze sind exakt, wenn sie als natürliche angesehen werden. Bei physikalischen Größen sind sie als gerundet anzusehen. Beispiel: Anzahl der Studierenden: 213, Inhalt der Ampulle 42 ml
Signifikante Stellen systeme Ganze sind exakt, wenn sie als natürliche angesehen werden. Bei physikalischen Größen sind sie als gerundet anzusehen. Beispiel: Anzahl der Studierenden: 213, Inhalt der Ampulle 42 ml Endende Nullen bei ganzen sind nicht immer eindeutig in der Angabe der Genauigkeit. Für die eindeutige Kennzeichnung sollten Zehnerpotenzen angegeben werden Beispiel: Erdumfang (40 024 km) besser 4, 00 10 4 km statt 40 000km
systeme Fehler Betrag des absoluten Fehlers y = y w y f y w : wahrer Wert; y f : fehlerbehafteter Wert Der wahre Wert ist normalerweise nicht bekannt, daher ist der gemessenene Wert die Annäherung an den wahren Wert Der fehlerbehaftete Wert ist der Messwert + Messfehler Betrag des relativen Fehlers y r = y y w
systeme Fehler Betrag des absoluten Fehlers y = y w y f y w : wahrer Wert; y f : fehlerbehafteter Wert Der wahre Wert ist normalerweise nicht bekannt, daher ist der gemessenene Wert die Annäherung an den wahren Wert Der fehlerbehaftete Wert ist der Messwert + Messfehler Betrag des relativen Fehlers y r = y y w Beispielrechnung: Gemessener Wert: y w = 40, 0 Wert + maximaler Messfehler: y f = 40, 0 ± 0, 2 Betrag des absoluten Fehlers: y = 0, 2 Betrag des relativen Fehlers: y r = 0,2 40,0 = 0, 005 Wert + relativer Messfehler: y f = 40, 0 ± 0, 5%
Fehler systeme Aufgabe 100 g Cortisonsalbe soll hergestellt Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Ihre Digitalwaage hat eine Gramm-Skala und zwei Nachkommastellen (letzte Stelle ist Schätzer). Wie groß ist der maximale relative Fehler?
Fehler systeme Aufgabe 100 g Cortisonsalbe soll hergestellt Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Ihre Digitalwaage hat eine Gramm-Skala und zwei Nachkommastellen (letzte Stelle ist Schätzer). Wie groß ist der maximale relative Fehler? Lösung Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Minimum: 0,02g 0,015g 0,02g = 0, 25 Maximum: 0,02g 0,0249g 0,02g = 0, 25 Maximaler relativer Fehler: ±25%
Fehler systeme Faustregel 1: Ist n die Anzahl der signifikanten Stellen, so beträgt der relative Fehler höchstens 5 10 n oder 5 10 2 n %
Fehler systeme Faustregel 1: Ist n die Anzahl der signifikanten Stellen, so beträgt der relative Fehler höchstens 5 10 n oder 5 10 2 n % Faustregel 2: Beträgt der relative Fehler 10 n %, so ist die Zahl höchstens mit n+3 signifikanten Stellen anzugeben
systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele:
systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele: 5, 372 10 4 + 3, 12 10 2 = 5, 372 10 4 + 0, 0312 10 4 = 5, 403 10 4
systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele: 5, 372 10 4 + 3, 12 10 2 = 5, 372 10 4 + 0, 0312 10 4 = 5, 403 10 4 5, 372 10 6 + 3, 12 10 2 = 5, 372 10 6 + 0, 000312 10 6 = 5, 372 10 6
Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele:
Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele: 5, 372 10 4 3, 12 10 2 = (5, 372 3, 12) 10 (4+2) = 16, 8 10 6
Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele: 5, 372 10 4 3, 12 10 2 = (5, 372 3, 12) 10 (4+2) = 16, 8 10 6 5g 6,0ml = 0, 8 g ml 5,0g 6,0ml = 0, 83 g ml
systeme Vorsilbe Kürzel Größe In Worten 10 0 Eins Deka da 10 1 Zehn Hekto h 10 2 Hundert Kilo k 10 3 Tausend Mega M 10 6 Million Giga G 10 9 Milliarde Tera T 10 12 Billion Peta P 10 15 Billiarde............
systeme Vorsilbe Kürzel Größe In Worten 10 0 Eins Dezi d 10 1 Zehntel Zenti c 10 2 Hundertstel Milli m 10 3 Tausendstel Mikro µ 10 6 Millionstel Nano n 10 9 Milliardstel Pico p 10 12 Billionstel Femto f 10 15 Billiardstel............