Lösungen zur 5. Übung

Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Hess Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik Lösungen zur 5. Übung Aufgabe 5.1 a) Amplituden- und Phasenreserve sind nur für stabile Regelkreise definiert (s. Skript, S.51). Mit r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung = 0 und tatsächliche Phasendrehung = 0 (siehe Nyquistplot) folgt asymptotische Stabilität für den hier gegebenen Regelkreis. Eine Vergrößerung der Amplitude bewirkt eine zentrische Streckung (bezüglich des Ursprungs) der Nyquistortskurve. Und eine Verringerung der Phase bewirkt eine Drehung der Nyquistortskurve (um den Ursprung) in mathematisch negativem Drehsinn. Beides führt dazu, dass die Nyquistortskurve dem kritischen Punkt näher kommt. Für eine Amplitudenerhöhung um A r 2 bzw. eine Phasenverringerung um Φ r 50 geht die Nyquistortskurve durch den kritischen Punkt (= Stabilitätsgrenze). Im Bodediagramm gilt analog die Überlegung, dass man den Amplitudengang uma r 6dB erhöhen muss bzw. den Phasengang umφ r 50 verringern muss, damit der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht (d.h. der Amplitudengang schneidet die 0dB-Linie an derselben Frequenz, an der der Phasengang die 180 -Linie 1 schneidet. 1 oder eine andere Linie, die um ein Vielfaches von360 über oder unter der 180 -Linie liegt) 1

b) Der Regelkreis ist ebenfalls stabil (r G = r K = 2 geforderte Phasendrehung = 2π und tatsächliche Phasendrehung = 2π). Hier führt aber eine Amplitudenverringerung und eine Phasenvergrößerung dazu, dass der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht. Somit sind in diesem Fall nur die Kenngrößen Φ r undãr definiert und können im Bodediagramm abgelesen werden. Es ergibt sicha r 8dB 0.4 und Φ r 80 Aufgabe 5.2 a) i) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung= 0 ii) für allek Ê + as. stabil iii) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert b) i) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung= 0 ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr. = π nicht as. stabil iii) A r 10 (siehe blauer Pfeil) 9 Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert 2

c) i) r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung = 0 tatsächliche Phasendrehung = 0 as.stabil ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr. = 2π nicht as. stabil iii) A r 10 (siehe blauer Pfeil) 4 Φ r 70 (siehe roter Pfeil) d) i) r G = 1, r K = 0 geforderte Phasendrehung = π tatsächliche Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) Der Regelkreis ist für keink Ê + as. stabil. iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der Regelkreis nicht as. stabil ist. e) i) r G = 1, r K = 0 geforderte Phasendrehung = π tatsächliche Phasendrehung = π as. stabil ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr. = π as. stabil iii) Ãr 2 (siehe blauer Pfeil) 3 Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert f) i) r G = 1, r K = 0 h geforderte Phasendrehung = π tatsächliche Phasendrehung = π as. stabil ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr. = π as. stabil iii) Ãr 2 (siehe blauer Pfeil) 3 Φ r, Φ r nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis existiert 3

g) i) r G = 2, r K = 0 geforderte Phasendrehung = 2π tatsächliche Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 nicht as. stabil k : tats. Ph.dr. = 2π as. stabil iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der Regelkreis nicht as. stabil ist. h) i) r G = 3, r K = 0 geforderte Phasendrehung = 3π tatsächliche Phasendrehung = 0 nicht as. stabil ii) Der Regelkreis ist für keink Ê + as. stabil. iii) Es sind keine Stabilitätsreserven definiert, da der Regelkreis nicht as. stabil ist. i) i) Nyquistkontur muss verändert werden (Aufg. 4.5). Es wird beispielhaft Vorgehensweise 1 verwendet. r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung = 0 ii) Der Regelkreis ist für allek Ê + asymptotisch stabil. iii) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r 50 (siehe roter Pfeil) 4

j) k) i) Nyquistkontur muss verändert werden (Aufg. 4.5). Es wird beispielhaft Vorgehensweise 1 verwendet. r G = r K = 0 geforderte Phasendrehung = 0 ii) k 0: tats. Ph.dr.= 0 as. stabil k : tats. Ph.dr. = 0 as. stabil aber es existiert ein Interval k [k 1,k 2 ] für k 1,k 2 Ê + für das die tats. Ph.dr. = 2π ist. Der Regelkreis kann somit instabil werden. iii) A r 10 (siehe blauer Pfeil) 8 Φ r 10 (siehe roter Pfeil) i) r G = 0,r K = 0 geforderte Phasendrehung= 0 ii) Der Regelkreis ist für allek Ê + asymptotisch stabil. iii) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r 60 (siehe roter Pfeil) Aufgabe 5.3 a) r G +r K = 1 geforderte Phasendrehung = π k = 10 tatsächliche Phasendrehung= 0 Regelkreis nicht as. stabil k = 25 tatsächliche Phasendrehung = π Regelkreis as. stabil k = 50 tatsächliche Phasendrehung = π Regelkreis nicht as. stabil b) Stabilitätsreserven sind nur für asymptotisch stabile Regelkreise defininiert und können deshalb nur für den Fall k = 25 angegeben werden. Da sowohl eine Verkleinerung als auch eine Vergrößerung der Verstärkung dazu führt, dass der Frequenzgang durch den kritischen Punkt geht, sind beide Formen der Amplitudenreserve definiert und ergeben sich zu: A r 10 6,Ãr 10 21 c) Der Regelkreis ist as. stabil, wenn die Verstärkung innerhalb der durch die Stabilitätsreserven gegebenen Schranken liegt, d.h. wenn k (25Ãr,25A r ) (11.9, 41.66) 5

Aufgabe 5.4 (A) (P) i) A r,ãr nicht definiert, da kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse existiert Φ r 50 ii) as. stabil für allek P Ê + iii) k P 3dB (A) (I) i) Der Regelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven ii) k I < 30dB iii) k I 40dB (A) (PI) i) A r 15dB Φ r 45 ii) k PI < 15dB iii) k PI = 1 (B) (P) i) Der Regelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven ii) k P < 20dB iii) Diese Phasenreserve lässt sich nicht einstellen, da die Nyquistortskurve für kein k P den Einheitskreis schneidet. (B) (I) i) Der Regelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven ii) k I < 5dB iii) k I 15dB 6

(B) (PI) i) A r 20dB (Nyquistortskurve für ω bei ( 0.1,0)) Φ r 90 ii) k PI < 20dB iii) Diese Phasenreserve lässt sich nicht einstellen (siehe (B) (P)). (C) (P) i) Der Regelkreis befindet sich direkt an der Stabilitätsgrenze (die Orskurve geht genau durch den kritischen Punkt). Es sind somit keine Stabilitätsreserven definiert ii) k P < 1dB und k PI > 45dB iii) k P 10dB und k PI 60dB (C) (I) i) Der Regelkreis ist instabil und hat somit keine Stabilitätsreserven ii) k I < 30dB iii) k I 45dB (C) (PI) i) A r 10dB Φ r 45 ii) k PI < 10dB undk PI > 90dB iii) k PI 0dB und k PI 100dB Für eine spezielle Klasse von Regelkreisen tritt nur ein Stabilitätswechsel von kleineren zu größeren Verstärkungen auf. Diese Systeme haben eine streng propere offene KetteG(s)K(s) eine stabile offene Kette G(s)K(s) (einfache Pole von G(s)K(s) haben nicht-positiven, mehrfache Pole vong(s)k(s) streng negativen Realteil) einen Phasengang, welcher im Interval [ 90,90 ] beginnt, d.h. lim ω 0 ( G(jω)K(jω))) [ 90,90 ] 7

einen Phasengang, welcher die 180 (oder äquivalente Frequenzen 180 ± 2k 360 ) genau einmal schneidet. Die Schnittfrequenz sei mitω p bezeichnet. Für diese Systeme ist die geforderte Phasendrehung = 0 (wenn die Pole auf der imag. Achse aus der Nyquistkontur ausgeschlossen werden) und der Regelkreis ist genau dann asymptotisch stabil, wenn die Durchtrittsfrequenz ω d kleiner als ω p ist. Analog kann man im Bodediagramm leicht eine kritische Verstärkung bestimmen, unterhalb derer der Regelkreis stabil ist. Hinweis: Die aufgeführten Bedingungen mögen sehr restriktiv erscheinen, werden aber in der Praxis von vielen (einfachen) Regelkreisen erfüllt. Daraus ergeben sich einige Vereinfachungen und Faustregeln, wie beispielsweise, dass die Reglerverstärkung verringert werden muss, wenn zuviel Überschwingen auftritt, oder dass sie vergrößert werden muss, wenn man schnelleres Führungsverhalten möchte. Daher sei hier explizit darauf hingewiesen, dass solche Vereinfachungen (so häufig sie auch zutreffen mögen) im Allgemeinen die obigen Bedingungen voraussetzen. Aufgabe 5.5 Das System hat die in Aufgabe 5.4 gegebenen Eigenschaften, welche die Stabilitätsaussage auf den Vergleich der Frequenzen ω p und ω d reduziert. Somit ist der Regelkreis genau dann as. stabil wenn ω d < ω p. Diese Aussage ist equivalent zu der Forderung, dass der Amplitudengang bei w p unterhalb der 0dB-Linie liegt und somit die Nyquistortskurve die negative imaginäre Achse rechts des kritischen Punktes schneidet. Wir fordern für asymptotische Stabilität also zum Beispiel: Mit Im(G(jω p )K(jω p ))! = 0 Re(G(jω p )K(jω p ))! > 1 Re(G(jω p )K(jω p )) = Im(G(jω p )K(jω p )) = k p k 1 k 2 ωp 2(T 1 +T 2 ) ωp(t 4 1 +T 2 ) 2 +ωp(1 T 2 1 T 2 ωp) 2 2 k p k 1 k 2 ω p (1 T 1 T 2 ωp 2) ωp 4(T 1 +T 2 ) 2 +ωp 2(1 T 1T 2 ωp 2)2 ergibt sich, dass der Regelkreis für allek p < T 1+T 2 k 1 k 2 T 1 T 2 as. stabil ist! Alternativ kann die Aufgabe auch mit dem Hurwitzkriterium gelöst werden, wobei die Wurzeln des Polpolynoms des geschlossenen Kreises q cl = s(1+t 1 s)(1+t 2 s)+k p k 1 k 2 betrachtet werden müssen. Asymptotische Stabilität folgt dann analog fürk p < T 1+T 2 k 1 k 2 T 1 T 2. 8