Finanzmathematik 15 FINANZMATHEMATIK 1. Investitionsrechnung Unter einer Investition im engeren Sinn versteht man die Beschaffung von Anlagen, die zur Erzielung eines wirtschaftlichen Nutzens dienen. Wir wollen in diesem Kapitel vom mathematischen Standpunkt her die Frage beantworten, unter welchen Bedingungen eine solche Investition sinnvoll ist. Jede Investition erfordert zunächst einen Kapitaleinsatz, der in der Regel genau bestimmbar ist (Kaufpreis). Man erwartet, durch die Investition in der Zukunft Einnahmen zu erzielen, die nicht nur die laufenden Ausgaben für Betrieb und Erhaltung der Investition, sondern auch den Kapitaleinsatz übersteigen. Die Einnahmenüberschüsse können jedoch vorab nur geschätzt werden, und man muss sich dessen bewusst sein, dass jede Investitionsrechnung nur so verlässlich sein kann wie dies die zur Berechnung heran gezogenen Daten sind. Bei den sogenannten statischen Verfahren der Investitionsrechnung werden lediglich die zukünftig erwarteten Einnahmenüberschüsse dem Kapitaleinsatz gegenüber gestellt. Da jedoch der Anschaffungspreis im Allgemeinen sofort zu bezahlen ist, die Einnahmenüberschüsse jedoch erst während der Nutzung der Investition verfügbar werden, sollte man sogenannte dynamische Verfahren der Investitionsrechnung, die den Zeitfaktor bzw. die Verzinsung des eingesetzten Kapitals berücksichtigen, anwenden. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, die bei einem Kaufpreis von 00 000, eine voraussichtliche Nutzungsdauer von Jahren hat. Die nebenstehende Tabelle enthält die im Zusammenhang mit dieser Maschine erwarteten Einnahmen E t und Ausgaben A t. 1) Die geplante Investition ist mit Hilfe der Kapitalwertmethode für einen Kalkulationszinssatz p k = 6 % p. a. zu beurteilen. Für die Berechnung des Kapitalwerts der Einnahmenüberschüsse gehen wir schrittweise vor und stellen die Werte in einer Tabelle dar: Jahr Einnahmen Ausgaben Einnahmen- Einnahmenüberschuss überschuss abgezinst t E t A t E t A t Et At p t 1 k ( ) 1 80000,00 10000,00 70000,00 6607,7 75000,00 1000,00 6000,00 56069,78 7000,00 15000,00 57000,00 7858,0 70000,00 18000,00 5000,00 1188,87 Summe 11 15,69 Wir können den Kapitalwert auch ohne Tabelle berechnen: K = 70000 6000 57000 5000 11155, ) 1,06 1,06 1,06 1,06 Bei einem Kalkulationszinssatz von p k = 6 % p. a. beträgt der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse 11 155, ) und ist demnach größer als der Kaufpreis. Die Investition ist daher bei diesem Kalkulationszinssatz zu befürworten. 100 Jahr Einnahmen Ausgaben t E t A t 1 80 000, 10 000, 75 000, 1 000, 7 000, 15 000, 70 000, 18 000, Beurteilung einer Investition nach der Kapitalwertmethode Die Einnahmenüberschüsse werden abgezinst. Der so errechnete Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse wird mit dem Kaufpreis verglichen. Ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse größer als der Kaufpreis, ist die Investition zu befürworten. Ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse kleiner als der Kaufpreis, ist die Investition nicht zu befürworten. 1 ) Aus Vereinfachungsgründen wollen wir davon ausgehen, dass die Einnahmenüberschüsse jeweils zu Jahresende zur Verfügung stehen. ) In der Investitionsrechnung wollen wir uns damit begnügen, die jeweiligen Resultate (Kapitalwerte bzw. Annuitäten) auf ganze Euro genau anzugeben.
16 Finanzmathematik Im vorigen Beispiel war von zukünftigen Einnahmen und Ausgaben sowie von einem Kalkulationszinssatz die Rede. Während wir bei den zukünftigen Einnahmen und Ausgaben (und somit auch bei den daraus resultierenden Einnahmenüberschüssen) immer auf Erfahrungswerte bzw. Schätzungen angewiesen sind, kann man beim Kalkulationszinssatz folgende Überlegungen anstellen: Kann der Kaufpreis aus Eigenmitteln aufgebracht werden, ist es sinnvoll, als Kalkulationszinssatz jenen Zinssatz heran zu ziehen, zu dem der Kaufpreis (bei Nichtdurchführung der Investition) veranlagt werden könnte. Ist eine Fremdfinanzierung (z. B. Kreditaufnahme) notwendig, wird man als Kalkulationszinssatz jenen Zinssatz heran ziehen, mit dem das Fremdkapital verzinst wird. Im folgenden Beispiel wird gezeigt, welche Auswirkungen die Höhe des Kalkulationszinssatzes auf die Beurteilung einer Investition hat. Jahr Einnahmenüberschüsse 1 0 000, 60 000, 70 000, 100 000, 5 80 000, Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer zusätzlichen Maschine, die bei einem Kaufpreis von 80000, eine voraussichtliche Nutzungsdauer von 5 Jahren hat. Auf Grund von Erfahrungswerten kommt man zu den in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) enthaltenen Einnahmenüberschüssen, die auf Grund der neuen Maschine erzielt werden können. Ist es sinnvoll, die Maschine auf Grund der obigen Angaben anzuschaffen, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt? Anhand des nebenstehenden Beispiels erkennt man, dass man bei unterschiedlichen Zinssätzen zu völlig anderen Entscheidungen kommen kann. Man muss daher nicht nur bei der Festlegung der (voraussichtlichen) Einnahmenüberschüsse, sondern auch bei dem der Berechnung zugrunde gelegten Zinssatz genau überlegen, inwieweit die getroffenen Annahmen realistisch sind. Dies sind jedoch betriebswirtschaftliche Fragen, die über den Rahmen des Mathematikunterrichts hinaus gehen. 0000 60000 70000 100000 80000 a) K = 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 5 K 71995, Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse ist kleiner als der Kaufpreis. Die Investition erschient daher bei einer Vezinsung von 8 % p. a. nicht sinnvoll. 0000 60000 70000 100000 80000 b) K = 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 5 K 9798, Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse ist größer als der Kaufpreis. Die Investition erschient daher bei einer Vezinsung von 5 % p. a. sinnvoll.
Finanzmathematik 17 Wir haben im vorigen Beispiel gesehen, dass die Entscheidung für bzw. gegen eine Investition davon abhängen kann, welcher Kalkulationszinssatz p k für die Berechnung heran gezogen wird. Im vorigen Beispiel erscheint die Investition für p k = 5 % p. a. als sinnvoll, für p k = 8 % p. a. jedoch nicht. Folgende Überlegung ist nahe liegend: Es muss einen Zinssatz p 0 geben, für den der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. Man überlege, warum dieser Zinssatz p 0 im vorigen Beispiel zwischen 5 % p. a. und 8 % p. a. liegen muss. Man berechne für das vorige Beispiel jenen Zinssatz p 0, für den der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. Wir setzen r 0 = 1 p 0. 100 Wenn der Kapitelwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind, muss folgender Zusammenhang gelten: K = 0000 60000 70000 100000 80000 =80 000 r r r r r 0 0 0 0 0 5 Um diese Gleichung nach r 0 zu lösen, kann man entweder ein numerisches Näherungsverfahren anwenden oder einen Computer bzw. einen algebraischen Taschenrechner einsetzen, der derartige Gleichungen lösen kann. Man erhält als Lösung der Gleichung näherungsweise r 0 = 1,0701. Im Abschnitt Der grafikfähige Taschenrechner Voyage 00 wird gezeigt, wie man dieses Gerät zur Lösung der nebenstehenden Gleichung einsetzen kann. Der gesuchte Zinssatz p 0 ist daher 7,01 % p. a. Bei dem im obigen Beispiel errechneten Zinssatz von 7,01 % p. a. ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse gleich hoch wie der Kaufpreis. Aus diesem Umstand kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen: 1. Für jeden Kalkulationszinssatz p k, der kleiner als 7,01 % p. a. ist, ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse größer als der Kaufpreis. Die Investition ist daher für jeden Kalkulationszinssatz p k, der kleiner als 7,01 % p. a. ist, zu befürworten.. Für jeden Kalkulationszinssatz p k, der größer als 7,01 % p. a. ist, ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse kleiner als der Kaufpreis. Die Investition ist daher für jeden Kalkulationszinssatz p k, der größer als 7,01 % p. a. ist, nicht zu befürworten.
18 Finanzmathematik Oft steht man von der Alternative, sich für eines von mehreren Investitionsobjekten entscheiden zu müssen. Kann die bisher gezeigte KapitaIwertmethode in einem solchen Fall eine Entscheidungshilfe sein? Wir wollen diesen Fall zunächst anhand von Beispielen klären, bei denen zwei Investitionsobjekte mit gleicher Nutzungsdauer zur Auswahl stehen. Einnahmenüberschüsse Jahr M1 M 1 80000, 85000, 78000, 75000, 75000, 7000, 70 000, 70000, Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1, M) anzuschaffen. Der Kaufpreis beträgt für jede dieser Maschinen jeweils 0 000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Die geschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst. Welche Maschine ist bei einem Kalkulationszinssatz von 7 % p. a. zu favorisieren? Wir berechnen für beide Maschinen den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse. Vergleich von mehreren Investitionsobjekten mit gleicher Nutzungsdauer und gleichem Kaufpreis Für jedes Investitionsobjekt wird der Kapitalwert der Einnahmenüber-schüsse berechnet. Das Objekt mit dem höchsten Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse ist zu favorisieren. Zunächst für Maschine M1: 80000 78000 75000 70000 K M1 = 57 50, 1,07 1,07 1,07 1,07 Nun für Maschine M: 85000 75000 7000 70000 K M = 571, 1,07 1,07 1,07 1,07 Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse übersteigt bei beiden Maschinen den Kaufpreis. Daher ist für jede der beiden Maschinen die Investition grundsätzlich zu befürworten. Für eine Entscheidung, welche der beiden Maschinen favorisiert wird, vergleichen wir die Kapitalwerte der Einnahmenüberschüsse. Bei Maschine M1 ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse größer als bei Maschine M. Daher ist Maschine M1 zu favorisieren. Betrachten wir nochmals das obige Beispiel. Rein rechnerisch gesehen ist das Ergebnis eindeutig: Für Maschine M1 ergibt sich der höhere Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse, daher ist Maschine M1 zu favorisieren. Da die Investitionsrechnung jedoch bezüglich der zukünftigen Entwicklung auf Schätzungen angewiesen ist, sollte man in jedem Fall auch das Ausmaß, in dem eines von mehreren zur Wahl stehenden Investitionsobjekten besser erscheint, ins Kalkül ziehen.
Finanzmathematik 19 Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1, M) anzuschaffen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 0 000,, jener von M 00 000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Die geschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der neben-stehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst. Welche Maschine ist bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % p. a. zu favorisieren? Einnahmenüberschüsse Jahr M1 M 1 90000, 85000, 86000, 8000, 78000, 80000, 75000, 78000, Wir berechnen zunächst für beide Maschinen den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse. Zunächst für Maschine M1: 90000 86000 78000 75000 K M1 = 86, 1,06 1,06 1,06 1,06 Nun für Maschine M: 85000 8000 80000 78000 K M = 8011, 1,06 1,06 1,06 1,06 Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse übersteigt bei beiden Maschinen den Kaufpreis. Daher ist für jede der beiden Maschinen die Investition grundsätzlich zu befürworten. Für eine Entscheidung, welche der beiden Maschinen favorisiert wird, würde bei einem Vergleich der Kapitalwerte der Einnahmenüberschüsse die Wahl auf Maschine M1 fallen. Vergleich von mehreren Investitionsobjekten mit gleicher Nutzungsdauer, aber unterschiedlichem Kaufpreis Für jedes Investitionsobjekt wird zunächst der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse berechnet. Dann wird für jedes Investitionsobjekt der sogenannte Goodwill (Darunter versteht man die Differenz zwischen dem Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und dem Kaufpreis) ermittelt. Das Objekt mit dem höchsten Goodwill ist zu favorisieren. Da die Maschinen M1 und M allerdings unterschiedliche Kaufpreise haben, darf die Entscheidung nicht auf Basis der Kapitalwerte der Einnahmenüberschüsse getroffen werden. Man muss vielmehr für jede Maschine die Differenz zwischen dem Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und dem Kaufpreis ermitteln: Für Maschine M1 erhalten wir 86 0 000 = 66, Für Maschine M erhalten wir 8 011 00 000 = 8 011, Daher ist Maschine M zu favorisieren. In den bisherigen Beispielen hatten die zur Wahl stehenden Investitionsobjekte gleiche Nutzungsdauer. Das wird in der Praxis nicht immer der Fall sein. Bei einer unterschiedlichen Nutzungsdauer bietet uns die Kapitalwertmethode nur sehr bedingt eine Entscheidungshilfe. Daher wollen wir jetzt eine Methode zeigen, bei der der unterschiedlichen Nutzungsdauer Rechnung getragen wird. Es handelt sich um die sogenannte Annuitätenmethode, auf die wir auf der nächsten Seite eingehen werden.
10 Finanzmathematik Einnahmenüberschüsse Jahr M1 M 1 110000, 90000, 10000, 100000, 15000, 10000, 80000, Ein metallverarbeitender Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1, M) anzuschaffen. Der Kaufpreis beträgt für jede dieser Maschinen jeweils 00000,. M1 hat eine voraussichtliche Nutzungsdauer von drei Jahren. M kann hingegen voraussichtlich ein Jahr länger genutzt werden. Die geschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst. Das Unternehmen kalkuliert mit einer Verzinsung von 8 % p. a. Welche Maschine ist unter diesen Umständen zu favorisieren? Vergleich von mehreren Investitionsobjekten mit unterschiedlicher Nutzungsdauer nach der Annuitätenmethode Sofern der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse den Kaufpreis übersteigt, bildet man die Differenz dieser Beträge, den sogenannten Goodwill (vgl. voriges Beispiel). Dann bestimmt man jene jeweils am Ende des Jahres, in dem das Investitionsobjekt genutzt wird, fälligen gleich bleibenden Beträge (Annuitäten), die dem Goodwill entsprechen. Das Objekt mit der höchsten Annuität ist zu favorisieren. Wir berechnen zunächst die Kapitalwerte. 110000 10000 15000 K M1 = 1,08 1108, 1,08 1,08 90000 100000 10000 80000 K M = 1,08 19, 1,08 1,08 1,08 Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse beträgt für M1 1108,, für M 19,. Bei beiden Maschinen übersteigt dieser Wert die Anschaffungskosten. Die Differenz zwischen Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und den Anschaffungskosten der sogenannte Goodwill beträgt bei M1 1108, und bei M 19,. Auf Grund der unterschiedlichen Nutzungsdauer stellt sich die Frage: Welcher gleich bleibende, jeweils am Ende jedes Jahres, in dem die Maschine genutzt wird, fälligen Annuität entspricht der Goodwill? Unter Beachtung der jeweiligen Nutzungsdauer der Maschinen ergibt sich für Maschine M1: AM1 AM1 AM1 1108 = A 1,08 1,08 1,08 M1 8191, Für Maschine M ergib sich: AM AM AM AM 19 = 1,08 1,08 1,08 1,08 AM 698, Auf Grund der Kapitalwerte (ohne Berücksichtigung der Nutzungsdauer) erscheint es günstiger, sich für Maschine M zu entscheiden. Bezogen auf die unterschiedliche Nutzungsdauer erscheint jedoch der Kauf von Maschine M1 günstiger. Wie das obige Beispiel zeigt, können Kapitalwert- und Annuitätenmethode zu verschiedenen Schlussfolgerungen führen. Es ist daher äußerst schwierig, sich für eines der beiden Investitionsobjekte zu entscheiden. Außerdem stellt sich die Frage: Was ist wirklich besser? Jahre lang 8 191, oder Jahre lang 698,? Grundsätzlich sind Investitionsobjekte mit unterschiedlicher Nutzungsdauer schwer miteinander vergleichbar, sodass man in der Praxis meist gleich lange Planungszeiträume für die zur Wahl stehenden Investitionen ansetzt.
Finanzmathematik 11 Eine häufig gestellte Frage lautet: Wie rentabel ist die Investition? Mit anderen Worten: Welche Verzinsung des Kapitaleinsatzes ist den zu erwartenden Einnahmenüberschüssen gleichwertig? Wir haben bereits einen Zinssatz bestimmt, bei dem der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. Wenn man diesen Zinssatz als Messgröße für die Rentabilität der Investition heranzieht, geht man von der unrealistischen Annahme aus, dass die Einnahmenüberschüsse zu genau diesem Zinssatz veranlagt werden können. Man berechne für einen Wiederveranlagungszinssatz von % p. a. den internen Zinssatz für die im vorigen Beispiel genannten Maschinen a) M1 b) M. a) Wir berechnen zunächst die Summe der bis zum Ende der Nutzungsdauer (= Ende des. Jahres) mit % p. a. aufgezinsten Einnahmenüberschüsse: 1 110000 10000 15000 Jahre aufzinsen 1 Jahr aufzinsen 110000 1,0 10000 1,0 15000 = 89576, p Nun setzen wir in Kn = K ( ) n 0 1 für K 100 0 den Kapitaleinsatz 00000,, für K n den eben ermittelnen Wert 89576, und für n die Nutzungsdauer des Investitionsobjekts in Jahren ein und berechnen den Prozentsatz p: p 89576 = 00000 1 p 9,1 % p. a. 100 ( ) Beurteilung einer Investition nach der Methode des internen Zinssatzes Die Einnahmenüberschüsse werden bis zum Ende der Nutzungsdauer mit dem Wiederveranlagungszinssatz aufgezinst. Dann wird jener interne Zinssatz bestimmt, mit dem man den Kaufpreis verzinsen müsste, um auf den eben errechneten Wert zu kommen. Wenn ein vorhandenes Kapital nur zu einem niedrigeren als dem internen Zinssatz veranlagt werden kann, ist die Investition zu befürworten. Bei Fremdfinanzierung hängt es davon ab, ob die Fremdkapitalzinsen höher oder niedriger als der interne Zinssatz sind. Stehen mehrere Investitionsobjekte zur Auswahl, ist jenes mit dem höchsten internen Zinssatz zu favorisieren. b) Für Maschine M gehen wir analog vor: 1 90000 100000 10000 80000 1 Jahr aufzinsen Jahre aufzinsen Jahre aufzinsen 90000 1,0 100000 1,0 10000 1,0 80000 = = 1198, p 1198 = 00000 1 100 ( ) p 8, % p. a. Bei dem obigen Beispiel führt die Methode des internen Zinssatzes zur gleichen Schlussfolgerung wie die Kapitalwertmethode. Die Problematik der unterschiedlichen Nutzungsdauer ist auch hier zu beachten.
1 Finanzmathematik Zum Abschluss unserer Betrachtungen zum Thema Investitionsrechnung folgt nun noch ein Beispiel mit einem auf den ersten Blick überraschenden Ergebnis: Einnahmenüberschüsse Jahr M1 M 1 10000, 0000, 80000, 80000, 0000, 160000, Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1, M) anzuschaffen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 00 000,, jener von M 180 000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Die geschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst. a) Welche Maschine ist gemäß der Kapitalwertmethode bei einem Kalkulationszinssatz von 5 % p. a. zu favorisieren? b) Man berechne für beide Maschinen jenen Zinssatz p 0, für den der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. a) Wir berechnen für beide Maschinen zuerst den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und dann die Differenz zwischen diesem Betrag und dem Kaufpreis. Zunächst für Maschine M1: 10000 80000 0000 K M1 = 09, 1,05 1,05 1,05 09 00000 = 09, Nun für Maschine M: 0000 80000 160000 K M = 98, 1,05 1,05 1,05 98 180000 = 98, Bei Maschine M ist die Differenz zwischen dem Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und dem Kaufpreis größer als bei Maschine M1. Daher ist Maschine M zu favorisieren. b) Für Maschine M1 muss folgender Zusammenhang gelten: 000 K = 10 80000 0000 = 00000, r r r 0 0 0 Die Lösung dieser Gleichung können wir näherungsweise mit r 0 = 1,18171 angeben. Für Maschine M1 ist der Zinssatz p 0 daher 18,171 % p. a. Wie das nebenstehende Beispiel zeigt, muss die nach der Kapitalwertmethode günstigere Investition nicht automatisch den höheren Zinssatz haben, bei dem der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. Für Maschine M muss folgender Zusammenhang gelten: 000 K = 0 80000 160000 = 180000, r r r 0 0 0 Die Lösung dieser Gleichung können wir näherungsweise mit r 0 = 1,15791 angeben. Für Maschine M ist der Zinssatz p 0 daher 15,791 % p. a.
Finanzmathematik 1 AUFGABEN 607. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, deren Kaufpreis 90000, beträgt. Auf Grund von Erfahrungswerten schätzt man während der Nutzungsdauer von Jahren folgende Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen 10000, 10000, 10000, 110000, Ausgaben 5000, 0000, 5000, 5000, a) Man berechne für einen Kalkulationszinssatz von 6 % p. a. den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und beurteile die Investition anhand dieses Ergebnisses. b) Bei welchem Zinssatz p 0 sind der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch? 608. Für eine neue Maschine mit dem Kaufpreis 50 000, und einer Nutzungsdauer von Jahren rechnet man mit folgenden Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen 0000, 75000, 50000, 10000, Ausgaben 75000, 80000, 100000, 10000, a) Man berechne für einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und beurteile die Investition anhand dieses Ergebnisses. b) Bei welchem Zinssatz p 0 sind der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch? 609. In einem Betrieb wird die Anschaffung einer Maschine mit einem Kaufpreis von 75000, und einer Nutzungsdauer von Jahren überlegt. Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über die erwarteten Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen 150000, 10000, 15000, Ausgaben 0000, 5000, 0000, Lohnt sich die Anschaffung dieser Maschine auf Grund der obigen Angaben, wenn a) für die Finanzierung ein mit 7,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt. 610. Für eine neue Maschine mit dem Kaufpreis 600 000, und einer Nutzungsdauer von Jahren rechnet man mit folgenden Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen 80000, 75000, 60000, 0000, Ausgaben 75000, 80000, 90000, 100000, Ist es sinnvoll, die Maschine auf Grund der obigen Angaben anzuschaffen, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit,5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt. 611. Die nachstehende Tabelle enthält die während der -jährigen Nutzungsdauer einer neuen Maschine (Kaufpreis 50000, ) erwarteten Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen 0000, 0000, 0000, 10000, Ausgaben 75000, 85000, 95000, 100000, Ist die Anschaffung der Maschine zu befürworten, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt.
1 Finanzmathematik 61. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle 150000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Es werden folgende Einnahmen und Ausgaben erwartet: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen M1 10000, 10000, 10000, Ausgaben M1 50000, 55000, 55000, Einnahmen M 160000, 150000, 10000, Ausgaben M 55000, 60000, 70000, Mit Hilfe der Kapitalwertmethode ist für einen Kalkulationszinssatz von 6,5 % p. a. jene Maschine zu bestimmen, die auf Grund der obigen Daten zu favorisieren ist. 61. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1 und M) anzuschaffen. Der Kaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle 00000,. Die nachstehende Tabelle enthält die während der jeweils -jährigen Nutzungsdauer erwarteten Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen M1 180000, 10000, 60000, 90000, Ausgaben M1 5000, 50000, 50000, 55000, Einnahmen M 80000, 0000, 00000, 150000, Ausgaben M 5000, 0000, 55000, 65000, Welche Maschine erscheint auf Grund der obigen Daten günstiger, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit,5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt. 61. In einem Betrieb plant man die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 50000,, jener von M 500000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Die geschätzten Einnahmen und Ausgaben sind in der nachstehenden Tabelle enthalten: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen M1 0000, 0000, 0000, 10000, Ausgaben M1 5000, 50000, 50000, 55000, Einnahmen M 50000, 0000, 0000, 180000, Ausgaben M 5000, 0000, 5000, 5000, Mit Hilfe der Kapitalwertmethode ist für einen Kalkulationszinssatz von 7,5 % p. a. ist auf Grund obiger Daten eine Investitionsempfehlung abzugeben. 615. Für die Aufnahme einer neuen Produktlinie wird eine neue Maschine benötigt, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 180000,, jener von M 75000,. Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über die während der jeweils -jährigen Nutzungsdauer erwarteten Einnahmen und Ausgaben: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmen M1 50000, 0000, 0000, Ausgaben M1 5000, 0000, 50000, Einnahmen M 80000, 75000, 0000, Ausgaben M 5000, 0000, 5000, Welche Maschine ist auf Grund der obigen Daten zu bevorzugen, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt.
Finanzmathematik 15 616. In einem Betrieb plant man die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 00000,, jener von M 0000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Die erwarteten Einnahmenüberschüsse sind in der nachstehenden Tabelle aufgelistet: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmenüberschuss M1 60000, 0000, 0000, 10000, Einnahmenüberschuss M 50000, 0000, 10000, 180000, a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8,5 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt. b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entsprechen die in a) errechneten Beträge? c) Die Ergebnisse von a) und b) sind zu interpretieren. 617. Für die Aufnahme einer neuen Produktlinie wird eine neue Maschine benötigt, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt 50000,, jener von M 0000,. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils Jahre. Es werden folgende Einnahmenüber-schüsse erwartet: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmenüberschuss M1 80000, 50000, 00000, Einnahmenüberschuss M 50000, 0000, 0000, a) Für einen Kalkulationszinssatz von 7 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt. b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entsprechen die in a) errechneten Beträge? c) Die Ergebnisse von a) und b) sind zu interpretieren. 618. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle 150000,. Die Nutzungsdauer von M1 beträgt Jahre, jene von M Jahre. In der nachstehenden Tabelle sind die geschätzten Einnahmenüberschüsse aufgelistet: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmenüberschuss M1 180000, 175000, 160000, 10000, Einnahmenüberschuss M 50000, 0000, 00000, a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8,5 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt. b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entsprechen die in a) errechneten Beträge? c) Die Ergebnisse von a) und b) sind zu interpretieren. 619. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1 und M) anzuschaffen. M1 hat einen Kaufpreis von 160000, und eine Nutzungsdauer von Jahren. M hat einen Kaufpreis von 00000, und eine Nutzungsdauer von Jahren. Die erwarteten Einnahmenüberschüsse sind in der nachstehenden Tabelle aufgelistet: im 1. Jahr im. Jahr im. Jahr im. Jahr Einnahmenüberschuss M1 60000, 0000, 5000, Einnahmenüberschuss M 50000, 5000, 10000, 180000, a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt. b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entsprechen die in a) errechneten Beträge? c) Die Ergebnisse von a) und b) sind zu interpretieren.
16 Finanzmathematik 60. Man berechne für das Beispiel auf Seite 16 den internen Zinssatz. Es ist anzugeben, warum auch nach Auswertung dieses Ergebnisses die Investition nicht sinnvoll erscheint, wenn für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist, die Investition jedoch zu befürworten ist, wenn der Kaufpreis von 80000, vorhanden ist. Bemerkung: Die Aufnahme eines Kredits für die Durchführung einer Investition kann nur empfohlen werden, wenn der interne Zinssatz höher ist als die Kreditverzinsung. Auf die gesonderte Berücksichtigung von Kreditbereitstellungsprovisionen und sonstigen Kreditkosten wollen wir hier aus Vereinfachungsgründen verzichten. In der Praxis dürfen jedoch auch diese Kosten bei der Investitionsentscheidung nicht vernachlässigt werden. 61. Ein Speditionsunternehmen überlegt einen weiteren LKW zu kaufen, der einen Neuwert von 60000, hat. Bei einer Nutzungsdauer von 5 Jahren sind jährlich Einnahmenüberschüsse in Höhe von 15000, zu erwarten. a) Wie ist die Investitionsentscheidung auf Grund der Kapitalwertmethode zu treffen, wenn mit einem Zinssatz von (1),5 % p. a. () 8 % p. a. zu rechnen ist. b) Wie hoch ist der interne Zinssatz, wenn eine Wiederveranlagung der Einnahmenüberschüsse zu,5 % p. a. möglich ist. c) Ist es auf Grund des Ergebnisses von b) sinnvoll, für die Durchführung der Investition einen mit 8 % p. a. verzinsten Kredit aufzunehmen? 6. Von einer voraussichtlich 7 Jahre nutzbaren Maschine erwartet man sich jährliche Einnahmenüberschüsse von 0 000,. Die Anschaffungskosten von 00 000, können aus vorhandenen Barmitteln gedeckt werden. Dieser Betrag könnte auch in mit,5 % p. a. verzinsten Wertpapieren angelegt werden. a) Um welchen Betrag übersteigt der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten? b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entspricht der in a) errechnete Betrag? c) Wie groß ist der interne Zinssatz? 6. Ein Möbel erzeugendes Unternehmen muss sich bei der Anschaffung einer neuen Laugmaschine zwischen zwei Ausführungen A und B entscheiden. In jedem Fall ist zunächst ein Kapitaleinsatz von 80 000, erforderich. Als Nutzungsdauer ist in beiden Fällen 6 Jahre anzunehmen. Die Laugmaschine A lässt jährliche Einnahmenüberschüsse von 000, erwarten. Auf Grund von in periodischen Abständen durchzuführenden umfangreichen Wartungen sind die voraussichtlichen Einnahmenüberschüsse bei Laugmaschine B unterschiedlich hoch. Im 1.,.,. und 6. Jahr wird mit 0000,, im. und 5. Jahr jedoch nur mit 1 000, gerechnet. a) Es ist unter Zugrundelegung eines Veranlagungszinssatzes von,5 % p. a. zu entscheiden, welche Laugmaschine günstiger erscheint. Anleitung: Man wende die verschiedenen Investitionsrechnungsverfahren an und begründe die getroffene Entscheidung. b) Text wie a). Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass anlässlich des Kaufes ein mit 8 % p. a. verzinstes Darlehen aufgenommen wurde, welches einschließlich Zinsen und Zinseszinsen am Ende der Nutzungsdauer der Laugmaschine rückzahlbar ist.
Finanzmathematik 17. Kurs- und Rentabilitätsrechnung Wer eine Anleihe anlässlich der Ausgabe erwirbt und bis zum Ende der Laufzeit behält, erhält sein Geld zu genau jenem Zeitpunkt zurück gezahlt, der in den Anleihebedingungen festgelegt wurde. In diesem Fall braucht sich die Anlegerin bzw. der Anleger keine Gedanken um die Kursentwicklung machen. In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass Wertpapiere während der Laufzeit gekauft bzw. verkauft werden. In diesem Fall ist der sogenannte Kurs des Wertpapiers für die Bestimmung des Kauf- bzw. Verkaufpreises heranzuziehen. Bei festverzinslichen Wertpapieren ist der Kurs üblicherweise in Prozenten des Nominales angegeben. Die Rentabilitätsrechnung beschäftigt sich u. a. damit, die effektive Verzinsung des eingesetzten Kapitals zu bestimmen, wobei Kursverluste beim Kauf zu einem Kurs über 100 bzw. Kursgewinne beim Kauf zu einem Kurs unter 100 entsprechend berücksichtigt werden. Es entspricht den Regeln des Geldmarkts, dass die Rentabilitäten verschiedener Wertpapiere zum gleichen Zeitpunkt ähnlich hoch sind. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom sogenannten Kapitalmarktzins. Auf die Ursachen für gewisse Rentabilitätsabweichungen können wir hier nicht eingehen. Anlässlich der Ausgabe von fest verzinslichen Wertpapieren kann durch Festlegung von einem anderen Kurs als 100 bewirkt werden, dass die Rentabilität des Wertpapiers mit dem Zinssatz nicht überein stimmt. Wovon hängt der Kurs eines fest verzinslichen Wertpapiers ab? Werfen wir doch einen Blick in das Amtliche Kursblatt der Wiener Börse. Wir erkennen: Je höher die Verzinsung, desto höher ist in den meisten Fällen der Kurs. Der Kurs richtet sich nämlich nach Angebot und Nachfrage. Es ist klar, dass man für ein höher verzinstes Wertpapier eher bereit sein wird, einen höheren Kurs zu akzeptieren, als bei einem niedriger verzinsten. Es wird eine mit 5 % p. a. verzinste Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit ausgegeben. Die Auszahlung der Zinsen erfolgt jährlich im Nachhinein. Das Gesamtnominale wird gemeinsam mit der letzten Zinszahlung zurück gezahlt. a) Man stelle die Zinsen und Kapitalrückzahlungen für ein Nominale von 100, unter der Annahme, dass die Ausgabe zum Nennwert erfolgt, mit Hilfe einer (1) Tabelle () Zeitlinie dar. b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Rentabilität von (1),8 % p. a. () 5, % p. a. haben soll? a) (1) Wir stellen eine Tabelle nach dem Vorbild der in Band vorgestellten Tilgungspläne auf: Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftender zahlung rückzahlung auszahlung Betrag 0 0,00 0,00 0,00 100,00 1 5,00 0,00 5,00 100,00 5,00 0,00 5,00 100,00 5,00 0,00 5,00 100,00 5,00 0,00 5,00 100,00 5 5,00 0,00 5,00 100,00 6 5,00 0,00 5,00 100,00 7 5,00 100,00 105,00 0,00 Das nebenstehende Beispiel behandelt eine sogenannte endfällige Anleihe. Vom ersten bis zum vorletzten Jahr der Laufzeit erfolgen nur Zinsenzahlungen. Der aushaftende Betrag bleibt während dieser Zeit unverändert und wird erst im letzten Jahr zur Gänze zurück gezahlt. () 1 5 5 5 5 5 5 105 5 6 7
18 Finanzmathematik Für die Bestimmung des Barwerts der jährlich gleich bleiben Zinsen könnte man auch die Barwertformel der Rentenrechnung heran ziehen. Die im letzten Jahr erfolgende Zahlung (Zinsen Kapitalrückzahlung) ist in jedem Fall mit Hilfe der Formel der Zinseszinsrechnung abzuzinsen. b) Da Anleihekurse stets in Prozenten des Nominales angegeben werden, berechnen wir den Barwert der für 100, Nominale künftig erfolgenden Zahlungen, wobei wir die Rentabilität als Zinssatz für die Abzinsung heranziehen. 5 5 5 5 5 5 105 (1) C = 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 1,08 C 101,17 5 6 7 5 5 5 5 5 5 () C = 105 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 C 98,85 5 6 7 Aus dem obigen Beispiel erkennen wir: Ist die Rentabilität kleiner als die Nominalverzinsung, ist der Kurs größer als 100, also über pari. Ist die Rentabilität größer als die Nominalverzinsung, ist der Kurs kleiner als 100, also unter pari. Manchmal wird eine Anleihe nicht zur Gänze am Laufzeitende getilgt, sondern über die ganze Laufzeit verteilt in gleich hohen Teilbeträgen. Eine mit 6 % p. a. verzinste Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit wird über die gesamte Laufzeit verteilt jeweils am Jahresende (gemeinsam mit den fälligen Zinsenzahlungen) in gleich hohen Teilen getilgt. a) Man stelle die Zinsen und Kapitalrückzahlungen für ein Nominale von 100, unter der Annahme, dass die Ausgabe zum Nennwert erfolgt, mit Hilfe einer (1) Tabelle () Zeitlinie dar. b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Rentabilität von (1) 5,8 % p. a. () 6,1 % p. a. haben soll? Die nebenstehende Tabelle behandelt eine Anleihe, bei der die Kapitalrückzahlung über die gesamte Laufzeit verteilt in gleich hohen jährlichen Raten erfolgt. Diese Rückzahlungsform entspricht der in Band behandelten Ratenschuld. a) (1) Wir stellen eine Tabelle nach dem Vorbild der in Band vorgestellten Tilgungspläne auf: Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftender zahlung rückzahlung auszahlung Betrag 0 0,00 0,00 0,00 100,00 1 6,00 0,00 6,00 80,00,80 0,00,80 60,00,60 0,00,60 0,00,0 0,00,0 0,00 5 1,0 0,00 1,0 0,00 () 1 6,80,60,0 1,0 5 6,8,6, 1, b) (1) C = 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 C 100,5 5 6,8,6, 1, () C = 1,061 1,061 1,061 1,061 1,061 C 99,7 5
Finanzmathematik 19 Es gibt auch Fälle, wo nach einigen tilgungsfreien Jahren eine jährliche Kapitalrückzahlung in gleich hohen Teilen erfolgt. Eine mit 6 % p. a. verzinste Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit wird ab Ende des. Jahres jeweils am Jahresende (gemeinsam mit den fälligen Zinsenzahlungen) in gleich hohen Teilen getilgt. a) Man stelle die Zinsen und Kapitalrückzahlungen für ein Nominale von 100, unter der Annahme, dass die Ausgabe zum Nennwert erfolgt, mit Hilfe einer (1) Tabelle () Zeitlinie dar. b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Rentabilität von (1) 5,7 % p. a. () 6, % p. a. haben soll? a) (1) Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftender zahlung rückzahlung auszahlung Betrag 0 0,00 0,00 0,00 100,00 1 6,00 0,00 6,00 100,00 6,00 0,00 6,00 100,00 6,00 0,00 6,00 100,00 6,00 5,00 1,00 75,00 5,50 5,00 9,50 50,00 6,00 5,00 8,00 5,00 7 1,50 5,00 6,50 0,00 Wie die nebenstehende Tabelle zeigt, stellt diese Art der Rückzahlung eine Mischform aus den beiden bisher gezeigten Rückzahlungsarten dar. () 1 6 6 6 1 9,5 8 6,5 5 6 7 6 6 6 1 9,5 8 6,5 b) (1) C = 1,057 1,057 1,057 1,057 1,057 1,057 1,057 C 101,8 5 6 7 6 6 6 1 9,5 8 6,5 () C = 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 C 99,10 5 6 7 Wir wollen jetzt die im Abschnitt 1. Investitionsrechnung angestellten Überlegungen auf die Berechnung des Anleihekurses übertragen. Immerhin ist die Geldanlage in Wertpapieren auch eine Form der Investition. Die jeweils am Jahresende für ein Nominale von 100, ausbezahlten Beträge (Zinsen und Kapitalrückzahlung) bilden die Einnahmenüberschüsse. Der Kurs entspricht in diesem Fall dem Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse für ein Nominale von 100, unter der Voraussetzung, dass die Rentabilität als Kalkulationszinssatz heran gezogen wird. Wer sein Geld in Anleihen anlegen möchte, ist in der Praxis mit der zu den bisherigen Beispielen umgekehrten Fragestellung konfrontiert: Gesucht ist die Rentabilität der Anleihe bei gegebenem Ausgabekurs. Wie die Berechnung der Rentabilität erfolgt, wird in den folgenden Beispielen dargestellt.
150 Finanzmathematik Wie hoch ist die Rentabilität einer mit % p. a. verzinsten Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 99,0 beträgt und die Rückzahlung des Gesamtnominales zum Laufzeitende erfolgt? Zunächst überlegen wir, welche zukünftigen Zahlungseingänge man für ein Nominale von 100, erwarten kann, und stellen diese in einer Zeitlinie dar: 1 5 10 Nun ist ein Zinssatz p 0 gesucht, für den der Barwert der zukünftigen Zahlungseingänge dem Wert C = 99,0 entspricht. p0 Wir setzen r0 = 1. 100 Wenn der Barwert der zukünftigen Zahlungseingänge dem Wert C = 99,0 entspricht, muss folgender Zusammenhang gelten: Im Abschnitt Der grafikfähige Taschenrechner Voyage 00 wird gezeigt, wie man dieses Gerät zur Lösung der nebenstehenden Gleichung einsetzen kann. 99,0 = r r r r 10 r 0 0 0 0 0 5 Um diese Gleichung nach r 0 zu lösen, kann man entweder ein numerisches Näherungsverfahren anwenden oder einen Computer bzw. einen algebraischen Taschenrechner einsetzen, der derartige Gleichungen lösen kann. Man erhält als Lösung der Gleichung näherungsweise r 0 = 1,0181. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die Rentabilität der Anleihe beim Ausgabekurs C = 99,0) beträgt daher,181 % p. a. Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 6 % p. a. verzinsten Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 99,50 beträgt und die Rückzahlung über die gesamte Laufzeit verteilt jeweils am Jahresende in gleich hohen Teilen erfolgt? Darstellung der künftigen Zahlungseingänge (vgl. Seite 18): 1 5 6,80,60,0 1,0 6,8,6, 99,50 = r r r r 1, r 0 0 0 0 0 5 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,06191 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die Rentabilität der Anleihe beim Ausgabekurs C = 99,50) beträgt daher 6,191 % p. a.
Finanzmathematik 151 Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 6 % p. a. verzinsten Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 101, beträgt und die Rückzahlung ab Ende des. Jahres jeweils am Jahresende in gleich hohen Teilen erfolgt? Darstellung der künftigen Zahlungseingänge (vgl. Seite 19): 1 6 6 6 1 9,5 8 6,5 5 6 7 101 6 6 6 1 9,5 8 = r r r r r r 6,5 r 0 0 0 0 0 5 0 6 0 7 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,05781 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die Rentabilität der Anleihe beim Ausgabekurs C = 101, ) beträgt daher 5,781 % p. a. Auch bei der Berechnung der Rentabilität gibt es Parallelen zur Investitionsrechnung: Da der Kurs dem Kaufpreis für ein Nominale von 100, darstellt, entspricht in diesem Fall die Rentabilität jenem Zinssatz, bei dem der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind. Bis jetzt haben wir nur Berechnung für neu ausgegebene Anleihen durchgeführt. Es ist aber auch möglich, Anleihen zu kaufen, die bereits ausgegeben wurden. Solche Anleihen werden an der Börse gehandelt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom Sekundärmarkt. Auf dem Sekundärmarkt treten bei Schwankungen des allgemeinen Zinsniveaus folgende Marktmechanismen in Kraft: In Zeiten fallender Zinsen steigt auf dem Sekundärmarkt die Nachfrage nach Anleihen, die noch eine höhere Verzinsung aufweisen, was in der Regel zu Kurserhöhungen führt. Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt erwirbt, erzielt eine umso niedrigere Rentabilität, je höher der Kurs ist. Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt verkauft, erzielt eine umso höhere Rentabilität, je höher der Kurs ist. In Zeiten steigender Zinsen sinkt auf dem Sekundärmarkt die Nachfrage nach Anleihen, die noch eine niedrigere Verzinsung aufweisen, was in der Regel zu Kurssenkungen führt. Schwankungen des allgemeinen Zinsniveaus können verschiedene Gründe haben. Hier spielen nicht nur wirtschaftliche, sondern manchmal auch weltpolitische Ereignisse eine Rolle. Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt erwirbt, erzielt eine umso höhere Rentabilität, je niedriger der Kurs ist. Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt verkauft, erzielt eine umso niedrigere Rentabilität, je niedrigerer Kurs ist.
15 Finanzmathematik Eine zum Kurs 99, ausgegebene endfällige Anleihe mit 10-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von 6,5 % p. a. wird nach 6 Jahren zum Kurs 105, verkauft. a) Welche Rentabilität erzielt der Verkäufer in den ersten 6 Jahren? b) Welche Rentabilität erzielt der Käufer in den restlichen Jahren? a) Darstellung der Zahlungseingänge für den Verkäufer: 1 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 111,5 5 6 Man beachte: Ende des 6. Jahres erhält der Verkäufer sowohl die Zinsen als auch den Verkaufserlös beim Kurs 105,. Da der Verkäufer die Anleihe zum Kurs 99, erworben hat, gilt: Wie das nebenstehende Beispiel zeigt, ist bei einem während der Laufzeit erfolgenden Verkauf zu einem über 100, liegenden Kurs die Rentabilität für den Verkäufer größer als für den Käufer. 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 99 = r r r r r 111,5 r 0 0 0 0 0 5 0 6 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,0700 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die vom Verkäufer erzielte Rentabiliät) beträgt daher 7,00 % p. a. b) Darstellung der Zahlungseingänge für den Käufer: 7 8 9 10 6,5 6,5 6,5 106,5 Man beachte: Ende des 10. Jahres erhält der Käufer sowohl die Zinsen als auch die Kapitalrückzahlung zum Nominale 100,. Da der Käufer die Anleihe zum Kurs 105, erworben hat, gilt: 6,5 6,5 6,5 105 = r r r 106,5 r 0 0 0 0 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,05087 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die vom Käufer erzielte Rentabiliät) beträgt daher 5,087 % p. a. Eine zum Kurs 100,50 ausgegebene endfällige Anleihe mit 8-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von,5 % p. a. wird nach Jahren zum Kurs 96, verkauft. a) Welche Rentabilität erzielt der Verkäufer in den ersten Jahren? b) Welche Rentabilität erzielt der Käufer in den restlichen 5 Jahren?
Finanzmathematik 15 a) Darstellung der Zahlungseingänge für den Verkäufer: 1,5,5 100,5 Man beachte: Ende des 6. Jahres erhält der Verkäufer sowohl die Zinsen als auch den Verkaufserlös beim Kurs 96,. Da der Verkäufer die Anleihe zum Kurs 100,50 erworben hat, gilt:,5,5 100,5 = r r 100,5 r 0 0 0 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,009 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die vom Verkäufer erzielte Rentabiliät) beträgt daher,09 % p. a. Wie das nebenstehende Beispiel zeigt, ist bei einem während der Laufzeit erfolgenden Verkauf zu einem unter 100, liegenden Kurs die Rentabilität für den Verkäufer kleiner als für den Käufer. b) Darstellung der Zahlungseingänge für den Käufer: 5 6,5,5,5,5 10,5 7 8 Man beachte: Ende des 8. Jahres erhält der Käufer sowohl die Zinsen als auch die Kapitalrückzahlung zum Nominale 100,. Da der Käufer die Anleihe zum Kurs 96, erworben hat, gilt:,5,5,5,5 96 = r r r r 10,5 r 0 0 0 0 0 5 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,055 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die vom Käufer erzielte Rentabiliät) beträgt daher 5,5 % p. a. Wer Geld anlegen möchte, steht oft vor der Wahl zwischen einer neu ausgegebenen und einer am Sekundärmarkt angebotenen Anleihe. Das folgende Beispiel zeigt, welche Überlegungen man dabei anstellen kann. Jemand steht vor der Wahl, sein Geld entweder in einem zum Kurs 98, neu ausgegebene endfällige Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von % p. a. oder eine an der Börse zum Kurs von 110,75 gehandelte endfällige Anleihe mit 5-jähriger Restlaufzeit und einer Verzinsung von 7 % p. a. anzulegen. Man berechne für beide Varianten die Rentabilität und vergleiche die Ergebnisse.
15 Finanzmathematik Darstellung der künftigen Zahlungseingänge für die neu ausgegebene Anleihe: Das nebenstehende Beispiel handelt in einer Zeit fallender Zinsen: Während die neu ausgegebene Anleihe nur mehr eine Nominalverzinsung von % p. a. bei einem Ausgabekurs 98, bietet, wird die noch mit 7 % p. a. verzinste Anleihe auf dem Sekundärmarkt zum Kurs 110,75 gehandelt. Die Rentabilität der beiden Anleihen ist bei den vorliegenden Kursen annähernd gleich. Aus der Tatsache, dass im nebenstehenden Beispiel die Sekundärmarktanleihe eine geringfügig höhere Rentabilität aufweist, darf nicht geschlossen werden, dass die Rentabilität von Sekundärmarktanleihen generell höher ist als die Rentabilität von neu ausgegebenen Anleihen. 1 5 10 Bei einem Erwerb zum Kurs 98, gilt: 98 = r r r r 10 r 0 0 0 0 0 5 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,055 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die Rentabiliät der neu ausgegebenen Anleihe) beträgt daher,55 % p. a. Darstellung der künftigen Zahlungseingänge für die Sekundärmarktanleihe: 1 5 7 7 7 7 107 Bei einem Erwerb zum Kurs 110,75 gilt: 7 7 7 7 107 110,75 = r0 r0 r0 r0 r0 5 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,058 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die Rentabiliät der Sekundärmarktanleihe) beträgt daher,58 % p. a. In diesem Beispiel erzielt man mit der Sekundärmarktanleihe die höhere Rentabilität. Betrachten wir nochmals das obige Beispiel. Rein rechnerisch ist die Sache eindeutig. Allerdings wurde hier (stillschweigend) voraus gesetzt, dass die jeweiligen Zahlungseingänge zu genau jenem Zinssatz wieder veranlagt werden können, der als Rentabilität ermittelt wurde. In Analogie zur Investitionsrechnung wollen wir auch hier einen internen Zinssatz bestimmen, der einen von der Rentabilität abweichenden Wiederveranlagungszinssatz berücksichtigt. Man berechne den internen Zinssatz für die im vorigen Beispiel genannten Anleihen und für einen Wiederveranlagungszinssatz von % p. a. Wir berechnen für die neu ausgegebene Anleihe die Summe der bis zum Ende der Laufzeit mit % p. a. aufgezinsten Zahlungseingänge: 1,0 1,0 1,0 1,0 10 = 11,7
Finanzmathematik 155 p n Nun setzen wir in K n = K 0 1 100 für K0 den Ankaufskurs 98, für K n den eben ermittelten Wert 11,7 und für n die Anlagedauer in Jahren (in unserem Fall 5) ein und berechnen den Prozentsatz p: ( ) ( ) p 5 11,7 = 98 1 p,7 % p. a. 100 Für die Sekundärmarktanleihe gehen wir analog vor: 7 1,0 7 1,0 7 1,0 7 1,0 107 = 17,16 ( ) p 5 17,16 = 110,75 1 p,71 % p. a. 100 Abschließend soll noch auf einen Umstand hingewiesen werden: Bei manchen Anleihen ist in den Anleihebedingungen festgelegt, dass die Anleiheschuldnerin bzw. der Anleiheschuldner ab einem bestimmten Zeitpunkt die Möglichkeit hat, die Anleihe zu kündigen und das aushaftende Kapital zum Nominale vorzeitig zurück zu zahlen. Der Ausgabekurs für eine mit 8 % p. a. verzinste endfällige Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit betrug C = 99,80. a) Welche Rentabilität war für die volle Laufzeit zu erwarten? b) Die Anleihe wurde zum Ende des 5. Jahres gekündigt und zum Nennwert vorzeitig zurück gezahlt. Man berechne die Rentabilität für diese 5 Jahre. a) Darstellung der Zahlungseingänge für die volle Laufzeit: 1 8 8 8 8 8 8 108 5 6 7 8 8 8 8 8 8 108 99,80 = r0 r0 r0 r0 r0 5 r0 6 r0 7 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,0808 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die bei voller Laufzeit erzielbare Rentabilität) beträgt daher 8,08 % p. a. b) Darstellung der Zahlungseingänge für die verkürzte Laufzeit: 1 5 8 8 8 8 108 8 8 8 8 108 99,80 = r0 r0 r0 r0 r0 5 Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r 0 = 1,0805 angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p 0 (und somit die bei der verkürzten Laufzeit erzielbare Rentabiliät) beträgt daher 8,05 % p. a. Von der Möglichkeit einer Kündigung vor dem Ende der Laufzeit wird zumeist dann Gebrauch gemacht, wenn man sich auf Grund eines gesunkenen allgemeinen Zinsniveaus das benötigte Kapital zu einem niedrigeren Zinssatz beschaffen kann. Daher stellt der Umstand, dass die Anlegerinnen und Anleger bei einer vorzeitigen Kündigung für die verkürzte Laufzeit manchmal eine höhere Rentabilität erzielen als für die volle Laufzeit, keinen Vorteil dar, da das vorzeitig zurück gezahlte Kapital nur mehr zu den aktuellen niedrigeren Zinsen wieder veranlagt werden kann.