Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Universität Hamburg 5. Vorlesung Ergänzungen 14.05.2012
Satz. Die C [0, 1] ist gegeben durch C = c [0, 1] c = c j 3 j, c j {0, 2}. j=1 Beweis. C = [0, 1] \ A, wobei A = A (q) und A (q) die Vereinigung der im q-ten Schritt entfernten 2 q 1 Mengen A j1 j 2 j 3...j q der Länge 3 q ist. Wir zeigen: Ein Element a [0, 1] ist genau dann in A, wenn jede triadische Darstellung von a die Ziffer 1 mindestens einmal enthält. A 1 = { x [0, 1] 1 3 < x < 2 } 3 Daher ist a A 1, genau dann wenn x = 3 1 + y und 0 < y < 1 3. Damit ist x [0, 1] genau dann in A 1, wenn die triadische Entwicklung von x mit einer 1 beginnt.
Shift-Operatoren Betrachten wir zu einer Zahl x [0, 1] die Folge (x 1, x 2,..., x j,... ) mit x = x j 3 j, j=1 so können wir die beiden Shift-Operatoren definieren: und sh (x 1, x 2, x 3,... ) = (x 2, x 3,... ) Linksshift sh + (x 1, x 2, x 3,... ) = (0, x 1, x 2, x 3,... ) Rechtsshift mit Einfügen von 0. sh + entspricht der Multiplikation mit 3 1, denn x j 3 (j+1) = 1 x j 3 j. 3 j=1 j=1
Shift und Multiplikation sh entspricht der Multiplikation mit 3 und Weglassen der Vorkommastelle. Es gilt und sh sh + (x 1, x 2,... ) = (x 1, x 2,... ) sh + sh (x 1, x 2,... ) = (0, x 2,... ). Damit sieht man, dass diese Shift-Operatoren nicht miteinander vertauschen.
Anwendung der Shift Operatoren Ist nun x A 1 und ist x = (x 1, x 2, x 3,... ) die zugeordnete Folge der Koeffizienten in der triadischen Darstellung, so ist x 1 = 1 und jede Folge die durch (sh + ) j aus x hervorgeht enthält eine 1. Schreiben wir für eine Folge x die zugehörige reelle Zahl x als so ist x = e(x) = x j 3 j, j=1 e((sh + ) k (x)) = 3 k e(x) A 0...01, wobei hier genau k-nullen im Index stehen. Die Menge A (k) erhalten wir nun indem wir die k Nullen durch eine beliebige Folge von 0, 2 ersetzen (davon gibt es 2 k ) und dann über all diese Mengen vereinigen.
Satz Eigenschaften Satz. 1 Die enthält kein Intervall der Form (a, b) mit 0 a < b 1. 2 und C [0, 1 2 ] = 1 3 C. C = 1 3 C ( 2 3 + 1 3 C ) 3 C ist überabzählbar, genauer gilt: C ist gleichmächtig zu [0, 1].
Beweis Teil 1 Beweis. 1 Die Länge einer Menge A w1 w 2...w k 1 mit w i {0, 2} ist 3 (k+1), die Gesamtlänge der im k-tem Schritt entfernten Mengen ist, wie bereits gesehen 2k. Da die Summe aller dieser Zahlen 3 k+1 gegen 1 konvergiert, gibt es zu jedem ε > 0 ein N, so dass die ersten n-summanden für n > N eine Summe größer als 1 ε liefern. Setzen wir ε = b a > 0, so erhalten wir einen Widerspruch, zur Tatsache, dass (a, b) C impliziert, dass (a, b) A = und damit auch (a, b) A (k) = k n.
Beweis Teil 2 2 Betrachte 1 3 C 1 3 [0, 1] = [0, 1 3 ] [0, 1 2 ] und die Tatsache, dass Multiplikation mit 3 1 genau dem sh + -Operator auf der Ebene der triadischen Entwicklung entspricht, zeigt, dass 1 3 C C. Da gleichzeitig 1 3 A A gilt 1 3 C = C.
Beweis Teils 3 3 Definiere H : [0, 1] C. Für x [0, 1] schreiben wir die duale Entwicklung x = x j 2 j, mit x j {0, 1}. Setze H(x) = j=1 (2x j )3 j mit 2x j = j=1 { 0 falls xj = 0 2 falls x j = 1. Dann ist H(x) C, denn es gibt eine triadische Entwicklung, die nur die Ziffern 0, 2 enthält. H : [0, 1] C ist injektiv: angenommen H(x) = H(y) und
Beweis Teil 3 Fortsetzung x = x j 2 j und y = j=1 Dann ist H(x) = H(y), also ist y j 2 j. j=1 (2x j )3 j = j=0 (2y j )3 j. j=0 Angenommen x y dann gibt es ein erstes j 0 mit x j0 y j0 und sei obda x j0 = 0 und y j0 = 1. Dann ist 2x j0 = 0 und 2y j0 = 2. Dann ist aber H(x) < H(y).
Irrationale Zahlen Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, C aber überabzählbar ist, gibt es irrationale Zahlen in C. Man kann solche konstruieren: Ist {d j } j N eine streng monoton steigende Folge natürlichder Zahlen und schreiben wir x = ξ k 3 k mit ξ k {0, 2} und k=1 ξ k = 1 + ( 1) N 1 wobei die N die kleinste Zahl sei, so dass k N j=1 d j. Man beachte, dass die Konstruktion so ist, dass die ersten d 1 -Ziffern in der triadischen Darstellung 0 sind, dann d 2 Zahlen 2 kommen, danach wieder d 3 Zahlen 0. Die strenge Monotonie der Folge stellt sicher, dass die Folge nicht periodisch wird und daher ist x irrational.
Ausgangspunkt: ein Intervall 0 1
Elementare Konstruktion 0 1 1/3 1/2 3/3
Ausgangspunkt: gleichseitiges Dreieck
Anwenden der elementaren Konstruktion auf jede Seite
Nochmaliges Anwenden der elementaren Konstruktion
Und nochmal
Flächeinhalt Die von der kontruierten Linie umschlossene Fläche ist streng monoton wachsend. Die Anzahl der geraden Linien wird in jedem Schritt vervierfacht, wir haben also nach j Schritten 3 4 j Linien und fügen im nächsten Schritt genau so viele Dreieck an. Ist F der Flächeninhalt des ersten Dreiecks, so hat jedes der angefügten Dreiecke den Flächeninhalt 9 j F. Insgesamt fügen wir also die Fläche 3 4 j 9 j F an. Wir erhalten als Fläche F (n) nach n Schritten n 4 F (n) = 1 j + 3 F 9 j j=1 Diese Reihe konvergiert und damit ist der Flächeninhalt der endgültigen Figur endlich.
Länge der Randlinie Sei 1 die Länge der ursprünglichen Strecke, so ist die Länge nach einem Schritt 4 3. Das heißt die Länge L(n) der Randlinie nach n Schritten folgt der Iteration L n+1 = 4 3 L(n). Das erste Dreieck hat als Länge der Randlinie L(1) = 3, insgesamt erhalten wir ( ) 4 n L(n) = 3. 3 Dies ist für n unbeschränkt (oder wächst über alle Grenzen).
Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Teppich
Sierpinski-Pyramide
Menger-Schwamm
Apfelmännchen
Fraktale Definition. Ein Menge M heißt Fraktal oder eine fraktale Menge, falls es eine endliche Anzahl von Kontraktionen T j gibt, j = 1,..., N gibt, so dass M = N T j (M). j=1 Im Beispiel der hatten wir gesehen C = 1 3 C 2 3 + 1 3 C. Ähnliche Konstruktionen finden wir im Fall der gezeigten Mengen.
Warum Fraktale 1 Die gezeigten Fraktale sind zunächst Beispiele für iterative Konstruktionen und ergänzen damit unsere Überlegungen zu iterativen Konstruktionen. 2 Fraktale spielen aber auch in der Theorie der dynamischen Systeme eine wichtige Rolle, wir werden dies hoffentlich noch sehen.