Teil I: Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit Kapitel 4: Zufallsvariablen Kapitel 5: Erwartungswerte, Varianz, Kovarianz und Korrelation Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit 2 Überblick Beispiele Wahrscheinlichkeitsraum Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
Beispiele 3 Beispiel 1: Würfelwurf Ω = {ω 1,..., ω 6 } Beispiel 2: zweifacher Münzwurf Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} Beispiel 3: Psychologisches Testen Ω = Ω U Ω O Beispiel 4: Ein typisches psychologisches Experiment Ω = Ω U Ω X Ω Y Wahrscheinlichkeitsraum 4 Ein Wahrscheinlichkeitsraum repräsentiert das beobachtete Zufallsexperiment. Er besteht aus den folgenden drei Komponenten die Menge der möglichen Ergebnisse des betrachteten Zufallsexperiments die Menge der möglichen Ereignisse und das Wahrscheinlichkeitsmaß
Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit 5 Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω,, P repräsentiert das betrachtete Zufallsexperiment, wobei: Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments die Menge aller möglichen Ereignisse Ω und P : [0, 1] das Wahrscheinlichkeitsmaß auf Die Menge der möglichen Ergebnisse 6 Beispiel 1: Würfelwurf Ω = {ω 1,..., ω 6 } Beispiel 2: zweifacher Münzwurf Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} Beispiel 3: psychologisches Testen Ω = Ω U Ω O
Die Menge der möglichen Ereignisse: Beispiel 1 7 Mögliche Ereignisse sind immer Teilmengen der Menge der möglichen Ergebnisse Ω Beispiel 1 (zweifacher Münzwurf): = {, Ω, {(K, K)}, {(K, Z), (Z, K), (Z, Z)}} Die Menge der möglichen Ereignisse: Beispiel 2 8 zweifacher Münzwurf Die Menge aller Teilmengen von Ω := {, Ω, { Z, Z }, { Z, K }, { K, Z },{ K, K }, { Z, Z, Z, K }, { Z, Z, K, Z }, { Z, Z, K, K }, { Z, K, K, Z }, { Z, K, K, K }, { K, Z, K, K }, { Z, Z, Z, K, K, Z }, { Z, Z, Z, K, K, K }, { Z, Z, K, Z, K, K }, { Z, K, K, Z, K, K }}
Einige mögliche Ereignisse beim psychologischen Testen: Beispiel 9 Tabelle 2.1. Einige Ereignisse und ihre formalsprachliche Darstellung Inhaltliches Ereignis Fritz wird gezogen Fritz oder Franz werden gezogen Formale Darstellung als Teilmenge von Ω = Ω U Ω O {Fritz} Ω O {Fritz, Franz} Ω O Die erste ufgabe wird gelöst Ω U {+} {+, } Fritz wird gezogen und löst beide ufgaben { Fritz, +, + } nwendung und Interpretation 10 Problem: Wahrscheinlichkeiten sind in der Regel unbekannt Ziel: Schätzung der Wahrscheinlichkeiten oder anderer Kenngrößen Wahrscheinlichkeiten sind theoretische Größen Beispiel: Münzwurfexperiment
Definition s-lgebra 11 Definition 2.1. Sei eine Menge von Teilmengen einer Menge Ω. Die Menge heißt dann σ-lgebra, wenn gelten: (a) Ω ; (b) wenn, dann ( ist das Komplement von ); (c) wenn 1, 2,... eine Folge von Elementen aus ist, dann ist auch deren Vereinigung 1 2... Element von. Definition Wahrscheinlichkeit, usw. 1 12 Definition 2.2 Seien eine σ-lgebra auf einer Menge Ω sowie P: IR eine Funktion auf. Man betrachte die Bedingungen (Kolmogoroff-xiome): (a) P() 0, für alle ; Nichtnegativität (b) ist 1, 2,... eine Folge paarweise disjunkter Mengen i, dann gilt: P( 1 2...) = P( 1 ) + P( 2 ) +... (c) P(Ω) = 1. σ-dditivität Normierung
Definition Wahrscheinlichkeit, usw. 2 13 Wenn die Bedingungen (a) bis (c) gelten, heißen: (i) (ii) die Funktion P Wahrscheinlichkeitsmaß, das Tripel Ω,, P Wahrscheinlichkeitsraum, (iii) die Elemente i Ereignisse, (iv) der Wert P() Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, (v) die Mengen {ω}, ω Ω, Elementarereignisse und (vi) die Menge Ω die Menge der möglichen Ergebnisse. Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} 14 Tabelle 2.2. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten beim zweimaligen Münzwurf i P( i ) nmerkung 0 = 0 1 = Ω 1 Bedingung (c) der Def. 2 2 = { K, K } 1/4 faire Münze! 3 = { K, Z } 1/4 dto. 4 = { Z, K } 1/4 dto. 5 = { Z, Z } 1/4 dto. 6 = { K, K, K, Z } P( 2 ) + P( 3 ) = 1/2 Bedingung (b) der Def. 2 7 = { K, K, Z, K } P( 2 ) + P( 4 ) = 1/2 dto. 8 = { K, K, Z, Z } P( 2 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 9 = { K, Z, Z, K } P( 3 ) + P( 4 ) = 1/2 dto. 10 = { K, Z, Z, Z } P( 3 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 11 = { Z, K, Z, Z } P( 4 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 12 = { K, K, K, Z, Z, K } P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) = 3/4 dto. 13 = { K, K, K, Z, Z, Z } P( 2 ) + P( 3 ) + P( 5 ) = 3/4 dto. 14 = { K, K, Z, K, Z, Z } P( 2 ) + P( 4 ) + P( 5 ) = 3/4 dto. 15 = { K, Z, Z, K, Z, Z } P( 3 ) + P( 4 ) + P( 5 ) = 3/4 dto.
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit 15 Theorem 2.1 Seien Ω,, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und, B Ereignisse. Dann gelten: (i) wenn B, dann P( \ B) = P( ) PB ( ) und P ( ) PB ( ); (ii) P( \ B) = P( ) P ( B) ; (iii) für : =Ω \ gilt: P( ) = 1 P ( ); (iv) P( B) = P ( ) + PB ( ) P( B). Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit (Diagramm) 16 \ B B Ω (a) \ B B B Ω (b) B B (c) (d) Ω (c) Ω (d) bbildung 2.1 Venn-Diagramme zur Veranschaulichung der in Theorem 2.1 genannten Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes