Klassische Lebensversicherungsmathematik (Repetition)

Klassische Lebensversicherungsmathematik (Repetition) Hansörg Furrer (Swiss Life) Michael Koller (Swiss Life) Das Ziel dieses Dokumentes ist es, die wesentlichen Merkmale der klassischen Lebensversicherungsmathematik zu repetieren. Grundlage dazu sind die Vorlesungsnotizen von Prof. Michael Koller. Das vorliegende Dokument unterscheidet sich insofern von den eben genannten Notizen, als hier für die Bewertung einer Geldeinheit Begriffe aus der modernen Finanzmathematik verwendet werden. Die Gründe dazu sind einerseits in einem sich verändernden regulatorischen Umfeld und seinen neuen Bewertungsmethoden zu finden (Beispiel Solvency II ), andererseits soll auch die Grundlage geschaffen werden für die noch zu behandelnden Themen wie Embedded Value oder Fair Value. Wir sind der Meinung, dass die Lebensversicherungsmathematik nicht als eigenständige Disziplin betrachtet werden sollte, sondern vielmehr als ein in Wechselwirkung zu anderen Bereichen der Versicherungs- und Finanzmathematik stehendes Gebilde. Insbesondere muss der Aktuar der dritten Generation (Zitat Prof. Hans Bühlmann) also auch in der modernen Finanzmathematik sattelfest sein. Schematisch lässt sich die Situation im Lehrbereich der Universität und ETH Zürich wie folgt darstellen: Risk based supervision Term structure and Credit Risk Models Lebens versicherungs Mathematik 1&2 Corporate Finance Risk Management 1 Finanzmathematik 1.1 Barwert eines Kapitals Ein Lebensversicherungsvertrag ist im wesentlichen gekennzeichnet durch zwei Arten von Faktoren: biometrische finanzielle 1

Vernachlässigen wir für den Moment die biometrischen Faktoren, so stellen wir fest, dass die Bewertung eines solchen Vertrages auf die Bewertung einer Geldeinheit bei Vertragsbeginn hinausläuft. Es ist bekannt, dass der Wert einer Geldeinheit heute verschieden vom Wert morgen ist (time value of money). Für die Bewertung sind folgende Begriffe und Notationen nötig: Definition 1 (T -maturity zero-bond) Ein T -maturity zero-bond (Anleihe der Dauer T ohne zwischenzeitliche Zahlungen) ist ein Vertrag, der dem Halter die Zahlung einer Geldeinheit zum Zeitpunkt T garantiert, ohne zwischenzeitliche Zahlungen. Notation: P (t, T ): Wert des Vertrages zur Zeit t, 0 t T (zero-coupon bond price). Offensichtlich gilt P (T, T ) 1. In der Folge geht es darum, den Wert P (t, T ) für t T zu bestimmen. Dazu führen wir zusätzlich folgenden stochastischen Prozess ein: Definition 2 (Bank account numeraire) Der Bank account numeraire B stellt eine risikofreie Investition dar, bei der die Profite kontinuierlich gutgeschrieben werden anhand der aktuellen risikofreien Zinskurve. Die Dynamik von B ist gegeben durch db(t) B(t)r t dt B(0) 1. Die stochastische Differentialgleichung (1) hat die Lösung { t B(t) exp 0 (1) } r s ds, (2) wobei r t die instantane Zinsrate für risikoloses Borgen oder Leihen von Geld über das infinitesimale Zeitintervall [t, t + t bezeichnet. Der stochastische Prozess r {r(t) : t 0} heisst short rate Prozess. Gleichung (2) finden wir übrigens in den Vorlesungsnotizen auf Seite 8 wieder. Sie lautet dort K n exp{ n 0 δ(s) ds}k 0. Definition 3 (Stochastischer Diskontfaktor) Der stochastische Diskontfaktor D(t, T ) zwischen den beiden Zeitpunkten t und T ist derenige Geldbetrag zur Zeit t, der äquivalent zu einer Geldeinheit zahlbar zum Zeitpunkt T ist. Er ist gegeben durch D(t, T ) : B(t) B(T ) T e t r s ds. Es stellt sich nun die Frage, was der Zusammenhang zwischen D(t, T ) und P (t, T ) ist. ➀ r deterministisch. Falls r deterministisch ist, so ist auch D(t, T ) deterministisch und es gilt für alle Paare (t, T ), dass D(t, T ) P (t, T ). ➁ r stochastisch. Falls r t stochastisch ist, so ist auch der Diskontfaktor D(t, T ) eine zufällige Grösse, die durch die zukünftige Entwicklung von r zwischen t und T bestimmt wird. Der Bond Preis P (t, T ) ergibt sich aus der Forderung, dass alle diskontierten handelbaren Finanzinstrumente Martingale unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmass Q sind. 2

Insbesondere ist also der Prozess Z {Z (t) : 0 t T } mit Z (t) P (t, T )/B(t) ein Q-Martingal. Die Martingalbedingung lautet E Q [Z (t) F s Z (s) für 0 s t T oder [ P (t, T ) E Q Fs P (s, T ) B(t) B(s) Setze nun t T und beachte dass P (T, T ) 1. Somit [ 1 E Q F s B(T ) P (s, T ) B(s) Multipliziere beide Seiten mit B(s). Da B(s) F s -messbar ist, gilt zudem Mit s t folgern wir schliesslich [ B(s) E Q Fs P (s, T ) B(T ) [ B(t) E Q F t P (t, T ) (3) B(T ) oder E Q [ D(t, T ) F t P (t, T ), womit der allgemeine Zusammenhang hergestellt ist zwischen dem Diskontfaktor D(t, T ) und dem Bond Preis P (t, T ). Im Spezialfall wo r deterministisch ist, gilt E Q [ B(t)/B(T ) F t B(t)/B(T ) und somit sind wir zurück im Fall 1. Definition 4 (yield-to-maturity) Der yield-to-maturity y ist gegeben durch folgende Beziehung: P (t, T )e y 1 woraus wir schliessen können log P (t, T ) y y(t, T ). T t Aus den Gleichungen (2) und (3) ist ersichtlich, dass die Bond Preise durch die Spezifikation des short rate Prozesses bestimmt sind. Es gelten die folgenden Zusammenhänge: log P (t, T ) y(t, T ) T t (yield-to-maturity) [ B(t) Festlegung von r t P (t, T ) E Q F t B(T ) (zero-coupon bond price) f(t, T ) T log P (t, T ) (instantaneous forward rates) 3

Es stellt sich nun die Frage, wie der short rate Prozess r modelliert werden soll. Typischerweise wird die Dynamik von r als Diffusionsprozess beschrieben, d.h. in der Form dr t µ(t, r t ) dt + σ(t, r t ) dw (t), wobei der Prozess W {W (t) : t 0} eine Brownsche Bewegung (bezüglich Q) bezeichnet. Die einschlägige Literatur umfasst eine Vielzahl von Zinsmodellen. Im folgenden beschreiben wir kurz die drei bekanntesten. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Abbildung 1: Simulation eines short rate Prozesses r, dessen Dynamik der stochastischen Differentialgleichung (4) genügt mit κ m σ 1. Beispiel 1: Vasicek Modell. Im Vasicek Modell wird die Dynamik von r durch einen sogennannten mean-reverting Ornstein- Uhlenbeck -Prozess beschrieben. d.h. dr t κ(m r t ) dt + σ dw (t), t 0, (4) mit Konstanten κ, m und σ. Die stochastische Differentialgleichung (4) hat die Lösung r t e κ(t s) r s + m ( 1 e κ(t s)) + σ t s e κ(t u) dw (u), woraus folgt, dass die Zufallsvariable r t (bedingt) normalverteilt ist. Denn für eine lokal beschränkte Borel messbare Funktion ξ auf R + ist der stochastische Prozess Z(t) : t 0 ξ(s) dw (s) ein Gauss scher Prozess mit Erwartungswertfunktion E[Z(t) 0 und Kovarianzfunktion R(s, t) : Cov ( Z(s), Z(t) ) s t 0 ξ(u) 2 du, wobei a b : min{a, b}, siehe zum Beispiel Revuz and Yor [9, Seite 135. Insbesondere schliessen wir daraus, dass der Wert r t negativ sein kann mit positiver Wahrscheinlichkeit. Beispiel 2: Cox-Ingersoll-Ross Modell (CIR). Im CIR-Modell wird die Dynamik von r durch einen sogenannten square-root -Prozess beschrieben, d.h. dr t κ(m r t ) dt + σ r t dw (t), t 0. (5) Die Lösung von (5) lässt sich beschreiben mit Hilfe des Quadrates eines (in der Zeit translatierten) δ-dimensionalen Bessel-Prozesses, d.h. r t e κt Z δ M t, 4

wobei δ 4κm/σ 2 und M(t) σ/2 t 0 exp{κu/2} dw (u). Mit Zd {Z d (t) : t 0} bezeichnen wir das Quadrat eines d-dimensionalen Bessel Prozesses, siehe Revuz und Yor [9, Seite 420. Das heisst, Z d erfüllt die stochastische Differentialgleichung dz d (t) d dt + 2 Z d (t) dw (t), Z d (0) x. Es folgt, dass r t > 0 fast sicher falls 2κm > σ 2. Beispiel 3: Hull-White Modell. Das Hull-White Modell basiert ebenfalls auf dem Vasicek Modell, edoch mit zeitabhängigen Koeffizienten. Hull-White (1994) betrachten dr t ( ϑ(t) + ar t ) dt + σ dw (t), t 0, (6) wobei a, σ positive Konstanten sind. Die Lösung der Differentialgleichung (6) lautet r t e a(t s) r s + t s e a(t u) ϑ(u) du + σ t s e a(t u) dw (u). Der Vorteil des Hull-White Modells liegt darin, dass eine exakte Angleichung an die momentan im Markt beobachtete yield-kurve möglich ist. Mit anderen Worten, die Funktion ϑ(t ) lässt sich eindeutig darstellen in Abhängigkeit von f (M) (0, T ) / T log P (M) (0, T ), wobei P (M) (0, T ) die zur Zeit t 0 im Markt beobachteten Bond Preise bezeichnen. 1.2 Barwert einer Rente Definition 5 (Barwert einer Rente). Der Barwert einer Rente ist gleich dem Wert der zukünftigen Rentenzahlungen zu einem bestimmten Zeitpunkt. Notation für Rentenbarwerte: a : nachschüssig ä : vorschüssig Beispiel: Ganzährig vorschüssig zahlbare ewige Rente. t0 1 2 3 4 5 t Wir gehen von einer diskreten, konstanten Verzinsung aus. Die Rentenzahlungen zu den Zeitpunkten t 0, 1, 2, 3,... betragen eweils eine Geldeinheit. Mit der klassischen Schreibweise lässt sich der Rentenbarwert zum Zeitpunkt t 0 darstellen als ( 1 ä 1 + 1 ) ( 1 ) 2 + 1 + 1 + i 1 + i v k (7) k0 mit v (1+i) 1. Nun wollen wir ä ausdrücken mit Hilfe der Sprache der modernen Finanzmathematik. Wir stellen zuerst fest, dass der (diskrete) bank account numeraire B gegeben ist 5

durch B(t) (1 + i) t. Wir erinneren daran, dass allgemein gilt P (t, T ) E Q [ B(t)/B(T ) F t, siehe (3). Mit B(t) (1 + i) t schliessen wir, da i konstant ist, Insbesondere für t 0: P (t, T ) P (0, T ) ( 1 ) T t. 1 + i ( 1 ) T v T. 1 + i Also gilt für den Rentenbarwert zum Zeitpunkt t 0 ä P (0, k). (8) k0 Bemerkung 6 Vergleichen wir die Darstellungen (7) und (8) für den Rentenbarwert zum Zeitpunkt t 0, so stellen wir fest, dass letztere viel allgemeiner ist. Insbesondere erlaubt Darstellung (8), den Rentenbarwert für einen positiven Bewertungszeitpunkt t zu bestimmen. Der Barwert wäre dann k t P (t, k). Ebenso schliesst die Notation (8) stochastische Zinsen mitein. 2 Technischer Zinssatz Wie erwähnt, wird die Preisbildung eines Lebensversicherungsproduktes bestimmt durch biometrische finanzielle Faktoren. Definition 7 (Technischer Zinssatz). Der technische Zinssatz ist ein garantierter Zinssatz, mit dem eine Versicherungsgesellschaft Gelder zu verzinsen hat. Der technische Zinssatz entspricht somit einem Minimalzins, mit dem Gelder zu verzinsen sind. Man beachte, dass der technische Zinssatz in der Regel als konstant angenommen wird, was einer Unabhängigkeit des technischen Zinssatzes von den realen Finanzmarktdaten gleichkommt. Im Rahmen einer sich ändernden regulatorischen Aufsicht (für Europa: Solvency II, siehe [7; für die Schweiz: Swiss Solvency Test SST, [1) wird edoch verlangt, dass marktnahe Bewertungsmethoden verwendet werden. Den Unterschied zwischen einem traditionellen Bewertungsansatz und einem marktnahen (marked-to-market) wollen wir anhand eines einfachen Beispiels illustrieren. Beispiel: Reine Erlebensfallversicherung gegen Einmalprämie. Wir betrachten eine reine Erlebensfallversicherung gegen Einmalprämie. Ein solcher Vertrag ist gekennzeichnet durch einen Anfangszeitpunkt t 0 (policy inception date) und einen Endzeitpunkt t T (policy end date). Die Versicherungsnehmerin erhält eine Geldeinheit, falls sie beim Ablauf der Versicherung zum Zeitpunkt T am Leben ist. Notation: L(t): Verpflichtungen der Versicherungs-Gesellschaft zur Zeit t, 0 t T. a) Traditioneller Bewertungsansatz Der traditionelle Bewertungsansatz ist dadurch charakterisiert, dass hier mit dem technischen Zinssatz δ diskontiert wird. Zusätzlich gehen wir von einer kontinuierlichen Verzinsung aus. 6

Dann gilt für 0 t T L(t) 1 e δ(t t) T p x. (9) Man beachte, dass die zum Zeitpunkt t 0 geleistete Einmalprämie Π 0 keinen Einfluss auf (9) hat. Die Grösse t p x stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass eine x-ährige Person t Jahre überlebt. b) Marktnaher Bewertungsansatz (marked-to-market) Der marktnahe Ansatz unterscheidet sich vom traditionellen Ansatz durch die Bewertung der Geldeinheit bei Vertragsbeginn. Im Rahmen des Swiss Solvency Tests SST wird der marktnahe Wert einer Versicherungsverpflichtung definiert als der Erwartungswert (unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmass) der zukünftigen diskontierten 1, vertraglich zugesicherten cash flows, siehe [1, Seite 17. Für das Beispiel der reinen Erlebensfallversicherung bedeutet dies [ 1 L(t) B(t) E Q B(T ) 1 {T x>t } F t, (10) wobei B(t) exp{ t 0 r s ds} den bank account numeraire (kontinuierliche Verzinsung) und T x die Rest-Lebenszeit einer x-ährigen Person bezeichnet. Unter der Annahme, dass das Mortalitätsrisiko unabhängig vom finanziellen Risiko ist, gilt [ B(t) [ L(t) E Q Ft E Q 1{Tx>T } B(T ) [ P (t, T ) E P ζ 1{Tx>T } [ P (t, T ) E P [ζ E P 1{Tx>T } P (t, T ) T p x, (11) wobei ζ dq/dp die Radon-Nikodym Dichte der Masstransformation vom physischen Wahrscheinlichkeitsmass P zum risiko-neutralen Mass Q darstellt. Insbesondere gilt E P [ζ 1. Ein Vergleich von (9) mit (11) zeigt, dass beim traditionellen Bewertungsansatz mit dem technischen Zinssatz diskontiert wird, während bei marktnaher Betrachtungsweise zero-bonds die Diskontfunktion übernehmen. Kontinuierliche Verzinsung: Bank account numeraire: Einfache Verzinsung: B(t) e t 0 rs ds B(t) (1 + i) t r konstant: B(t) e rt Bond Preis (r konstant): P (0, k) e rk P (0, k) ( 1 ) k v k 1 + i 1 Die Diskontierung wird auf der Basis der zum Berechnungszeitpunkt gültigen risikolosen Zinskurve ermittelt 7

3 Arten von Lebensversicherungen Die gängigsten Arten von Lebensversicherungen lassen sich grob unterteilen einerseits in Kapital- und andererseits in Rentenversicherungen: Kapitalversicherungen: a) Todesfallversicherungen (lebenslänglich (whole life insurance) oder temporär (term insurance)) b) Reine Erlebensfallversicherung (pure endowment) c) Gemischte Versicherung (endowment) d) Fondsgebundene Versicherungen Rentenversicherungen: a) Leibrente b) Temporäre Rente Ausgehend von diesen Grundbausteinen lassen sich weitere Arten von Lebensversicherungen ableiten wie zum Beispiel Versicherungen auf mehrere Leben etc. 3.1 Der Wert einer Lebensversicherung Die in der Lebensversicherungsindustrie gängigen Bewertungsmethoden wie Embedded Value und Fair Value finden wir im Prinzip auch im Bereich Corporate Finance wieder (Stichwort NPV-Regel (Net present value)). Sie gründen also auf den zukünftigen diskontierten Zahlungsströmen (cash flows). Wir treffen nun die Annahme, dass alle Zahlungsströme eines Versicherungsproduktes immer zu Jahresbeginn erfolgen. Das legt folgende Zeiteichung nahe: Der Zeitpunkt t 0 entspreche dem 01.01.2004, der Zeitpunkt t 1 dem 01.01.2005 und so weiter. Es bezeichne T 0 den Anfangszeitpunkt (policy inception date) und T E den Endpunkt eines Versicherungsvertrages (policy end date), wobei T E T 0. Wir gehen also davon aus, dass die Zahlungsströme zu den Zeitpunkten T 0 n n + 1 1 0 1 k T E erfolgten oder erfolgen werden. Die cash flows können unterteilt werden in cash-inflows respektive cash-outflows Cash-inflows: Prämien Cash-outflows: + Todesfall-Leistungen + Erlebensfall-Leistungen + Renten-Leistungen + Rückkaufs-Leistungen + Andere Leistungen (cash) + Kommissionen + Verwaltungskosten (inklusive Kosten zur Verwaltung von Kapitalanlagen) 8

Notation: Z(m): Die zum Zeitpunkt m anfallenden cash flows. Mit L(t) bezeichnen wir wiederum die Verpflichtungen der Versicherungs-Gesellschaft zum Zeitpunkt t. Wir postulierten Unabhängigkeit zwischen den finanziellen und den biometrischen Risiken und schliessen daraus für t [ 1, ). Speziell für t 0, 1 haben wir [ k L(t) E Q Z(m)D(t, m) F t m m k [ E Q Z(m) B(t) F t B(m) k [ [ E Q Z(m) B(t) F t EQ F t B(m) m k [ E Q Z(m) F t P (t, m). m L(0) L(1) k [ E Q Z(m) P (0, m), (12) m1 k [ E Q Z(m) F 1 P (1, m). (13) m2 Bei reinen Kapitalversicherungen beispielsweise sind es die Ereignisse Tod, Überleben und Rückkauf, welche Zahlungsströme auslösen. Demzufolge können wir schreiben Z() Z (T ) () + Z (R) () + Z (U) (). (14) Wir nehmen an, dass die Zahlungsströme beim Eintritt des entsprechenden Ereignisses deterministisch sind und bezeichnen diese mit z ( ). Wir können daher schreiben Z (T ) () z (T ) Z (R) () z (R) Z (U) () z (U) 1 (T ) {T x ( 1,, T x (R) >} 1 (T ) {T x >, T x (R) ( 1,} 1 (T ) {T x >, T x (R) >}, wobei die Zufallsvariable T x (T ) die zukünftige Lebensdauer einer x-ährigen Person bezeichne. Analog werde für eine x-ährige Person mit T x (R) die Dauer bis zum Rückkauf der Police beschrieben. Es gilt T x (R) T x (T ) oder T x (R) wenn kein Rückkauf erfolgt. Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes gilt E[Z() E [ Z (T ) () + E [ Z (R) () + E [ Z (U) () mit E [ Z (T ) () z (T ) P [ T x (T ) ( 1,, T x (R) > E [ Z (R) () z (R) P [ T x (T ) >, T x (R) ( 1, E [ Z (U) () z (U) P [ T x (T ) >, T x (R) >. 9

Es seien q x, p x die einährigen Sterbe- bzw. Überlebenswahrscheinlichkeiten 2. Ordnung einer x-ährigen Person. Wir schreiben p x p x λ x + p x (1 λ x ) und nennen λ x die (bedingte) Stornorate, 0 λ x 1. Mit obiger Notation finden wir P [ T (T ) x P [ T (T ) x ( 1,, T x (R) > 2 k0 >, T x (R) ( 1, 2 P [ T (T ) x k0 >, T x (R) > 1 k0 p x+k (1 λ x+k ) q x+ 1, p x+k (1 λ x+k ) p x+ 1 λ x+ 1 p x+k (1 λ x+k ). Die bedingten Erwartungswerte E[Z() F 1 (notwendig für die Bestimmung von (13)) berechnen sich analog. Beispiel: Reine Erlebensfallversicherung Als konkrete Anwendung betrachten wir das uns bekannte Beispiel der reinen Erlebensfallversicherung und wollen ihren (marktnahen) Wert berechnen. Aus obigen Ausführungen folgt, dass wir dazu die Grössen z (T ), z (R), z (U) bestimmen müssen. Wir haben einerseits z (T ) 0,. denn das Ereignis Tod löst zu keinem Zeitpunkt eine Zahlung aus. Die Zahlungen bei Rückkauf fassen wir zusammen im Vektor z (R) (z 1,..., z k ), wobei z z (R). Die Zahlungsströme zum Zeitpunkt, k 1, für das Ereignis Überleben im Intervall ( 1, setzen sich zusammen aus Prämien, garantierten Überschüssen b (Boni) und Kosten κ. Für k kommt zusätzlich noch die Erlebensfall-Leistung hinzu. Somit gilt z (U) { π + b + κ, {1,..., k 1}, b + κ + z (U), k. Um die Analogie zu Abschnitt 4.1.3 in den Vorlesungsnotizen herzustellen, gehen wir von einer Einmalprämieneinlage aus und setzen λ x 0, was E [ Z (R) () 0 impliziert. Vernachlässigen wir darüberhinaus die Kosten und die garantierten Überschüsse und nehmen zusätzlich an, dass die Überlebensfall-Leistung eine Geldeinheit betrage, so reduziert sich (15) zu z (U) Zusammenfassend finden wir für (12) { 0, {1,..., k 1}, 1, k. A 1 x:n : L(0) P (0, k) k p x Dies ist zu vergleichen mit dem entsprechenden Ausdruck auf Seite 30 in den Vorlesungsnotizen. 10 (15)

Literatur [1 BPV. Schweizer Solvenztest (2003). Bundesamt für Privatversicherungen BPV, Bern, Version 12. Dezember 2003. [2 BPV. Sensitivitätsanalyse und Szenarien in der Lebensversicherung (2004). Bundesamt für Privatversicherungen BPV, Bern. [3 BPV. Vorschläge für die Bewertung der Liabilities im Geschäft der Beruflichen Vorsorge (2004). Arbeitspapier im Rahmen des SST. Bundesamt für Privatversicherungen BPV, Bern. [4 Brigo, D. and Mercurio, F. (2001). Interest Rate Models: Theory and Practice. Springer, Berlin. [5 Ekern, S. and Persson, S. (1996). Exotic unit-linked life insurance contracts. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, Vol. 21, 35-63. [6 Musiela, M. and Rutkowski, M. (1998). Martingale Methods in Financial Modeling. Springer, Berlin. [7 Solvency II-Reflections on the general outline of a framework directive and mandates for further technical work. http://europa.eu.int/comm/internal market/insurance/docs/markt-2539-03/markt-2539-03 en.pdf [8 Tanskanen, A. J. and Lukkarinen, J. (2003). Fair valuation of path-dependent participating life insurance contracts. Insurance: Mathematics and Economics, Vol. 33, 595-609. [9 Revuz, D. and Yor, M. (1994). Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin. 11