Tecnisce Universität Müncen SoSe 2013 Institut für Informatik Prof. Dr. Tomas Huckle Dipl.-Inf. Cristop Riesinger Dipl.-Mat. Jürgen Bräckle Numerisces Programmieren, Übungen 2. Übungsblatt: Kondition, Stabilität und Differenzenquotient 1) Kondition, Stabilität Die (relative) Konditionszal cond(f, x) für reellwertige Funktionen f : IR IR ist folgendermaßen definiert: cond(f, x) = x f (x) f(x) i) Berecnen Sie die relative Konditionszal der folgenden Funktionen in Abängigkeit von x: a) f 1 (x) = a x, b) f 2 (x) = a x, c) f 3 (x) = 3e x 3. Interpretieren Sie jeweils das Ergebnis! Wie lautet die Konditionszal von f 3 an der Stelle x = 0 (Grenzwertbetractung!)? ii) Untersucen Sie die Stabilität einer computergestützten Auswertung von f 3 mit Hilfe der Epsilontik. (Hinweise: Betracten Sie den relativen Feler rd(f(x)) f(x) f(x). Die Auswertung von e x erzeuge auc nur einen relativen Feler ε M.) 2) Beispiel für sclecte Kondition: Scnittpunkt zweier Geraden Gegeben seien zwei Geraden g 1 und g 2 mit g 1 : y = x g 2 : y = mx + 1, deren Scnittpunkt berecnet werden soll. Der tatsäclice Eingabe-Parameter m = 1.005 wird dabei zu m = 1.01 aufgerundet. Wir wollen nun den dadurc entstandenen Feler im x-wert des Scnittpunktes untersucen. i) Berecnen Sie den x-wert des Scnittpunktes für ein allgemeines m, und stellen Sie diese Bezieung als Funktion x = f(m) dar. ii) Berecnen Sie die Konditionszal des Problems aus i) an der gegebenen Stelle m. iii) Wie siet die tatsäclice Verstärkung des relativen Eingabefelers aus?
3) Ableitungsapproximation Die erste Ableitung einer Funktion f an einem Punkt x 0 ist definiert durc f (x 0 ) := lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) und kann durc den rectsseitigen Differenzenquotienten D f (x 0, ) := f(x 0 + ) f(x 0 ) für kleine positive Werte von numerisc approximiert werden. Dies gesciet auc oft in praktiscen Anwendungen, in denen es nict möglic oder zu aufwändig ist, die Ableitung auf analytiscem Weg zu bestimmen. Dabei stellt sic die Frage, wie man die sogenannte Scrittweite wält. Wält man sie zu groß, dann ist der Differenzenquotient aus analytiscen Gründen keine gute Näerung für die Ableitung. Wält man andererseits zu klein, so gilt f(x 0 + ) f(x 0 ), und bei der Auswertung von Formel (1) tritt Auslöscung auf. 60 50 Analytiscer Feler Numeriscer Feler Gesamtfeler (1) 40 30 20 10 0 10 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 Abbildung 1: Felerquellen bei der Ableitungsapproximation i) Leiten Sie mit Hilfe der Taylorformel f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) + 1 2! f (z) 2, z (x 0 ; x 0 + ) eine obere Scranke (abängig von der Mascinengenauigkeit ε Ma ) für den absoluten Feler err abs = f (x 0 ) rd ( D f (x 0, ) ) er. Berücksictigen Sie dabei sowol Rundungsfeler in den Eingabedaten f(x 0 ), f(x 0 + ) als auc bei der Berecnung von D f (x 0, ). ii) Verwenden Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe i), um in Abängigkeit von ε Ma anzugeben, wie eine optimale Scrittweite zu wälen ist, so dass der absolute Feler err abs minimiert wird.
4) Bildableitungen und -gradienten Eine typisce Anwendung des Differenzenquotienten stammt aus der Bildverarbeitung: die Suce nac Kanten bzw. Konturen in Bildern. Abbildung 2: Bildableitungen. Zur Veranscaulicung betracten wir eine Zeile des Graustufenbildes I in Abbildung 2. Darin äußern sic Kanten als große Untersciede der Intensitäten benacbarter Pixel, und lassen sic somit als Extrema der 1.Ableitung des Bildes auffassen. In dieser Aufgabe wollen wir grundlegende Konzepte zur Kanten-Findung basierend auf der Approximation der 1. und der 2. Ableitung näer betracten, und auf den vergrößerten Bildausscnitt in Abbildung 2 6 6 6 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 anwenden (der Abstand zweier benacbarter Pixel sei dabei 1). i) Berecnen Sie die 1. Ableitungen mit dem rectseitigen Differenzenquotienten I(x) x = lim I(x + ) I(x) x= 0 I(x + ) I(x) =1 = I(x + 1) I(x). ii) Leiten Sie durc zweimaliges Anwenden des zentralen Differenzenquotienten I(x) x I(x + ) I(x ) 2 mit = 1 eine Approximation der 2.Ableitung er und wenden Sie sie auf den Ausscnitt 2 in Abbildung 2 an. iii) Zeicnen Sie die eben berecneten Ableitungen als Grapen. Wie äußern sic darin die Kanten des Bildausscnittes?
iv) In der Praxis werden Bildgradienten und Bildableitungen als sogenannte Filter implementiert, welce Sie sic als Multiplikation einer Matrix auf den Vektor der Bildzeile vorstellen können. Leiten Sie einen einfacen 1D Filter zur Berecnung erster und zweiter Ableitungen er, d.. finden Sie eine Matrizen H 1, H 2, so dass das Produkt H i Bildzeile T den i-ten Ableitungen entsprict.
Zum Abscluss des Kapitels über Gleitpunktzalen, Rundung und Kondition ist nacfolgend eine Aufgabe aus einer Semestralklausur aufgefürt. Diese ist dazu gedact, dass man den Stoff noc einmal selbst üben kann. Sie wird desalb nict in der Übung beandelt. Wiederolung: Gleitpunktzalen, Rundung und Kondition Betracten Sie die Funktion f : IR IR, f(x) = ex e x. (2) 3 a) Die Formel (2) für die Funktion f(x) soll unter Anwendung von Gleitpunktaritmetik ausgewertet werden. Geben Sie den Term rd(f(x)) an, der alle Feler, die bei der Auswertung entsteen, berücksictigt. Die Negation eines Wertes x der Form neg(x) = x bewirkt keinen Rundungsfeler. Geen Sie von exakten Eingabedaten x aus. Linearisieren Sie, indem Sie Felerterme öerer Ordnung vernaclässigen. b) Berecnen Sie den relativen Rundungsfeler, der bei der Berecnung des Ergebnisses f(x) auftritt. Wie verält sic der relative Rundungsfeler für große x, d.. für x ±? Ist die Auswertung für alle x IR stabil? Begründen Sie Ire Antwort! c) Zeigen Sie, dass für die Kondition einer Funktion f cond(f, x) = x f (x) f(x) im Fall von Funktion (2) gilt: cond(f, x) = x e2x + 1 e 2x 1. Was lässt sic daraus für die Auswertung der Funktion (2) an der Stelle x = 0 folgern?