Klausur zur Statistik. Hinweis: Es können 94 Punkte erreicht werden. Zum Bestehen reichen 4 Punkte sicher aus.. Hinweis: Achten Sie darauf das Ihre Rechnungen nachvollziehbar sind und geben Sie alle Schritte Ihrer Rechnung an. 3. Hinweis: Die Aufgaben-Blatt müssen mit abgegeben werden, sonst ist die Klausur ungültig! (Außerdem werde ich sauer, wenn Sie die Aufgaben-Blätter entwenden!. 4. Hinweis: Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Aufgabe : Wenn Anton und Bruno Schach spielen, dann gewinnt Anton mit einer Wahrscheinlichkeit von, Bruno gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 und die restlichen Partien enden in einem Remis. Anton und Bruno spielen nun ein Turnier von 5 Partien. (a Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anton genau drei Partien gewinnt. (4 Punkte (b Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anton mehr als drei Partien gewinnt. (6 Punkte (c Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Turnier wie folgt verläuft: Anton gewinnt die ersten beiden Partien, Bruno gewinnt die nächsten beiden Partien und die letzte Partie endet in einem Remis. (4 Punkte Lösung: Die Zufalls-Größe A gebe die Anzahl der Partien an, die von Anton gewonnen werden, die Zufalls-Größe B gebe die Anzahl der von Bruno gewonnen Partien und die Zufalls-Größe R sei die Anzahl der Partien die Remis ausgehen. (a Die Wahrscheinlichkeit, dass Anton drei Partien gewinnt, ist ( ( 3 ( 5 P (A 5 4 3 3 3 8 4 5 6.35. (b Anton gewinnt dann mehr als drei Partien, wenn Anton entweder vier oder fünf Partien gewinnt. Also hat die Wahrscheinlichkeit den Wert ( ( 4 ( ( ( 5 ( 5 5 P (A > 3 + 4 5 ( 5 (5 + 6 3 3 6.875 (c Da wir die Ergebnisse der einzelnen Partien als voneinander unabhängig ansehen, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit durch eine einfache Multiplikation als ( ( ( 4 4 4 4 56.3965 %
Aufgabe : In einem Friseurladen werden an einem bestimmten Tag insgesamt 36 Kunden bedient. (a Kunden haben ein kommunistisches Parteibuch, (b 7 Kunden sind weiblich, (c 7 Kunden sind Studenten, die restlichen Kunden gehen einem ehrbaren Beruf nach, (d 6 Kunden sind weibliche Kommunisten, (e 5 Kunden sind kommunistische Studenten, (f 7 Kunden sind weibliche Studenten, (g Kunden sind weibliche Studenten, die ein kommunistisches Parteibuch besitzen. Der Friseurladen behandelt Frauen kostenlos, von allen anderen Kunden verlangt er Euro. Kommunisten und Studenten zahlen mit Falschgeld. Wieviel echtes Geld nimmt der Friseur an diesem Tag ein? ( Punkte Lösung: Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein. ( K: Menge der Kommunisten. ( F : Menge der Frauen. (3 S: Menge der Studenten. (4 A: Menge aller Kunden. (5 Z: Menge der Kunden, die mit echtem Geld zahlen. Bezeichnen wir die Anzahl der Elemente einer Menge M mit M, so gilt Z A K F S A K F S + K F + F S + K S K F S 36 7 7 + 6 + 5 + 7 8 Also nimmt der Friseur an diesem Tag 6 Euro ein.
Aufgabe 3: Zur Ermittelung der Noten würfelt ein BA-Dozent mit zwei Laplace-Würfeln. Es handelt sich dabei allerdings um Würfel, mit dem nur die Ziffern,, 3, 4 und 5 gewürfelt werden können. Die Note wird dann dadurch bestimmt, dass der Dozent das Produkt der gewürfelten Augenzahlen als Note heranzieht. Dabei ergeben Produkte, die größer als 5 sind, ebenfalls die Note 5. (a Geben Sie den Wahrscheinlichkeits-Raum für dieses Zufalls-Experiment an. (b Definieren Sie eine Zufalls-Größe N : Ω {,, 3, 4, 5} so, dass N(ω die Note angibt. (c Berechnen Sie für n,, 5 die Wahrscheinlichkeiten P (N n (4 Punkte (4 Punkte (6 Punkte Lösung: (a Wir definieren den Ergebnis-Raum Ω als Ω : { i, j i {,, 5} j {,, 5} } Weiter definieren wir die Wahrscheinlichkeits-Verteilung P auf der Potenz-Menge Ω als P ( A : A 5 Dann ist der Wahrscheinlichkeits-Raum durch das Tripel Ω, Ω, P gegeben. (b Die Zufalls-Größe N : Ω {,, 5} kann durch N ( i, j { i j falls i j 5; : 5 sonst definiert werden. (c Die einzelnen Noten werden bei den folgenden Ereignissen vergeben:. Das Ereignis A {, } liefert die Note.. Das Ereignis A {,,, } liefert die Note. 3. Das Ereignis A 3 {, 3, 3, } liefert die Note 3. 4. Das Ereignis A 4 {, 4, 4,,, } liefert die Note 4. Damit ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten.. P (N 5.4. P (N 5.8 3. P (N 3 5.8 4. P (N 4 3 5. 5. P (N 5 P (N P (N P (N 3 P (N 4.4.8.8..3.68 3
Aufgabe 4: Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre einen Näherungswert für den Ausdruck ( ( ( 4 Gehen Sie bei Ihrer Lösung in folgenden Schritten vor: (a Überlegen Sie, welche allgemeine Form der obige Ausdruck hat und prüfen Sie dann, wie sich die Formel von de Moivre in diesem Fall vereinfacht. ( Punkte (b Berechnen Sie nun einen Näherungswert für den oben angegebenen Bruch. ( Punkte Lösung: (a Die Formel von de Moivre lautet ( ( ( n k k π n n exp n n. In der vorliegenden Aufgabe sind nur Binomial-Koeffizienten der Form ( k k zu berechnen. In diesem Fall vereinfacht sich die Formel zu ( ( ( k k k k π k k exp k. k π k Der oben angegebene Ausdruck hat die Form ( k ( k k k ( 4 k k π k k π k k π k 4 k π k π k π k π k π k (b Für k gilt also ( ( ( 4 π k π.797884565 4
Aufgabe 5: Sie haben drei Kisten, die von außen alle gleich aussehen. Jeder dieser Kisten enthält zwei Schachteln, die ebenfalls äußerlich gleich sind. In der ersten Kiste enthalten beide Schachteln jeweils eine goldene Uhr. In der zweiten Kiste enthalten beide Schachteln jeweils eine silberne Uhr. In der dritten Kiste enthält eine Schachtel eine goldene Uhr, während die andere Schachtel eine silberne Uhr enthält. Angenommen, Sie wählen zufällig eine Kiste aus und öffnen anschließend zufällig eine der beiden Schachteln. Diese enthält eine silberne Uhr. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Schachtel in dieser Kiste eine goldene Uhr enthält? ( Punkte Hinweis: Bezeichnen Sie für i,, 3 das Ereignis, dass die i-te Kiste geöffnet wird, mit K i. Das Ereignis, dass die erste Schachtel, die geöffnet wird, eine silberne Uhr enthält, bezeichnen Sie mit S und das Ereignis, dass die zweite Schachtel eine goldene Uhr enthält, bezeichnen Sie mit G. Lösung: Für i,, 3 bezeichnen wir das Ereignis, dass die i-te Kiste geöffnet wird, mit K i. Weiter bezeichnen wir das Ereignis, dass die erste Schachtel, die geöffnet wird, eine silberne Uhr enthält, mit S und das Ereignis, dass die zweite Schachtel eine goldene Uhr enthält, bezeichnen wir mit G. Zunächst gilt P (K P (K P (K 3 3. Da in der ersten Kiste keine silberne Uhr ist, gilt P (S K. Da in der zweiten Kiste nur silberne Uhren sind, gilt P (S K. Da in der ersten Kiste eine goldene und eine silberne Uhr ist, gilt P (S K. Dass Ereignis G S kann nur dann eintreten, wenn wir die dritte Kiste auswählen. Also gilt G S K 3 S. Unsere Aufgabe ist es, die bedingte Wahrscheinlichkeit P (G S zu berechnen. Dabei hilft uns die Formel von Bayes: P (G S P (G S P (S P (S K 3 P (S P (S K 3 P (K 3 P (S K P (K + P (S K P (K + P (S K 3 P (K 3 3 3 + 3 + 3 + 3 Also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 3. 5
Aufgabe 6: Die Zufalls-Größe X : R [, π] habe die Wahrscheinlichkeits-Dichte p X (x sin(x. (a Berechnen Sie den Erwartungswert von X. (b Berechnen Sie die Varianz von X. (6 Punkte ( Punkte Hinweis: Hier lohnt es sich nicht, die moment-erzeugende Funktion zu berechnen. Lösung: (a Für den Erwartungswert erhalten wir E[X] x sin(x dx x sin(x dx partielle Integration: u(x x, v (x sin(x also: ( x cos(x π + ( ( π + sin(x π u (x, v(x cos(x cos(x dx π (b Die Varianz berechnen wir nach der Formel VarX E[X ] ( E[X] Wir müssen dazu lediglich noch E[X ] berechnen: E[X ] x sin(x dx partielle Integration: u(x x, v (x sin(x also: x cos(x π + π + u (x x, v(x cos(x x cos(x dx x cos(x dx partielle Integration: u(x x, v (x cos(x also: [ ] π π + x sin(x [ ] π π + cos(x π u (x, v(x sin(x sin(x dx 6
Also finden wir für die Varianz Var[X] π 4 π 4 π 7
Aufgabe 7: Die Zufalls-Größe X : [, ] [, ] habe für x die Wahrscheinlichkeits-Dichte p X (x λ exp( λ x (Für x < gilt natürlich p X (x. Dabei sei λ >. (a Berechnen Sie die moment-erzeugende Funktion M X (t. Die moment-erzeugende Funktion ist in diesem Beispiel nur für Werte t < λ definiert. (8 Punkte (b Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X mit Hilfe von Satz 8. (8 Punkte Lösung: (a Die moment-erzeugende Funktion ist definiert als M X (t E [ exp(t X ] λ exp(t x p x (x dx exp(t x λ exp( λ x dx exp ( (t λ x dx λ t λ exp( (t λ x λ t λ (b Wir berechnen Erwartungswert und Varianz unter Benutzung von Satz 8. Dazu definieren wir zunächst f(t : M X (t λ t λ Dann gilt f λ (t (t λ und f ( (t λ (t λ 3 Damit finden wir E[X] f ( λ λ λ Für die Varianz haben wir dann ( Var[X] f ( ( λ λ λ λ 8