Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte die Randwertaufgabe u = g in, u = γ. () Die äußere Normale n = n(x) R n existiere für x mit Ausnahme endlich vieler Punkte. genügt also den Voraussetzungen des Gaußschen Integralsatzes, d.h. für F C (, R n ) C(, R n ) gilt F (x) d = F n ds. Für ψ C(, R) sei D ψ = {u C(, R) : u = ψ}. Das Ritzsche Verfahren basiert auf einer Umformulierung der Randwertaufgabe () in ein Variationsproblem. Satz Für eine Funktion u C 2 () D γ sind paarweise äquivalent i) u löst das Problem () ii) u ist stationärer Punkt des Funktionals I(u) = 2 u 2 gu dx, wobei u C () D γ ist S
iii) u = u C () D γ erfüllt für alle v C () D 0. u v gv dx = 0 Bemerkung 2 u heißt stationärer Punkt eines Funktionals I : C () D γ R, wenn für alle v C () D 0. ε I(u + εv) ε=0 = 0 Bemerkung 3 Die Aussage ii) ist äquivalent damit, dass das Funktional I sein Minimum bei u annimmt. Man bezeichnet deshalb ii) als Variationsproblem und iii) als Variationsgleichung oder schwache Formulierung der Randwertaufgabe. Beweis: Zum Beweis benötigen wir die erste Greensche Formel v u n ds = v u + v u d, die sich aus dem Gauß schen Satz ableiten lässt. i) ii) Für v C () D 0 gilt ε I(u + εv) = ( ε 2 = ( ε = v u + ε v v g v d. ) ( u + ε v) ( u + ε v) g(u + εv) d 2 u u + ε v u + 2 ε2 v v gu εgv d ) Somit folgt ε I(u + εv) ε=0 = v u gv d. Also ist ε I(u + εv) ε=0 = 0 genau dann, wenn iii) gilt. i) iii) Multipliziere () mit einem v C () D 0 und integriere die dadurch erhaltene Gleichung über. Unter Benutzung der ersten Greenschen Formel ergibt sich die Gültigkeit von gv d = uv d = v u d v u n ds = v u d für alle v C () D 0. 2
iii) i) Es gilt umgekehrt genau dann, wenn gv v u d = 0 ( u g)v d = 0 für alle v C () D 0 erfüllt ist. Mit dem Variationslemma folgern wir u g = 0, d.h. i) gilt, da u C 2 () D 0. Wir können nun das Ritzsche Verfahren zur Lösung von () formulieren. Wähle ein u 0 C () D γ und Ansatzfunktionen u i C () D 0, i =,..., m. Mache das Funktional I : C () D γ R stationär bzgl. u u 0 + V, V = u,..., u n, d.h. finde ein u u 0 + V mit ε I(u + εv) ε=0 = 0 für alle v V. Dies ist äquivalent mit folgender Aufgabe: Finde ein ũ u 0 + V mit ũ v gv d = 0 (2) für alle v V. Die Gleichung (2) nennt man Galerkinsche Gleichung zur Randwertaufgabe (). Suche ũ in der Form ũ = u 0 + c j u j, c j R, j =,..., m. j= Es genügt, die Bedingung (2) auf einer Basis von V zu fordern. Wähle die Basis {u,..., u m }. Erhalte ( ) u 0 + c j u j u i gu i d = 0, i =,..., m, ( j= u 0 + j= ) c j u j u i gu i d = 0, i =,..., m, j= c j u j u j d = gu i u 0 u i d, i =,..., m. 3
Setzt man A ij = u j u j d und r i = gu 0 u 0 u i d, so ist letzteres mit folgender Gleichung äquivalent: A ij c j = r i, i =,..., m bzw. j= Ac = r mit A = (A ij ) i,j m R m,m und r = (r,..., r m ) R m in der Matrixform. Beim klassischen Ritzschen Verfahren wählt man glatte Ansatzfunktionen u i C () D 0, i =,..., m, die im allgemeinen auf dem ganzen Gebiet nicht verschwinden. A ist dann eine vollbesetzte Matrix. Bemerkung 4 Das Ritzsche Verfahren lässt sich auch auf andere Randbedingungen verallgemeinern. 2 Finite Elemente Methoden Finite Elemente Methoden unterscheiden sich in zwei Punkten von Ritzschen Verfahren. Die wesentlichen Abweichungen sind:. Es wird geringere Glattheit der Ansatzfunktionen vorausgesetzt. Dabei verwendet man schwächere Glattheitsbegriffe, wie etwa schwache Differenzierbarkeit und sogenannte Sobolevräume. Man ersetzt das Gebiet durch eine geeignete Approximation, z.b. durch eine Triangulierung Tn (falls R 2 ), indem man Tn = e e E n setzt, wobei E n eine Menge von Dreiecken ist. Je zwei Dreiecke e, e E n haben entweder eine Seite, oder einen Punkt oder nichts gemeinsam. Ferner definiert man V Tn = {u C( Tn ) u ist linear in x auf jedem Dreieck e E n und u = 0 auf Tn }. Bemerkung 5 Beachte, dass die Funktionen u V Tn nicht zu dem Raum C () gehören! Formal gilt also die Äquivalenz im Satz nicht mehr. Eine andere Äquivalenzaussage lässt sich aber zeigen, wenn die Variationsgleichung u v gv d = 0 4
für alle v H 0() gilt. Der Sobolevraum H 0() umfasst dabei den Raum V Tn. 2. Die Ansatzfunktionen besitzen einen lokalen Träger, d.h. sie verschwinden jeweils im größeren Teil des Gebietes Tn. Als Konsequenz haben wir, dass A dünn besetzt ist. 3 Etwas Theorie zur Finite Elemente Methode Sei ein beschränktes Gebiet. Definition 6 Für u : R heißt supp u = {x u(x) 0} Träger von u. Definition 7 C 0 () = {u C () supp u kompakt} ist der Raum der Testfunktionen. Letzterer Raum ist nicht leer, da insbesondere der Friedrichs sche Molifier (der Glättungskern) u ε ( x 0 ) für alle x 0 und ε < dist(x 0, ) in diesem Raum liegt, wobei { ( ) exp u ε (x) = ε2, x < ε ε n ε 2 x 2 0, sonst Definiere für u C (), v C0 () die Abbildung a(u, v) = u(x) v(x) dx. Setze ferner g, v = g(x)v(x)dx. Dies definiert ein Skalarprodukt auf C(). Eine klassische Lösung u C 2 () C() erfüllt also a(u, v) = g, v für alle v C0 (). Die Bilinearform a definiert auf C0 () ein Skalarprodukt, das eine Norm erzeugt, nämlich u a = ( /2 a(u, u) = u dx) 2. Mit bezeichnen wir im folgenden die übliche Norm in L 2 (). Der Raum C 0 () ist als Grundraum für die Gleichung a(u, v) = g, v zu klein, da im allgemeinen u C 0 (). Der Ansatz eines neuen Grundraums V ist: V := { u C() u existiert und ist stückweise stetig, u = 0 auf }. Das Ziel ist es, die Gleichung a(u, v) = g, v für alle v V zu erstellen. 5
Satz 8 Gültig sind die Aussagen. a : V V R ist ein Skalarprodukt 2. C 0 () liegt dicht in V bzgl a und Definition 9 u V heißt schwache (variationelle) Lösung von (), wenn a(u, v) = g, v für alle v V gilt. Lemma 0 Ist u eine klassische Lösung von (), so ist u auch eine schwache Lösung. Lemma Die variationelle Lösung stimmt mit der Lösung der Minimierungsaufgabe F (v) = 2 a(v, v) g, v = 2 v 2 gv dx min v V überein. Lemma 2 Die schwache Lösung ist eindeutig. Der Unterschied zwischen den Normen a und ist wesentlich, da sie auf V nicht äquivalent sind und damit verschiedene Konvergenzbegriffe erzeugen. Die normierten Räume (V, ) und (V, a ) sind nicht vollständig. Die Vollständigkeit ist aber essentiell, um die Minimierungsprobleme zu lösen! Vergrößere nun V nach dem Prinzip der Vollständigkeit ohne die bisherigen Ergebnisse zu verletzen. Definition 3 Es sei L 2 () = {u : R u meßbar, u 2 Lebesgue-integrierbar} mit dem Skalarprodukt u, v = u(x)v(x)dx versehen. Lemma 4 Ist u C k (), ϕ C0 (), α N n 0, α k, so gilt α uϕ dx = ( ) k u α ϕ dx. Dies motiviert die folgende Definition Definition 5 Für u L 2 () heißt v L 2 () (allgemeiner: u, v L loc ()) schwache oder verallgemeinerte Ableitung α u der Ordnung α von u, falls vϕ dx = ( ) α u α ϕdx für alle ϕ C 0 (). 6
Bemerkung 6 Ist u C k (), so besitzt u schwache Ableitungen α u, α k und diese stimmen mit den klassischen Ableitungen überein. Definiere W k () := {u L 2 () α u L 2 (), α k} mit dem Skalarprodukt u, v W k := α u, α v. α k Definition 7 W k () heißt ein Sobolevraum. Statt dieser Verallgemeinerung der klassischen Ableitung im schwachen Sinn ist auch eine Verallgemeinerung im starken Sinn möglich: Satz 8 Es gilt: W k () = H k (). H k () = C k () W k (). Die Räume H k () und W k () sind vollständig. Die richtige Wahl für V ist der Raum V = H 0() = {u H () u = 0 auf }. Bemerkung 9 Da die Elemente aus H 0() nicht stetig sein müssen, ist der Ausdruck u = 0 auf möglicherweise nicht definiert. Dieser lässt sich aber im schwachen Sinne erklären. Satz 20 Sei R n ein beschränktes Gebiet und sei stückweise glatt. Dann existiert eindeutig ein linearer stetiger Operator derart, dass Γ(u) = u für alle u C (). Γ : H () L 2 ( ) Man nennt Γ(u) ein Spuroperator oder verallgemeinerte Randwerte von u. Dann ist sinnvoll erklärt. H 0() = {u H () Γ(u) = 0} Bemerkung 2 Die Räume H 0() und W 0 () definiert man wie folgt H0() = C0 () W (), { W0 () = u H () F (L 2 ()) n, F L 2 () : u F d = } uf d. 7
Die schwache Formulierung von () mit γ = 0 lautet damit wie folgt. Gesucht ist ein u V = H 0() mit a(u, v) = b(v), v V wobei b(v) = g(x)v(x) dx. Ist γ 0, so ist u γ H0(). w = u γ sei die Lösung von w = g + γ. So löst u = w + γ die Gleichung u = g und erfüllt die Randbedingung u = γ. Es bleibt uns noch zu zeigen, dass die Anfangswertaufgabe () schwach lösbar ist. Dafür verwenden wir den Satz 22 Lax und Milgram Es sei H ein Hilbertraum und B(, ) eine Bilinearform auf H mit gilt. i) c > 0 : u, v H : B(u, v) c u v ii) p > 0 : u H : B(u, u) p u 2 Dann existiert für alle F H genau ein u H, so dass für alle v H F v = B(v, u) Bemerkung 23 Die Bedingungen i) und ii) heißen Stetigkeit bzw. Koerzitivität (in Numerik: H-Elliptizität). Die Schwarzsche Ungleichung besagt nun a(u, v) u v u H () v H (), u, v V. Die Poincarésche Ungleichung liefert a(u, u) = u 2 min{, c 2 } u 2 H (), u V, wobei c = c() > 0 die Poincarésche Konstante bezeichne. Wegen bv v g v g H () handelt es sich bei b um ein stetiges lineares Funktional auf V. Da a und b alle Voraussetzungen vom Satz 22 erfüllen, folgt es, dass die Randwertaufgabe eindeutig schwach lösbar in V ist, falls g L 2 (). 8