ANALYSIS FÜR INFORMATIKER ÜBUNGSBLATT WEIHNACHTSGESCHENK Dr. J. Giannoulis, M.Sc. S. Metzler, Dipl. Math. K. Tichmann WS 00/ Trainingseinheit 0 Sript Kartieren Sie grob die Inhalte des Sripts. Welche Werzeuge, Begriffe, Methoden finden sich wo? Halten Sie das Sript stets griffbereit. Trainingseinheit Konvergenz von Reihen a Welche Kriterien ennen Sie für den Nachweis, dass eine Reihe onvergiert? b Untersuchen Sie, für welche s R die folgende Reihe onvergiert: βs = =0 + s Wenn Sie zuvor a genau durchgegangen sind, sollte Ihnen ein bestens geeignetes Kriterium ins Auge springen. c Kennen Sie evtl. für ein spezielles s R bereits den Wert von βs? d Geben Sie im onvergenten Fall eine einfache Einschließung von βs an. e Können Sie den Weg zu dieser Einschließung so modifizieren, dass Sie die Stetigeit von βs urz begründen önnen? Für welche s? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem, was der allgemeine Satz aus 6.4 hergibt. f Bestimmen Sie den Grenzwert c = lim s βs. g Der letzte Punt lässt sich in der Form βs = c + o für s schreiben. Warum eigentlich? Präzisieren Sie den o-term, indem Sie das Fragezeichen in der folgenden asymptotischen Formel ausfüllen: βs = c + O? s. Trainingseinheit Kurvendisussion und Minima a Disutieren Sie den Verlauf der Funtion f x = ln + x für x > 0. Wo liegen die Maxima/Minima, wo wächst bzw. fällt die Funtion monoton, wo ist sie onvex, wo onav? b Bestimmen Sie die bestmögliche Konstante c 0, so dass für x, y, z > 0 mit x + y + z = gilt c + + +. x y z In welchem Fall gilt die Gleichheit? Hinweis. Warum beginnt diese Trainingseinheit wohl mit a? Welches Werzeug sollte Ihnen da im Zusammenhang mit Ungleichungen einfallen?
Trainingseinheit Kurvendisussion und Summenabschätzung a Disutieren Sie den Verlauf der Funtion f x = x ln x für x > 0. Wo liegen die Maxima/Minima, wo wächst bzw. fällt die Funtion monoton, wo ist sie onvex, wo onav? b Betrachten Sie die Folge τ n = / / / n /n n N. Geben Sie mit Hilfe der Integration eine einfache Einschließung von ln τ n an. Warum sind hierfür die Kenntnisse aus a wichtig? c Füllen Sie das Fragezeichen in folgender asymptotischen Entwiclung: ln τ n =? + O n. Trainingseinheit b Kurvendisussion Drücen Sie die Differenz f b f a durch die Ableitung f der Funtion aus. Verwenden Sie dazu den Hauptsatz und die Mittelwertsäze und vergleichen Sie Voraussetzungen und Ergebnisse. Trainingseinheit 4 Nullstellen von Polynomen Wenn x 0 R Nullstelle des nichtonstanten Polynoms p R[x] ist, so gibt es ein n N mit px = x x 0 n qx, qx 0 = 0, wobei q R[x]; n heißt dann die Vielfachheit der Nullstelle. a Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen den Werten qx 0 und p n x 0 her, indem Sie sich beispielsweise überlegen, wie Sie px qx 0 = lim x x0 x x 0 n auswerten önnten. Geben Sie auch eine ganz urze Begründung, warum diese Gleichung für qx 0 überhaupt gilt. Kommt Ihnen das nicht beannt vor? Halt: Schauen Sie nicht nur in ß7. nach, sondern vor allen in ß0.. Sehen Sie den Zusammenhang jetzt auf einen Blic? b Berechnen Sie die Werte p x 0, p x 0,..., p n x 0. Wer hier viel rechnet, hat in a nicht gründlich nachgedacht. Trainingseinheit 5 Genauigeiten a Schätzen Sie ab, wie groß n gewählt werden muss, damit + n n e auf m Dezimalziffern orret ist. Drücen Sie n asymptotisch als möglichst einfache Funtion von m aus. b Wiederholen Sie die Überlegungen aus a für +! +! + + n! e. c Finden Sie eine einfache rationale Approximation von sin und geben Sie auch hier den asymptotischen Zusammenhang zwischen Aufwand und Anzahl der orreten Dezimalziffern an.
Trainingseinheit 6 Ungleichungen und Asymptoti a Zeigen Sie für die absteigende Fatorielle n = nn n + n, N die folgende Einschließung: n n n n exp n. In welchem Sinne ist die untere Abschätzung in der oberen als erste Näherung enthalten? Bei erster Näherung sollte Ihnen die Taylor-Entwiclung einfallen. b Erlären Sie genau, wie man aus a die folgende Asymptoti erhält: n = n n + O 4 n n, N. Dabei bedeutet g, n = O 4 n dass es eine Konstante c > 0 gibt mit g, n c 4 n n, N, n, N. c Wie sehen die entsprechenden Ergebnisse Einschließung und Asymptoti für die aufsteigende Fatorielle aus? n = nn + n + n, N Trainingseinheit 7 Anwendungen des Integrals a Leiten Sie durch vollständige Indution und partielle Integration die Formel sinπx = πx n = x In x I n 0 im Buch von Herrn Bornemann Formel 9.9 für alle n N 0 her, wobei für x R und n N 0 gilt. I n x := π/ 0 cosxt cos n tdt b Folgern Sie aus a durch logarithmisches Differenzieren für x / Z. π cotπx = n x + = x + + x + I n x I n x Lösung Trainingseinheit. a Beannte Kriterien sind das Majoranten-, Wurzel-, Quotienten-, Leibnizriterium und der Integralvergleich.
b Die Reihe βs ist aufgrund ihrer Konstruiton eine Leibnizreihe und onvergiert genau dann falls + s 0 für. Somit ist βs für s > 0 onvergent und für s 0 divergent. Im Fall s > ist die Riemannsche ζ-funtion eine Majorante für β. Somit ist βs für s > sogar absolut onvergent. c Für s = erennen wir mit βs = die Leibniz sche Reihe. =0 + = + 5 + = π 4 d Da βs eine Leibnizreihe ist folgt daraus sofort die Einschließung β s β s β n+ s βs β n s β s β 0 s, wobei β n s = n =0 ist. + s e Für eine Folge s > 0 mit lim s = s folgt nun lim β n+ s = β n+ s lim βs β n s = lim β n s Somit folgt die Stetigeit von β mit lim β n n+ s = βs lim βs βs = lim β n n s f Wegen der Stetigeit von β folgt nun lim βs = s lim s + =0 s = [ = 0] =. =0 g Der Ausdruc βs = c + o bedeutet ja βs c 0 für s. Dies ist gleichbedeutend mit c = lim s βs. Die Asymptoti berechnet sich dann wie folgt βs = = + s = Mit ζs = + O s folgt nun für s + s = + s = βs = + O s + O4 s = + O s = s = s s = s ζs. = Lösung Trainingseinheit. a Wir haben f x = ln + x und somit f x = x + x < 0 für x > 0. Weiter gilt f x = x + x + x > 0 für x > 0. Somit ist f im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend und onvex. b Die Funtion f x = lnx + x ist onvex und somit ann man die Jensensche Ungleichung anwenden. Wir wählen hierfür p = / für =,, und x = x, x = y und x = z. Die Ungleichung liefert nun ln 4 = ln + = f / = f x + y + z/ = /
f = p x p f x = = ln + x + ln + y + ln + z Da die exp-funtion streng monoton wachsend ist, ann man diese auf die Ungleichung anwenden und erhält somit das gewünschte Ergebnis 4 + + +, x y z wobei Gleichheit für x = y = z = / gilt. Lösung Trainingseinheit. a Wir haben f x = x lnx und somit f x = x lnx. Weiter ist f x = x lnx. Somit ist f streng monoton wachsend für x 0, e und streng monton fallend für x e,. Weiter ist f streng onav für x 0, e und streng onvex für x e,. b Es ist ln τ n = n = ln /. Da für x > e die Funtion f streng monoton fallend ist gilt n n n f x dx f f x dx + f + f n = und somit ln + ln / + n x lnx dx lnτ n n x lnx dx + ln / + ln n/n + ln + ln / c Nun ist n x lnx dx = [ ln x / ] n = ln n / ln /, womit wir lnτ n = erhalten. n x lnx dx + O = ln n / ln / + O = ln n / + O Lösung Aufgabe b. Mit den eingeschränten Voraussetzungen, die in der Vorlesung gemacht wurden, liefert uns der Hauptsatz für stetig - differenzierbares f die erste Gleichheit in f b f a = b a f xdx = f ξb a, und der Mittelwertsatz der Integralrechnung die zweite Gleichheit mit einem ξ [a, b]. Ist f wenigstens differenzierbar, so liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung mit einem ξ a, b. Lösung Trainingseinheit 4. f b f a = f ξb a
a Jedes Polynom p R[x] mit degp = d lässt sich eindeutig bezüglich der Basis x x0 darstellen. Andererseits liefert die endliche Taylorreihe von p =0,...,d um den Entwiclungspunt x 0 die Darstellung px = d =0 p x 0 x x! 0 = d =n p x 0! x x 0 = x x 0 n d =n p x 0 x x! 0 n, wobei das zweite Gleichheitszeichen aufgrund der Vorraussetzung gilt, denn x 0 ist eine n-fache Nullstelle von p. Aus der letzten Darstellung sieht man, dass qx = d p x 0 =n! x x 0 n gilt und somit folgt qx 0 = pn x 0 n! b Aus der obigen Darstellung von p liest man p x 0 = p x 0 =... = p n x 0 = 0 ab. Lösung Trainingseinheit 5. a Aus der Vorlesung wissen wir, dass + n = e n n + 4n 7 6n + On 4. Wollen wir nun m Dezimalstellen berechnen, so müssen wir fordern, dass der Fehler leiner ist als 0 m+. Man muss also bis zu einem n mit rechnen. b Aus der Vorlesung wissen wir, dass n 4 0 m+ n 0 m+/4 +! +! + + n! e n! Wollen wir nun m Dezimalstellen von e mittels dieser Formel berechnen, so önnen abbrechen, sobald n! 0 m+ n! 0 m+ Für n > 0 gilt n! > 0 n+ und somit benötigit man asymptotisch für m Dezimalziffern höchstens m Reihenglider. Schätzt man n! mit der Stirlingschen Formel ab, so ann die Schrane noch verbessert werden. c Analog wie für die exp-funtion schätzt man für sin folgendermaßen ab:! + 5! ± n! sin n +! Diese Abschätzung folgt auch diret aus der Einschließung von sin mittels der Partialsummen, da die zugehörige Reihe alternierend ist. Will man nun m Dezimalstellen von sin mittels dieser Formel berechnen, so ann man die Berechnung abbrechen sobald n +! 0 m+ n +! 0 m+ gilt. Wie oben ann man für n > 5 wieder folgern, dass n +! > 0 m+ gilt. Somit benötigt man asymptotisch m/ viele Reihenglieder um sin auf m Dezimalstellen genau auszurechnen.
Lösung Trainingseinheit 6. a Die Einschließung zeigen wir per Indution über N: IA: = IS: + n n n n exp n mit n + = n n n n n = n + n n = n + + n + n + n + + n = n + n + + + = = = + = + n + = n n n exp n n = n + exp n + n n + exp n exp n = n + exp + n + = n + exp n Die untere Schrane ist in der oberen enthalte, wie die exp-reihe zeigt: n exp n = n j! j=0 j n = n n ± b Ein Blic auf die exp-reihe in a zeigt, dass die exp-reihe für das speziell gewählte Argument alterniert, somit liefert uns das Leibnizriterium sofort eine Einschließung wie folgt n n n n exp n n n +! n Mit folgt g, n =! n = 8 n = O 4 n n = n n + O 4 n c Wenn man die nachstehende Identität nutzt n = n +,
lassen sich die obigen Resultate wiederverwenden. n + n + n n+ n n n n+ exp n n + n = n n+ n + On + 4 n Lösung Trainingseinheit 7. Siehe Anhang.