Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik Thomas Püttmann Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe : Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz und das Gesetz von De Morgan durch Mengendiagramme. A (B C) = (A B) (A C) A B = A B Aufgabe : Gegeben sind die Mengen A = {a, b, c, d} und B = {,,, }. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B. b d a c Aufgabe : Entscheiden Sie, welche der folgenden Relationen der Menge {,, } eine Äquivalenzrelation ist und welche nicht. Begründen Sie Ihre Antwort. - - - Geben Sie im Fall einer Äquivalenzrelation die Äquivalenzklassen an. Aufgabe : Welche der folgenden Funktionen [, ] [, ] ist injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv? - - - Geben Sie für jede Funktion näherungsweise das Bild von [, ] und das Urbild von y =. an. Aufgabe : Gegeben sind die Mengen A = {,, }, B = {a, b, c} und C = {, }. Die Abbildungen f : A B und g : B C sind definiert durch Graph f = {(, b), (, b), (, c)} und Graph g = {(a, ), (b, ), (c, )}. Geben Sie den Graphen der Verknüpfung g f : A C an und stellen Sie die Situation graphisch dar.
Logik Aufgabe 6: Welche der folgenden Verknüpfungen ist immer wahr? a) A A b) A A c) ( A) A d) (A B) ( A B) Aufgabe 7: Erstellen Sie die Wahrheitswertetabelle für A ( B C). Aufgabe 8: Geben Sie eine möglichst einfache Verknüpfung der Aussagenvariablen A, B und C mit, und an, die folgende Wahrheitswerte annimmt: A F F F F W W W W B F F W W F F W W C F W F W F W F W? F F F W F W W F Aufgabe 9: Beweisen Sie den Kontrapositionssatz (A B) ( B A), das Distributivgesetz A (B C) (A B) (A C) und das de Morgansche Gesetz A B (A B) mit Wahrheitswertetabellen. Aufgabe : Zwei elektrische Leitungen A und B führen logische Signale ( V = F, V = W). Verdrahten Sie das NAND IC 7 so, daß auf einer abgehenden Signalleitung A B entsteht. Aufgabe : a) Schreiben Sie die Aussage Ist eine reelle Zahl, so ist das Quadrat von größer gleich Null mit möglichst vielen Symbolen. b) Ergänzen Sie die kurzgefaßte Aussage > < durch Quantifizieren zu einer vollen Aussage und formulieren Sie einen entsprechenden deutschen Satz. Aufgabe : Negieren Sie die folgenden Aussagen: a) Die Quadrate aller reellen Zahlen sind nicht negativ. b) Es gibt eine reelle Zahl größer als. c) Am Dienstag oder am Mittwoch scheint die Sonne. Aufgabe : Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Aussageformen: a) > 9, wobei R. b) y = und + y =, wobei, y R. c) p ist Primzahl und p <.
Binärzahlen Aufgabe : a) Wandeln Sie die Zahlen und ins Dezimalsystem. b) Wandeln Sie die Zahlen 97 und ins Binärsystem. c) Wandeln Sie die 97 in eine 8-stellige Binärzahl (Zweierkomplement). Aufgabe : Berechnen Sie schriftlich im Binärsystem: a) + b) c) : Überprüfen Sie die Ergebnisse, indem Sie ins Dezimalsystem wandeln. Rechengesetze und Ungleichungen Aufgabe 6: Vereinfachen Sie oder fassen Sie die Ausdrücke zusammen: a) n 7 n b) ( ) m m c) (a + b) ab d) n n+. Aufgabe 7: Schreiben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen als Vereinigung von Intervallen: a) +, b) < +, c) > 9. Aufgabe 8: Beweisen Sie, daß y y für alle, y R gilt. Aufgabe 9: Geben Sie für jede der folgenden Mengen das Supremum und das Infimum an und ob es sich dabei um ein Maimum oder Minimum handelt: a) { } ], [, b) { n n N}, c) {( ) n n N}, d) { n n N}. Aufgabe : Beweisen Sie die Schwarzsche Ungleichung (a +... + a n)(b +... + b n) (a b +... + a n b n ), indem Sie die Differenz beider Seiten bilden und die beim Auflösen der Klammern entstehenden Terme geeignet zusammenfassen. Welche Bedingung erfüllen die Zahlen im Gleichheitsfall? Arithmetische und geometrische Summen und Mittelwerte Aufgabe : Berechnen Sie a) k= k, b) 7 k= k c) k= ( )k d) k= k Aufgabe : Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen und a und b, die verschieden sein sollen. Wenn ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt vorliegt, ist dann dessen Seitenlänge c größer oder kleiner als a+b?
Geraden, Steigung, Monotonie, Umkehrfunktion Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Steigung und den y-achsenschnitt der Geraden durch die Punkte ( ) und ( ). b) Bestimmen Sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden, die durch die Gleichung + y = gegeben ist. Wie groß ist die Steigung dieser Geraden? c) Gegeben sind zwei Geraden f() = a + b und g() = c + d. Wie groß ist die Steigung der Geraden g f? Aufgabe : Gegeben ist eine Funktion f : [, ] R, deren Graph so aussieht: - - - - - - - a) Markieren Sie die Intervalle, auf denen die Funktion f streng monoton fällt, und die zugehörgen Bildmengen. b) Skizzieren Sie zu jedem Intervall I aus a) die Umkehrfunktion (f I ) der Funktion f I : I R in einem separaten Koordinatensystem. c) Bestimmen Sie die näherungsweise die Steigung in =, =, = und =. d) Markieren Sie die Punkte auf dem Graphen, an denen die Steigung ist. e) Markieren Sie die Punkte auf dem Graphen, an denen die Steigung ist. Aufgabe : Zeichnen Sie die Umkehrfunktion der bijektiven Funktion aus Aufgabe.
Trigonometrie Aufgabe 6: Berechnen Sie die fehlenden Dreiecksgrößen: a) a = cm, b = cm, c = cm, b) b = cm, c = cm, α =, c) a = cm, β =, γ = 8. Aufgabe 7: Leiten Sie die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β für α, β < 9 her, indem Sie den Cosinussatz auf das Dreieck anwenden. Folgern Sie mit Hilfe der Identitäten cos β = cos( β) = cos(β + 8 ), sin( β) = sin(β) = sin(β + 8 ) die Gültigkeit der Additionstheoreme für alle Winkel. Aufgabe 8: Berechnen Sie mit den Additionstheoremen und den Näherungsformeln sin, cos für kleine Winkel im Bogenmaß die Werte sin 6 und cos 6 näherungsweise. Aufgabe 9: An einem geraden Flußufer liegen zwei Orte A und B. Ein Punkt C liegt auf der anderen Seite. Der Abstand zwischen A und B ist m. Die Winkel A (C, B) und B (A, C) sind 7 bzw. 8. Bestimmen Sie die Breite des Flusses durch eine maßstabsgetreue Zeichnung und durch Anwenden trigonometrischer Formeln. Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Aufgabe : Eine Kugel mit Radius r wird auf einen horizontalen Ständer aus Streben gelegt, die ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a bilden. Wie hoch befindet sich der Kugelmittelpunkt über dem Ständer? Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen Aufgabe : Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen a) f() = sin( + π ) +, b) g() = cos( π ), c) h() = tan(( π )) Aufgabe : Schreiben Sie die Funktion, die der Graph darstellt, in der Form f() = A sin(a + b) + C.,, -, - -, - -, - -, - -, - -, - -,,,,,,
Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Satz vom Maimum Aufgabe : Beweisen Sie mit der ε, δ-definition, daß die Funktionen f() = 6 und g() = + stetig in = sind. Sind auch f + g, f g, f g und g/f stetig in =? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f() = + 6. An welchen Stellen der reellen Achse ist die Funktion f nicht definiert? Kann man f in eine dieser Stellen hinein stetig fortsetzen? Falls ja, geben Sie die stetige Fortsetzung von f an. Aufgabe : Begründen Sie ausführlich, warum die Gleichung eine Lösung mit < < besitzt. + = Aufgabe 6: Berechnen Sie eine Lösung der Gleichung sin =. mit dem Intervallhalbierungsverfahren bis auf eine Stelle hinter dem Komma. Aufgabe 7: Welche der folgenden Funktionen besitzen ein globales Maimum? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich! a) f() = auf [, ], b) f() = / auf ], π/], c) f() = cos auf ], [, d) f() = tan auf [π/, π/]. Differenzierbarkeit Aufgabe 8: In welchen R ist die Funktion f() = sin Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich! differenzierbar?
Ableitungsregeln Aufgabe 9: Die folgenden beiden Abbildungen zeigen die Graphen einer Funktion f (oben) und einer Funktion g (unten). a) Berechnen Sie näherungsweise (f + g) (), (f g) (), (f/g) (), (g f) (, 8) und (g f) (), indem Sie die erforderlichen Steigungen mit einem Spiegellineal ermitteln. b) Auf dem Intervall [, ] besitzt f eine Umkehrfunktion f, da f streng monoton fällt. Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Umkehrfunktion f in y =. - - - - - - - - - - - - - - Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f() = sin. a) Zeigen Sie, daß die Funktion f() = sin auf dem Intervall [, π ] streng monoton steigt. b) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion f in y = sin. Finden Sie dazu zunächst, so daß f( ) = y. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in =. d) Bestimmen Sie näherungsweise Stellen, an denen die Tangente horizontal ist. Wieviele solche Stellen gibt es?
Flächeninhalt und Integration Aufgabe : Bestimmen Sie näherungsweise den Flächeninhalt der folgenden Menge: - - - - - - - Aufgabe : Bestimmen Sie näherungsweise f()d, wenn f durch den folgenden Graphen beschrieben ist: - - - - - - - Aufgabe : Bestimmen Sie die folgenden Integrale, indem Sie den Graphen des Integranden zeichnen und geometrische Überlegungen anstellen: a) a sin d, a b) π cos d, c) r r r d. Aufgabe : Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f() = (sin )e cos.
Logarithmus und Eponentialfunktion Aufgabe : Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f() = ln( 6). Hinweis: Es handelt sich um eine verschobene Kopie des Graphen von ln. Aufgabe 6: Schätzen Sie log 6 und log 6 möglichst gut ohne technische Hilfsmittel ab und vergleichen Sie die Ergebnisse anschließend mit dem, was Taschenrechner und Rechenschieber angeben. Aufgabe 7: Vereinfachen Sie log 8 und log. Aufgabe 8: Chinas Bevölkerung wächst jährlich um.6%. Wie lange dauert es bei dieser Wachstumsrate, bis sich die Bevölkerung verdoppelt hat? Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen a) f() = a, b) f() =, c) f() = log a, d) f() = ln cos, e) f() =. Aufgabe : Beweisen Sie das Gesetz ln a = a ln und das Gesetz ( a ) b = ab. Komplee Zahlen Aufgabe : Schreiben Sie die komplee Zahl i in der Form r e iϕ. und bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der kompleen Zahl e i. Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) i 7, b) e iπ/ + e iπ/, c) (cos + i sin ) 6. Aufgabe : Faktorisieren Sie das Polynom p(z) = z z + 6z. Aufgabe : Berechnen Sie die Summe n k= ekπi/n. Aufgabe : Skizzieren Sie die Menge {z C z = z + }. Aufgabe 6: Gegeben sind die Abbildung f(z) = z und die unten dargestellte Menge G in der kompleen Zahlenebene. Zeichnen Sie das Bild f(g). - - - - G - - - -