Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie

Graphentheorie Inhalt 3.1 3.1 Grundlagen 3.2 3.2 Das Das Königsberger Brückenproblem 3.3 3.3 Bäume 3.4. 3.4. Planare Graphen 3.5 3.5 Färbungen Seite 2

3.1 Grundlagen Definition. Ein Ein Graph besteht aus aus Ecken und und Kanten; dabei verbindet jede jede Kante genau zwei zwei Ecken; je je zwei zwei Ecken können durch keine, eine eine oder oder mehr mehr als als eine eine Kante verbunden sein. sein. Beispiele: Seite 3 Anwendungen Städteverbindungen: Ecken = Städte, Kanten = Straßen. Typische (und (und schwere) Frage: Wie Wie kann kann man man eine eine Rundreise kürzester Länge finden? ( Travelling Salesman Problem ). Chemische Moleküle: Ecken = Atome, Kanten = Verbindungen. Wichtige Frage (die (die zur zur Entwicklung der der Graphentheorie entscheidend beigetragen hat): hat): Gegeben eine eine Summenformel (z.b. (z.b. C n H n 2n+1 OH), 2n+1 OH), wie wie viele viele verschiedene Strukturformeln gibt gibt es es dazu? Soziogramme: Ecken = Personen einer einer Gruppe, Kanten = Beziehungen zwischen den den Menschen (z.b. (z.b. bekannt sein sein mit ). mit ). Seite 4

Vollständige Graphen Definition. Ein Ein Graph heißt heißt vollständig, wenn jede jede Ecke Ecke mit mit jeder jeder anderen durch genau eine eine Kante verbunden ist. ist. Das Das heißt, bei bei einem vollständigen Graphen sind sind je je zwei zwei Ecken verbunden, aber aber nur nur durch eine eine Kante. Der Der vollständige Graph mit mit n Ecken wird wird mit mit K n bezeichnet. n Beispiele: K 1 K 1 2 K 2 3 K 3 4 K 4 5 5 Seite 5 Zusammenhängende Graphen Definition. Ein Ein Graph heißt heißt zusammenhängend, wenn man man von von jeder jeder Ecke Ecke zu zu jeder jeder anderen über über eine eine Folge von von Kanten kommen kann. Das Das bedeutet: Ein Ein Graph ist ist zusammenhängend, wenn er er nicht nicht in in mehrere Teile Teile zerfällt. Beispiel: zusammenhängend unzusammenhängend Seite 6

Grad einer Ecke Definition. Der DerGrad einer einer Ecke Ecke ist ist die die Anzahl der der Kanten, die die von von dieser Ecke Ecke ausgehen. Beispiele: a) a) Der Der Grad Grad einer einer Ecke Ecke ist ist gleich 0, 0, falls falls von von ihr ihr keine Kante ausgeht. b) b) In In dem dem vollständigen Graphen K n hat n hat jede jede Ecke Ecke den den Grad Grad n 1, n 1, da da sie sie mit mit jeder jeder der der n 1 n 1 anderen durch genau eine eine Kante verbunden ist. ist. Im Im allgemeinen haben die die Ecken eines Graphen verschiedene Grade. Beispiel: Seite 7 3.2 Das Königsberger Brückenproblem Dem Dem Mathematiker Leonhard Euler wurde 1736 1736 folgendes Problem gestellt, das das ihn ihn zur zur Entwicklung der der ge- Graphentheorie geführt hat. hat. Durch Königsberg fließt fließt die die Pregel, die die sich sich teilt teilt und und zwei zwei Inseln umfließt. Diese sind sind untereinander und und mit mit den den Ufern wie wie abgebildet durch Brücken verbunden. Frage: Gibt Gibt es es einen Spaziergang, der der jede jede Brücke genau einmal überquert und und bei bei dem dem man man zum zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Seite 8

Übersetzung der Karte in in einen Graphen Jedem Landteil wird wird eine eine Ecke Ecke zugeordnet: Jede Jede Brücke wird wird mit mit einer einer Kante identifiziert: Aus Aus der der Landkarte erhält man man so so den den folgenden Graphen: Seite 9 Übersetzung des Problems (I): Eulersche Kreise Definition. Sei Sei G ein ein Graph. Eine Eine Folge k 1, 1, k 2,..., 2,..., k s von s von Kanten von von G heißt heißt Kantenzug, falls falls es es Ecken e 0, 0, e 1, 1,..., e s gibt, s gibt, so so dass dass die die Kante k 1 die 1 die Ecken e 0 und 0 und e 1 verbindet, 1 die die Kante k 2 die 2 die Ecken e 1 1 und und e 2 verbindet, 2...,..., die die Kante k s die s die Ecken e s 1 und s 1 und e s verbindet. s e 1 e 0 k 1 k 2 k s e 2 e s-1 e s Ein Ein Kantenzug heißt ein ein eulerscher Kreis von von G, G, wenn jede jede Kante von von G genau einmal unter unter den den k 1, 1, k 2,..., 2,..., k s auftaucht s und und e s = s e 0 ist. 0 ist. Seite 10

Übersetzung des Problems (II): Eulersche Graphen Definition. Ein Ein eulerscher Graph ist ist ein ein Graph, der der einen eulerschen Kreis enthält. Mit Mit anderen Worten: Ein Ein Graph ist ist eulersch, wenn man man --seine Kanten in in einem Zug Zug zeichnen kann kann und und --am am Ende wieder am am Ausgangspunkt anlangt. Beispiel: K 5 ist 5 ist eulersch: Seite 11 Lösung des Königsberger Brückenproblems Der Der gesuchte Spaziergang, der der jede jede Brücke genau einmal überquert und und zum zum Startpunkt zurückkehrt, entspricht einem eulerschen Kreis. Die Die Frage lautet also: also: Ist Ist der der Graph des des Königsberger Brückenproblems eulersch? 3.2.1 3.2.1 Satz Satz von von Euler (1736): Wenn ein ein Graph G eulersch ist, ist, dann dann hat hat jede jede Ecke Ecke von von G geraden Grad. Damit gelang Euler die dielösung des des Königsberger Brückenproblems: Der Der Graph des des Problems hat hat Ecken vom vom Grad Grad 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5. 5. Also Also ist ist er er nicht nicht eulersch. Ein Ein solcher Spaziergang ist ist nicht nicht möglich! Seite 12

Beweis des Satzes von Euler Beweis. Wir Wir betrachten eine eine beliebige Ecke Ecke e von von G. G. Der Der eulersche Kreis Kreis durchquert die die Ecke Ecke e einige Male, sagen wir wir a mal. mal. Behauptung: Der Der Grad Grad der der Ecke Ecke e ist ist gleich 2a, 2a, also also eine eine gerade Zahl. Zahl. Denn: Bei Bei jedem Durchgang durch e verbraucht der der eulersche Kreis Kreis 2 Kanten; in in a Durchgängen werden also also 2a 2a Kanten erfasst. Da Da keine Kante zweimal benutzt wird, wird, ist ist der der Grad Grad von von e also also mindestens gleich 2a. 2a. Der Der Grad Grad kann kann aber aber auch auch nicht nicht größer sein, sein, da da jede jede Kante (also (also auch auch jede jede Kante, die die an an e angrenzt) in in dem dem eulerschen Kreis Kreis mindestens einmal vorkommt. Damit ist ist der der Grad Grad von von e wirklich gleich 2a, 2a, also also eine eine gerade Zahl. Zahl. Seite 13 Umkehrung des Satzes von Euler Es Es gilt gilt auch auch Umkehrung: 3.2.2 3.2.2 Umkehrung des des Satzes von von Euler. Wenn in in einem zusammenhängenden Graphen G jede jede Ecke Ecke geraden Grad Grad hat, hat, dann dann ist ist G eulersch. 3.2.3 3.2.3 Folgerung: Jeder vollständige Graph K n mit n mit ungeradem n (also (also K 3, 3, K 5, 5, K 7, 7,..., K 2005, 2005,...) ist ist eulersch. Beweis. Jede Jede Ecke Ecke von von K n hat n hat den den Grad Grad n 1. n 1. Wenn n ungerade ist, ist, ist ist n 1 n 1 gerade. Seite 14

Offene eulersche Linien Definition. Eine Eine offene eulersche Linie ist ist ein ein Kantenzug, --der der jede jede Kante genau einmal durchquert, --und und die die Anfangsecke verschieden von von der der Endecke ist. ist. Also Also kann kann ein ein Graph genau dann dann in in einem Zug Zug gezeichnet werden, wenn er er einen eulerschen Kreis oder oder eine eine offene eulersche Linie Linie besitzt. Beispiel: 3.2.4 3.2.4 Satz. Ein Ein zusammenhängender Graph besitzt genau dann dann eine eine offene eulersche Linie, wenn er er genau 2 Ecken ungeraden Grades besitzt. Wenn dies dies der der Fall Fall ist, ist, so so beginnt die die offene eulersche Linie Linie an an der der einen Ecke Ecke ungeraden Grades und und endet an an der der anderen. Seite 15 Beweis der Hinrichtung Beweis. Wir Wir müssen zwei zwei Richtungen zeigen. 1. 1. Richtung: Wenn G eine eine offene eulersche Linie Linie hat, hat, dann dann gibt gibtes es genau 2 Ecken mit mit ungeradem Grad. Wir Wir betrachten eine eine offene eulersche Linie, die die von von a nach nach e führt. führt. Trick: Wir Wir denken uns uns eine eine zusätzliche Kante k* k* zwischen a und und e. e. Dann wird wird aus aus der der offenen eulerschen Linie Linie eine eine geschlossene. Nach Nach dem dem Satz Satz von von Euler hat hat dann dann also also jede jede Ecke Ecke geraden Grad. Nun Nun vergessen wir wir k* k* wieder. Jede Jede Ecke Ecke verschieden von von a und und e hat hat dann dann immer noch noch geraden Grad, während sich sich der der Grad Grad von von a und und e jeweils um um 1 erniedrigt hat, hat, also also jetzt jetzt ungerade ist. ist. Also Also sind sind a und und e die die einzigen Ecken mit mit ungeradem Grad. Seite 16

Beweis der Rückrichtung 2. 2. Richtung: Wenn G genau 2 Ecken mit mit ungeradem Grad Grad hat, hat, dann dann gibt gibt es es eine eine offene eulersche Linie. Sei Sei G ein ein zusammenhängender Graph, der der genau zwei zwei Ecken a und und e ungeraden Grades besitzt. Trick: Wir Wir denken uns uns eine eine zusätzliche Kante k* k* zwischen a und und e. e. Diese hat hat den den Effekt, dass dass jetzt jetzt jede jede Ecke Ecke geraden Grad Grad hat. hat. Nach der der Umkehrung des des Satzes von von Euler hat hat der der Graph mit mit der der Kante k* k* eine eine geschlossene eulersche Linie. Wenn wir wir k* k* wieder vergessen, wird wird aus aus der der geschlossenen eulerschen Linie Linie eine eine offene mit mit der der Anfangsecke a und und der der Endecke e. e. Also Also hat hat G eine eine offene eulersche Linie. Seite 17 Bsp.: Gibt es es offene Spaziergänge durch Königsberg? Der Der Graph des des Königsberger Brückenproblems hat hat vier vier Ecken ungeraden Grades. Also Also enthält er er auch auch keine offene Linie. Es Es gibt gibt also also keinen Spaziergang durch Königsberg, der der jede jede Brücke genau einmal überquert selbst wenn der der Startpunkt verschieden vom vom Endpunkt sein sein darf. darf. Seite 18

3.3 Bäume Definition. Ein Ein Baum ist ist ein ein Graph, der der zusammenhängend ist ist und und keinen Kreis enthält. Beispiel: Alle Alle Bäume mit mit höchstens fünf fünf Ecken sind: sind: Bemerkung: Wir Wir betrachten nur nur Bäume mit mit endlich vielen Ecken. Seite 19 Hilfssatz über Endecken Definition. Eine Eine Ecke Ecke eines Graphen vom vom Grad Grad 1 heißt eine eine Endecke. 3.3.1 3.3.1 Hilfssatz. Jeder Baum mit mit mindestens zwei zwei Ecken hat hat mindestens eine eine Endecke. Beweis. Wir Wir starten mit mit einer einer beliebigen Ecke Ecke e 0. 0. Wir Wir gehen von von e 0 0 aus aus über über eine eine Kante zu zu einer einer Ecke Ecke e 1. 1. Wenn e 1 eine 1 eine Endecke ist, ist, ist ist die die Behauptung richtig. Wenn nicht, gehen wir wir über über eine eine neue neue Kante von von e 1 aus 1 aus zu zu einer einer Ecke Ecke e 2. 2. Wenn e 2 eine 2 eine Endecke ist, ist, sind sind wir wir fertig. Sonst gehen wir wir über über eine eine neue neue Kante zu zu einer einer Ecke Ecke e 3. 3. Usw. Usw. Alle Alle diese Ecken sind sind verschieden (sonst gäbe gäbe es es einen Kreis). Da Da es es nur nur endlich viele viele Ecken gibt, gibt, muss die die Konstruktion einmal abbrechen. Die Die Ecke, an an der der es es nicht nicht weitergeht, ist ist eine eine Endecke. Seite 20

Satz über die Anzahl von Ecken und Kanten 3.3.2 3.3.2 Satz: Für Für jeden Baum G mit mit n Ecken und und m Kanten gilt gilt n = m + 1. 1. Beweis durch Induktion nach nach der der Anzahl n der der Ecken. Induktionsbasis: Im Im Fall Fall n = 1 besteht G nur nur aus aus einer einer Ecke Ecke und und keiner Kante; also also ist ist m = 0, 0, und und somit n = 1 und und m+1 m+1 = 1. 1. Induktionsschritt: Sei Sei n 1, 1, und und sei sei die die Behauptung richtig für für n. n. Sei Sei G ein ein Baum mit mit n+1 n+1 Ecken. Nach 3.3.1 3.3.1 hat hat G eine eine Endecke e*. e*. Wir Wir entfernen e* e* und und die die an an e* e* angrenzende Kante k*, k*, und und erhalten einen Baum G* G* mit mit nur nur n Ecken. Nach Induktionsvoraussetzung hat hat G* G* also also genau n 1 n 1 Kanten. Da Da G genau eine eine Kante mehr mehr als als G* G* hat, hat, hat hat G genau n Kanten. Damit ist ist der der Induktionsschritt bewiesen, die die Aussage gilt gilt allgemein. Seite 21 3.4 Planare Graphen Definition. Ein Ein Graph heißt heißt planar, falls falls er er ohne ohne Überschneidungen in in der der Ebene gezeichnet ist. ist. Beispiele: (a) (a) (b) (b) Projektionen konvexer Polyeder, z.b. z.b. eines Würfels: Projektion Seite 22

Plättbare Graphen Definition. Ein Ein Graph heißt heißtplättbar, wenn er er überschneidungsfrei in in die die Ebene gezeichnet werden kann. Beispiel: Der Der Graph ist ist plättbar, denn denn er er kann kann wie wie folgt folgt überschneidungsfrei gezeichnet werden: Definition. Ein Ein Graph heißt heißt einfach, wenn je je zwei zwei Ecken durch höchstens eine eine Kante verbunden sind. sind. Seite 23 Die Eulersche Polyederformel Jeder planare Graph zerlegt die die Ebene in in Gebiete. Wir Wir bezeichnen die die Anzahl der der Gebiete mit mit g. g. Es Es gibt gibt stets stets mindestens ein ein Gebiet, das das äußere Gebiet. D.h.: D.h.: g 1. 1. Beispiele: (a) (a) Der Der Graph hat hat g = 6. 6. (b) (b) Bäume haben g = 1. 1. 3.4.1 3.4.1 Eulersche Polyederformel. Sei Sei G ein ein zusammenhängender planarer Graph mit mit n Ecken, m Kanten und und g Gebieten. Dann gilt: gilt: n m + g = 2. 2. Seite 24

Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweis durch Induktion nach nach der der Anzahl g der der Gebiete. Induktionsbasis. Sei Sei g = 1. 1. Dann hat hat G keine Kreise, ist ist also also ein ein Baum. Nach 3.3.2 3.3.2 ist ist n = m+1, m+1, also also n m + g = (m+1) m + 1 = 2. 2. Induktionsschritt: Sei Sei g 1, 1, und und sei sei die die Aussage richtig für für g. g. Sei Sei G ein ein Graph mit mit g+1 g+1 Gebieten. Da Da g+1 g+1 > 1 ist, ist, ist ist G kein kein Baum, enthält daher einen Kreis. Wir Wir entfernen eine eine Kante k* k* dieses Kreises. Da Da k* k* an an zwei zwei Gebiete von von G angrenzt, hat hat der der neue neue Graph G* G* nur nur noch noch g* g* = g Gebiete. Also Also können wir wir auf auf G* G* die die Induktionsvoraussetzung anwenden (G* (G* hat hat m 1 m 1 Kanten und und n Ecken). Das Das heißt: 2 = n (m 1) + g = n m + (g+1). Also Also gilt gilt die die Aussage für für g+1. g+1. Seite 25 Satz über planare Graphen 3.4.2 3.4.2 Satz. Sei Sei G ein ein zusammenhängender einfacher planarer Graph mit mit n 3 Ecken und und m Kanten. Dann gilt: gilt: m 3n 3n 6. 6. Das Das heißt: Ein Ein planarer Graph hat hat nur nur wenige Kanten. M.a.W.: Graphen mit mit vielen Kanten können nicht nicht plättbar sein. sein. Beweis (durch trickreiche Abzählungen): Für Für ein ein Gebiet L (wie (wie Land ) bezeichnen wir wir mit mit m(l) m(l) die die Anzahl der der Kanten von von L. L. Da Da jedes Land Land mindestens drei drei Kanten hat, hat, gilt: gilt: m(l) 3g. L Gebiet Nun Nun zählen wir wir die die Paare (k, (k, L), L), wobei die die Kante k ein ein Teil Teil der der Grenze des des Gebiets L ist: ist: m(l) 2m. L Gebiet Zusammen folgt: folgt: 2m 2m 3g, 3g, d.h. d.h. g 2m/3. Einsetzen in in die die Eulersche Polyederformel: n m + 2m/3 2m/3 n m + g = 2, 2, also also m 3n 3n 6. 6. Seite 26

Folgerungen 3.4.3 3.4.3 Folgerung: Der Der vollständige Graph K 5 ist 5 ist nicht nicht plättbar. Beweis. Wäre K 5 plättbar, 5 so so könnte nach nach obigem Satz Satz seine Anzahl 5 von von Kanten höchstens 3n 6 3n 6 = 9 sein. sein. K 5 hat 5 hat jedoch = 10 10 Kanten. 3.4.5 3.4.5 Satz: Sei Sei G ein ein zusammenhängender einfacher planarer Graph. Dann gibt gibt es es mindestens eine eine Ecke, die die einen Grad Grad 5 hat. hat. Beweis. Die Die Behauptung ist ist klar klar für für n = 1 und und n = 2. 2. Sei Sei nun nun n 3: 3: Wenn jede jede Ecke Ecke mindestens den den Grad Grad 6 hätte, folgte aus aus dem dem vorigen Satz Satz 6 n Das Das ist ist ein ein Widerspruch. x Ecke Grad(x) = 2m 6n 12. 2 Seite 27 Anwendungsaufgabe Aufgabe: Drei Drei Häuser A, A, B, B, C sollen jeweils durch eine eine Leitung mit mit dem dem Gaswerk (G), (G), Elektrizitätswerk (E) (E) und und dem dem Wasserwerk (W) (W) verbunden werden. Kann man man dies dies so so machen, dass dass sich sich die die Leitungen nicht nicht überkreuzen? Graphentheoretische Formulierung: Ist Ist der der folgende Graph plättbar? Dieser Graph heißt vollständig bipartit und und wird wird mit mit K 3,3 bezeichnet. 3,3 Seite 28

Lösung der Aufgabe Es Es ist ist nicht nicht möglich! Beweis. Angenommen, wir wir könnten diesen Graphen als als planaren Graphen zeichnen. Dann hätte hätte dieser n = 6 Ecken, m = 9 Kanten, und und nach nach der der Eulerschen Polyederformel könnten wir wir die die Anzahl der der Länder ausrechnen: 2 = n m + g = 6 9 + g, g, also also g = 5. 5. Jedes Gebiet des des Graphen muss eine eine gerade Anzahl von von Ecken haben, denn denn Häuser und und Versorgungswerke wechseln sich sich ab. ab. Daher hat hat jedes Gebiet mindestens 4 Ecken und und also also auch auch mindestens 4 Kanten. Daher gilt m(l) 4g, gilt L Gebiet und und daher 2m 2m 4g. 4g. In In unserem Fall Fall bedeutet dies dies 18 18 = 2m 2m 4g 4g = 20. 20. Dieser Widerspruch zeigt, dass dass K 3,3 nicht 3,3 nicht plättbar ist. ist. Seite 29 3.5 Färbungen Ursprung: Mitte Mitte des des 19. 19. Jahrhunderts kam kam folgende Frage auf: auf: Wie Wie viele viele Farben braucht man man mindestens, um um eine eine beliebige Landkarte so so zu zu färben, dass dass je je zwei zwei benachbarte Länder verschiedene Farben haben? Vierfarbenvermutung: Vier Vier Farben genügen! dene Seite 30

Vierfarbenvermutung Beweisversuche 1852: Mathematikstudent F. F. Guthrie färbt färbt die die Karte von von England und und äußert zum zum ersten Mal Mal die die Vierfarbenvermutung. 1878: On On the the colouring of of maps von von A. A. Cayley. 1879: On On the the geographical problem of of the the four four colors von von A. A. B. B. Kempe: erster Beweis des des Vierfarbensatzes. 1890: P. P. J. J. Heawood entdeckt einen Fehler in in Kempes Beweis. Heawood kann kann den den Fünffarbensatz zeigen ( 5 ( 5 Farben reichen auf auf jeden Fall ). H. H. Heesch (1906-1995): Entwickelt von von Kempes Methoden jahrzehntelang weiter und und kommt zu zu dem dem Schluss, dass dass das das Problem mit mit lang Hilfe Hilfe eines Rechners lösbar sein sein müsste. Seite 31 Der Beweis des Vierfarbensatzes mit dem Computer 1976: K. K. Apel Apelund W. W. Haken (University of of Illinois at at Urbana) bauen auf auf den den Arbeiten von von Heesch auf, auf, und und können das das Problem mit mit Hilfe Hilfe eines Computers lösen. Der Der Satz Satz ist ist endlich bewiesen! Der Der Beweis hat hat viel viel Aufsehen erregt: Zum Zum ersten Mal Mal beim beim Beweis eines Satzes wurde der der Computer essentiell eingesetzt. Auch Auch heute noch noch wünschen sich sich viele viele Mathematiker einen schönen, kurzen Beweis, den den man man z.b. z.b. in in einer einer Vorlesung darstellen könnte. Seite 32

Übersetzung der Landkarte in in einen Graphen Wir Wir zeichnen in in jedem Land Land einen Punkt (die (die Hauptstadt ) aus; aus; das das sind sind die die Ecken des des Graphen. Wir Wir verbinden zwei zwei Ecken durch eine eine Kante, wenn die die entsprechenden Länder ein ein Stück Grenze gemeinsam haben. Auf Auf diese Weise erhält man man einen planaren Graphen. Beispiel: Seite 33 Die chromatische Zahl χ(g) Definition. Eine Eine Färbung eines Graphen ist ist eine eine Zuordnung von von Farben zu zu den den Ecken, so so dass dass keine zwei zwei durch eine eine Kante verbundenen Ecken die die gleiche Farbe haben. Definition. Die Die chromatische Zahl Zahl χ(g) χ(g) eines Graphen G ist ist die die kleinste natürliche Zahl, Zahl, mit mit der der G gefärbt werden kann. (χ (χ ist ist der der griech. Buchstabe chi, chi, der der Anfangsbuchstabe des des Wortes chroma = Farbe.) Beispiele: (a) (a) Kreise gerader Länge haben χ = 2, 2, Kreise ungerader Länge χ = 3. 3. (b) (b) χ(k χ(k n ) n ) = n. n. Seite 34

Übersetzung des Färbungsproblems in in Graphentheorie Übersetzung des des Problems: Die Die Ecken des des Graphen sollen so so gefärbt werden, dass dass je je zwei zwei durch eine eine Kante verbundene Ecken verschiedene Farben haben. Wie Wie viele viele Farben benötigt eine eine solche Färbung? Die Die Vierfarbenvermutung lautet: Wenn G ein ein planarer Graph ist, ist, so so dene ist ist χ(g) χ(g) 4.. Folgendes Beispiel zeigt, dass dass nur nur 3 Farben nicht nicht genügen: Seite 35 Greedy Algorithmus Def. Def. Mit Mit (G) (G) ( delta ) bezeichnen wir wir den den maximalen Grad Grad von von G. G. 3.5.1 3.5.1 Satz: Für Für jeden Graphen G gilt gilt χ(g) χ(g) (G) (G) + 1. 1. Beweis. Mit Mit folgendem Verfahren ( greedy Algorithmus ) kann kann man man jeden Graphen G mit mit höchstens (G)+1 Farben färben: Die Die Farben seien die die Zahlen 1, 1, 2, 2, 3, 3,...... Wir Wir nummerieren die die Ecken: e 1, 1, e 2, 2, e 3, 3,... Wir Wir färben e 1 mit 1 mit der der Farbe 1. 1. Wenn wir wir zu zu irgendeiner Ecke Ecke e i i kommen, färben wir wir sie sie mit mit der der kleinsten Farbe, die die nicht nicht verboten ist. ist. Wie Wie viele viele Farben sind sind für für e i verboten? i Schlimmstenfalls ist ist e i eine i eine Ecke Ecke mit mit maximalem Grad Grad = (G) (G) und und alle alle Nachbarecken von von e i i sind sind bereits verschieden gefärbt. In In diesem Fall Fall sind sind Farben verboten. Dann gibt gibt es es aber aber immer noch noch eine, eine, die die wir wir wählen können. Seite 36

Der Vierfarbensatz und der Fünffarbensatz Für Für planare Graphen gilt gilt etwas viel viel besseres: 3.5.2 3.5.2 Vierfarbensatz (Apel und und Haken 1976). Jeder planare Graph kann kann mit mit 4 Farben gefärbt werden. D.h.: D.h.: Für Für jeden planaren Graphen G gilt: gilt: χ(g) χ(g) 4.. Das Das bedeutet: In In jeder jeder ebenen Landkarte können die die Länder so so mit mit 4 Farben gefärbt werden, dass dass je je zwei zwei benachbarte Länder verschieden gefärbt sind. sind. 3.5.3 3.5.3 Fünffarbensatz (Heawood, 1890). Jeder planare Graph kann kann mit mit 5 Farben gefärbt werden. Seite 37 Beweis des Fünffarbensatzes (I) (I) Beweis durch Induktion nach nach der der Eckenzahl n. n. Induktionsbasis. Für Für n 5 ist ist die die Aussage trivial: Jeder Graph mit mit höchstens 5 Ecken kann kann mit mit 5 Farben gefärbt werden. Induktionsschritt. Sei Sei n 5, n 5, und und sei sei die die Aussage richtig für für n Ecken. D.h.: D.h.: Jeder planare Graph mit mit n Ecken kann kann mit mit 5 Farben gefärbt werden. Sei Sei nun nun G ein ein planarer Graph mit mit n+1 n+1 Ecken. Wir Wir müssen zeigen, dass dass auch auch G mit mit 5 Farben gefärbt werden kann. Nach 3.4.5 3.4.5 besitzt G eine eine Ecke Ecke e* e* vom vom Grad Grad 5. 5. Wir Wir entfernen e* e* und und alle alle an an e* e* anliegenden Kanten und und erhalten einen planaren Graphen G* G* mit mit nur nur n Ecken. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt G* G* eine eine Färbung mit mit 5 Farben. Seite 38

Beweis des Fünffarbensatzes (II) (II) Ziel: Ziel: Mit Mit dieser Färbung (oder einer einer leichten Variation) erhalten wir wir eine eine Färbung von von G! G! 1. 1. Fall: Fall: Wenn die die ( ( 5) 5) zu zu e* e* benachbarten Ecken insgesamt mit mit höchstens 4 Farben gefärbt sind, sind, dann dann kann kann e* e* mit mit der der verbleibenden 5. 5. Farbe gefärbt werden. 2. 2. Fall: Fall: e* e* hat hat 5 Nachbarecken e 1, 1, e 2, 2, e 3, 3, e 4, 4, e 5, 5, die die mit mit den den Farben 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 gefärbt sind. sind. Die Die Ecken e 1, 1,..., e 5 seien 5 gegen den den Uhrzeigersinn angeordnet. Wir Wir betrachten zunächst nur nur die die Menge aller aller Ecken der der Farben 1 oder oder 3, 3, die die von von e 1 aus 1 aus erreichbar sind. sind. Wir Wir unterscheiden zwei zwei (Unter-) Fälle. Seite 39 Beweis des Fünffarbensatzes (III) Guter Fall: Fall: Wenn man man von von e 1 ausgeht 1 und und nur nur Ecken der der Farben 1 oder oder 3 benützt, kommt man man nie nie zu zu e 3. 3. Dann kann kann man man die die Ecken der der Farben 1 oder oder 3, 3, die die man man von von e 1 aus 1 aus erreichen kann, umfärben (aus (aus 1 wird wird 3, 3, aus aus 3 wird wird 1). 1). Diese neue neue Färbung von von G* G* hat hat die die Eigenschaft, dass dass bei bei den den Ecken e 1, 1,..., e 5 nur 5 nur die die Farben 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 vorkommen. Also Also kann kann e* e* mit mit der der Farbe 1 gefärbt werden. Seite 40

Beweis des Fünffarbensatzes (IV) Schlechter Fall: Fall: Es Es gibt gibt einen Weg Weg von von e 1 nach 1 nach e 3, 3, der der nur nur Ecken der der Farben 1 und und 3 benutzt. Nun Nun betrachten wir wir die die Ecken e 2 und 2 und e 4. 4. Wegen der der Planarität von von G können diese Ecken nicht nicht durch einen Weg Weg verbunden sein, sein, der der nur nur Ecken der der Farben 2 und und 4 benutzt. Also Also kann kann man man alle alle Ecken der der Farben 2 oder oder 4, 4, die die von von e 2 aus 2 aus erreichbar sind, sind, umfärben (2 (2 wird wird 4, 4, 4 wird wird 2). 2). Damit erhält man man eine eine Färbung von von G*, G*, bei bei der der e 2 die 2 die Farbe 4 erhält. Nun Nun kann kann man man e* e* mit mit der der Farbe 2 färben. Damit ist ist der der Fünffarbensatz bewiesen! Seite 41