Optimale Steuerung Studieren geht über Probieren

Studieren geht über Probieren Antrittsvorlesung 23. Oktober 2008

Danksagungen Hans Josef Pesch Fredi Tröltzsch Karl Kunisch Martin Bernauer Frank Schmidt Gerd Wachsmuth

Wegweiser Einmal von A nach B bitte! gewöhnlicher Differentialgleichungen partieller Differentialgleichungen freier Randwertprobleme und Variationsungleichungen

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung?

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 zuerst Idee: F = 1 dann

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 2 a t2 s

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 2 F M t2 s

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 2 1 M t2 s t s = M dist, T = 2 M dist

Beispiel: Lastkran Ziel: Bewegung der Last von A nach B Warum Optimierung? s(t) = 1 2 a t2, F = M a, F (t) 1 { 1 0 t t s Idee: F = 1 t s < t T Lösung dist 2 = 1 1 2 M t2 s t s = M dist, T = 2 M dist M = 2, dist = 10 T = 8.94 s

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 Gewöhnliche Differentialgleichung ṡ Kran 1 s Kran v Kran ṡ Last (t) = α β α β v Kran 1 s Last (t) + v Last β β v Last α = m Last /m Kran, β = g/l F (t) m Kran

Beispiel: Lastkran Neue Idee: Formulierung als Optimierungsaufgabe Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 Gewöhnliche Differentialgleichung ṡ Kran 1 s Kran v Kran ṡ Last (t) = α β α β v Kran 1 s Last (t) + v Last β β v Last α = m Last /m Kran, β = g/l F (t) m Kran

Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = 1 α β α β 1 β β s Kran v Kran s Last + v Last F (t) m Kran

Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A v Kran (0) = 0 v Last (0) = 0 s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (T ) = 0 v Last (T ) = 0 ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = 1 α β α β 1 β β s Kran v Kran s Last + v Last F (t) m Kran

Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung ṡ Kran v Kran ṡ Last v Last = Minimiere T, F (t) 1 s Kran (0) = A s Kran (T ) = B s Last (0) = A s Last (T ) = B v Kran (0) = 0 v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 1 α β α β s Kran v Kran 1 s Last + v Last β β F (t) m Kran

Beispiel: Lastkran Zweidimensionale Bewegung s Kran v Kran s Last v Last = Minimiere T, F (t) 1, G(t) 1 s Kran (0) = A s Last (0) = A v Kran (0) = 0 s Kran (T ) = B s Last (T ) = B v Kran (T ) = 0 v Last (0) = 0 v Last (T ) = 0 1 1 α β α β s Kran α β α β v Kran 1 s Last + 1 v Last β β β β F (t) m Kran G(t) m Kran

: Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen

: Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 Zielfunktional

: Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung

: Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 u u(t) u Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung Beschränkungen

: Aufgabenstellung x = Zustandsgrößen u = Steuergrößen T Minimiere g(x(t )) + f 0 (x(t), u(t), t) dt 0 unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) x(0) = x 0 ψ(x(t)) = 0 u u(t) u Zielfunktional Differentialgleichung Anfangsbedingung Endbedingung Beschränkungen (unendlich-dimensionale Optimierungsaufgabe)

Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen

Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen Diskretisierung Optimierungsproblem Minimiere F ( x, u) unter G( x, u) = 0 und H( x, u) 0

Zwei Lösungsansätze Optimalsteuerungsaufgabe Minimiere g(x(t )) + T 0 f 0 (x(t), u(t), t) dt unter ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) und Beschränkungen notwendige Bedingungen Randwertaufgabe λ(t) = f x (x, u) λ(t) f 0,x (x, u) λ(t ) = und Minimumprinzip für u Diskretisierung Optimierungsproblem Minimiere F ( x, u) unter G( x, u) = 0 und H( x, u) 0 [Hestenes 1950], [Pontryagin 1956]

Beispiel: Aluminiumguss Illustration: B.Q. Li

Beispiel: Aluminiumguss Eigenschaften Konvektionsströmung aufgrund eines Temperaturgradienten unerwünschter Eintrag von Unreinheiten Idee: Dämpfung der Strömung durch Magnetfelder Illustration: B.Q. Li

Beispiel: Kristallzüchtung nach Czochralski Eigenschaften Konvektionsströmung freie Oberfläche, Marangoni-Effekt, nicht-lokale Strahlung Ziel: Strömungsbeeinflussung durch Magnetfelder

Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern

Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern Gewünschte Effekte Rühren, Mischen, Dämpfen, Filtrieren, Formgeben

Grundlagen der MHD Magnetohydrodynamik (MHD) beschreibt die Wechselwirkung von elektrisch leitfähigen Fluiden und Magnetfeldern Gewünschte Effekte Rühren, Mischen, Dämpfen, Filtrieren, Formgeben Anwendungsfelder Kristallzüchtung Aluminiumproduktion Stahl- und Aluminiumgießen

Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus

Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung)

Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung) bewegte Ladungsträger im Magnetfeld induzieren Ströme

Grundlagen der MHD Wechselwirkungen Magnetfelder üben eine Lorentzkraft auf bewegte Ladungsträger aus (kontaktlose Beeinflussung) bewegte Ladungsträger im Magnetfeld induzieren Ströme Ströme induzieren Magnetfelder

Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Stromdichte J in Ω magnet. Induktion B in R 3

Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 Stromdichte J in Ω elektrisches Potential φ in Ω magnet. Induktion B in R 3

Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 Geschwindigkeit u in Ω Druck p in Ω Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 Stromdichte J in Ω elektrisches Potential φ in Ω Keine magnetischen Monopole und Ampèresches Gesetz B = 0 and (µ 1 B) = J magnet. Induktion B in R 3

Gleichungen: Stationärer Fall Navier-Stokes-System mit Lorentzkraft ϱ (u )u η u + p = J B u = 0 u = h Ladungserhaltung und Ohmsches Gesetz σ 1 J + φ = u B J = 0 J n = j φ = φ c Keine magnetischen Monopole und Ampèresches Gesetz B = 0 and (µ 1 B) = J magnet. Induktion B in R 3

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Fluidregion Ω

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Fluidregion Ω

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen)

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Elektroden φ = { φ c Steuerung R 0 Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System φ = φ c an Elektrode 1 φ = 0 an Elektrode 2 J n = 0 sonst Ziel der Steuerung und Steuergrößen Einfluss auf das Fluidprofil (Rühren oder Dämpfen) einstellbare Größen: Potentialdifferenz, externe Magnetfelder

Ein MHD-Optimalsteuerproblem Aufgabenstellung Minimiere 1 2 u u d 2 L 2 (Ω) + γ 2 φ c 2 unter MHD-System φ = φ c an Elektrode 1 φ = 0 an Elektrode 2 J n = 0 sonst Problemdaten Materialdaten für flüssiges Al bei 700 C B 0 = 10 4 (0, 0, x)t, u d = Rotationsströmung

Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Potential φ)

Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Stromdichte J)

Numerische Ergebnisse Optimale Lösung (Geschwindigkeit u)

Das Stefan-Problem

Das Stefan-Problem Γ C Γ I (t) Ω(t) D Γ N Wärmeleitungsgleichung ϱ c p y t k y = f y = 0 k y n = u k y n = g y(0) = y 0 in Ω(t) auf Γ I (t) auf Γ C auf Γ N in Ω(0) [Stefan 1889]

Das Stefan-Problem Γ C Γ I (t) Ω(t) D Γ N Wärmeleitungsgleichung ϱ c p y t k y = f y = 0 k y n = u k y Stefan-Bedingung n = g y(0) = y 0 in Ω(t) auf Γ I (t) auf Γ C auf Γ N in Ω(0) ϱ λ F n = k y n auf Γ I (t) [Stefan 1889]

Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze [ Bernauer]

Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze [ Bernauer] Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d 2 2 0 Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ 3 2 2 0 Ω 1(t) unter Stefan-Problem T 0 Γ C u 2

Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d 2 2 0 Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ 3 2 2 0 Ω 1(t) unter Stefan-Problem T 0 Γ C u 2

Optimierung des Phasenverlaufs Ziel: Beeinflussung der Phasengrenze Optimalsteuerungsaufgabe γ T 1 Minimiere φ d 2 2 0 Γ I (t) + γ T 2 y y d 2 + γ 3 2 2 0 Ω 1(t) unter Stefan-Problem Herausforderungen für die Mathematik Optimalitätsbedingungen numerische Lösungsverfahren T 0 Γ C u 2

Elastische und plastische Verformungen

Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung

Elastische und plastische Verformungen Elastisches Verhalten Spannung Dehnung Plastisches Verhalten Spannung Dehnung Material mit Gedächtnis

Plastische Verformung in der Umformtechnik Tiefziehen Kfz-Blechteile Flugzeugbau Verpackungen

Plastische Verformung in der Umformtechnik Tiefziehen Kfz-Blechteile Flugzeugbau Verpackungen Rückfederung (Springback) Abgabe der gespeicherten elastischen Energie nach Wegnahme der Last teilweise Rückfederung von der gewünschten Verformung

Ausblick: in der Plastizität Vermeidung unerwünschter Rückfederung Finde eine Lastkurve, sodass die Verformung nach Wegnahme der Last der gewünschten Verformung entspricht.

Ausblick: in der Plastizität Vermeidung unerwünschter Rückfederung Finde eine Lastkurve, sodass die Verformung nach Wegnahme der Last der gewünschten Verformung entspricht. Herausforderungen für die Mathematik zeitabhängiges 3D-Problem optimale Steuerung einer Variationsungleichung Mathematical Program with Complementarity Constraints

Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet www.tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl

Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet Ausblick auf aktuelle Herausforderungen Optimalsteuerung von Variationsungleichungen und in Multiphysik-Anwendungen www.tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl

Zusammenfassung... hat vielfältige Anwendungen ist aktuelles Forschungsgebiet Ausblick auf aktuelle Herausforderungen Optimalsteuerung von Variationsungleichungen und in Multiphysik-Anwendungen Kaffee und Kuchen jetzt in der Reichenhainer Straße 41, Raum 638 www.tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl