Konzentration Bedeutungen des Begris der Konzentration: statische Konzentration: zur Charakterisierung einer bestehenden Ungleichverteilung dynamische Konzentration: zur Charakterisierung der Zunahme einer Ungleichverteilung 01 Maÿzahlen der statischen Konzentration Eine Maÿzahl der Konzentration zeigt, wie sich eine gesamte Merkmalssumme auf die einzelnen Elemente (Merkmalsträger) aufteilt Die zwei extremen Fälle sind: maximale Konzentration: der gesamte Merkmalsbetrag entfällt auf einen einzigen Merkmalsträger Ungleichverteilung des gesamten Merkmalsbetrages minimale Konzentration: der gleiche Anteil des Merkmalsbetrags entfällt auf jeden Merkmalsträger Gleichverteilung des gesamten Merkmalsbetrages Zwei Konzepte der statischen Konzentration: absolute Konzentration: wenn ein Groÿteil des gesamten Merkmalsbetrages auf eine kleine Anzahl von Merkmalsträgern entfällt relative Konzentration:(oder Disparität) wenn ein Groÿteil des gesamten Merkmalsbetrages auf einen kleinen Anteil von Merkmalsträgern entfällt 011 Maÿzahlen der absoluten Konzentration Konzentrationsrate: jener Anteil am gesamten Merkmalsbetrag, der auf die gröÿten m Merkmalsträger entfällt (auch genannt als: Konzentrationskoezient, Konzentrationsgrad oder Konzentrationsverhältnis) Sind die Elemente x i nach ihrer Gröÿe geordnet: x 1 x 2 x n, so hat man i=n m+1 C m = x i n i=1 x = z i, i i=n m+1 wo z i den Anteil des einzelnen Merkmalsträgers x i am gesamten Merkmalsbetrag i=1 x i bezeichnet: z i = P xi n i=1 xi Herndahl-Index: benutzt man dann, wenn man die Information über die Ungleichverteilung der Elemente nicht nur mit Hilfe der m gröÿten Elemente berechnen will, sondern die gesamte in der Verteilung enthaltene Information bekommen will H = n zi 2 = i=1 i=1 x2 i ( i=1 x i) 2 1
Zur Berechnung des Herndahl-Index müssen die Elemente nicht unbedingt nach Gröÿe geordnet werden Ist die Konzentration maximal, also z 1 = z 2 = = z n 1 = 0 und z n = 1, dann H = 1, Ist die Konzentration minimal, also z 1 = z 2 = = z n = 1 n, dann H = 1 n, Es gilt also 1 n H 1 Zusammenhang zwischen Herndahl-Index und Varitionskoezient V = σ x ist H = 1 n (V 2 + 1) = 1 ( ) σ 2 n x 2 + 1 Bemerkung 01 Sind den einzelnen Elementen Häugkeiten zugeordnet oder hat man klassierte Daten, so rechnet man mit den entsprechenden gewogenen Formeln 012 Maÿzahlen der relativen Konzentration Also: Wie viel Prozent der Summe der Merkmalsausprägungen entfallen auf wie viel Prozent der Merkmalsträger? Lorenz-Kurve veranschaulicht die Konzentration durch die Darstellung der eines Streckenzugs im Einheitsquadrat (oder im 100 100 Quadrat) des Koordinatensystems Auf der Abszisse ist die kumulierte relative Häugkeit (G i ), auf der Ordinate ist die kumulierte relative Wertsumme (Z i ) dargestellt Also man stellt die kumulierte relative Wertsumme in Abhängigkeit der kumulierten relativen Häugkeit dar Je stärker die Konzentration, desto stärker erscheint die Lorenz-Kurve nach rechts unten gebaucht, also desto gröÿer ist die Konzentrationsäche, also die Fläche zwischen Hauptdiagonale des Quadrates und der Lorenz-Kurve Lorenz-Münzner-Koezient ist der Quotient der Konzentrationsäche und der Fläche unterhalb der Hauptdiagonale des Quadrates: K = n 2V n 1, wo V = Z i 1 2 Man hat 0 K 1 Man kann auch berechnen K = G 2 x, wo G = i=1 j=1 xi xj n 2 Bemerkung 02 Sind den einzelnen Elementen Häugkeiten zugeordnet, so rechnet man mit den entsprechenden gewogenen Formeln Hat man klassizierte Daten, so repräsentiert die Klassenmitte x i jede Klasse Zur Berechnung des Lorenz-Münzner-Koezienten kann man folgene Arbeitstabelle verwenden: i x i g i G i G i 1 x i g i z i = P xigi xig i Z i G i 1 z i G i z i 1 xi g i 1 G i 1 z i Gi z i Die einzelnen Spalten sind: 2
- i: die Nummer der Klasse - x i : der Merkmalswert (o: Klassenmitte) - g i : die relative Häugkeit der Klasse - G i : die kumulierte relative Häugkeit der Klasse - x i g i : Beitrag der Klasse zum gesamten Merkmalsbetrag - z i : Anteil der Klasse am gesamten Merkmalsbetrag (Anteil an der Merkmalssumme) - Z i : der kumulierte Anteil der Klasse am gesamten Merkmalsbetrag - G i 1 z i und G i z i sind die nötigen Spalten, um den Lorenz-Münzner-Koezienten zu berechnen: K = G i 1 z i + G i z i 1 Beispiel 01 Die folgende Tabelle enthält die Ertragszahlen der 8 gröÿten Unternehmen der Fahrzeugindustrie in 1999: Unternehmen Ertrag in Milliarden USD General Motors 176, 6 Ford Motor 162, 6 Daimler Chrysler 156, 2 Toyota 122, 0 Mitsubishi 113, 2 Volkswagen 75, 4 Honda 59, 8 Boeing 57, 9 (a) Berechnen wir die Konzentrationsrate C 2 und C 3! (b) Berechnen wir den Herndahl-Index! (c) Berechnen wir den Lorenz-Münzner-Koezienten! (d) Stellen wir die Lorenz-Kurve dar! Lösung: Wir schreiben x i statt Ertrag in Milliarden USD, z i bezeichnet den Anteil am gesamten Merkmalsbetrag und Z i bezeichnet die kumulierten Anteile am gesamten Merkmalsbetrag Unternehmen x i z i Z i 100 Z i Boeing 57, 9 0, 062 0, 062 6, 2 Honda 59, 8 0, 065 0, 127 12, 7 Volkswagen 75, 4 0, 082 0, 209 20, 9 Mitsubishi 113, 2 0, 123 0, 332 33, 2 Toyota 122, 0 0, 132 0, 464 46, 4 Daimler Chrysler 156, 2 0, 169 0, 633 63, 3 Ford Motor 162, 6 0, 176 0, 809 80, 9 General Motors 176, 6 0, 191 1, 000 100, 0 923, 7 1 3, 636 3
(a) C 2 = 0, 191 + 0, 176 = 0, 367, also 36,7% Anteil haben die zwei gröÿten Fahrzeugunternehmen vom Gesamtertrag der 8 untersuchten Unternehmen (b) H = C 3 = 0, 191+0, 176+0, 169 = 0, 536, also 53,6% Anteil haben die drei gröÿten Fahrzeugunternehmen vom Gesamtertrag der 8 untersuchten Unternehmen i=1 x2 i ( i=1 xi)2 = 122336,61 853221,69 = 0, 1434 (c) Aus der Summenzeile der Z i -Spalte bekommnt man V = 3, 136, woraus ist K = 8 2 3,136 8 1 0, 247 Anderswie: G = 3192,2 8 49, 878 K = 49,878 2 2 115,463 0, 220 (d) Die Lorenzkurve ist Kumulierte Anteile am gesamten Merkmalsbetrag 100 75 50 25 0 25 50 75 100 Kumulierte Anteile der Merkmalsträger Beispiel 02 Nach der Weltbank waren im Jahre 1999 die reichsten 20% der Weltbevölkerung im Mittel 12 mal so reich wie die ärmsten 20% (gemessen in Kaufkraft-Einheiten) sowie die Mittelklasse (alle anderen) im Mittel viermal so reich Zeichnen wir die Lorenzkurve und berechnen wir den Lorenz-Münzner- Koezienten! Lösung: Wir erstellen die Arbeitstabelle Die Klassen 1,2 und 3 stehen für arm,mittelklassig und reich i x i g i G i G i 1 x i g i z i = P xigi xig i Z i G i 1 z i G i z i 1 1 0, 2 0, 2 0 0, 2 0, 04 0, 04 0 0, 008 2 4 0, 6 0, 8 0, 2 2, 4 0, 48 0, 52 0, 096 0, 384 3 12 0, 2 1 0, 8 2, 4 0, 48 1 0, 384 0, 48 1 5 1 0, 48 0, 872 So ist der Lorenz-Münzner-Koezient K = 0, 872+0, 48 1 = 0, 352 (die relative Konzentration des Weltreichtums) Die Lorenzkurve ist 4
100 100 Zi 75 50 25 0 25 50 75 100 100 Gi Aufgaben: http://titanicnymehu/%7egmsi/oktatas/segedanyagok/izhdoc (25-40 Aufgaben) 5