Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 214 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis Einführung in die numerische Mathematik Aufgabenblatt 7 - Lagrange-Interpolation, Dividierte Differenzen Präsenzaufgabe 1: Lagrange-Interpolation Lösungen Es sei P n die Menge aller reellen Polynome mit Grad höchstens n. Für n + 1 Punktepaare (, y ), ( 1, y 1 ),, ( n, y n ) R 2 definiert man das Polynom P P n durch P () := y i L i (), wobei die Lagrange-Polynome L i P n gegeben sind durch n j L i () :=. i j j= j i a) Zeigen Sie für die Lagrange-Polynome die Eigenschaft { 1 für i = k L i ( k ) = δ ik := für i k. b) Zeigen Sie für das oben definierte Polynom P die Aussage Wie interpretieren Sie diese Eigenschaft? P ( k ) = y k für alle k =, 1,, n. c) Weisen Sie (ohne größere Rechnung) nach, dass gilt L i () = 1 für alle R. Diese Eigenschaft nennt man auch Zerlegung der Eins. a) i = k : L i ( i ) = i k : L i ( k ) = n j= j i n j= j i i j i j = 1, da alle Faktoren gleich 1, k j i j =, denn es gibt ein k = j, also ist ein Faktor null.
b) Aufgrund der Eigenschaft aus Aufgabenteil (a) gilt P ( k ) = y i L i ( k ) = y k L k ( k ) = y k. c) Damit interpoliert das Polynom P die Punkte {(, y ),, ( n, y n )}. Mit der eindeutigen Lösbarkeit der Polynominterpolationsaufgabe ist P also das Interpolationspolynom zu den gegebenen Daten. zu zeigen: R : L i () = 1 R : L i () 1 =. Die Lagrange-Polynome L i hängen nur von der Auswahl der Stützstellen i, i =,, n, aber nicht von den Stützwerten y j, j =,, n ab. Wir betrachten daher das Interpolationspolynom durch die Punkte (, 1),, ( n, 1), das nach Aufgabenteil (b) die Darstellung P () = 1 L i () = L i () besitzt. P P n ist ein Polynom vom Grad höchstens n, also auch P () 1 P n. Aufgrund der Interpolationseigenschaft gilt = P ( k ) 1 = L i ( k ) 1 für k =, 1, n. P () 1 hat daher n + 1 Nullstellen und muss damit das Nullpolynom sein. (Ein Polynom vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen.) Es folgt L i () 1 = für alle und die Behauptung ist gezeigt. Präsenzaufgabe 2: Beispiel für Lagrange-Interpolation Gegeben sind die drei Stützstellen: i 2 3 y i 5 1 8 Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome L i () für diese drei Stützstellen. Geben Sie die Polynome in der Taylor-Basis (Monome) an. Berechnen Sie über die Lagrange-Polynome das Interpolationspolynom P () für diese Stützstellen und stellen Sie es in der Taylor-Basis dar. Skizzieren Sie das Interpolationspolynom P () zusammen mit den Stützstellen ( i, y i ) in ein Diagramm. 2
Für die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen, 1,, n hat man die Definition n k L i () = für i =, 1,, n. i k k=,k i Damit folgt ( = 2, 1 =, 2 = 3) L () = ( 2) 3 ( 2) 3 = 1 1 ( 3) = 1 1 2 3 1 L 1 () = ( 2) ( 2) 3 3 = 1 ( + 2)( 3) = 1 2 + 1 + 1 L 2 () = ( 2) 3 ( 2) 3 = 1 15 ( + 2) = 1 15 2 + 2 15. Das Interpolationspolynom ist dann P () = 2 y i L i () = 5 2 3 5 1. Das folgende Diagramm zeigt das Interpolationspolynom P zusammen mit den drei Stützstellen. 25 2 15 p() 1 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 Bemerkung. In Matlab kann dieses Diagramm erzeugt werden über die Befehle: = -4:.1:4; y = 1.2*.^2-.*-1; plot(,y, k-,[-2 3],[5-1 8], ko ) label(, fontsize,14) ylabel( p(), fontsize,14) print diagramm.eps -deps 3
Präsenzaufgabe 3: Interpolation mit dividierten Differenzen Wir betrachten im Folgenden die Funktion f() = sin(π). a) Berechnen Sie die dividierten Differenzen ausgehend von den Stützstellen =, 1 = 1 2 und 2 = 1. Verwenden Sie die übliche Tableau-Schreibweise. Wie lautet das Newton sche Interpolationspolynom p,2 ()? Überprüfen Sie ihre Darstellung durch Einsetzen der Stützstellen i. b) Schätzen Sie mit Hilfe der Restgliedformel den Fehler f() p,2 () ab. a) f() wird interpoliert in =, 1 =.5, 2 = 1. Wir berechnen den Interpoland mit dividierten Differenzen. = [ ]f =... 1 =.5 [ 1 ]f = 1 [, 1 ]f = 1.5 = 2... 2 = 1 [ 2 ]f = [ 1, 2 ]f = 1.5 = 2 [, 1, 2 ]f = 2 2 1 = 4 Damit ergibt sich : p,2 () = [ ]f ω () + [, 1 ]f ω 1 () + [, 1, 2 ]f ω 2 () = 1 + 2 ( ) 4 ( )( 1 ) = 4 4 2. Nachrechnen an den Stützstellen verifiziert p,2 ( ) = =, p,2 ( 1 ) = 2 1 = 1, p,2 ( 2 ) = 4 4 =. b) Nach der Restgliedformel gilt mit ξ [, 1] f() p,2 () = ω 3 () f (3) (ξ) 3! = ( )( 1 )( 2 ) }{{} =: h() π 3 cos(πξ). Da wir cos(πξ) 1 abschätzen können, brauchen wir die Maima von h() = 3 3 2 2 + 1 2 : h () = 3 2 3 + 1 2! = 1,2 = 1 3 2 ±. Mit = (3 + 3)/.79 und h ( ) = 3 > gilt dann f() p,2 () h( ) π3.25. 4
Hausaufgabe 1: Interpolation mit Newton schen Dividierten Differenzen Gegeben sind die vier Stützstellen (1 Punkte) i 1 2 3 i 1 3 4 2 y i 3 4 1 1 a) Geben Sie die vier Basispolynome nach Newton an. Achten Sie dabei auf die Reihenfolge der Stützstellen. Skizzieren Sie die Basispolynome in ein Diagramm. b) Berechnen Sie nur für die ersten drei Stützstellen die dividierten Differenzen in Form des Tableaus: [ ]y... 1 [ 1 ]y [, 1 ]y... 2 [ 2 ]y [ 1, 2 ]y [, 1, 2 ]y Bestimmen Sie aus den dividierten Differenzen das Interpolationspolynom p zu Stützstellen i =, 1, 2. Verifizieren Sie, dass Ihr Ergebnis die drei Stützstellen interpoliert. c) Berechnen Sie nun die dividierten Differenzen zu allen vier Stützstellen, indem Sie zum Tableau aus Aufgabenteil (a) noch eine Zeile hinzufügen. Stellen Sie das korrespondierende Interpolationspolynom q zu Stützstellen i =, 1, 2, 3 auf und verifizieren Sie wieder die Interpolationseigenschaften. a) Die Basispolynome nach Newton besitzen die allgemeine Formel l 1 ω l = ( i ) für l > und ω 1. Im Beispiel hier folgt somit ω () = 1 ω 1 () = = 1 ω 2 () = ( )( 1 ) = ( 1)( 3) = 2 4 + 3 ω 3 () = ( )( 1 )( 2 ) = ( 1)( 3)( 4) = 3 8 2 + 19 12 5
4 2 Basispolynome 2 4.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 b) Im Tableau folgen die Werte = 1 [ ]y = 3... 1 = 3 [ 1 ]y = 4 [, 1 ]y = 4 3 3 1 = 1 2... 2 = 4 [ 2 ]y = 1 [ 1, 2 ]y = 1 4 4 3 = 5 [, 1, 2 ]y = 5 1 2 4 1 = 11 Das korrespondierende Interpolationspolynom hat die Basisdarstellung p() = 2 [,, i ]y ω i (). Es gehen also die Diagonaleinträge aus dem Tableau in die Formel ein. Hier folgt p() = 3 1 + 1 2 ( 1) + ( 11) ( 1)( 3) = 11 2 + 47 3. 4 2 p() 2 4 8 1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
c) Die letzte Zeile berechnet sich zu [ 3 ]y = y 3 = 1, [ 2, 3 ]y = 1 ( 1) 2 4 = 1, [ 1, 2, 3 ]y = 1 ( 5) 2 3 = 4, In Tableau-Form ist dies: [, 1, 2, 3 ]y = 4 ( 11 ) 2 1 = 13. = 1 [ ]y = 3 1 = 3 [ 1 ]y = 4 [, 1 ]y = 1 2 2 = 4 [ 2 ]y = 1 [ 1, 2 ]y = 5 [, 1, 2 ]y = 11 3 = 2 [ 3 ]y = 1 [ 2, 3 ]y = 1 [ 1, 2, 3 ]y = 4 [, 1, 2, 3 ]y = 13 Das korrespondierende Interpolationspolynom ist dann q() = p() 13 ω 3() = 11 2 + 47 3 13 (3 8 2 + 19 12) = 13 3 + 93 2 1 3 + 23. 3 2 1 p() 1 2 3.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Hausaufgabe 2: Interpolationsfehler (1 Punkte) Die Funktion f() = cos( π 2 ) soll an den drei Stützstellen ( i, f( i )) mit = 1, 1 =, 2 = 1 durch ein quadratisches Polynom p interpoliert werden. a) Verwenden Sie die Restgliedformel, um den Approimationsfehler f() p() gleichmäßig für alle [ 1, 1] nach oben abzuschätzen. Berechnen Sie den Zahlenwert der oberen Schranke. b) Geben Sie das Interpolationspolynom p ohne Rechnung mit Hilfe der symmetrischen Lage der Stützstellen an. Berechnen Sie den Fehler f() p() an der Stelle = 1 2. 7
a) Die Restgliedformel lautet in diesem Fall f() p() = f (3) (ξ) 3! mit einer Zwischenstelle ξ [ 1, 1]. Für die Ableitungen von f erhält man ω 3 () = f (3) (ξ) ( )( 1 )( 2 ) f () = π 2 sin( π 2 ) f (2) () = π2 4 cos( π 2 ) f (3) () = π3 8 sin( π 2 ). Also gilt f (3) () = π3 ( 8 π ) sin 2 π 3 8 Für das Basispolynom folgt für alle. ω 3 () = ( + 1)( 1) = ( 2 1) = 3. Die Etremalstellen dieses Polynoms ergeben sich zu ω 3() = 3 2 1 = 1/2 = ± 1 3 und somit ist der Etremalwert 1 ω 3 ( 1/2 ) = 3 1 = 2 3 3 3 3.385. Zusammen folgt f() p() 1 [ ] ma f (3) (t) t [ 1,1] für alle [ 1, 1]. [ ma ω 3(t) t [ 1,1] ] π3 72 3.249 b) Man erkennt an den Stützstellen, dass das Interpolationspolynom gerade p() = 2 + 1 ist. Es folgt f( 1 2 ) p( 1 2 ) = 1 2 3 4.43. Der Wert liegt deutlich unter der vorhergesagten Schranke aus Aufgabenteil (a). Im allgemeinen liefert die Technik aus Aufgabenteil (a) nur eine grobe Abschätzung. 8
1.9 cos Fkt. Polynom.8.7..5.4.3.2.1 1.8..4.2.2.4..8 1 9