Fourier-Reihen für periodische Funktionen Sei periodisch, mit Periode L: Auch für diesen Fall gilt die Fourier- Reihen-Darstellung (b.3), mit : (b.3) (und stückweise stetig differenzierbar) (c.5) Integral kann über eine beliebige Periode genommen Beweis v. (3): identisch zur Herleitung auf Seite C6.1c werden, wegen (1) und (5) Begründung: Fourier-Moden sind periodisch: Folglich ist auch (2) periodisch: Periodische delta-funktion: [vergleiche (j.2)] Anmerkung: Falls f(x) nicht ganz glatt ist, sondern nur stückweise stetig differenzierbar ist (d.h. Sprünge hat), gilt (Satz v. Dirichlet): Die Fourier-Reihe (l.2),, konvergiert an allen Stetigkeitstellen gegen. An den Unstetigkeitstellen ist der Wert der Fourier-Reihe gleich dem Mittelwert der einseitigen Grenzwerte: Grund für (1): [vergleiche (g.1)]:
Beispiel: periodische Folge v. scharfen Peaks: Betrachte normierten 'Exponentialpuls': Gewicht: Periodische Kette solcher Peaks: Berechne Fourier-Koeffizienten von, für : weil gilt im Interval (scharfe Pulse, gut getrennt) dass komplex konjugiert wenn komplex konjugiert 'Diskretes Frequenzspektrum' ('Frequenzkamm') mit Lorenzkurve als Einhüllenden Konsistenzcheck: Im Limes : (C6.2b.6) (5) reproduziert die Fourier-Komponenten vom delta-puls: = konsistent mit (5) unabhängig von k!
Bemerkung: Für vergleiche Schärfe der Pulse in x-darstellung: k-darstellung: Faustregel: 'Fourier-Gegensätzlichkeit' ('Fourier repricosity') Räumlich scharfe Pulse ( klein) haben ein breites 'Spektrum an Wellenlängen' ( groß) Heisenbergs Unschärferelation in der Quantenmechanik ist ganz analog: (und zu Grunde liegende Mathematik ist auch dort Fourier-Analysis! ) Faltungstheorem: Seien periodische Funktionen, dann ist die Faltung wieder periodisch: Beweis: via Fourier-Darstellung der Faltung: [Details sind analog zu Seite k, Parseval] (kühnes Vertauschen von Integral und Summe) Fourierkoeffizient der Faltung ist Produkt der Fourierkoeffizienten! (nützlich zur Abkürzung von Rechnungen) = offensichtlich wieder periodisch!
Anwendung v. Faltungstheorem: Tiefpassfilter Wähle so, dass Dann: Somit: Tiefpassfilter dämpft schnelle Flutkuationen weg, läßt langsame durch! Fourier-Reihe einer Ableitung: Fourier-Komponente von f'(x) Ist (4) konsistent mit (2)? Check: partielle Integration wegen Periodizität Fazit: Ableiten in x-darstellung Multiplikation mit in k-darstellung
Cosinus- und Sinus-Reihen (erhalten durch Umschreiben d. Fourier-Reihe) oft nutzt man hier auch die Notation und wobei Cos, Sin-Reihen sind nützlich, f(x) symmetrisch oder antisymmetrisch ist: Dann wird Berechnung der Fourier-Komponenten erheblich vereinfacht, wenn das Integrationsinterval symmetrisch um x=0 gewählt wird: Falls f symmetrisch, mit Falls f antisymmetrisch, mit
Beispiel: Periodische Rechtecksfunktion "Vorzeichenfunktion" für und für beliebige "periodische Fortsetzung" Fourier-Koeffizienten: Reine Sinus-Reihe, da n gerade n ungerade periodisches Für liefert (6): Mittelwert siehe (m.1)] Anmerkung zu Notationskonventionen Warnung: es gibt in der Literatur viele unterschiedliche Konventionen! Vorzeichen von k im Exponenten ist Konvention: Alternativ wäre auch möglich: Auch der Vorfaktor L kann anders gewählt werden; z.b.: Oder auch: In Physik-Anwendungen, wo Funktion von der Zeit abhängt, wird die Fourier- Transformation von Zeit-Darstellung zu Frequenz-Darstellung meist wie folgt definiert: Für Fourier-Reihen- Ansatz: anderes Vorzeichen als bei xk-darstellung (1)!
Zusammenfassung C6.1 Fourier-Reihen für periodische Funktionen Sei periodisch, mit Periode L: (b.3) (c.5) beliebige Periode Faltung: Ableitung in Fourier-Darstellung: Zeit-Darstellung: Für Fourier-Reihen- Ansatz: Ableitung: