3 Skalare Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer oder mehreren Funktionen und ihren Ableitungen. Da Ableitungen Veränderungen beschreiben, modellieren Differenzialgleichungen ganz allgemein das Veränderungsverhalten von Systemen. Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall einer skalaren Größe y, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängt: x, y(x). Eine Differenzialgleichung betrifft in diesem Fall die Größe y und endlich viele ihrer Ableitungen y 0,y 00,... Beschränken wir uns auch hier auf den einfachsten Fall, so haben wir es mit Differenzialgleichungen erster Ordnung zu tun, die nur x,y,y 0 involvieren und daher von der allgemeinen Form G(x, y, y 0 ) = 0 sind. Am einfachsten sind solche Gleichungen in expliziter Form, y 0 = g(x, y), und nur solche wollen wir jetzt betrachten. Die hier verwendete Notation ist die mathematische Notation. In der wird x als Zeit betrachtet und mit t bezeichnet. Die abhängige Variable ist dann x, und ihre Ableitungen nach der Zeit t werden mit ẋ,ẍ,.. bezeichnet. Die letzte Gleichung lautet dann y 0 = g(t, x).
26 3 Skalare Differenzialgleichungen 3.1 Grundbegriffe Definition heißt Sei I ein Intervall, D R offen, und g : I D! R stetig. Dann y 0 = g(x, y), (x, y) 2 I D, (1) eine Differenzialgleichung erster Ordnung auf I D. Eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist eine differenzierbare Abbildung f : J! D mit einem nichtleeren Intervall J I, so dass f 0 (x) = g(x, f (x)), x 2 J. œ (2) Bemerkungen a. Genauer handelt es sich um eine explizite skalare Differenzialgleichung erster Ordnung. Explizit, weil die Gleichung nach y 0 aufgelöst, skalar, weil y eindimensional und reell ist, und erster Ordnung, da nur die erste Ableitung y 0 auftritt. b. Es wäre zu einschränkend zu verlangen, dass eine Lösung f auf dem ganzen Intervall I erklärt ist. Sie kann zum Beispiel vorzeitig den Definitionsbereich D verlassen. c. Die Notation in Gleichung (1) ist üblich und bequem, aber streng genommen inkonsistent, denn y ist ja ebenfalls eine Funktion von x. Konsequent wären daher die punktweise Schreibweise y(x) = g(x, f (x, y)) was lästig ist oder die funktionale Schreibweise y 0 = g(,y) was aber zum Beispiel bei linearen Gleichungen verwirrend ist. «Definition Die Differenzialgleichung (1) heißt autonom, wenn die Funktion g nicht explizit von x abhängt, also von der Form y 0 = g(y), y 2 D, ist. Andernfalls heißt die Gleichung nichtautonom. œ Geometrisch betrachtet handelt es sich bei der rechten Seite der Differenzialgleichung (1) um ein Richtungsfeld. In jedem Punkt (x, y) 2 I D schreibt die Funktion g vor, welche Richtung oder Steigung die Tangente einer Lösung einnimmt, falls sie durch diesen Punkt verläuft. Gleichung (2) verlangt genau dies von einer Lösung f. In Abbildung 1 ist das Richtungsfeld durch kleine Striche angedeutet.
Grundbegriffe 3.1 27 Abb 1 Ein Richtungsfeld mit fünf Lösungskurven y x Eine Betrachtung des Richtungsfeldes kann oft schon Aufschluss über die Gestalt seiner Lösungskurven geben..ò a. Die einfachste Differenzialgleichung ist sicherlich y 0 = 0 auf R R. Jede Lösung ist konstant, jede Funktion f : x, c somit eine Lösung. b. Die Gleichung y 0 = g(x) mit stetigem g : I! R ist keine echte Differenzialgleichung, da die rechte Seite nicht von y abhängt. Das zugehörige Richtungsfeld ist somit invariant unter Translationen in der y-richtung. Ihre Lösungen kennen wir bereits, es sind sämtliche Stammfunktionen von g. Diese unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante, gehen also durch vertikale Translation ineinander über siehe Abbildung 2. c. Das einfachste und wichtigste Beispiel einer autonomen Differenzialgleichung ist das Wachstumsgesetz y 0 = ay
28 3 Skalare Differenzialgleichungen Abb 2 Ortsunabhängiges Richtungsfeld y x mit einem konstanten Koeffizienten a î 0. Jede Lösung ist von der Form f (x) = e ax c, c 2 R. d. Abbildung 3 zeigt das Richtungsfeld der autonomen Differenzialgleichung y 0 = (y a)(y b) mit 0 <a<b. apple/ Die Beispiele zeigen, dass eine Lösung durch eine Differenzialgleichung allein nicht eindeutig bestimmt wird. Das ist auch nicht überraschend, denn eine solche Gleichung bestimmt ja nur deren Veränderungsverhalten, nicht aber ihre absolute Position. Dazu bedarf es weiterer Daten, zum Beispiel eines Anfangswertes. Die Kombination beider Daten bezeichnet man als Anfangswertproblem. Definition Unter einem zur Differenzialgleichung (1) gehörenden Anfangswertproblem versteht man das System y 0 = g(x, y), y(x 0 ) = y 0, wobei (x 0,y 0 ) 2 I D. Eine lokale Lösung ist eine Lösung f : I 0! D dieser Differenzialgleichung mit f (x 0 ) = y 0, x 0 2 I 0 I. œ
Grundbegriffe 3.1 29 Abb 3 Zeitunabhängiges Richtungsfeld y x Eine lokale Lösung ist also eine Lösung der Differenzialgleichung, die auf einem kleinen Intervall I 0 um die Anfangszeit x 0 definiert ist und zu diesem Zeitpunkt den Anfangswert y 0 annimmt..ò Wir greifen die vorangehenden Beispiele auf. Das Anfangswertproblem y 0 = g(x), y(x 0 ) = c hat die eindeutige Lösung f (x) = c + x 0 g(s) ds. Für das Anfangswertproblem y 0 = ay, y(x 0 ) = y 0 finden wir diese, indem wir die Gleichung e ax 0c = y 0 erhalten nach c auflösen. Wir f (x) = e ax c = e a(x x0) y 0. apple/ Die allgemeine Theorie zeigt, dass ein Anfangswertproblem unter sehr allgemeinen Bedingungen an die rechte Seite immer eine eindeutige lokale Lösung besitzt. Dies gilt sogar für Systeme von Differenzialgleichungen, also für Differenzialgleichungen im R n.
30 3 Skalare Differenzialgleichungen 3.2 Lineare Differenzialgleichungen Definition Eine lineare Differenzialgleichung erster Ordnung ist von der Form y 0 = a(x)y + b(x) mit auf einem Intervall I stetigen Funktionen a und b. Sie heißt homogen, falls b = 0, andernfalls inhomogen. œ Der homogene Fall Wir lösen zuerst die homogene Gleichung y 0 = a(x)y. Dies ist nichts anderes als ein zeitabhängiges Wachstumsgesetz, dessen Lösungen ebenfalls durch Exponenzialfunktionen beschrieben werden. 1 Satz Sei a stetig auf dem Intervall I. Dann ist die allgemeine Lösung von y 0 = a(x)y (3) gegeben durch f (x) = e A(x) c, c 2 R, (4) mit einer beliebigen Stammfunktion A von a. Sie existiert auf ganz I. œ Man nennt (4) auch die allgemeine Lösung der Gleichung (3), weil man jede Lösung durch Wahl des Parameters c erhält. hhhhh Offensichtlich ist dies für jedes c eine Lösung, denn f 0 = e A A 0 c = e A ac = af. Bleibt zu zeigen, dass jede Lösung von dieser Form ist. Nun, ist f eine beliebige Lösung, dann gilt (e A f) 0 = e A f 0 e A A 0 f = e A af e A af = 0. Also ist e A f = c eine reelle Konstante, und die Behauptung folgt. iiiii.ò a. Für konstantes a ist die allgemeine Lösung von y 0 = ay gegeben durch f (x) = e ax c, c 2 R.
Lineare Differenzialgleichungen 3.2 31 b. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y 0 = y x, x > 0, ist f (x) = c exp 1 ds = c exp ( log x) = c s x. apple/ Der inhomogene Fall Wir betrachten nun die inhomogene lineare Differenzialgleichung y 0 = a(x)y + b(x). (5) Wie bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen auch, kann man diesen Fall auf die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung plus einer einzelnen, oder wie man sagt, partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zurückführen. 2 Proposition Sei f 0 eine partikuläre Lösung 1 der inhomogenen Gleichung (5). Dann ist jede andere Lösung von (5) von der Form f 0 + f mit einer Lösung f der homogenen Gleichung (3). œ hhhhh Ist f 0 eine partikuläre und f eine homogene Lösung, so ist (f 0 + f) 0 = f0 0 + f 0 = af 0 + b + af = a(f 0 + f)+ b, also f 0 + f eine Lösung der inhomogenen Gleichung (5). Ist umgekehrt irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung (5), so ist mit derselben Rechnung f 0 = f eine Lösung der homogenen Gleichung (3). iiiii Es bleibt die Frage, wie man eine partikuläre Lösung findet. Hier hilft die Idee der Variation der Konstanten 2, die auf Lagrange zurückgeht: wenn e A(x) c die homogene Gleichung löst, so löst sie vielleicht auch die inhomogene Gleichung, wenn c sich in geeigneter Weise mit x ändert, also eine Funktion von x wird. Dann ist auf der einen Seite (e A c) 0 = e A A 0 c + e A c 0 = e A ac + e A c 0. Auf der anderen Seite soll diese Funktion die Differenzialgleichung erfüllen, also (e A c) 0 = ae A c + b 1 Das heißt, irgendeine einzelne Lösung. 2 Dieser Begriff ist ein Widerspruch in sich, trifft die Sache aber genau.
32 3 Skalare Differenzialgleichungen gelten. Vergleich dieser beiden Gleichungen ergibt c 0 = e A b. Diese Gleichung ist durch elementare Integration lösbar, denn die rechte Seite ist bekannt. Ist also c 0 eine Stammfunktion von e A b, so ist e A c 0 eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Insgesamt erhalten wir damit folgendes Ergebnis. 3 Satz Die Funktionen a und b seien stetig auf dem Intervall I. Dann ist die allgemeine Lösung von y 0 = a(x)y +b(x) auf ganz I erklärt und gegeben durch f (x) = e A(x) (c + c 0 (x)), c 2 R, mit einer Stammfunktion A von a und einer Stammfunktion c 0 e A b. œ von Schreiben wir dies im Detail aus, so ergibt sich für die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems folgendes Ergebnis. 4 Satz Seien a und b stetig auf I. Dann besitzt das Anfangswertproblem y 0 = a(x)y + b(x), y(x 0 ) = y 0, auf I die eindeutige Lösung f (x) = e A(x) y 0 + x 0 e A(s) b(s) ds, A(x) = a(s) ds. x 0 œ Bemerkung Diese Formel verwendet man allerdings eher für theoretische Untersuchungen. Praktisch löst man zuerst die homogene Gleichung und konstruiert anschließend per Variation der Konstanten direkt eine partikuläre Lösung. Das ist einfacher und weniger fehleranfällig. «.Ò Betrachte die Differenzialgleichung y 0 = 2xy + 2x 3. Eine Stammfunktion von 2x ist x 2, die allgemeine Lösung lautet deshalb f (x) = e c x2 + 2 e s2 s 3 ds, 0 wobei wir von der Freiheit Gebrauch machen, eine uns bequeme Stammfunktion zu wählen. Wertet man das Integral mittels Substitution s 2 = u und partieller
Lineare Differenzialgleichungen 3.2 33 Integration aus, so erhält man Also ist 2 2 e s2 s 3 ds = ue u du = 1 (x 2 + 1)e x2. 0 0 f (x) = e x2 c x 2 1, c 2 R, wobei wir noch von der Freiheit Gebrauch machen, c+1 durch c zu ersetzen. apple/