Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 1
Inhalt Motivation Maxwell-Gleichungen Quantisierung des Strahlungsfeldes Dipolnäherung Zusammenfassung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 2
Motivation Maxwellgleichungen beschreiben alle elektromagnetischen Phänomene 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 3
Warum Quantisierung? Strahlung eines schwarzen Körpers Wiensches Stahlungsgesetz nur gültig für kleine Wellenlängen Rayleigh Jeanssches Strahlungsgesetz führt zu UV-Katastrophe t Plancksches Strahlungsgesetz 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 4
Warum Quantisierung? Äußerer Photoeffekt Bisherige Meinung: kinetische Energie der Elektronen hängt von der Amplitude der elm. Welle ab Einstein: kinetische Energie der Elektronen hängt von der Frequenz der elm Welle ab 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 5
Maxwellgleichungen Gaußsches Gesetz Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Induktionsgesetz Ampèresches Gesetz 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 6
Gaußsches Gesetz Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 7
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Das magnetische Feld ist quellenfrei 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 8
Induktionsgesetz Änderungen des magnetischen Felds führen zu einem elektrischen Wirbelfeld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 9
Ampèresches Gesetz Elektrische Ströme führen zu einem magnetischen Wirbelfeld Rechte Hand Regel 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 10
Maxwell-Gleichungen Maxwellgleichungen im Vakuum 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 11
Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen in Materie 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 12
Quantisierung des Strahlungsfeldes Der reziproke Raum Vektorpotential und skalares Potential Longitudinale und Transversale Vektorfelder Normalvariablen Energie des elektromagnetischen ti Feldes Quantisierung Warum Bosonen? 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 13
Der reziproke Raum Fouriertransformation ti der Felder 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 14
Maxwellgleichungen im reziproken Raum Hängen nur noch von k ab,keine partiellen DGL`s mehr 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 15
Vektorpotential und skalares Potential A(r,t) und U (r,t) erfüllen Maxwell-Gleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 16
Vektorpotential und skalares Potential Reduzierung von 4 auf 2 Gleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 17
Vektorpotential und skalares Potential A und U nicht eindeutig festgelegt Eichfreiheit! 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 18
Coulomb Eichung Longitudinaler Anteil des Vektorpotentials ist 0 Wellen breiten sich in transversaler Richtung aus Skalares Potential entspricht Coulombpotential 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 19
Helmholtz-Theorem Ein Vektorfeld V läßt sich eindeutig als Summe eines wirbel- und eines quellenfreien Vektorfeldes darstellen mit 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 20
Longitudinale/Transversale Vektorfelder Longitudinale Vektorfelder Transversale Vektorfelder 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 21
Longitudinale/Transversale Vektorfelder Angewandt auf die reziproken Maxwellgleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 22
Normalvariablen Definition der Normalvariablen Analog gekoppeltes Federpendel 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 23
Normalvariablen Es gilt aufgrund von Umstellen der Gleichungen der Normalvariablen ergibt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 24
Harmonischer Oszillator Harmonischer Oszillator mit Potential Einführung der Normalvariablen Hamiltonfunktion mit Normalvariablen Kanonischer Impuls Bewegungsgleichung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 25
Normalvariablen Entwicklungsgleichung der Normalvariablen Äquivalent zum harmonischen Oszillator der Variable x + i(p/m w) mit Eigenfrequenz w, getrieben von externer Quelle Falls = 0 : Lösung ist harmonische h Oszillation, welche eine normale Vibrationsmode des freien Feldes beschreibt.! 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 26
Polarisationsvektoren Darstellen von a in einer Orthonormalbasis ( ), welche in einer Ebene orthogonal zu k sind Es gilt 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 27
Normalvariablen Daraus folgt : Neue Entwicklungsgleichung: l i 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 28
Energie des elektromagnetischen Feldes Energie des elektromagnetischen Feldes: Verwendung der Parseval-Plancherel-Gleichung Ergibt für das elektrische Feld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 29
Energie des elektromagnetischen Feldes Es gilt und Die Energie des transversalen elektrischen Feldes + der magnetischen Energie ergibt somit: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 30
Energie des elektromagnetischen Feldes Unter Verwendung der Gleichungen und Ergibt sich die Energie des transversalen elektromagnetischen Feldes zu : 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 31
Energie des elektromagnetischen Feldes Durch Normierung ergibt sich für Unter Verwendung der Orthonormalbasis durch k im 2. Term des Integrals ergibt sich und durch vertauschen von k 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 32
Periodische Randbedingungen Angenommen das Feld befindet sich in einem Würfel der Kantenlänge L Ersetzen der Variablen durch diskrete Variablen Änderung der Notation ti Ersetzen des Integrals durch eine Summe 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 33
Quantisierung Der Ausdruck für die Energie ergibt sich damit zu Die Normalvariablen werden durch Operatoren ersetzt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 34
Warum Bosonen? Spin Statistik Theorem Photonen sind Bosonen Anwendungen: z.b. Laser 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 35
Dipolnäherung Anschauliche Erklärung Hamiltonian des gesamten System Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 36
Dipolnäherung Atomradius (a =5310-11 =10-6 0 5,3 m) << Wellenlänge (l L m) 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 37
Beschreibung der Atome Nicht relativistisch! Beschreibung durch konjugierte Variablen und Kommutatorrelation minimal coupling Teilchen trägt Ladung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 38
Hamiltonian des gesamten Systems Hamiltonian des gesamten Systems Aufteilung des Hamiltonian in 3Teile Ungestörter Hamiltonian / Wechselwirkungshamiltonian 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 39
Hamiltonian des gesamten Systems Hamiltonian des Teilchen Hamiltonian i des transversalen Strahlungsfelds ld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 40
Hamiltonian des gesamten Systems Wechselwirkungshamiltonian Linearer Term Quadratischer Term 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 41
Hamiltonian des gesamten Systems Vernachlässigung des Wechselwirkungshamiltonian Für schwache Wechselwirkung (z.b. kleine Laserintensitäten)gilt : H I1 /H P << 1 ï H I2 /H I1 << 1 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 42
Dipolnäherung Dipolmoment: Ausgangshamiltonian d 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 43
Dipolnäherung Räumliche Ausdehnung von A(r,t) vernachlässigbar A^(r,t) duch A^(R,t) ersetzen (R = Schwerpunkt des Atoms = 0) r 2 r 1 r 3 ï 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 44
Göppert Mayer Transformation Göppert-Mayer Transformation: mit Transformation auf Operatoren angewendet 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 45
Unitäre Transformationen Schrödinger Gleichung Transformierter Zustand Neuer Hamiltonoperator 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 46
Dipolnäherung ergibt neuen Hamiltonoperator mit Dipoleigenenergie des Systems 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 47
Dipolnäherung Transformation des transversalen elektrischen Feldes Wiederholung: Definition des Verschiebungsfeldes 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 48
Dipolnäherung Anwendung der Göppert Mayer Transformation auf D ergibt: Vergleich des letzten Terms des neuen Hamiltonoperators ergibt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 49
Dipolnäherung Hamiltonian in Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 50
Zusammenfassung Maxwellgleichungen Quantisierung des Strahlungsfelds Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 51
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Quellen [1] Cohen-Tannoudji, C., Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (1. Auflage), Wiley (1997) [2] Cohen-Tannoudji, C., Atom-Photon Interactions: Basic Processes and Applications (1. Auflage), Wiley (1998) [3] Jackson, J., Klassische Elektrodynamik (4. Auflage), de Gruyter (2006) [4] Mandel, L. and Wolf,E., Optical coherence and quantum optics (1.Auflage), Cambridge University it Press (1995) 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 53