Wirtschaftmathematik Prof. Dr. Roland Jeske Email: roland.jeske@fh-kempten.de Tel.: 0831-2523-612 Büro: W 313 Sprechstunde: MO 17.30-18.30 Uhr
Vorlesung: DO 14.00-15.30 AM (alle) Jeske Übungen: MO 11.30-13.00 W316 Nit-Sei Heuson DI 9.50-11.20 W315 A-Don Jeske DI 11.30-13.00 W315 Dor-Heg Jeske MI 9.50-11.20 W315 Kra-Nie Hauke MI 11.30-13.00 W106 Sen-Z Heuson DO 11.30-13.00 W106 Hei-Kne Jeske
Gliederung: 1. Grundlagen 2. Zinsrechnung 3. Rentenrechnung 4. Tilgungsrechnung 5. Lineare Gleichungssysteme 6. Lineare Optimierung
Literatur: Ihrig/Pflaumer(2009): Finanzmathematik 11.Aufl., Oldenbourg Pflaumer, P. (2005): Klausurtraining Finanzmathematik, Books on Demand Tietze, J.(2010): Einführung in die Finanzmathematik 10. Aufl., Springer Tietze, J. (2008): Übungsbuch zur Finanzmathematik 5. Aufl., Springer Tietze, J. (2010): Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 15. Aufl., Springer Schwarze, J. (2010): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Band 3, NWB
Kapitel 1: Grundlagen 1.1 Potenzen Regeln: a m a n = a a m m +n = am n an 1 = a m am a 0 = 1 a m n = a m n a m b m = a b m a m b m = a b m
1.2 Wurzeln Als n-te Wurzel von x bezeichnet man die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert x ergibt: n x n x n x = x, also: n x n = x (Umkehrung) Regeln: n a 1 n = a n a m n = a m = a m n n a n b n = ab n a n = b n a b m n a n m = a nm = a
1.3 Logarithmen Es kommt vor, dass man einen Ausdruck der Form b n = x nach n auflösen möchte. Gesucht ist also der Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um den Wert x zu erhalten. Die Auflösung schreibt man als n = log b x und nennt n den Logarithmus von x zur Basis b. Damit erhält man die Umkehrung durch: b log b x = x.
Wichtige Rechenregeln: log b b = 1 log b 1 = 0 log a x = log a b log b x (Basiswechsel) log u v = log u + log v log u v = log u log v log 1 v = log v log u n = n log u log n u = 1 n log u
Kapitel 2: Zinsrechnung Verzinsungsarten: Einfache Verzinsung Die Zinsen am Ende einer jeden Zinsperiode werden nicht weiter verzinst sondern erst am Ende der Laufzeit dem Endkapital zugeschlagen. Zinseszinsrechnung In einer Zinsperiode erhaltene Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen und in der nächsten Zinsperiode mit verzinst (daher Zins auf Zinsen, Zinseszinsen ). Gemischte Verzinsung (Kombination aus beiden)
Grundlegende Begriffe: K 0 Anfangskapital (zum Beginn einer Finanzaktion) n Anzahl der Zinszeiträume (meistens: Jahre) K n Endkapital (nach Ablauf von n Zinszeiträumen) p Zinsfuß (in Prozent) für den Zinszeitraum i = p 100 Zinssatz Z n Zinsen bzw. Zinserträge eines Anfangskapitals nach Ablauf von n Zinszeiträumen
1.1 Einfache Verzinsung Beispiel 1.1: K n = K 0 1 + i n = K 0 1 + p 100 n a) Ein Sparer legt 10.000 über 5 Jahre in einem Sparvertrag an. Dieser sieht vor, dass das Geld einfach mit einem jährlichen Zinssatz von 4% verzinst wird. Über welches Kapital kann er am Ende der 5 Jahre verfügen? b) Derselbe Sparer kann sein Geld in einem alternativen Sparvertrag anlegen, bei dem ihm wiederum bei einfacher Verzinsung im ersten Jahr 2%, im zweiten Jahr 2,5%, im dritten Jahr 3,5%, im vierten Jahr 5% und im letzten Jahr 7% Zinssatz angeboten werden. Soll er sich für die erste oder die zweite Anlageform entscheiden? Umformungen der Ausgangsformel liefern: K 0 = K n 1+i n (Barwertformel der einfachen Verzinsung) sowie:
i = K n K 0 1 1 n n = K n K 0 1 1 i Weitere Beispiele in den Übungen
Zinsrechnung bei angebrochenen Jahren Wird das Kapital nicht für ein ganzes Jahr angelegt, so gelten folgende Regeln: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gezählt. Das Jahr hat 12 Monate = 360 Tage. Bei der Berechnung wird der erste Tag der Anlage nicht gezählt, der letzte hingegen voll. Nur, wenn das Anlageende auf den letzten Februar fällt, so wird der Februar mit 28 bzw. 29 Tagen gezählt (andernfalls ebenfalls mit 30 Tagen). Beispiel 1.2 (Skonto): Es kommt vor, dass insbesondere bei Handwerksleitungen dem Kunden ein Anreiz gesetzt wird, eine Rechnung möglichst rasch zu zahlen. Dabei wird ihm ein Preisnachlass in Form eines sog. Skontos geboten. Eine typische Zahlungsbedingung lautet dabei: Zahlung rein netto innerhalb von 30 Tagen, 2% Skonto innerhalb von 10 Tagen.
Der Kunde hat also die Auswahl, die Rechnungssumme S in 30 Tagen in voller Höhe S zu zahlen oder bereits nach 10 Tagen in Höhe von 0,98 S. Welchem (Jahres-)zins entspricht die Wahrnehmung des Skontos? Lösung: Gegeben sind folgende Größen: K n = S K 0 = 0,98 S n = 20 360 Für den Zinssatz gilt damit: i = K n K 0 1 1 n = S 0,98 S 1 360 20 = 0,3673 Der Jahreszinssatz beträgt also 36,73% und das Skonto ist damit hochattraktiv!
1.2 Zinseszinsrechnung: Den Regelfall der Verzinsung stellt die Zinseszinsrechnung dar. Dabei werden die Zinsen am Ende einer jeden Zinsperiode dem Kapital zugeschlagen und damit bei der nächsten Verzinsung mit verzinst. Nach Ablauf des ersten Jahres gilt damit für das Kapital: K 1 = K 0 + K 0 i = K 0 (1 + i) Am Ende des zweiten Jahres wird wiederum dieses Kapital verzinst, so dass gilt: K 2 = K 1 + K 1 i = K 1 1 + i = K 0 1 + i 2 Dieses Verfahren lässt sich fortsetzen, bis man schließlich zu folgendem Ergebnis kommt: K n = K 0 (1 + i) n = K 0 q n q = 1+i = Zinsfaktor (für eine Zinsperiode)
Beispiel 2.1: Welches Kapital steht einem Sparer zur Verfügung, wenn er 1.000 7 Jahre lang bei 5% Jahreszinsen (zinseszinslich) anlegt? Lösung: K 7 = 1.000 (1 + 0,05) 7 = 1.000 1,05 7 = 1.407,10
Die Formel für die Zinseszinsrechnung enthält vier Variablen: K 0, K n, q, n Sind drei der Variablen bekannt, so kann nach der jeweils unbekannten Variablen aufgelöst werden:
1. Fall: Das Endkapital ist unbekannt Fragetyp: Zu welchem Endkapital K n entwickelt sich ein Anfangskapital K 0 nach n Jahren bei einem Zinssatz i? Die Formel ist dann gegeben durch die bereits bekannte Endwertformel der Zinseszinsrechnung: K n = K 0 1 + i n = K 0 q n
2. Fall: Das Anfangskapital ist unbekannt Fragetyp: Welches Kapital muss heute zur Verfügung gestellt werden, um bei einem vorgegebenem Zinssatz i in n Jahren eine Schuld von K n zu tilgen? K 0 = K n q n Dieses Verfahren nennt man auch Abzinsen oder Diskontieren. Es wird durch den Abzinsungsfaktor 1 q n =q n abgezinst (oder: diskontiert). K 0 wird in diesem Zusammenhang auch Barwert genannt.
3. Fall: Der Zinssatz ist unbekannt Fragetyp: Wie verzinst sich ein Kapital, das sich in n Jahren von einem Anfangskapital K 0 zu einem Endkapital K n entwickelt? i = n K n K 0 1
4. Fall: Die Laufzeit ist unbekannt Fragetyp: Nach wie viel Jahren entwickelt sich ein Kapital von einem Anfangskapital K 0 bei einem Zinssatz i zu einem Endkapital K n? n = log K n log K 0 log q
Beispiele 2.2: 1. Welchen einmaligen Betrag muss ein Schuldner heute zahlen, wenn er in drei Jahren eine Schuld über 100.000 zu begleichen hätte? Er könnte alternativ sein derzeitiges Kapital zu 4% Jahreszinsen anlegen. 2. Innerhalb welcher Zeit verdreifacht sich ein Kapital bei 7,5% Jahreszinsen (bei zinseszinslicher Verzinsung)? 3. Ein Sparer legt 50.000 für 4 Jahre an und erhält anschließend 70.000. Wie groß ist der Jahreszinssatz (bei zinseszinslicher Verzinsung)? 4. Ein Kapital von 10.000 wird zwei Jahre mit 6%, danach 5 Jahre mit 7% und anschließend noch 3 Jahre mit 4% (jeweils Jahreszinsen) verzinst. Auf welchen Betrag ist das Anfangskapital angewachsen? Wie lautet die durchschnittliche Verzinsung des Kapitals?
2.3 Unterjährliche Verzinsung, Effektivzinssatz In der Praxis kommen vielfach auch unterjährige Verzinsungen vor (insbesondere bei Darlehen). Dabei wird vielfach ein Jahreszinssatz (sog. Nominalzinssatz) genannt, der in entsprechenden Anteilen unterjährig (z.b. monatlich oder quartalsweise) angewendet wird: Wenn also m Verzinsungsperioden pro Jahr auftreten, so wird das Kapital bei unterjähriger Verzinsung statt mit dem Zinssatz i insgesamt m-mal zinseszinslich mit dem Zinssatz i m verzinst: mit i = i m. K n = K 0 1 + i m m n = K 0 (1 + i ) m n
Fragt man sich, welcher jährlichen Verzinsung diese Verzinsung entsprechen würde, so gelangt man zu der Fragestellung, welchem Zinssatz i eff (Effektivzinssatz) die Kapitalbildung bei einer jährlichen Verzinsung entsprechen würde: K n = K 0 (1 + i eff ) n Zwischen Nominalzinssatz i nom und Effektivzinssatz i eff besteht damit folgender Zusammenhang: i eff = 1 + i nom m m 1 Der unterjährige Zinssatz i = i nom m wird auch als konformer (unterjähriger) Zinssatz bezeichnet. Zwischen diesem und dem Effektivzinssatz besteht folgende Beziehung: (1 + i ) m = 1 + i eff
Beispiel: 1. Ein Anleger hat die Wahl, sein Kapital zu 6,1% Jahreszinssatz jährlich verzinsen zu lassen oder das Kapital zu einem Nominalzinssatz von jährlich 6% quartalsweise verzinsen zu lassen. Für welche Anlageform sollte er sich entscheiden?
1.4 Gemischte Verzinsung In Deutschland ist es oft geübte Bankpraxis, nicht volle Zinsperioden einfach zu verzinsen: dabei steht K n = K 0 1 + n i 1 + i n (1 + n i) n (0,1) für den Zeitraum des angebrochenen Jahres zu Anfang n (0,1) für den Zeitraum des angebrochenen Jahres am Ende Die mittleren vollen Jahre werden zinseszinslich verzinst. Beispiel: Jemand legt 50.000 Euro vom 25.06.08 bis zum 23.07.2010 für 4% (p.a.) an. Wie hoch ist das Endkapital?
Kapitel 2: Rentenrechnung Unterscheidung in vor- und nachschüssige Renten: Vorschüssig: Zahlungen erfolgen zu Beginn der Periode Nachschüssig: Zahlungen erfolgen zum Ende der Periode
Grundsätzliches Prozedere: Vertrag zwischen zwei Partnern A und B Ein Partner A zahlt in regelmäßigen Abständen eine Rentenrate ( Rente ). Der andere Partner B zahlt im Gegenzug einen einmaligen Betrag (zu Beginn oder Ende der Laufzeit) oder leistet eine entsprechende geldwerte Leistung.
Beispiele: Klassische Rente (Ansparphase): Versicherungsnehmer A zahlt regelmäßig Rentenbeiträge ein, um eine Rente anzusparen. Versicherung B zahlt dieses Geld mit Erreichen des Rentenalters auf einmal aus. Alternativ kann dieses angesparte Kapital wiederum in eine Rente umgewandelt werden (siehe nächstes Bsp.) Klassische Rente (Auszahlungsphase) Der Versicherungsnehmer B stellt der Versicherung sein angespartes Kapital als Rentenbarwert zur Verfügung. Die Versicherung A zahlt ihm in regelmäßigen Abständen dafür eine Rente. Darlehen: Bank B zahlt dem Darlehensnehmer A eine Schuldsumme aus. Der Darlehensnehmer zahlt der Bank in regelmäßigen Abständen einen Teil seiner Schuld in Form einer Rentenrate zurück. Weitere Beispiele: Leasing, Miete,
Grundbegriffe: r Rentenrate R n Rentenendwert R 0 Rentenbarwert p i q n Zinsfuß Zinssatz Zinsfaktor Laufzeit
Rentenendwert = Kapital, das sich nach n Jahren bei festen periodischen Zahlungen r angesammelt hat. Rentenbarwert = Wert einer Rente zu Beginn einer Zahlung; derjenige Wert mit dem eine Rente statt regelmäßiger Zahlungen ersetzt werden kann.
Zwischen dem Rentenendwert R n und dem Rentenbarwert R 0 besteht folgender Zusammenhang: R n = R 0 q n, denn der Rentenendwert kann alternativ dadurch erreicht werden, indem der Rentenbarwert zu Beginn als einmalige Zahlung eingelegt wird, die wiederum n Zinsperioden zinseszinslich verzinst wird, um den Rentenendwert zu erzielen.
2.1 Jährlich (nachschüssige) Renten Am Ende eines jeden Jahres wird eine Rentenrate gezahlt. Am Ende des ersten Jahres beträgt das angesparte Kapital: R 1 = r Am Ende des zweiten Jahres wird eine weitere Rentenrate geleistet, die erste wird zum ersten Mal verzinst: R 2 = r + r q Entsprechend gilt für das dritte Jahr: R 3 = r + r q + r q 2 Schließlich gilt für das n-te Jahr und damit für den Rentenendwert: R n = r + r q + r q 2 + + r q n 1 = r n 1 i=0 q i
Mit Hilfe der geometrischen Reihe erhält man: R n = r qn 1 q 1 (Rentenendwertformel) Der Faktor q n 1 q 1 heißt Rentenendwertfaktor. Diskontieren der Rentenendwertformel liefert: R 0 = r qn 1 q n q 1 (Rentenbarwertformel) Hier heißt der Faktor 1 q n qn 1 q 1 entsprechend Rentenbarwertfaktor.
Beide, Rentenbarwert- und Rentenendwertformel, besitzen 4 Variablen. Sind drei bekannt, so kann die jeweils unbekannte Variable berechnet werden. 1. Fall: R n unbekannt Fragetyp: Welches Kapital sammelt sich nach n Jahren bei jährlichen Zahlungen in Höhe von r an, die mit einem jährlichen Zinssatz von i verzinst werden? R n = r qn 1 q 1 2. Fall: R 0 unbekannt Fragetyp: Welches Kapital muss zur Verfügung stehen, um daraus bei einem jährlichen Zinssatz von i jährlich nachschüssig über einen Zeitraum von n Jahren eine Rentenrate r zahlen zu können? R 0 = r q n qn 1 q 1 3. Fall: r unbekannt Fragetyp a): Welche Rentenrate muss jährlich nachschüssig gezahlt werden, um bei einer Laufzeit von n Jahren bei einem Zinssatz i ein Kapital von R n zu erzielen?
r = R n q 1 q n 1 Fragetyp b): Welche Rentenrate kann n Jahre lang jährlich nachschüssig bei einem Zinssatz i gezahlt werden, wenn ein Kapital R 0 zur Verfügung steht? r = R 0 q n q 1 q n 1 4. Fall: n unbekannt Fragetyp a): Wie lange muss bei einem Zinssatz i jährlich nachschüssig ein Betrag von r angespart werden, um ein Kapital von R n zu erzielen? n = log R n r q 1 + 1 log q Fragetyp b): Wie lange kann bei einem Zinssatz i jährlich nachschüssig ein Betrag von r ausbezahlt werden, wenn ein Kapital von R 0 zur Verfügung steht? n = log 1 R 0 r (q 1) log q 5. Fall: q bzw. i unbekannt: Weder Rentenbarwert- noch Rentenendwertformel sind explizit nach q aufzulösen: Lösung entweder numerisch (z.b. Add- In Solver in EXCEL oder Ablesen und Interpolation
durch entsprechende Tabellen der Rentenbarwertbzw. Rentenendwertfaktoren) Beispiele: 1. Ein Sparer zahlt jeweils zum Jahresende 2.000 auf sein Sparkonto ein, welches zu 4% verzinst wird. Über welches Guthaben verfügt der Sparer nach 10 bzw. 20 Jahren? 2. Das Vermögen von A ist mit 100.000 doppelt so hoch wie das Vermögen von B. A spart jährlich 4.000 nachschüssig, während B 8.000 nachschüssig spart. Die jährliche Verzinsung betrage 6%. a) Nach wie viel Jahren sind die Vermögen von A und B gleich hoch? b) Wie hoch muss die jährliche Sparleistung von B sein, damit er in 10 Jahren das gleiche Vermögen wie A besitzt? 3. Aus einem Kapital von 100.000 soll eine 12- jährige Rente, die sofort fällig ist, gebildet werden. Der Zinssatz betrage 5%. Wie hoch ist die nachschüssige Jahresrentenrate?
4. Otto Normalverbraucher bespart einen Bausparvertrag über 50.000, indem er jährlich nachschüssig 2.400 einzahlt, die mit einem jährlichen Zinssatz von 2% verzinst werden. Der Bausparvertrag ist zuteilungsreif, wenn 40% der Vertragssumme angespart sind. Wann ist der Bausparvertrag zuteilungsreif? 5. Rudi Rententraum ist 25 Jahre alt und möchte seine Altersvorsorge verbessern, indem er eine zusätzliche private Rente abschließt. Er zahlt dazu 40 Jahre jährlich nachschüssig einen Betrag von 2.400 ein, der mit 4% (p.a.) verzinst wird. Welche jährlich (nachschüssige) Rentenrate kann er im Gegenzug ab dem 65. Lebensjahr über 20 Jahre erhalten, wenn die Verzinsung ebenfalls wiederum 4% (p.a.) beträgt? 2.2 Vorschüssige jährliche Renten Man kann sich leicht klarmachen, dass der Unterschied zwischen nachschüssiger und vorschüssiger Zahlung darin besteht, dass bei der vorschüssigen Zahlung jede
Rentenrate einmal mehr verzinst wird. Daher erhält man: R n = r q qn 1 q 1 (Rentenendwertformel) Analog erhält man durch Diskontieren: R 0 = r qn 1 q n 1 q 1 (Rentenbarwertformel) 2. 3 Unterjährliche Rentenzahlungen Im Regelfall werden Renten nicht jährlich gezahlt sondern unterjährlich (z.b. monatlich). In diesem Fall kann die unterjährliche Rente aus einer jährlichen sog. Ersatzrentenrate umgerechnet werden: m Anzahl der Zahlungsperioden innerhalb der Zinsperiode (z.b. m = 12 bei monatlicher Zahlung) r e jährliche Ersatzrentenrate
nachschüssig: R n = r e qn 1 q 1, r e = r m + i m 1 2 vorschüssig: R n = r e qn 1 q 1, r e = r m + i m + 1 2 Die Umrechnung zum Rentenbarwert erfolgt jeweils durch Diskontieren: R 0 = R n q n Achtung! Bei den unterjährigen Rentenrechnungen verwendet man bei vorschüssigen Renten die nachschüssige Rentenendwertformel, da auf eine jährliche nachschüssige Rente umgerechnet wird!
2.4 Ewige Renten Welche Rentenrate kann man aus einem Kapital (z.b. Stiftung) dauerhaft (also ewig) auszahlen? nachschüssig: vorschüssig: r = R 0 i r = R 0 i i+1 Beispiel: Ein Unternehmer möchte eine Stiftung einrichten, um jedes Jahr dem besten Absolventen der ISM einen Preis in Höhe von 10.000 zur Verfügung zu stellen. Wie hoch muss das Stiftungskapital sein, wenn die Auszahlung jedes Jahr nachschüssig erfolgt und das Stiftungskapital zu 4% (p.a.) zinseszinslich angelegt wird? Aus einem Stiftungskapital von 5 Mio. Euro, das langfristig zu 5% (p.a.) Zinssatz angelegt ist, soll jährlich ein Preis vergeben werden. Welche Preissumme steht jährlich vorschüssig zur Verfügung?
Kapitel 3: Tilgungsrechnung Tilgung = Rückzahlung einer (meist langfristigen Schuld) Grundbegriffe: S Schuld, die getilgt werden muss n i p T Z Laufzeit Zinssatz Zinsfuß Tilgungsbetrag Zinsen A = Z + T Annuität Tilgungsarten: Ratentilgung Die Tilgung wird gleichmäßig auf die Laufzeit aufgeteilt: T = const.
Annuitätentilgung Die Annuität, also die Gesamtbelastung ist über die Laufzeit hinweg konstant: A = const. Im Regelfall wird ein kompletter sog. Tilgungsplan erstellt. Dieser enthält: die einzelnen Zahlungs- bzw. Zinstermine, Restschuld (zu Beginn des Zahlungstermins), Zinsbetrag, Tilgungsbetrag, Annuität, Restschuld nach Verrechnung der aktuellen Tilgung (= Restschuld zu Beginn des nächsten Zahlungstermins, s.o.)
Tilgungsplan: Zahlungstermin Restschuld Beginn Zinsen Tilgung Annuität Restschuld Ende 1 S 0 = S Z 1 T 1 A 1 S 1 = S 0 T 1 = S 0 i = Z 1 + T 1 2 S 1 Z 2 T 2 A 2 S 2 = S 1 T 2 = S 1 i = Z 2 + T 2 k S k 1 Z k = S k 1 i T k A k = Z k + T k S k = S k 1 T k n S n 1 Z n = S n 1 i T n A n = Z n + T n S n = 0 3.1 Ratentilgung Um die Schuld in der Laufzeit n mit konstanter Tilgung zu begleichen, muss gelten: T = S n Für die Erstellung des Tilgungsplan geht man wie folgt vor: Die Restschuld zu Beginn des