Kategorien Anna Katarina Binder (1. Teil) und Tobias Kamke (2. Teil) 08.01.2005 1 Kategorien, Funktoren und natürlice Transormationen 1. Deinition Eine Kategorie C bestet aus einer Ansammlung ob C von Objekten A, B, C... einer Ansammlung mor C von Morpismen, g,... zwei Operationen dom, cod von den Morpismen au die Objekte (Screibweise: ist Morpismus mit dom = A und cod = B wird gescrieben als A B) einer Operation A 1 A von den Objekten au die Morpismen derart, daß A 1 A A einer partiellen binären Operation (auc Komposition genannt) au den Morpismen mor C mor C mor C, (, g) g, deiniert genau im Fall dom = cod g mit den Eigenscaten Morpismus, dom = cod g = dom ( g) = dom g, cod ( g) = cod Morpismus, dom = A = 1 A = g Morpismus, cod g = A = 1 A g = g, g, Morpismen, cod = dom g, cod g = dom = ( g) = (g ) 1
2. Beispiele 1. Die Kategorie Set. Objekte sind alle Mengen, Morpismen sind die Funktionen zwiscen diesen Mengen. 2. Die Kategorie Grp. Objekte sind alle Gruppen, Morpismen sind die Gruppenomomorpismen zwiscen diesen Gruppen. Analog auc Ab (ablescen Gruppen), Rng (Ringe), CRng (kommutative Ringe), Vect K (K-Vektorräume) etc. 3. Eine Gruppe kann man als eine Kategorie mit nur einem Objekt auassen. Die Gruppenelemente entsprecen den Morpismen. 4. Eine Kategorie C, in der ür beliebige A, B ob C öcstens ein Morpismus A B existiert, nennt man auc eine Präordnung, denn die Ansammlung ob C besitzt mit = {(A, B) : A, B ob C A B mor C} eine relexive, transitive (Ordnungs-)Relation. 3. Dualität Jeder Kategorie C kann man in olgender Weise eine duale Kategorie C op zuordnen: Die Objekte und die Morpismen von C op sind diejenigen von C (um Verwecslungen zu vermeiden jedoc otmals verseen mit einem op ), dom und cod sind jedoc vertausct und die Komposition op umgekert, d.. op op g op = (g ) op. Daraus olgt das Dualitätsprinzip der Kategorienteorie: Ist P eine allgemeingültige Aussage über Kategorien, so gilt auc die Aussage P, die man aus P durc Umkerung aller Peile erält. 4. Deinitionen Es seien C eine Kategorie und A, B ob C. Ein Morpismus A e B mor C eißt invertierbar in C, alls B e A mor C existiert mit e e = 1 B und e e = 1 A. A, B eißen isomorp, alls ein invertierbarer Morpismus A e B mor C existiert. Isomorpie ist eine Äquivalenzrelation au ob C. Ein Morpismus A m B mor C eißt monomorp (auc monic) in C, alls ür alle D 1 A, D 2 A mor C gilt: m 1 = m 2 = 1 = 2. Ein Morpismus A B mor C eißt epimorp (auc epi, epic) in C, alls ür alle B g 1 C, B g 2 C mor C gilt: g 1 = g 2 = g 1 = g 2. Ein Objekt T ob C eißt terminal in C, alls zu jedem Objekt A ob C genau ein Morpismus A T mor C existiert. Ein Objekt S ob C eißt initial in C, alls S op terminal in C op ist. 2
5. Deinition Es seien C und D Kategorien. Ein (kovarianter) Funktor T : C D bestet aus einer Abbildung zwiscen den Objekten T : ob C ob D und einer Abbildung zwiscen den Morpismen T : mor C mor D mit den Eigenscaten T (1 A ) = 1 T A und T (g ) = T (g) T (), wenn g erklärt ist. Ein (kontravarianter) Funktor T : C D bestet aus einer Abbildung zwiscen den Objekten T : ob C ob D und einer Abbildung zwiscen den Morpismen T : mor C mor D mit den Eigenscaten T (1 A ) = 1 T A und T (g ) = T () T (g), wenn g erklärt ist. 6. Beispiele 1. Der Vergißunktor. Die Objekte in C seien Mengen mit einer bestimmten Struktur (etwa Gruppen, Ringe, topologisce Räume etc.), die Morpismen strukturverträglice Abbildungen dazwiscen. Der Vergißunktor C Set ordnet jedem Objekt die zugrundeliegende Menge, jedem Morpismus die entsprecende Mengenabbildung zu. 2. Der Funktor T : Grp Ab ordnet jeder Gruppe G die Faktorgruppe G/[G, G] und jedem Gruppenomomorpismus : G H den induzierten Gruppenomomorpismus ˆ : G/[G, G] H/[H, H] zu. 3. Ein Funktor zwiscen Gruppen ist ein Gruppenomomorpismus. 7. Deinition Es seien S, T : C D zwei Funktoren. Eine natürlice Transormation τ zwiscen S und T (Screibweise: τ : S T ), ordnet jedem Objekt A ob C einen Morpismus τa : SA T A mor D zu, so daß ür alle A B mor C das olgende Diagramm kommutiert: SA τa T A S SB T τb T B 3
8. Beispiel Au den Funktor T aus Beispiel 6 läßt sic eine natürlice Transormation vom identiscen Funktor konstruieren (wobei die Kategorie Ab als eine Unterkategorie von Grp augeaßt wird). Denn mit der Wal τg = p G : G G/[G, G] (p G Projektion) kommutiert das olgende Diagramm: G p G G/[G, G] T p H H H/[H, H] 9. Deinition Es seien C, D Kategorien, S : D C ein Funktor und B ob C. Die Komma-Kategorie (B S) at als Objekte alle Paare (G, ), wobei G ob D und B SG mor C und als Morpismen (G, ) (G, ) diejenigen Morpismen G G mor D, so daß S =. In Diagrammorm: B SG S SG Komposition von Morpismen ist gegeben durc die Komposition von Morpismen in D. Anmerkung: Gleiceit von Morpismen (, G) (, G ), (, G) (, G ) mor (B S) liegt vor, wenn = in D. 2 Universals 10. Deinition Es seien C, D Kategorien, S : D C ein Funktor und A C. Ein Paar (R, u), wobei R ob D und A u SR mor C, eißt ein universeller Peil von A nac S, alls es zu jedem Paar (B, ), B ob D 4
und A SB mor C, genau einen Morpismus R B mor D gibt mit S u =. In Diagrammorm: A u SR S SB 11. Bemerkung Das Paar (R, u) ist genau dann ein universeller Peil von A nac S, wenn (R, u) ein initiales Objekt in der Komma-Kategorie (A S) ist. Insbesondere olgt, daß (R, u) eindeutig bis au Isomorpie bestimmt ist; insbesondere ist das Objekt R aus D eindeutig bis au Isomorpie. 12. Beispiele 1. Vektorräume. Es sei X eine Menge und V X der K-Vektorraums, welcer aus allen ormalen K-Linearkombinationen der Elemente aus X bestet. Dann ist (V X, u : {X UV X, x x}) ein universeller Peil von X zum Vergißunktor U : Vct K Set. In Diagrammorm: X u UV X U UW 2. Freie Gruppen. Es sei X eine Menge. Eine Gruppe F X mit X F X eißt rei über X, alls (F X, u : {X UF X, x x}) ein universeller Peil von X zum Vergißunktor U : Grp Set ist. In Diagrammorm: 5
X u UF X U UG Änlic lassen sic auc reie Monoide, Polynomalgebren etc. bescreiben. 3 Anwendung 13. Satz (2. Isomorpiesatz der Gruppenteorie) Es sei G eine Gruppe und M, N G seien Normalteiler mit M N. Dann gilt (G/M)/(N/M) = G/N. Beweis Es sei HG N : Grp Set der Funktor, der eine Gruppe H ob Grp au {G H mor Grp : (N) = e H } und einen Morpismus H g H au {HG N(H) HN G (H ), j j g} abbildet. Damit ist (G/N, (p G N ) ) ein universeller Peil von { } nac HG N. pg N bezeicnet dabei die Projektion G G/N und (p G N ) die Abbildung { } p G N. In Diagrammorm: { } (p G N ) H N G (G/N) H N G ( ) HG N (G ) Zum Beweis des Isomorpiesatzes benötigt man olgende vier Diagramme: { } (pg M ) H M G (G/M) (p G N ) H M G (g) 6 HG M (G/N)
{ } (pg/m N/M ) H N/M G/M ((G/M)/N/M)) g H N/M G/M () H N/M G/M (G/N) { } (pg M ) H M G (G/M) (p G/M N/M pg M ) HG M ((G/M)/(N/M)) H M G (k) = HM G (pg/m N/M ) { } (p G N ) H N G (G/N) (p G/M N/M pg M ) H N G () HG N ((G/M)/(N/M)) Aus der Konstruktion ergibt sic die Eindeutigkeit von, g,, k. Es liegen olgende Identitäten vor: 1. g p G M = pg N 2. p G/M N/M = g 3. p G N = pg/m N/M pg M Damit olgt g p G M gilt p G N universell = = 1 G/N. (1) = p G N (3) = p G/M N/M pg M (1) = g p G M = pg/m N/M pg M Ebenso ergibt sic p G/M N/M = pg/m N/M universell = g = p G/M N/M. Weiter (2) = g p G M (1) = p G N universell = = 1 (G/M)/(N/M). Literatur: Saunders Mac Lane (1997): Categories or te Working Matematician. Springer-Verlag, New York 7