2 Normalformen 2.1 Äquivalenz und Folgerung Definition 2.1 Äquivalenz, Folgerung). Seien ϕ, ψ FO[σ]. a) ϕ und ψ heißen äquivalent kurz: ϕ ψ, bzw. ϕ = ψ), wenn für alle zu ϕ und ψ äquivalent passenden σ-interpretationen I gilt: I = ϕ I = ψ. ϕ ψ = b) ψ folgt aus ϕ bzw. ϕ impliziert ψ, kurz: ϕ = ψ), wenn für alle zu ϕ und ψ passenden σ-interpretationen I gilt: Falls I = ϕ, so auch I = ψ. Beobachtung: Für alle ϕ, ψ FO[σ] gilt: ϕ ψ ϕ = ψ und ψ = ϕ. ψ folgt aus ϕ ϕ = ψ ϕ ψ) ist allgemeingültig. ϕ ψ ϕ ψ) ist allgemeingültig. Beobachtung 2.2. Für alle ϕ, ψ FO[σ] gilt: ϕ ψ) ϕ ψ) ϕ ψ) ϕ ψ) ϕ ψ) ϕ ψ) ϕ ψ) ) ϕ ψ) ϕ ψ) ) x ϕ x ϕ Daher können wir, falls nötig, auf die Symbole,,, verzichten. D.h.: Jede FO[σ]-Formel ϕ ist äquivalent zu einer FO[σ]-Formel, in der keines der Symbole,,, vorkommt. 2.2 Die pränexe Normalform Definition 2.3. a) Eine FO[σ]-Formel ψ heißt quantorenfrei, falls in ihr keins der Symbole, vorkommt. b) Eine FO[σ]-Formel ϕ ist in pränexer Normalform bzw. Pränex-Normalform), wenn sie von der Form Q 1 x 1 Q n x n ψ ist, wobei n 0, Q 1,..., Q n {, }, x 1,..., x n Var und ψ quantorenfrei ist. Q 1 x 1,..., Q n x n wird Quantoren-Präfix von ϕ genannt; ψ heißt Kern von ϕ bzw. Matrix von ϕ. quantorenfrei Pränex- Normalform Quantoren-Prefix Kern/Matrix 31
Satz 2.4 Satz über die pränexe Normalform). Jede FO[σ]-Formel ϕ ist äquivalent zu einer FO[σ]-Formel ϕ in pränexer Normalform mit freiϕ ) = freiϕ). Bevor wir Satz 2.4 beweisen, betrachten wir zunächst ein Beispiel. Beispiel 2.5. Sei ϕy) := x y Ex, y) x Ex, y) ). Umformung in eine äquvivalente Formel in Pränex-Normalform: ϕ x y Ex, y) x Ex, y) ) Elimination von x y Ex, y) x Ex, y) ) y ψ y ψ x z 1 Ex, z 1 ) z 2 Ez 2, y) ) Umbenennung von gebundenen Variablen x z 1 z 2 Ex, z1 ) Ez 2, y) ) Zusammenlegung der Disjunktion x z 1 z 2 Ex, z 1 ) Ez 2, y) ) Negation x z 1 z 2 Ex, z1 ) Ez 2, y) ) De Morgan Beweis von Satz 2.4: Wir zeigen zunächst zwei Dinge: Behauptung 1: Sei ψ := Q 1 x 1 Q n x n χ, wobei n 0, Q 1,..., Q n {, } und χ FO[σ]. Für jedes Q {, } sei { falls Q = Q := falls Q =. Dann gilt ψ Q 1 x 1 Q n x n χ. Beweis von Behauptung 1: Einfaches Nachrechnen per Induktion über n unter Verwendung der Tatsache, dass Details: Übung. x ϑ x ϑ und x ϑ x ϑ Behauptung 2: Seien ψ 1 := Q 1 x 1 Q l x l χ 1 und ψ 2 := Q 1y 1 Q my m χ 2, wobei l, m 0, Q 1,..., Q l, Q 1,..., Q m {, }, x 1,..., x l, y 1,..., y m Var, χ 1, χ 2 FO[σ]. Es gelte {x 1,..., x l } freiχ 2 ) = und {y 1,..., y m } freiχ 1 ) =. Dann gilt für {, }, dass ψ 1 ψ 2 ) Q 1 x 1 Q l x l Q 1y 1 Q 1y m χ 1 χ 2 ). Beweis von Behauptung 2: Zwei Induktionen über l bzw. m unter Verwendung der Tatsache, dass Folgendes gilt: Kommt die Variable x nicht in ϑ 1 vor, so ist 32
a) ϑ 1 x ϑ 2 ) x ϑ 1 ϑ 2 ) b) ϑ 1 x ϑ 2 ) x ϑ 1 ϑ 2 ) c) ϑ 1 x ϑ 2 ) x ϑ 1 ϑ 2 ) d) ϑ 1 x ϑ 2 ) x ϑ 1 ϑ 2 ) Details: Übung. Abschluss des Beweises von Satz 2.4: Sei ϕ eine FO[σ]-Formel. Gemäß Beobachtung 2.2 können wir annehmen, dass in ϕ keins der Symbole, vorkommt. Per Induktion über den Aufbau von ϕ zeigen wir, dass es eine zu ϕ äquivalente Formel ϕ in Pränex-Normalform gibt mit freiϕ ) = freiϕ). Induktionsanfang: Atomare Formeln sind quantorenfrei und daher insbesondere in Pränex-Normalform. Induktionsschritt: Fall 1: ϕ ist von der Form Qx ψ, mit Q {, }, x Var, ψ FO[σ]. Gemäß Induktionsannahme gibt es eine zu ψ äquivalente Formel ψ in Pränex-Normalform mit freiψ ) = freiψ). Offensichtlich ist ϕ := Qx ψ die gesuchte Formel in Pränex- Normalform. Fall 2: ϕ ist von der Form ψ mit ψ FO[σ]. Gemäß Induktionsannahme gibt es eine Formel ψ in Pränex-Normalform mit ψ ψ und freiψ ) = freiψ). Klar: ϕ ψ. Gemäß Behauptung 1 gibt es eine zu ψ äquivalente Formel in Pränex-Normalform. Fall 3: ϕ ist von der Form ψ 1 ψ 2 ) mit {, } und ψ 1, ψ 2 FO[σ]. Gemäß Induktionsannahme gibt es Formeln ψ 1, ψ 2 in Pränex-Normalform mit ψ 1 ψ 1, ψ 2 ψ 2, freiψ 1) = freiψ 1 ) und freiψ 2) = freiψ 2 ). Klar: ϕ ψ 1 ψ 2). Sei Q 1 x 1 Q l x l χ 1 die Form von ψ 1 mit χ 1 quantorenfrei) und sei Q 1y 1 Q my m χ 2 die Form von ψ 2 mit χ 2 quantorenfrei). Durch konsistentes Umbenennen der in ψ 1, ψ 2 gebundenen Variablen x 1,..., x l, y 1,..., y m können wir o.b.d.a. annehmen, dass {x 1,..., x l } freiχ 2 ) = und {y 1,..., y m } freiχ 1 ) =. Gemäß Behauptung 2 gibt es eine zu ψ 1 ψ 2) äquivalente Formel in Pränex- Normalform. Satz 2.4 33
2.3 Termreduzierte Formeln Terme, die in einer FO[σ]-Formel vorkommen, können ineinander geschachtelte Funktionssymbole enthalten. Beispiel 2.6. Sei σ := {f, g} und ϕ := x y f x, gy) ) = x. 2 1 Die Formel ϕ enthält hier den geschachtelten Term f x, gy) ). Man sieht leicht, dass ϕ äquivalent ist zur Formel ϕ := x y z gy) = z fx, z) = x ), in der keine geschachtelten Terme vorkommen. Definition 2.7. Eine FO[σ]-Formel heißt termreduziert, wenn all ihre atomaren Teilformeln von der Form Rx 1,..., x r ), mit R σ, r = arr), x 1,..., x r Var, fx 1,..., x k ) = y, mit f σ, k = arf), x 1,..., x k, y Var, x = c, x = y, mit x Var, c σ oder mit x, y Var sind. Satz 2.8. Jede FO[σ]-Formel ϕ ist äquivalent zu einer termreduzierten FO[σ]-Formel ϕ mit freiϕ ) = freiϕ). Beweis: Per Induktion über den Aufbau von Formeln ordnen wir jeder FO[σ]-Formel ϕ eine äquivalente termreduzierte Formel ϕ zu. Für gegebenes ϕ FO[σ] sei x 1, x 2, x 3,... die Auflistung aller nicht in ϕ vorkommenden Variablen aus Var in der durch v 0, v 1, v 2,... induzierten Reihenfolge). Fall 1: ϕ ist von der Form t = x, mit x Var, t T σ. ϕ wird induktiv über den Aufbau von t wie folgt definiert: Ist t von der Form y, mit y Var, so Ist t von der Form c, mit c σ, so ϕ := ϕ ϕ ist von der Form y = x). ϕ := x = c ϕ ist von der Form c = x). Ist t von der Form ft 1,..., t k ) mit f σ, k = arf), t 1,..., t k T σ, so ϕ := x 1 x k fx1,..., x k ) = x [t 1 = x 1 ] [t k = x k ] ) ϕ ist von der Form ft 1,..., t k ) = x). 34
Fall 2: ϕ ist von der Form t 1 = t 2, wobei t 1, t 2 T σ und t 2 keine Variable ist. Dann setze ϕ := x 1 [t1 = x 1 ] [t 2 = x 1 ] ). Fall 3: ϕ ist von der Form Rt 1,..., t r ) mit R σ, r = arr), t 1,..., t r T σ. Dann setze ϕ := x 1 x r Rx1,..., x r ) [t 1 = x 1 ] [t r = x r ] ). Fall 4: ϕ ist von der Form ψ mit ψ FO[σ]. Dann setze ϕ := ψ. Fall 5: ϕ ist von der Form ψ 1 ψ 2 ) mit ψ 1, ψ 2 FO[σ] und {,,, }. Dann setze ϕ := ψ 1 ψ 2). Fall 6: ϕ ist von der Form Qx ψ mit Q {, }, x Var, ψ FO[σ]. Dann setze ϕ := Qx ψ. Man sieht leicht, dass in jedem der oben angegebenen Fälle gilt: ϕ ϕ, ϕ ist termreduziert und freiϕ ) = freiϕ). 2.4 Relationale Signaturen Definition 2.9. Eine Signatur heißt relational, wenn sie keinee) Funktionssymbole) und keine) Konstantensymbolee) enthält. relationale Signatur Manchmal z.b. in den Kapiteln 3 und 4) ist es vorteilhaft, sich auf relationale Signaturen zu beschränken. Im Folgenden zeigen wir, dass dies keine wirkliche Einschränkung ist, da man Funktionen und Konstanten durch geeignete Relationen repräsentieren kann. Definition 2.10. a) Jeder Signatur σ ordnen wir eine relationale Signatur σ rel wie folgt zu: σ rel := {R : R σ ist ein Relationssymbol} {R f : f σ ist ein Funktionssymbol} {R c : c σ ist ein Konstantensymbol}. Für jedes c σ ist dabei R c ein 1-stelliges Relationssymbol; für jedes f σ mit k := arf) ist R f ein Relationssymbol der Stelligkeit k + 1. b) Jeder σ-struktur A ordnen wir eine σ rel -Struktur A rel wie folgt zu: A rel hat dasselbe Universum wie A, d.h. A rel = A. A rel stimmt mit A auf den Relationssymbolen aus σ überein, d.h. für jedes Relationssymbol R σ gilt R A rel := R A. 35
Für jedes Funktionssymbol f σ mit k := arf) ist R A rel f der Graph der Funktion f A, d.h. R A rel f := { a 1,..., a k, b) A k+1 rel : f A a 1,..., a k ) = b }. Für jedes Konstantensymbol c σ ist R A rel c c A enthält, d.h. R A rel c := {c A }. die 1-stellige Relation, die nur das Element Der folgende Satz besagt, dass FO[σ]-Formeln genau dieselben Aussagen über σ-interpretationen machen können, wie FO[σ rel ]-Formeln über die entsprechenden σ rel -Interpretationen. Satz 2.11. a) Zu jeder FO[σ]-Formel ϕ gibt es eine FO[σ rel ]-Formel ˆϕ, so dass für alle zu ϕ passenden σ-intepretationen A, β) gilt: A, β) = ϕ A rel, β) = ˆϕ. b) Zu jeder FO[σ rel ]-Formel ϕ gibt es eine FO[σ]-Formel ˆϕ, so dass für alle zu ˆϕ passenden σ-interpretationen A, β) gilt: A rel, β) = ϕ A, β) = ˆϕ. Beweis: a) Gemäß Satz 2.8 genügt es, ˆϕ für termreduzierte FO[σ]-Formeln ϕ anzugeben. Wir tun dies induktiv über den Aufbau von termreduzierten FO[σ]-Formel ϕ: Fall 1: ϕ ist von der Form Ry 1,..., y r ) mit R σ, r = arr), y 1,..., y r Var. ˆϕ := ϕ. Fall 2: ϕ ist von der Form fx 1,..., x k ) = y mit f σ, k = arf), x 1,..., x k, y Var. ˆϕ := R f x 1,..., x k, y). Fall 3: ϕ ist von der Form x = c mit x Var, c σ. ˆϕ := R c x). Fall 4: ϕ ist von der Form x = y mit x, y Var. ˆϕ := ϕ. Fall 5: ϕ ist von der Form ψ mit ψ FO[σ] und ψ ist termreduziert. ˆϕ := ˆψ. Fall 6: ϕ ist von der Form ψ 1 ψ 2 ) mit ψ 1, ψ 2 FO[σ], {,,, } und ψ 1, ψ 2 sind termreduziert. ˆϕ := ˆψ 1 ˆψ 2 ). Fall 7: ϕ ist von der Form Qx ψ mit Q {, }, x Var, ψ FO[σ] und ψ ist termreduziert. ˆϕ := Qx ˆψ. 36
Man sieht leicht, dass in jedem der oben angegebenen Fälle für jede zu ϕ passende σ- Interpretation A, β) gilt: A, β) = ϕ A rel, β) = ˆϕ. b) Zum Beweis von b) können wir ähnlich wie in a) verfahren, wobei wir an Stelle von Fall 2 und Fall 3 folgendermaßen vorgehen: Fall 2 : ϕ ist von der Form R f x 1,..., x k, x k+1 ) mit k + 1 = arr f ), x 1,..., x k+1 Var. ˆϕ := fx 1,..., x k ) = x k+1. Fall 3 : ϕ ist von der Form R c x) mit x Var. ˆϕ := t = c. Man sieht leicht, dass in jedem der Fälle für jede zu ˆϕ passende σ-interpretation A, β) gilt: A, β) = ˆϕ A rel, β) = ϕ. 2.5 Literaturhinweise Zur weiteren Lektüre sind die Kapitel 8.1 und 8.4 aus [EFT07] empfohlen. 2.6 Übungsaufgaben Aufgabe 2.1. Entwickeln Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe einer beliebigen FO[σ]-Formel ϕ eine zu ϕ äquivalente Formel ϕ in pränexer Normalform erzeugt. Analysieren Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus in Abhängigkeit von der Länge der Eingabe ϕ). 37