Problemlösen lernen mit Lebensweltbezug in einem MU für alle ein Unterrichtskonzept für heuristische Bildung

Problemlösen lernen mit Lebensweltbezug in einem MU für alle ein Unterrichtskonzept für heuristische Bildung Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt Erfurt am 05.03.2004 www.math-learning.com

Gliederung 1. Ausgangspositionen Ausgangssituation PL als Ziel des MU, Schüler- Lehrersicht, Unterrichtsrealität 2. Grundlagen für erfolgreiches Problemlösenlernen im MU Problemlösen heisst Fragen stellen und erfordert Selbstregulation 3. Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens 4. Wirkprinzip heuristischer Bildung 5. Unterrichtskonzept für Problemlösenlernen und Selbstregulation

1.Ausgangssituation Mathematisches Problemlösen gilt (nicht erst seit TIMSS und PISA) als defizitär, zählt aber nach WINTER zu den drei Grunderfahrungen, die den allgemeinbildenden Charakter des Mathematikunterrichts legitimieren. Worum geht es im MU? Was soll gelernt werden? Warum gerade das?

Bedeutung für den MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Bedeutung für den MU Vertiefung: Problemlösen - trägt zu einem adäquaten Mathematikbild bei (Mathematik als sich etwas Entwickelndes, Fehler und Irrtümer gehören dazu) - ist ein wichtiges Element, um neues Wissen zu generieren; liefert Einsichten in Wege zur Erkenntnisgewinnung (POINCARE) - hat wertvolle Alltagsbezüge: fördert geistige Beweglichkeit (Kreativität), logisches Strukturieren und Analysieren und vermittelt Metakompetenz (triadisches Denken) durch Strategiewissen

Grundverständnis Problem solving meint: Aufgabenlösen in einem umfassenden Sinne Aufgaben sind Aufforderungen zum (Lern-) Handeln Eine Aufgabe wird für ein Individuum dann zu einem Problem, wenn sie ungewohnt erscheint und nicht sofort eine erfolgversprechende Lösungsidee parat ist... Problemlösen lernen meint insbesondere: Methoden zum Lösen individuell schwieriger Aufgaben kennen und anwenden lernen...

Forschungsergebnisse Aktuelles Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben TIMS-Videostudie: BRD,USA, Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca. 1000 Aufgaben (J.NEUBRAND 2003) USA ca. 24 Aufgaben pro Stunde, BRD ca. 12 und Japan ca. 5-6 Aufgaben pro Stunde. Ca. 4 dieser 12 Aufgaben werden in der BRD nicht besprochen.

Forschungsergebnisse 100 Prozent 80 60 40 20 Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan J.Neubrand 2003

Bedeutung für Schüler PISA-Apfelbaumaufgabe oder: Warum haben Elefanten so große Ohren? - Apfelbäume werden im quadratischen Muster gepflanzt und von Nadelbäumen als Windschutz umsäumt. - Abhängigkeiten werden thematisiert z.b. zwischen Musternummer und Nadelbaumzahl (linear) -...zwischen dem Quadratrastermaß (Apfelbäume) und der Anzahl der Nadelbäume Weg: Informationen neu strukturieren und in Beziehung setzen Abhängigkeiten erfassen zwischen dem Äußeren und dem Inneren: Inhalt und Rand oder Hülle und Fülle

Lehrerkompetenzen Repertory-Grid-Befragung von Lehrkräften: Interview: Unterscheidungsmerkmale von Aufgabenpaaren beschreiben (Dimension der diagnostischen Kompetenz) 1. Gib drei verschiedene Gleichungen an, die 5 als Lösung haben! 2. Wofür werden lineare Gleichungen benötigt? 3. Löse die folgenden Gleichungen: 3x +10 = 5x 70 usw. 4. Schreibe einen Aufgabentext, der auf folgende Gleichung führt: 3(0,5x-7) = 5-1,5x 5. In zwei Kisten befinden sich 54kg Äpfel. Die zweite Kiste wiegt 12kg mehr als die erste Kiste. Wie viele kg Äpfel sind in jeder Kiste?

Forschungsergebnisse Kategorienbildung über den gefundenen Merkmalen: -Didaktische Funktion -Schülertätigkeit, Motivationspotenzial -Mathematischer Gehalt, Lösungsstrategien -Aufgabentyp (Zielstruktur, Frageformat) -Schwierigkeitsgrad Erkenntnisse aus dem Repertory-Grid: Profile der Lehrkräfte, Reflexionsanlass, individuelle Entwicklungsfortschritte darstellbar

- aber wie? 2. Grundlagen Problemlösen heißt Fragen stellen Probleme, die nicht verstanden wurden, können auch nicht gelöst werden Worum geht es? Erfolgreiches Problemlösen setzt solides Basiswissen voraus Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? Problemlösen hat eine experimentelle Komponente - erfordert Ausprobieren Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? Problemlösen heißt Schwierigkeiten überwinden

heisst auch Schwierigkeiten überwinden Selbstregulation mehr als Lernen lernen! Sachverhalt verstehen Ziele setzen geeignete Vorgehensweise finden Ergebnis einschätzen Selbstmotivation Willensstrategein Umgehen mit Ablenkern Heuristische Strategien kennen und nutzen mit Fehlern umgehen Verantwortung für eignes Lernen übernehmen

2. Grundlagen Mein eigenes Problemlösemodell: Wie gehen Sie vor, wenn Sie mit einer schwierigen, neuen (Problem-)Situation konfrontiert werden? -eigene Selbstkontrollmechanismen, Selbstwirksamkeit -Strategiebewusstsein (unterschiedlich: Autofahrenlernen im Vergleich)

3. Zielkonkretisierung Lernziel und Lernchance im MU: Problemlösefähigkeiten erwerben als heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen Weg zur Umsetzung: - Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens

3. Zielkonkretisierung Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- wo wird dabei Mathematik benötigt? Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren... Anregungen unter: www.mathe-zirkel.de (ein Schülerportal ab Kl.7)

Rundgang mit der Mathematikbrille Impressionen aus unserer Küche (Julia und Ulla) Über den Durst stellte sich uns plötzlich die Frage, wie die Eichmarke eigentlich ans Glas kommt und ob sie auch richtig angebracht ist - am Ende kriegt man immer zu wenig für sein Geld!!! Wir scheiterten dann fast an folgendem Problem: Zwei Eier kochen zusammen 6 Minuten. Aber wie lange kochen dann 6 Eier??? Und wie lässt sich so ein Ei zeichnen, dass es wirklich echt aussieht???

3. Zielkonkretisierung Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen Mathematisierungsmuster und geeignete Vorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden Funktionen, Gleichungen, Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen z.b. Mittelwerte), zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und heuristische Strategien...

3. Zielkonkretisierung Was ist eine gute Problemlöseaufgabe? - reichhaltige Tätigkeiten auf verschiedenen Ebenen - verschiedene/neue Sichtweisen auf Inhalte - Vernetzungen - Prototypen für das Erlernen von heuristischen Strategien - können verschiedene Formate besitzen: geschlossen offen Mit versch. Lösungswegen...als Blütenmodell...als Trichtermodell www.madaba.de eine Aufgabendatenbank

Beispiel Problemlösekompetenzen und Können im mathematischen Modellieren erfordern das Stellen mathematischer Fragen, deshalb: Aufnahme von offenen Problemsituationen in den Unterricht und in Tests, bei denen erst relevante mathematische Fragen formuliert werden müssen Beispiel: Welche mathematisch sinnvollen Fragestellungen können sich beim Thema Renovierung eines Zimmers ergeben? Nenne mindestens zwei davon.

3. Zielkonkretisierung Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln - Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln - Erfolgserlebnisse ermöglichen - Binnendifferenzierung - Anlässe für eigenverantwortliches Lernen (Lernprotokoll!, Langfristige HA)

Verstehen behalten anwenden können erfordert: Zielklarheit: Ausgangsniveau: Vergewissern, ob die gestellten Lernziele mit den individuellen Lernaufgaben übereinstimmen Vergewissern, ob die Lernenden eine realistische Chance haben, die Lernaufgabe zu bewältigen- (permanente) Grundlagenwiederholung und Schließen von Lücken Unterrichtsmethoden z.b.: Lernprotokoll Mathe-Führerschein

Lernprotokoll Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 10 - Exponentialfunktionen): 1. Einführungsbeispiel erläutern 2. Welchen Einfluss haben die Parameter einer Exponentialfunktion auf den Verlauf des Graphen? Fälle unterscheiden 3. Welche Fehler können passieren, wenn man Sachverhalte mit Exponentialfunktionen beschreiben möchte? 4. Gib ein eigenes Beispiel für einen exponentiellen Zusammenhang an und eins, das nicht so beschrieben werden kann!

Lernprotokoll Argumente für Lernprotokolle zu Beginn oder am Ende einer Unterrichtsstunde ohne Hilfsmittel: - alle Lernenden werden angesprochen und gefordert mit geringem Zeitaufwand - Verbalisierung von Vorstellungen - Verständnisprobleme können frühzeitig erkannt und repariert werden Empfehlung Das erste Lernprotokoll einsammeln und kommentieren, aber nicht bewerten jedoch mit der Klasse besprechen und gemeinsam Konsequenzen ziehen...

Theoretischer Hintergrund Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben (Handlungsaufforderungen - was? warum das?) Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen (wie kann ich vorgehen?) Unterrichtsrealität: - zu wenig kreativitätsfördernde Lernanforderungen einerseits und - andererseits genügt es nicht, die Lernenden mit Problemen nur zu konfrontieren und dann zu hoffen, dass diese auch bewältigt werden!

4. Wirkprinzip heuristischer Bildung Merkmale geistiger Beweglichkeit Reduktion - vereinfachen, veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten Reversibilität - Umkehren von Gedankengängen Aspektbeachtung - eine Idee konsequent weiter verfolgen 19 17 25 33 41 49 Aspektwechsel - loslassen und einen neuen Blickwinkel wählen

4. Wirkprinzip heuristischer Bildung Mangelnde geistige Beweglichkeit in bestimmten Kontexten wird teilweise kompensiert durch BEWUSSTES Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkverläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit

4. Wirkprinzip heuristischer Bildung Wie wirken heuristische Strategien? Selbsterfahrung mit einem Kreativitätstraining: Was kann man alles mit einem Mauerstein anfangen? Finden Sie in 1 min möglichst viele verschiedene Verwendungsmöglichkeiten!

4. Wirkprinzip heuristischer Bildung Strategie: Was weiß ich über einen Mauerstein? Welche Eigenschaften hat er? Was kann ich daraus ableiten? Größe, Form, Gewicht (Masse), Materialeigenschaften Lerneffekt: Ein ähnliches Beispiel-Pappe, Tasse, Bleistift...

4. Wirkprinzip heuristischer Bildung Strategie: Vorwärtsarbeiten Was ist gegeben? Was weiß ich über das Gegebene? Was kann ich daraus ermitteln?

Fragen stellen lernen Aufgabe: Stellen dir vor, du bist zur mathematischen Beratung bei FERRERO eingestellt und wirst heute in der HANUTA- Abteilung erwartet. Welche Fragen könnte man an eine HANUTA-Waffel stellen, zu deren Beantwortung Mathematik erforderlich ist?

Fragen stellen lernen Wie findet man möglichst viele mathematisch interessante Fragen? Vorwärtsarbeiten : Eigenschaften des Objekts nutzen Was weiß ich über das Gegebene? Ziel: Lernen, die mathematische Brille aufzusetzen und Mathematik auch im Alltag zu entdecken www.mathe-zirkel.de

Grundidee - Konzept Trainingskonzept Jeder Beweglichkeitsaspekt kann durch bestimmte heuristische Elemente gefördert werden (Kompensationsansatz!) Zuordnung von Heurismen zu den Beweglichkeitseigenschaften POLYA, SEWERIN

Heurismen Reduktion Informative Figur, Tabelle, Terme/Gleichungen Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen?

Heurismen Reduktion Informative Figur, Tabelle, Terme/Gleichungen Tipps zum Textverständnis: Lies die folgende Aufgabe zunächst durch. Stelle dir vor, dein Freund hat ab und zu Probleme mit Textaufgaben und versteht diese Aufgabe nicht. Du möchtest ihm helfen. Formuliere dazu Fragen, die man sich stellen sollte, wenn man eine Aufgabe verstehen möchte. Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht?

Heurismen Tipps zum Textverständnis: Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht? Wohnwagen-Aufgabe Familie Maier verbrachte dieses Jahr ihre Sommerferien in Österreich. Bei der Straße von Innsbruck nach Zehfeld ist auf 2,2km ein Höhenunterschied von 330m. Familie Maier macht Campingurlaub mit einem 6m langen Wohnwagen. Auf der Beschreibung des Anhängers stand, dass ein PKW mit Anhänger nur eine Steigung von 12% schafft. Durfte Herr Maier mit seinem 90 PS Auto die Straße von Innsbruck nach Zehfeld fahren?

Heurismen Reversibilität: Rückwärtsarbeiten Was müsste ich kennen, um die gesuchte Größe bestimmen zu können? Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?

Heurismen kombiniertes VA-RA a=2cm + => Zwei Metallwürfel mit gegebener Kantenlänge von 2cm und 4cm werden zu einem Quader zusammen geschmolzen. Welche ganzzahligen Maße könnte ein solcher Quader erhalten? Gesamtvolumen Oberfläche Gesamt b= 4cm

Heurismen Aspektbeachtung Invarianzprinzip Suche in Unterschiedlichem das Gemeinsame! Was bleibt gleich? Bildungsvorschrift bei Zahlenfolgen Treffpunktaufgaben: Ort ist gleich Altersaufgaben: Altersdifferenz bleibt gleich Extremalprinzip In einem Käfig sind Fasanen und Kaninchen. Man zählt 24 Köpfe und 62 Beine. Wie viele Tiere von jeder Art sind im Käfig?

Heurismen Aspektbeachtung Symmetrieprinzip Für positive reelle a,b,c gilt: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) > 3/(a+b+c) Aus einem Halbkreis soll das flächengrößte Trapez herausgeschnitten werden. Systematisches Probieren

5. Unterrichtskonzept Methodik zur Ausbildung von Problemlösekompetenzen Gewöhnen an heuristische Methoden und Techniken (Reflektion) Bewusstmachen einer speziellen Heuristik anhand eines markanten Beispiels (Strategiebereitstellung) einübendes reflektiertes Übertragen (Kontexterweiterung der Strategieanwendung)

Trainingsaufbau- Unterrichtskonzeption den Sinn und Nutzen von heuristischen Strategien erfahren Vorstellen neuer Strategien an einem Musterbeispiel (Eselsbrückeneffekt) bewusste Strategieanwendung auf Wahlaufgaben (drei Schwierigkeitsgrade) mit variierenden Kontexten Vorstellen alternativer Lösungswege (mit verschiedenen heuristischen Hilfsmitteln) Übungen mit Vorgehensreflexion und Erkennen individueller Präferenzen bei der Strategieanwendung Zuordnen passender Strategien zu Problemaufgaben, ohne sie zu lösen Erarbeiten individueller Problemlösemodelle mit der Fragetechnik Einbinden von Selbstregulationselementen in Hausaufgaben

Heurismen im Lernprotokoll Tipps zum Textverständnis Erst lesen und verstehen dann Lösungsversuche starten! Überlege, was man alles falsch machen kann! Bei der Würfelknetaufgabe haben wir die Strategien Vorwärtsarbeiten und Rückwärtsarbeiten geübt. Wie geht man vor, wenn man die Strategie Vorwärtsarbeiten anwendet? Wie geht man vor, wenn man die Strategie Rückwärtsarbeiten anwendet? Wo kann man diese Strategien sinnvoll nutzen?

Unterrichtskonzept Effekte des Problemlösetrainings + Selbstregulation Signifikanter Leistungszuwachs im Test! Bewusster Hilfsmitteleinsatz, Stabilität der Effekte bei Nach-Nachtest! Weniger Angst vor mathematischen Anforderungen - signifikant höhere Bearbeitungsquote Veränderter Umgang mit Fehlern und gewachsene Selbstreflexion (mit Lernbericht)

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