Langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht. Prof. Dr. Regina Bruder

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1 Langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht Prof. Dr. Regina Bruder

2 Gliederung 1. Was soll durch MU von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? - Bildungsstandards und Unterrichtsrealität - Mit der Mathebrille durch die Welt... - Was ist wesentlich? Semantische Netze oder Mind Map im MU... - Themenfelder für vernetztes Lernen 2. Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können?

3 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

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5 Orientierung des Unterrichts an den Bildungsstandards was ist damit gemeint? Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen: Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagen gefunden: In der Beschreibung steht: Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15 Zoll-Felgen. Aufgabe: Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welches Volumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen! Schätze das Fassungsvermögen des Wagens ab. M.Frank,

6 Gemeinsame Strategie dieser Abschätzaufgaben : - einen geeigneten Vergleichsmaßstab finden und in Verbindung mit einer berechenbaren Figur umsetzen Kompetenzen, die gefordert sind: Modellieren K3 Probleme lösen K2 (wenn völlig ungewohnt) Techniken K5 (je nach Mathematisierungsidee) Leitidee: Messen

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8 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

9 Phasen mathematischen Modellierens als Rahmen schulischen Lernens von Mathematik Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

10 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

11 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

12 Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

13 Diagnoseaufgaben zum Problemlösen beim Verarbeiten i.s. mit math. Werkzeugen und Strategien umgehen: Mathematisches Modell Mathematik 2 3 Mathematische Ergebnisse 4 Realität A P Ausprobieren mit Bierdeckel (I) Realmodell 1 Realsituation 5 Reale Ergebnisse 0 B DGS (II) A P 0 B P A (III) math. Zusammenhänge finden 0 B

14 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

15 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

16 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

17 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

18 Ziele des MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

19 a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

20 Einstufung der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2-II Problemlösen, K3-II Modellieren K5-I Technik

21 Ziele des MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

22 Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

23 Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

24 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

25 Zum dreißigjährigen Schulfest fand an der Regelschule Oswin Weiser in Pößneck ein Ballonwettbewerb statt. Rund 300 mit Helium gefüllte Ballons stiegen gleichzeitig in die Höhe. An diesem Tag lag die Windgeschwindigkeit bei 6 Meter pro Sekunde in Richtung der 2 km entfernten und 150 m hohen Berge. Die Steiggeschwindigkeit der Ballons beträgt etwa 0,5 Meter pro Sekunde. Hatten die Ballons eine Chance, die Berge zu überfliegen? Begründe!

26 Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge haben uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

27 Was ist das Wesentliche... Math. Fragen stellen können aber wo? Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

28 Breite eines Flusses bestimmen mit Maßband und Winkelmessgerät

29 Beispiel: Laternenhöhe a) Schätze zunächst die Höhe der Laterne anhand des Fotos. Entwickle dann eine rechnerische Methode, um vor Ort die Höhe der Laterne mit einer angemessenen Genauigkeit zu ermitteln, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen. Aus: Bildungsstandards konkret 2006

30 b) Eine weitere mathematische Vorgehensweise zur Höhenbestimmung, die sogenannte Holzfäller- Methode, ist hier beschrieben (zitiert nach _messen/:... Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann und führe diese mit deinen Mitschülern an Objekten auf dem Schulhof durch. Präsentiert Eure Gruppenergebnisse auf einem Poster!

31 - Überlege dir zwei verschiedene reale Situationen, in denen es notwendig oder interessant sein kann, die Entfernung zwischen zwei Punkten zu bestimmen, von denen mindestens einer nicht zugänglich ist. -Versuche, möglichst viele verschiedene mathematische Vorgehensweisen zu finden, die bei einem solchen Problem helfen können. Ordne verschiedenen Situationen geeignete Verfahren zu. - Begründe, warum die früheren Segelschiffe einen Ausguck auf dem Hauptmast hatten. Wie weit konnten sie auf einem 20m hohen Ausguck im Vergleich zu einer 3 m hohen Bordwand sehen?

32 a)modellieren (K3 - II) Erkennen, dass der Messstab in der Hand der Person vermutlich 2m lang sein wird und etwa dreimal in die Laternenlänge auf dem Foto passt. Daraus ergibt sich eine geschätzte Laternenhöhe von 6m. Für eine rechnerische Methode zur Höhenermittlung: - Strahlensätze (Klassenstufe 9). b) erfordert die Fähigkeit, das beschriebene neue Verfahren auf seine Richtigkeit und mathematische Korrektheit zu überprüfen und zu beschreiben. Kompetenzprofil: K1- III Argumentieren K6- II/III Kommunizieren

33 Größenverhältnisse und Formen abschätzen (Vergleichsmaßstäbe finden) in der Ebene und im Raum

34 Vertikale Vernetzung Breite eines Flusses bestimmen mit Maßband und Peilstab Leitidee Messen In den einzelnen Klassenstufen kommen immer wieder neue mathematische Werkzeuge dazu, mit denen die Lösungswegevielfalt (und Genauigkeit) erhöht wird.

35 Was ist das Wesentliche... Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

36 Zielklarheit und Roten Faden sichern mind maps im Unterricht, Den Mehrwert mathematischer Bearbeitung erfahrbar machen

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40 Die Lernenden Zurück zu den Zielen - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und - Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

41 und die Realität: Mathematik ist in den Dingen versteckt, Experten kümmern sich darum (Mathe muss man nicht können) Mathematik polarisiert: Macht viele mutlos und manche zu Außenseitern (Begabungsvorstellung) Mathematik hat aus Schülersicht durch viele konstruierte Aufgaben oft nur wenig mit der Lebenswelt zu tun, eigene Lösungswege passen nicht zu den Vorstellungen der Lehrer und gesunder Menschenverstand ist wenig gefragt (Mathe ist nichts für mich!) Die Bereitschaft sich anzustrengen hängt mit dem individuellen Lernerfolg zusammen

42 Anstrengungsbereitschaft stärken Hausaufgabenkonzept (ml 140!) (Willen entwickeln, Ablenker meiden, realistische Ziele stellen, Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen) mit einem Hausaufgabenkonzept! Die Lernenden notieren am Ende jeder Hausaufgabe: Beginn: Verwendete Hilfsmittel: Offene Fragen: Ende: Effektive Kontrollformen (mehr Verantwortung für eigenes Lernen!) -Hausaufgabenfolie (Präsentation durch einen Schüler) -Karteikastensystem, Gruppenkontrolle Gruppenpräsentation

43 Mehrwert der Bestimmung von Kompetenzprofilen für Aufgaben- eine gewisse Vorhersagbarkeit der empirischen Schwierigkeit Aufgabenschwierigkeit: Klasse 7 Gymnasium Aufgabenschwierigkeit 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1a 1b 1c 1d 2 3 4a 4b 4c 5a 5b 6a 6b g13k13w Teilaufgabe Mittelwert der empirischen Aufgabenschwierigkeit bezogen auf den Eingangstest Theoretische Aufgabenschwierigkeit

44 Gliederung 1. Was soll durch MU von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? 2. Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? - Anforderungen an das Lernumfeld - Reflexionsanlässe bieten (Lernprotokoll ) - Aufgabenformate für Blickwinkelwechsel und Binnendifferenzierung - Intelligentes Üben und Vernetzen mit Grundlagenübungen

45 Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Schaffen von Lerngelegenheiten für Selbsteinschätzungen der Schülerinnen und Schüler und für das individuelle und zunehmend eigenverantwortliche Schließen von Lücken im Basiswissen Effektiver Umgang mit der Lernzeit mit einem professionellen Klassenraum-Management Kognitive Aktivierung im Unterricht mit einem funktionalen Wechsel der Sozial- und Arbeitsformen, Ein positives Unterrichtsklima mit einer lernförderlichen Arbeitsatmosphäre sowohl für Lernschwache als auch für Leistungsstarke und einer entsprechenden Gesprächs- und Feedback- Kultur.

46 Langfristiger Kompetenzaufbau im Sinne der Bildungsstandards meint folgendes: Ausgehend vom aktuellen Kompetenzprofil einer Schülerin oder eines Schülers in den verschiedenen mathematischen Kontexten (Leitideen) in einer Lerngruppe einer bestimmten Klassenstufe sind solche entwicklungsgemäßen und entwicklungsfördernden Aufgaben zu stellen, die allen Lernenden eine Kompetenzentwicklung ermöglichen.

47 Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabentypen als Aufgabenset Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Blüte - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - (-) offene Problemsituation (Trichtermodell)

48 Aufgaben für nachhaltiges Lernen Aufgabenformate und -typen Ziel- oder Strukturtyp Ein modernes Aufgabenkonzept oder ein Beitrag zur Aufgabenkultur bedeutet: Es kommen in einer Unterrichtseinheit alle 8 Strukturtypen von Aufgaben angemessen vor! Begründung: Diese Aufgabentypen bilden wesentliche Lerntätigkeiten ab, ermöglichen Vernetzung, bieten individuelle Freiräume und erfordern methodische Variabilität des Unterrichts

49 Notwendige Bedingungen für nachhaltiges Lernen Individualisierte Lernangebote im Aufgabenset (Trichtermodell, Blütenmodell, Lösungswegevielfalt, selbst Aufgaben erfinden) Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben für - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) - intelligentes Üben und Vernetzen von Grundwissen (Kopfübung und Mathe-Führerschein)

50 Grundlagenverständnis sichern mit einem Lernprotokoll Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

51 Lernprotokoll 1.Beispiel Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

52 2. Beispiel für ein Lernprotokoll Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben? Löse die beiden Aufgaben! Um sein Budget aufzubessern arbeitet ein Student als Hilfskraft pro Woche vier Stunden und verdient 32. Wie viel hat er in einer halben Stunde verdient? Bei einer Gartenarbeit habt Ihr zu dritt mit angepackt und vier Stunden benötigt. Wie viele Helfer hättet Ihr gebraucht, um in einer halben Stunde die Arbeit abzuschließen? Wie realistisch ist das?

53 Praktikable Wege zu nachhaltigem Lernen von Mathematik in heterogenen Lerngruppen Beispiele Intelligente regelmäßige Kopfübungen Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1 Löse die Klammer auf: 2 (a - 3b) 2 = Die Quadratzahl von 11 Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. Auf einer Karte im Maßstab 1: werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? Gib zwei Beispiele an, die in der Form a b = c beschrieben werden können und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist! Notiere alle Primzahlen bis 20. Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagoras anwenden?

54 Kopfübungen und Führerscheine Querfeldeinführerschein zum Halbjahr bzw. Schuljahresende (Basics aller Gebiete, die bis dahin überhaupt im MU behandelt wurden orientiert an allgemeinbildenden Anwendungskompetenzen) Kopfübung (wöchentlich 10min) als Instrument, Basics wachzuhalten und an ein Umschalten zwischen verschiedenen Themen zu gewöhnen

55 Rückblick und Ausblick Einige Defizite des Lernens und Lehrens von Mathematik überwinden Der Unterricht ist üblicherweise zu inhaltszentriert und zu wenig verständnisorientiert. Verschiedene Aufgabenformate für Blickwinkelwechsel einsetzen! Individuellen Lernfortschritt ermöglichen! (Blüte) Der Unterricht ist paradoxerweise zu oft leistungszentriert und zu selten lernorientiert. Lernprotokolle! Themenfelder... Der Unterricht ist zu stark auf ein neues Thema fixiert und vernachlässigt systematisches Wiederholen. Kopfübungen und Führerscheine! Bist Du fit?

56 Vortrag unter Kontakt: Lehrerfortbildungskurse unter Aufgabendatenbank für Lehrkräfte Materialplattform für Anwendungsorientierten MU für Begabtenförderung ab Kl.7