Beispiele für nachhaltiges Lernen in einem an Bildungsstandards orientierten MU auch fächerübergreifend. Tag der Mathematik 2005 in Heppenheim

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1 Beispiele für nachhaltiges Lernen in einem an Bildungsstandards orientierten MU auch fächerübergreifend Tag der Mathematik 2005 in Heppenheim Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt

2 Gliederung 1.Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? 2.Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte tatsächlich verstanden, behalten und angewendet werden können?

3 MU verschiedene Perspektiven-Lernmethoden Was sich Lernende wünschen und vorstellen: vorurteilsfreie Lehrer/innen, die gut erklären können ernst genommen werden und etwas Sinnvolles lernen (müssen) Lernchancen erhalten toleranter Umgang mit Fehlern und klare Orientierungen ein harmonisches Lernumfeld und gerechte Beurteilungen

4 Ziele des MU und wo stehen wir? Bildungsstandards mit den allgemeinen Kompetenzen: - mathematisch Argumentieren - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen - kommunizieren - mathematisch Modellieren - Probleme mathematisch lösen - mathematische Darstellungen verwenden PISA 2000 und 2003 hohe Risikogruppe, zu schwache Spitze, Problemlösepotenzial schlägt nicht positiv auf die Mathematikleistung durch...

5 Lernziele drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik MU was ist wesentlich?-lernmethoden Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

6 MU Zielvorstellung Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und - Reflektionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

7 Ein Beispiel Lernziele ein Beispiel Verstehen, Behalten und Anwenden können aber was? Gedankenexperiment: Wer ist schneller? Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin und wieder zurück. Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt die gleiche Streckenlänge genauso wie das andere jedoch einmal flussaufwärts und einmal flussabwärts.

8 Lernziele ein Beispiel 1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo notwendig wäre. Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur Verfügung? 800m-Zeit insgesamt: 2 t 1.Runde: t 10 sec 2.Runde: t + 10 sec Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel a? b 2

9 Lernziele ein Beispiel 2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen, dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am Ende des 2.Jahres fällig werden. Problem:? 2?? 14? 1?? 1?? 11628, 1, 02? 114,? 1, ? 8? 1?? 11664, Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel a? b

10 Lernziele ein Beispiel Beobachtung: Fragen: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel. Ist das immer so? Warum denn? Beschreibungsebene der Mathematik: Vermutung: a? b > a,b pos. reell 2 > a? b Begründung durch eine geometrische Interpretation: a? b a a? 2 b b

11 Lernziele ein Beispiel a? b a? 2 b > a? b a b a? 2 b Erweiterung: Gibt es einen algebraischen Zusammenhang zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel? Der Kathetensatz ermöglicht eine Verknüpfung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel a? b 2 > a? b

12 Lernziele ein Beispiel Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel a? 2 b a? b 3. Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant. Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem Schnitt von 50km/h absolviert wurde. Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

13 Lernziele ein Beispiel Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit : Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit t 1? t 2? t gesamt t? s v s s 2 2 s?? 50 v 100 s s s?? 100 2v 100 Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

14 Lernziele ein Beispiel Was ist das für ein Mittelwert? Für die Geschwindigkeit gilt: Dann gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die beiden Weghälften: Und mit t? s v v v?? t v s? t v 1 2 s 2 1 s? v s 2 2? s t Vereinfacht ergibt sich: v? 2 1 1? v v 1 2 Harmonisches Mittel

15 Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zu den beiden anderen Mittelwerten? Beschreibungsebene der Mathematik: 2 1 1? v v Termumformung von v? zu v 1 2? v v 2 2v1v2?? v v? v? v a? b? 2 a? b > > 2? 1 1 a b a b

16 - Mittelwerte im Mathematikunterricht Weitere Mittelwerte: Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel a? b a? b mit Anwendungen: - Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher halb voll? *Weiterung: Konstruierbarkeit der Winkeldreiteilung

17 Lernziele Folgerungen für den Lehrplan? Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? Funktion von Mathematik zur Aufklärung struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene Ausprägungen Beispielkontexte und Visualisierungen als Merkhilfen Mittelwerte als mathematische Modelle begreifen und in verschiedenen Kontexten wiedererkennen und nutzen

18 Was ist das Wesentliche... Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte...) Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

19 Gliederung erste Zusammenfassung 1. Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? Themenfelder für vernetztes Lernen als Lernangebot Wie findet man das Wesentliche? Schwerpunkte ausfiltern anhand eines semantischen Netzes (Sachanalyse mit mind map)

20 Zielklarheit und roten Faden sichern mind maps im Unterricht

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24 Selbsteinschätzung - bitte Zutreffendes ankreuzen! Themenbereich kann ich geht muß mir nochmal eine(r) mit etwas Übung gut so erklären! Brauche Hilfe! kann ich das wieder Kopfrechnen Bruchrechnung Maßumwandlungen Dreisatz, Prozentrechnung Termumformungen Zuordnungen Lineare Funktionen Winkel Flächenberechnungen Terme aus Texten aufstellen Gleichungssysteme Wurzeln Pythagoras Strahlensätze Dreieckskonstruktionen

25 Gliederung erste Zusammenfassung 1.Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? Themenfelder für vernetztes Lernen als Lernangebot Schwerpunkte ausfiltern anhand eines semantischen Netzes (Sachanalyse) 2.Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? Binnendifferenzierende Aufbereitung mit offenen Aufgabenformaten

26 Ziele des MU und wo stehen wir? Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben im MU 100 Prozent Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan TIMS-Videostudie: BRD,USA, Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca Aufgaben (J.NEUBRAND 2003)

27 Aufgaben für nachhaltiges Lernen Welche Aufgabentypen sind zentral für nachhaltiges Lernen? Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben für - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll, Expertenmethode) und - intelligentes Üben und Vernetzen (Kopfübung und Führerschein) Individualisierte Lernangebote durch offene Aufgaben (Trichtermodell, Blütenmodell, Lösungswegevielfalt)

28 Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabenformate und -typen Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Variation - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - - offene Problemsituation (Trichtermodell)

29 Differenzierte Lernangebote - Bsp. Modellieren: Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Uni Kassel 2004

30 Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert in diesem Sinne geöffnet: Blütenmodell (z.b. PISA-Aufgaben)

31 Differenzierte Lernangebote - Bsp. Modellieren: P Fernsehshow früher (Ungarn 1979): A 0 B The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? 1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache. 2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können. 3) Lasst jemand aus eurer Familie raten, auf welcher Kurve sich der Punkt nach unten bewegt. 4) Gebt dann erst dem Familienmitglied eure Vorrichtung und lasst es seine Vermutung spielerisch ausprobieren. 5) Macht eventuell ein Foto von diesem Moment des Ausprobierens und notiert kurz die Reaktionen. 6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. 7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. 8) Findet eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim

32 offene Aufgaben und entsprechende Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit arbeitsteiliges Vorgehen z.b. bei Modellierungen: * wie lange dauert ein Wasserwechsel im Schwimmbad? -** Vereinsbeitrag neu festlegen aber gerecht! Ein Sportverein hat 3500 Mitglieder, davon 2000 Jugendliche. Diese zahlten bisher 5 Monatsbeitrag, die Erwachsenen 7. Die gesamten Beitragseinnahmen müssen auf monatlich erhöht werden. Wie sollen die Beiträge neu festgesetzt werden? - *** Modellierung einer Autobahnausfahrt

33 offene Aufgaben und entsprechende Der Hoba Meteorit ist der älteste bisher gefundene Meteorit auf der Erde. Entdeckt wurde er 1920 von Jacobus Hermanus Brits. Der Meteorit liegt auf dem Gelände der Hoba Farm in Namibia. Er wird auf 190 bis 410 Millionen Jahre geschätzt und schlug vor ca Jahren auf der Erde ein. Er besteht etwa zu 82% aus Eisen, zu 16% aus Nickel und zu 1% aus Kobalt. Darüber hinaus enthält er noch weitere Spurenelemente. Schätze ab, wie schwer dieser Meteorit ist! Beschreibe deinen Lösungsweg! - *** Modellierung einer Autobahnausfahrt

34 Differenzierte Lernangebote - Wahlmöglichkeiten Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? Wahlaufgaben-Beispiele: (*) Keks-Aufgabe: Alexa und Gerd bekommen zusammen insgesamt 26 Kekse geschenkt. Zwei Essen sie sofort auf, den Rest wollen sie teilen. Alexa soll doppelt so viele bekommen wie Gerd, weil sie lange krank war. Wie viele Kekse bekommt jeder? (**) Denke dir selbst eine ähnliche Aufgabe zur Anteilsbestimmung aus und löse sie auf zwei verschiedene Weisen. (***) Altersaufgabe: Eine Mutter sagt zu ihrer Tochter: Als ich geboren wurde, war Oma 21 Jahre alt. Als du geboren wurdest, war ich 21 Jahre alt und heute sind wir beide zusammen gerade 21 Jahre älter als Oma. Wie alt sind Tochter, Mutter und Oma?

35 Überblick über Problemlöseheuristiken

36 So kann man Problemlösen lernen: VORHER: Worum geht es? Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? DANACH: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? - Welche Mathematik? Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? - Welche Strategien? Welche Lerntipps lassen sich ableiten?

37 Problemlösenlernen im MU - Inhalte Beweglichkeitsaspekt Heurismen Reversibilität Rückwärtsarbeiten Umkehraufgaben Was müsste ich kennen, um das Gesuchte bestimmen zu können? 7-Tore-Aufgabe Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?

38 Erläuterung heuristischer Strategien, Beispiele unter Beispiele zu Heuristiken in Klasse 5-10 (Suchfilter) Schnupperzugang: messe / messe

39 Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

40 Lernprotokoll Beispiel Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

41 Grundaufgabe und Umkehraufgabe Beispiele: Diagramm aufstellen, Diagramm interpretieren Brüche multiplizieren, dividieren ein Volumen eines Körpers berechnen, Volumen vorgeben und Maße suchen eine quadratische Gleichung lösen und eine aufstellen, die bestimmte Lösungen hat Frage nach Anwendungsmöglichkeiten und Gegenbeispiel - wann kann man das Potenzgesetz... anwenden und wann nicht? - gib einen Term an, den man mit Hilfe der 3.binomischen Formel vereinfachen kann und einen, bei dem das nicht geht - Gib einen Zusammenhang an, den man mathematisch in der Form a b=c beschreiben kann und einen, bei dem das nicht möglich ist.

42 Name:... Lernprotokoll zu Prozent und Prozentsatz 1. % - W arum m a chen wir das? (Anwendungen) 2. W elche M öglichkeiten kennst du, um Anteile zu vergleichen? (Stichwort: Klassensprecherw ahl) 3. Vergleiche den Zuckera nteil von Nuss- Nougat- C reme und M armelade (Buch S. 45, rechts unten 1 ) auf m indestens 2 Arten. 4. Form uliere Fragestellungen m it %, die dich interessieren. Verwende im Text möglichst 60 und 15 %. Quelle: E. Hasenbank-Kriegbaum (Idstein) 1 Nuß- Nougat- Creme (20g): 6 g Fett, 12 g Zucker; Erdbeer- M armelade (25 g): 0 g Fett, 15 g Zucker

43 Stationen - Expertenmethode

44 Unterrichtsmethode Lernprotokoll Argumente für Lernprotokolle zu Beginn oder am Ende einer Unterrichtsstunde ohne Hilfsmittel: - alle Lernenden werden angesprochen und gefordert mit geringem Zeitaufwand Empfehlung - Verbalisierung von Vorstellungen - Verständnisprobleme können frühzeitig erkannt und repariert werden Das erste Lernprotokoll einsammeln und kommentieren, aber nicht bewerten jedoch mit der Klasse besprechen und gemeinsam Konsequenzen ziehen...

45 Hausaufgabenkonzept Anstrengungsbereitschaft stärken (Willen entwickeln, Ablenker meiden, realistische Ziele stellen, Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen) mit einem Hausaufgabenkonzept! (CD; Autorin: E. Komorek) Die Lernenden notieren am Ende jeder Hausaufgabe: Beginn: Verwendete Hilfsmittel: Offene Fragen: Ende: Effektive Kontrollformen (mehr Verantwortung für eigenes Lernen!) -Hausaufgabenfolie (Präsentation durch einen Schüler) -Karteikastensystem, Gruppenkontrolle Gruppenpräsentation

46 Zusammenfassung Schüler entwickeln auch Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln. - Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln (SMS-Technik) - Erfolgserlebnisse ermöglichen (offene Aufgaben: Blütenmodell) - Binnendifferenzierung (Wahlaufgaben, offene Aufgaben) - Anlässe für eigenverantwortliches Lernen (Langfristige HA, Lernprotokoll, Selbsteinschätzung) - Atmosphärische Elemente (Schmierzettel erlaubt, Ermutigung, Zulassen verschiedener Lösungswege...)

47 Quellennachweis: Winter, H. : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1995, S Ferner sei verwiesen auf Bruder, Regina: Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren 115 (2002), S.4-8 Mathematik lernen und behalten. In: Heymann, H.-W. (Hrsg.): Lernergebnisse sichern. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 10, S Verständnis für Zahlen, Figuren und Strukturen. In: Heymann, H.-W.(Hrsg.): Basiskompetenzen vermitteln. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 4, S Konzepte für ein ganzheitliches Unterrichten.- In: mathematik lehren 101 (2000), S Mit Aufgaben arbeiten.- In: mathematik lehren 101(2000), S Eine akzentuierte Aufgabenauswahl und Vermitteln heuristischer Erfahrung - Wege zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht für alle.-in: Flade/Herget (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS - Anregungen für die Sekundarstufen.- Volk und Wissen 2000 Elementares Können wachhalten. Führerscheine im Mathematikunterricht.Friedrich Jahresheft 2000, S