Prof. Dr. Regina Bruder Fachbereich Mathematik. *Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen - ein Unterrichtskonzept für nachhaltiges Lernen *

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1 Prof. Dr. Regina Bruder Fachbereich Mathematik *Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen - ein Unterrichtskonzept für nachhaltiges Lernen * Anhand markanter Beispiele aus dem Unterricht sollen einige der in der Fachdidaktik nicht neuen aber jetzt auch in den KMK-Bildungsstandards verankerten Grundideen für einen modernen Mathematikunterricht transparent gemacht und notwendige Akzentuierungen für eine Unterrichtsgestaltung, die selbstständiges Lernen in Handlungssituationen fördert, vorgestellt werden. Im Mittelpunkt des Vortrages stehen alltagstaugliche Unterrichtsmethoden, die auf langfristige Lerneffekte abzielen. Kassel 2005

2 Prof. Dr. Regina Bruder Fachbereich Mathematik Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen - ein Unterrichtskonzept für nachhaltiges Lernen MUED Kassel 2005

3 Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und angewendet werden können? Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995 H. Winter, Mitt. d. GDM 1991

4 Gliederung: Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz, Lernzuwachs transparent machen) Welche Aufgabenformate sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von Verstehen, Behalten und Anwenden von Mathematik? Basiswissen sichern zwei Ansätze - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) und - intelligentes Wiederholen, Üben und Vernetzen (Kopfübung und Mathe-Führerschein, HA-Konzept) Anwenden lernen Themenfelder erschließen mit Mathematisierungsmustern und Strategiereflexion

5 Zielklarheit und Roten Faden sichern mind maps im MU

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9 Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz) Äste: - Begriffsbildung, Vorwissen/Zugänge - Darstellen/Visualisieren können - Berechnen können - Arten (von Objekten) unterscheiden- Sonderfälle - typische Anwendungen - Weiterungen

10 Was ist wesentlich im MU? Lernzuwachs transparent machen z.b. beim Bearbeiten anspruchsvoller Aufgaben (Problemaufgaben)

11 VORHER: Worum geht es? Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? DANACH: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? - Welche Mathematik? Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? - Welche Strategien?

12 Wie viel Flüssigkeit passt ungefähr in dieses Fass? (Bild gegeben) Begründe deine Antwort. Auszubildender Maximilian soll die Preisschilder schreiben. Er denkt: Donnerwetter, erst wurde um 20 % gesenkt und dann noch einmal um 30%. Jetzt kostet die Anlage ja nur noch die Hälfte! Was meinst du dazu? Begründe deine Aussage. Recorder bisher jetzt nur noch:... Die Elisabeth-Hauptschule organisiert für alle 517 Schüler ein Schulfest. Die neunten Klassen bieten Glücksspiele an. a) Die Klasse 9a hat ein Glücksrad, bei dem auf jedem schwarzen Feld ein Preis gewonnen wird. Anne dreht das Glücksrad einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Preis gewinnt? Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? -Vergleichsgrößen finden -Mit einem konkreten Preis ausprobieren -Alle Möglichkeiten abzählen

13 Gliederung: Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz, Lernzuwachs transparent machen) Welche Aufgabenformate sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von Verstehen, Behalten und Anwenden von Mathematik? Basiswissen sichern zwei Ansätze - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) und - intelligentes Wiederholen, Üben und Vernetzen (Kopfübung und Mathe-Führerschein, HA-Konzept) Anwenden lernen Themenfelder erschließen mit Mathematisierungsmustern und Strategiereflexion

14 Aufgabenanalyse- Motivationspotenzial Schüler werden zu Experten: Kannst Du helfen? Berate... Erkläre... (Situationsschilderung, Kommunikation zwischen Experten und Laien, SMS ) Wer hat Recht? Entscheide... (Gegenüberstellungen) Schüler lernen eigenverantwortlich(er) mit Hilfe von Wahlaufgaben und mit klaren Zielvereinbarungen

15 Wahlaufgaben - Beispiele - Bei ersten Übungen mit formalen Aufgaben aber ansteigender Schwierigkeit: - Von den folgenden 10 Aufgaben sollen (mindestens) 5 gelöst werden Differenzierung durch unterschiedlichen Einstieg - Hausaufgabe: Zur Auswahl stehen 10 formale Aufgaben oder 3 Sachaufg./Knobelaufg. Entscheide selbst nach deinem Übungsbedarf! - Wahlmöglichkeit bei ausgewiesener Schwierigkeit *, **. ***,

16 Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege: Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? (*) Keks-Aufgabe: Alexa und Gerd bekommen zusammen insgesamt 26 Kekse geschenkt. Zwei essen sie sofort auf, den Rest wollen sie teilen. Alexa soll doppelt so viele bekommen wie Gerd, weil sie lange krank war. Wie viele Kekse bekommt jeder? (***) Altersaufgabe: Eine Mutter sagt zu ihrer Tochter: Als ich geboren wurde, war Oma 21 Jahre alt. Als du geboren wurdest, war ich 21 Jahre alt und heute sind wir beide zusammen gerade 21 Jahre älter als Oma. Wie alt sind Tochter, Mutter und Oma?

17 Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben im MU 100 Prozent Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan TIMS-Videostudie: BRD,USA, Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca Aufgaben (J.NEUBRAND 2003)

18 Was sind offene Aufgaben? Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege (Vergleich und Würdigung der Lösungswege schwierig) Murmelaufgabe Müller-Mufflig-Aufgabe Blütenmodell Expertenmethode, selbständiges Arbeiten (schafft Entlastung im Unterricht durch Selbstdifferenzierung) PISA-Aufgaben Nimm-Spiel: Strategiefindung mit Variation Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit arbeitsteiliges Vorgehen bei Zerlegungen und echten Modellierungen (neue Kompetenzen gefordert: Kommunizieren, Präsentieren)

19 Differenzierte Lernangebote Blütenaufgabe Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Uni Kassel 2004

20 Langfristige Hausaufgaben als Blütenaufgabe

21 Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit -Wie lange dauert ein Wasserwechsel im Schwimmbad? -Froschkönig: Wie kann man die goldene Kugel so variieren, dass die Prinzessin wirklich damit spielen könnte (und das Märchen noch funktioniert)? -Vereinsbeitragsaufgabe: Neuen Beitrag gerecht festlegen - wie? - Realmodellierungen: Autobahnabfahrt... Strukturiertes Aufgabenangebot: Datenbank

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23 Welche Aufgabenformate sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von Verstehen, Behalten und Anwenden von Mathematik? - Motivierende Aufgabenstellungen (Zutrauen vermitteln in mathematische Leistungsfähigkeit, Ergebnisinterpretation und Beratungskompetenz) - Wahlmöglichkeiten bzgl. Kontext, Schwierigkeitsgrad - Offene binnendifferenzierende Aufgabenstellungen (Blüte und Trichter, Lösungswegevielfalt) - Ausgewogenheit des Aufgabenangebotes (8 Zieltypen)

24 Gliederung: Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz, Lernzuwachs transparent machen) Welche Aufgabenformate sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von Verstehen, Behalten und Anwenden von Mathematik? Basiswissen sichern zwei Ansätze - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) und - intelligentes Wiederholen, Üben und Vernetzen (Kopfübung und Mathe-Führerschein, HA-Konzept) Anwenden lernen Themenfelder erschließen mit Mathematisierungsmustern und Strategiereflexion

25 Basics sichern an Bildungsstandards orientieren Problem: Länger zurückliegender (grundlegender) Stoff wird vergessen, ist dann nicht verfügbar, wenn er benötigt wird und wird auch nicht selbständig von den Lernenden wiederholt... Problem: Die Bildungsstandards fordern Kompetenzen, die weit über die formale Verfügbarkeit elementarer Basics hinaus gehen Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben erster Ansatz Lernprotokoll nach den ersten Einführungsstunden zu einem neuen Thema

26 Lernziel gestellt Lernziel angekommen? Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

27 Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

28 Grundaufgabe und Umkehraufgabe Beispiele: Diagramm aufstellen, Diagramm interpretieren Brüche multiplizieren, dividieren ein Volumen eines Körpers berechnen, Volumen vorgeben und Maße suchen eine quadratische Gleichung lösen und eine aufstellen, die bestimmte Lösungen hat Frage nach Anwendungsmöglichkeiten und Gegenbeispiel - wann kann man das Potenzgesetz... anwenden und wann nicht? - gib einen Term an, den man mit Hilfe der 3.binomischen Formel vereinfachen kann und einen, bei dem das nicht geht - Gib einen Zusammenhang an, den man mathematisch in der Form a b=c beschreiben kann und einen, bei dem das nicht möglich ist.

29 N a m e :... Lernprotokoll zu Prozent und Prozentsatz 1. % - W arum m achen wir das? (Anw endungen) 2. W elche M öglichkeiten kennst du, um Anteile zu vergleichen? (S tic h w o r t: Klassensprecherw ahl) 3. Vergleiche den Zuckeranteil von N uss- N ougat-c rem e und M arm elade (Buch S. 45, re c h ts u n te n 1 ) auf m indestens 2 Arten. 4. Form uliere Fragestellungen m it %, die dich in te re s s ie re n. Verwende im Text m öglichst 60 und 15 %. Quelle: E. Hasenbank-Kriegbaum (Idstein) 1 N uß-n ougat-crem e (20g): 6 g Fett, 12 g Zucker; Erdbeer-M arm elade (25 g): 0 g Fett, 15 g Zucker

30 Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben zweiter Ansatz - intelligentes Üben und Vernetzen (Kopfübung und Führerschein) Aufgabenformate: einfache Bestimmungsaufgabe, Umkehraufgabe, komlexere Bestimmungsaufgabe mit Bedingungsvariation

31 Beispiel für eine Kopfübung 1. Löse die Gleichung: 3x - 5 = 1 2. Löse die Klammer auf: 2 (a - 3b) 2 = 3. Gib 3 verschiedene Maßpaare an für ein Rechteck mit 30cm 2 Flächeninhalt. 4. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. 5. Schreibe einen Term: Das Dreifache einer um 5 verminderten Zahl! 6. Notiere die Koordinaten eines beliebigen Punktes im dritten Quadranten des Koordinatensystems! 7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen einem Umfangswinkel und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel im Kreis? 8. Auf einer Karte im Maßstab 1: werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? 9. Löse die Formel für die Bewegungsenergie nach der Geschwindigkeit v auf! E kin = m/2 v Eine Bank bietet zur Zeit eine Geldanlagemöglichkeit ab 5000 zu 4% Zinsen an. Wie hoch wären die Zinsen am Jahresende, wenn ich zum 1. des nächsten Monats 6000 bei einzahlen würde?

32 Kopfübungen und Führerscheine Querfeldeinführerschein zum Halbjahr bzw. Schuljahresende (Basics aller Gebiete, die bis dahin überhaupt im MU behandelt wurden orientiert an allgemeinbildenden, realitätsbezogenen Anwendungskompetenzen) Kopfübung (wöchentlich 10min) als Instrument, Basics wachzuhalten und an ein Umschalten zwischen verschiedenen Themen zu gewöhnen

33 Gliederung: Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz, Lernzuwachs transparent machen) Welche Aufgabenformate sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von Verstehen, Behalten und Anwenden von Mathematik? Basiswissen sichern zwei Ansätze - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) und - intelligentes Wiederholen, Üben und Vernetzen (Kopfübung und Mathe-Führerschein, HA-Konzept) Anwenden lernen (wollen!) Themenfelder erschließen mit Mathematisierungsmustern und Strategiereflexion, Selbstreguliertes Lernen unterstützen

34 Selbsteinschätzung - bitte Zutreffendes ankreuzen! Themenbereich kann ich geht Kopfrechnen Bruchrechnung Maßumwandlungen Dreisatz, Prozentrechnung Termumformungen Zuordnungen Lineare Funktionen Winkel Flächenberechnungen Formeln umstellen Terme aus Texten aufstellen Gleichungssysteme Wurzeln Pythagoras Strahlensätze Dreieckskonstruktionen muß mir nochmal mit etwas Übung brauche Hilfe! gut so eine(r) erklären kann ich das wieder (werde selbständig üben!)

35 Anstrengungsbereitschaft stärken (Willen entwickeln, Ablenker meiden, realistische Ziele stellen, Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen) mit einem Hausaufgabenkonzept! Die Lernenden notieren am Ende jeder Hausaufgabe: Beginn: Verwendete Hilfsmittel: Offene Fragen: Ende: Effektive Kontrollformen (mehr Verantwortung für eigenes Lernen!) -Hausaufgabenfolie (Präsentation durch einen Schüler) -Karteikastensystem, Gruppenkontrolle Gruppenpräsentation

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37 Rückblick und Ausblick Einige Defizite des Lernens und Lehrens im MU Der Unterricht ist üblicherweise zu inhaltszentriert und zu wenig verständnisorientiert. Verschiedene (offene) Aufgabenformate einsetzen! Mind map für den Durch- und Überblick Der Unterricht ist paradoxerweise zu oft leistungszentriert und zu selten lernorientiert. Lernprotokolle! Verantwortung für das eigene Lernen stärken Der Unterricht ist zu stark auf ein neues Thema fixiert und vernachlässigt systematisches Wiederholen. Kopfübungen und Führerscheine!