Ein didaktisches Konzept für nachhaltige mathematische Kompetenzentwicklung in aufgabenbasierten Lernumgebungen

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1 Ein didaktisches Konzept für nachhaltige mathematische Kompetenzentwicklung in aufgabenbasierten Lernumgebungen Prof. Dr. Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt Berlin,

2 Gliederung 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen nachhaltig entwickelt werden? 2. Was ist mit nachhaltiger Kompetenzentwicklung gemeint? 3. Lerntheoretischer Hintergrund für ein Unterrichtskonzept zur nachhaltigen Kompetenzentwicklung 4. Ein didaktischer Handlungsrahmen als Unterrichtskonzept

3 Vision für modernen MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

4 Nachhaltige Förderung mathematischer Kompetenzen meint dann: - Verstehen lernen, worum es geht in der Mathematik - Behalten und verfügbar haben, wie man vorgehen kann, um (mathematikhaltige) Problemstellungen erfolgreich zu bearbeiten - grundlegende Mathematisierungsmuster auf prototypische Sachverhalte anwenden können

5 Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Schätzen und Überschlagen von Größen Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

6 Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Themenfelder für vernetztes Lernen Schätzen und Überschlagen von Größen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

7 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen nachhaltig entwickelt werden? Bildungsstandards umsetzen mit den allgemeinen Kompetenzen: - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Warum gerade diese Kompetenzen? Wie hängen sie miteinander zusammen?

8 Phasen mathematischen Modellierens als Rahmung für schulisches Lernens von Mathematik Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität Verarbeiten mit mathematischen Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse 5 Validieren Realsituation

9 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

10 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

11 Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse 1 situiertes Strukturieren 2 Mathematisieren Mathematik Realität Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

12 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

13 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

14 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

15 Gliederung 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen nachhaltig entwickelt werden? 2. Was ist mit nachhaltiger Kompetenzentwicklung gemeint?

16 2. Was bedeutet nachhaltige Kompetenzentwicklung? Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

17 Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

18 Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

19 Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

20 Kompetenzförderung kann untersucht werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

21 Gliederung 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen nachhaltig entwickelt werden? 2. Was ist mit nachhaltiger Kompetenzentwicklung gemeint? 3. Lerntheoretischer Hintergrund für ein Unterrichtskonzept zur nachhaltigen Kompetenzentwicklung

22 Tätigkeitstheorie Lompscher u.a. Lernziele und Lernmotive initiieren Lernhandlungen, die sich unterscheiden in: Antrieben, Orientierung, Verlauf und erkennbar werden in den Lernergebnissen Handlungsprodukten

23 Individueller Lernfortschritt lässt sich dann so erklären: Die/der Lernende stellt sich eine Lernaufgabe und erarbeitet (konstruiert) sich seine Handlungsorientierung zur Bewältigung der Lernaufgabe (auf unterschiedlichem Niveau). Je umfassender und reichhaltiger die Lernaufgabe ist, um so größer sind die Chancen, dass die entwickelte Orientierungsgrundlage einen größeren Allgemeinheitsgrad erreicht. I Orientierung nach Versuch-Irrtum (Probierorientierung) II Orientierung am Beispiel (Muster) III Feldorientierung.

24 Lernfortschritt erfordert also Eine selbst gestellte Lernaufgabe der Schüler Erarbeitung von Orientierungsgrundlagen für die notwendigen Lernhandlungen auf verschiedenen Niveaus I Orientierung nach Versuch-Irrtum (Probierorientierung) II Orientierung am Beispiel (Muster) III Feldorientierung. Schlussfolgerungen für aufgabenbasierte Lernumgebungen: Entwicklungsgemäße und entwicklungsfördernde Lernanforderungen stellen Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen.

25 Schlussfolgerungen für aufgabenbasierte Lernumgebungen: Aufgaben mit hohem Aktivierungspotenzial formulieren Lernziele und Lernmotive initiieren Lernhandlungen, die sich unterscheiden in: Antrieben, Orientierung, Verlauf und erkennbar werden in den Lernergebnissen Handlungsprodukten Individuellen Lernzuwachs herausarbeiten Verantwortung für eigenes Lernen übernehmen

26 Schlussfolgerungen für aufgabenbasierte Lernumgebungen: Lernziele und Lernmotive Heuristische Bildung initiieren Lernhandlungen, die sich unterscheiden in: Antrieben, Orientierung, Verlauf Zulassen, Fördern und Reflektieren individueller Lösungswege und erkennbar werden in den Lernergebnissen Handlungsprodukten

27 Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge geholfen, die Aufgabe zu lösen? haben uns Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

28 Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Schaffen von Lerngelegenheiten für Selbsteinschätzungen der Schülerinnen und Schüler und für das individuelle und zunehmend eigenverantwortliche Schließen von Lücken im Basiswissen Effektiver Umgang mit der Lernzeit mit einem professionellen Klassenraum-Management Kognitive Aktivierung im Unterricht mit einem funktionalen Wechsel der Sozial- und Arbeitsformen, Ein positives Unterrichtsklima mit einer lernförderlichen Arbeitsatmosphäre sowohl für Lernschwache als auch für Leistungsstarke und einer entsprechenden Gesprächs- und Feedback- Kultur.

29 Welche Aufgabentypen sind grundsätzlich notwendig für nachhaltiges Lernen?

30 Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabentypen als Aufgabenset Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Blüte - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - (-) offene Problemsituation (Trichtermodell)

31 Gliederung 1. Worum geht es? Welche Kompetenzen sollen nachhaltig entwickelt werden? 2. Was ist mit nachhaltiger Kompetenzentwicklung gemeint? 3. Lerntheoretischer Hintergrund für ein Unterrichtskonzept zur nachhaltigen Kompetenzentwicklung 4. Ein didaktischer Handlungsrahmen als Unterrichtskonzept

32 Markante Elemente des Unterrichtskonzeptes aufgabenbasierte Lernumgebungen für Typische Unterrichtssituationen Lernanlässe für Systematisierungen und für Vorgehens- und Inhaltsreflexionen Grundlagensicherung Konstruktiver Umgang mit Heterogenität in der Lerngruppe

33 Praktikable Wege zu nachhaltigem Lernen von Mathematik in heterogenen Lerngruppen - Beispiele - Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung - Wahlmöglichkeiten auch in Hausaufgaben - Aufgaben öffnen: Blütenmodell (selbst differenzierend, zum Lernen und Leisten ) - Schüler werden zu Experten motivierende Fragestellungen - Reflexion: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? - Systematisierungen: Was können/wissen wir schon?

34 Unterstützungssysteme Vortrag unter Halbjährliche Lehrerfortbildungskurse unter zur Kompetenzförderung im MU Aufgabendatenbank für Lehrkräfte Materialplattform für Anwendungsorientierten MU

35 Blütenaufgabe : Rechenzauber Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: Denke dir eine Zahl. Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe 36 ab. Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl benennen kann. a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten? b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64. Welche Zahl hatte er sich gedacht? c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte Zahl berechnen? Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

36 Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1 Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. Auf einer Karte im Maßstab 1: werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? Gib zwei Beispiele an, die in der Form a b = c beschrieben werden können und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist! Notiere alle Primzahlen bis 20. Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagoras anwenden? Was ist 80cm lang? Schreibe drei Achtel als Kommazahl 11² =?

37 Inhalte von Kopfübungen systematische Begleitung im MU -Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen -Umrechnen von Einheiten, Größenvorstellungen -Dreisatz (z.b. Maßstab) - Zahle/Anteile/Verhältnisse in verschiedenen Darstellungsformen angeben -Punkte im Koordinatensystem -Übersetzungsbausteine (Termstrukturen) -Basiswissen Geometrie (Winkel, Flächenberechnung...) -Ebenes und Raumvorstellungsvermögen (Skizzieren, Identifizieren) -Logisch-kombinatorisches Denken

38 Lernziel gestellt Lernziel angekommen? Grundverständnis sichern mit einem Lernprotokoll Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

39 Kontakt: Für die prolehre-fortbildungskurse:

40 Quellennachweis: Winter, H. : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1995, S Bruder, Regina: - Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren 115 (2002), S Mathematik lernen und behalten. In: Heymann, H.-W. (Hrsg.): Lernergebnisse sichern. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 10, S Verständnis für Zahlen, Figuren und Strukturen. In: Heymann, H.-W.(Hrsg.): Basiskompetenzen vermitteln. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 4, S Konzepte für ein ganzheitliches Unterrichten.- In: mathematik lehren 101 (2000), S Mit Aufgaben arbeiten.- In: mathematik lehren 101(2000), S Eine akzentuierte Aufgabenauswahl und Vermitteln heuristischer Erfahrung - Wege zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht für alle.-in: Flade/Herget (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS - Anregungen für die Sekundarstufen.- Volk und Wissen Elementares Können wachhalten. Führerscheine im Mathematikunterricht. Friedrich Jahresheft 2000, S Langfristiger Kompetenzaufbau. In: Blum, W., Drüke-Noe, C., Hartung, R. & Köller, O. (Hrsg.). /Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele,Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. S Berlin: Cornelsen Scriptor.