Kompetenzmodelle in der Mathematik - Hintergründe und Entwicklungsrichtungen

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1 Kompetenzmodelle in der Mathematik - Hintergründe und Entwicklungsrichtungen Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik, AG Didaktik

2 Überblick 1. Die Kompetenzlandschaft Begriffe und aktuelle Modelle 2. Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht und Ziele für nachhaltigen Mathematikunterricht 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen 4. Mathematische Kompetenzen langfristig entwickeln 5. Ausblick: Lehrerfortbildung und Unterstützungssysteme

3 Kompetenzbegriff(e): Im aktuellen DFG-Schwerpunktprogramm Kompetenzdiagnostik werden:... Kompetenzen definiert als kontextspezifische kognitive Leistungsdispositionen, die sich funktional auf Situationen und Anforderungen in bestimmten Domänen im Sinne von spezifischen Lern- und Handlungsbereichen beziehen. Kompetenzen werden durch Erfahrung und Lernen erworben und können durch institutionalisierte Bildungsprozesse beeinflusst werden. (Klieme/Leutner 2007) Kompetenzbegriff nach Franz E. Weinert: Kompetenzen sind kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, über die Personen verfügen oder die sie erlernen können, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortlich nutzen zu können. (Weinert 2000)

4 Anforderungs- bereiche Inhalte (Leitideen) Kompetenzen Pragmatische Differenzierung: - 6 Kompetenzen (Niss, PISA) - 5 Leitideen (NCTM) - 3 Anforderungsbereiche (PISA; COACTIV)

5 Anforderungsbereiche 1. Reproduzieren 2. Zusammenhänge herstellen 3. Verallgemeinern und Reflektieren Leitideen Zahl Messen Raum und Form Funktionale Zusammenhänge Daten und Zufall Ziel: Das Lernpotenzial von Aufgaben analysieren und für Kompetenzerwerb und Diagnose nutzen. Kompetenzen K1 Mathematisch argumentieren K2 Probleme mathematisch lösen K3 Mathematisch modellieren K4 Mathematische Darstellungen verwenden K5 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K6 Kommunizieren

6 Kompetenzmodelle - ÖSTERREICH Mathematik als Technik des Problemlösens durch Schließen 3 Phasen des Problemlöseprozesses: Modellieren Operieren Interpretieren Mathematik als Sprache Die Schüler sollen 3 Arten von Sprachen lernen: Muttersprache Fremdsprachen Mathematik Mathematik als Denktechnologie Experimentieren, Analogisieren, Generalisieren, Spezialisieren; logisches Schließen; Argumentieren, Begründen; Dokumentieren, Präsentieren usw.

7 Kompetenzmodelle - ÖSTERREICH Von Heugl

8 Kompetenzmodelle - ÖSTERREICH Aufgabenpool mit 2 Typen von Aufgaben: Bausteinaufgaben : Bilden eine ganz bestimmte Grundkompetenz ab Bauaufgaben : Vernetzung von Grundkompetenzen

9 Vorstellungen zum Aufgabenpool Von Juen 2006

10 Funktion von Standards Orientierungsfunktion Evaluationsfunktion Bewusstmachen erwarteter Schülerleistungen Selbstevaluation Qualitätsevaluation der Schule Systemevaluation Publikationen, Diskussionen, Maßnahmen in Ausbildung und Fortbildung Tests: Intern erstellte Tests (Selbstevaluation) Externe Tests zur Schul- oder Systemevaluation Prozesssteuerung Von HEUGL

11 Problemsicht Vielfalt der Ansätze KMK-Bildungsstandards Problemlösen Modellieren Österreich: Math. Darstellungen verw. Mit symbolischen... Argumentieren Kommunizieren Mathematische Aktivitätsbereiche nach Lechner, 2001: - heuristisch experimentell - darstellend interpretativ - formal operativ - kritisch argumentativ

12 Überblick 1. Die Kompetenzlandschaft Begriffe und aktuelle Modelle 2. Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht und Ziele für nachhaltigen Mathematikunterricht 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen 4. Prozessbezogene Kompetenzen langfristig entwickeln 5. Ausblick: Lehrerfortbildung und Unterstützungssysteme

13 2.Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht 1. Was soll durch MU von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? - Mit der Mathebrille durch die Welt...: Fundamentale Ideen der Mathematik und allgemeinbildende Grunderfahrungen - Was ist wesentlich? Semantische Netze im MU... - Themenfelder für vernetztes Lernen 2. Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können?

14 2.Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht Mögliche Zugänge, um zu entscheiden, was und warum das gelernt werden soll: 1. Blick aus der Wissenschaftsperspektive: Welches sind die fundamentalen Ideen der Disziplin? 2. Blick aus der gesellschaftlichen Perspektive: Welche allgemeinbildenden Grunderfahrungen sollen in dem Unterrichtsfach gemacht werden? 3. Blick aus der Lehrenden- und Lernerperspektive: Wie können die relevanten Lerninhalte sinnstiftend aufgebaut, verarbeitet und exemplarisch angewandt werden? Kurz: Was soll man verstanden haben, was behalten und was eigenständig anwenden können?

15 2.Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht Mögliche Zugänge, um zu entscheiden, was und warum das gelernt werden soll: 1. Blick aus der Wissenschaftsperspektive: Welches sind die fundamentalen Ideen der Disziplin? SCHREIBER für die Mathematik: Algorithmus Exhaustion (Approximation, Modellieren) Invarianz Optimalität Funktion Charakterisierung - Klassifikation

16 2.Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht 2. Blick aus der gesellschaftlichen Perspektive: Welche allgemeinbildenden Grunderfahrungen sollen in dem Unterrichtsfach gemacht werden? Sichtweise vor den Bildungsstandards: Zielbereiche des Mathematikuntrrichts sind: Lernbereitschaft, Sozialverhalten Selbsteinschätzung Methoden und Techniken des Lernens, Problemlösen mathematische Begriffe, Sätze und Verfahren, Einsichten Anwendungen

17 Sichtweisen auf Bildungsziele Forderung nach Didaktik der Vielfalt Kerncurriculum Standards und Differenzierung bei ( Grundkanon an weitgehender inhaltlicher Faktenwissen ) Offenheit (Vgl. Böttchen/Hirsch 1999) (Vgl. v.d. Groeben 1999) Wissenskanon Lernprozess Alternative: Erwerb inhaltlich gebundener bereichs- und fachspezifischer Kompetenzen und Entwicklung fachspezifischer Arbeitsformen und Fragehaltungen anstelle eines Wissenserwerbs nach dem Vorratsmodell.

18 PISA Grundbildungskonzept Verständnisorientierung Problemorientierung Anwendungsorientierung Kommunikative Orientierung Methodenorientierung Ziel: Kann mathematisches Wissen funktional, mit Einsicht und flexibel eingesetzt werden zur Bearbeitung kontextbezogener Probleme?

19 2.Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht Mögliche Zugänge, um zu entscheiden, was und warum das gelernt werden soll: 1. Blick aus der Wissenschaftsperspektive: Welches sind die fundamentalen Ideen der Disziplin? 2. Blick aus der gesellschaftlichen Perspektive: Welche allgemeinbildenden Grunderfahrungen sollen in dem Unterrichtsfach gemacht werden? 3. Blick aus der Lehrenden- und Lernerperspektive: Wie können die relevanten Lerninhalte sinnstiftend aufgebaut, verarbeitet und exemplarisch angewandt werden? Kurz: Was soll man verstanden haben, was behalten und was eigenständig anwenden können?

20 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik Verarbeitung der Winter schen allgemeinbildenden Grunderfahrungen im MU, Winter 1995

21 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und - können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

22 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Problemlösen lernen Funktionen erkennen untersuchen variieren Algorithmus schätzen berechnen Informationen zeichnen wahrnehmen darstellen strukturieren Ein mathematisches Thema (z.b.: Zuordnungen) Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum

23 Zielklarheit und Roten Faden sichern:

24

25 Mehrwert der mathematischen Betrachtung von Zuordnungen?

26 Funktionen

27 Was ist wesentlich? Verallgemeinerte Grobstruktur semantischer Netze im MU: Einstiege, Voraussetzungen Algebraische Aspekte Geometrische Aspekte Anwendungen Anwendungen Was kommt dann? Weiterungen

28 Überblick 1. Die Kompetenzlandschaft Begriffe und aktuelle Modelle 2. Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht und Ziele für nachhaltigen Mathematikunterricht 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen 4. Mathematische Kompetenzen langfristig entwickeln 5. Ausblick: Lehrerfortbildung und Unterstützungssysteme

29 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen - Elementarisierung der Kompetenzen, Aufgabenformate - Merkmale der objektiven Anforderungsstruktur von Aufgaben - Theoretische Kompetenzmodelle als Grundlage für die empirische Prüfung (Projekt HEUREKO)

30 Phasen mathematischen Modellierens als Rahmen schulischen Lernens von Mathematik Mathematisches Modell Mathematik Realität Mathematische 3 1 situiertes Ergebnisse Strukturieren Mathematisieren 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

31 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

32 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

33 Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell Mathematik Realität Mathematische 3 1 situiertes Ergebnisse Strukturieren Mathematisieren 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Validieren Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

34 Diagnoseaufgaben zum Problemlösen beim Verarbeiten i.s. mit math. Werkzeugen und Strategien umgehen: The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? A 0 P B Ausprobieren mit Bierdeckel (I) P Mathematik Realität Mathematisches Modell 2 Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse A DGS (II) P 0 B A (III) math. Zusammenhänge finden 0 B

35 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

36 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

37 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

38 Folgerungen für die Kompetenzmessung Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Suchen nach empirisch nachweisbaren Kompetenzbausteinen z.b. Grundhandlungen Mathematik 2 4 Realität 1. Stufe: Identifizieren und Realisieren (Modell sinnvoll, aber nicht explizit beobachtbar!) Realmodell 1 5 Realsituation Reale Ergebnisse 2. Stufe: Erkennen Interpretieren Beschreiben Verknüpfen Anwenden (Ausführen) Begründen 3. Stufe: Mathematisieren Operieren Darstellen Begründen Interpretieren

39 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen - Elementarisierung der Kompetenzen, Aufgabenformate - Merkmale der objektiven Anforderungsstruktur von Aufgaben - Theoretische Kompetenzmodelle als Grundlage für die empirische Prüfung (Projekt HEUREKO)

40 Anforderungsniveau einer Aufgabe - objektivierbare Anteile Phasen der Aufgabenbearbeitung Erfassen und Verstehen der Aufgabe - Notwendigkeit mathematischer Modellierung - Art der dazu erforderlichen Kenntnisse Anforderungsparameter Formalisierungsgrad (F) Suchen nach - Umfang und Verflechtung Lösungsideen relevanter mathematischer Komplexitätsgrad (K) Mittel und der dazu führenden Suchhandlungen - Umfang und Verfügbarkeit der vorhandenen Kenntnisse und - Bekanntheit des Sachverhaltes Bekanntheitsgrad (B) Realisieren von - Operativer Aufwand Ausführungsaufwand (A) Lösungsideen - Allgemeinheitsgrad der Darstellungen - Existenz und Eindeutigkeit

41 Folgerungen für geeignete Aufgabenformate zur Kompetenzmessung Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik Realität 2 4 MC-Format Realmodell 1 5 Realsituation Reale Ergebnisse - Fortsetzungsaufgaben - Schritte in richtige Reihenfolge bringen - Darstellungswechsel - welche Informationen sind nötig für die Beantwortung der Frage xy 2. Stufe: Erkennen Beschreiben Verknüpfen Anwenden (Ausführen) Begründen Kein MC! -Vergleiche von Lösungswegen - Darstellungen Offene Formate

42 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen Theoretisches Modell emp. prüfen (z.b. HEUREKO) Feinmodellierung eines Kompetenzbereiches (Leuders/Bruder/Wirtz) z.b. Motivation, Selbstregulatio n z.b. Wachstum und Veränderung

43 Zum Messmodell gehörende kognitive Merkmale Modellierungs-/ Darstellungsprozesse Kognitive Elementa arhandlungen Entscheiden Erzeugen Erklären S T S G T T G G Prüfung konkurrierender Strukturmodelle In allen Dimensionen maximale Varianz hinsichtlich Modelltyp (Proportional, Linear, Nichtlinear) Erwarteter Schwierigkeit der Items

44 Überblick 1. Die Kompetenzlandschaft Begriffe und aktuelle Modelle 2. Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht und Ziele für nachhaltigen Mathematikunterricht 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen 4. Mathematische Kompetenzen langfristig entwickeln 5. Ausblick: Lehrerfortbildung und Unterstützungssysteme 15. Februar 2008 Fachbereich Mathematik AG Didaktik Bruder

45 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

46 Ziele des MU - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

47 a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

48 Einstufung der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2-II Problemlösen, K3-II Modellieren K5-I Technik

49 Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. - Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

50 Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

51 Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. Metakompetenz 3. Feldorientierung Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

52 Ziele und Lehr-/Lernmethoden: Weinert, F.E. (1999). Die fünf Irrtümer der Schulreformer. Welche Lehrer, welchen Unterricht braucht das Land? Psychologie heute, 26(7), 28-34

53 Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge haben uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

54 Math. Fragen stellen können aber wo? Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

55 Worum geht es? Langfristige (nachhaltige) Kompetenzentwicklung - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen)

56 Aufgabenformate und -typen Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: Blütenmodell, Variationen - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - - offene Problemsituation (Trichtermodell)

57 Überblick 1. Die Kompetenzlandschaft Begriffe und aktuelle Modelle 2. Standard (-fragen) für den allgemeinbildenden Unterricht und Ziele für nachhaltigen Mathematikunterricht 3. Prozessbezogene Kompetenzen messbar machen 4. Mathematische Kompetenzen langfristig entwickeln 5. Ausblick: Lehrerfortbildung und Unterstützungssysteme

58 Problemsicht: Diagnostische Kompetenz? - Diagnostische Kompetenz ist eine notwendige Voraussetzung für erfolgreiches Lehren und Lernen (siehe COACTIC) wo wird sie erworben? - Kompetenzdiagnose kostet Zeit, sie ist immer aufwändiger als reine Notenermittlung (vgl. Ergebnisse der Diss. von Jana Risse, Berlin 2008) - Lehrkräfte benötigen Unterstützungssysteme: - Musterlernumgebungen mit analysiertem Kompetenzpotenzial - Aufgabenbeispiele zum Lernen mit Kompetenzanalyse für unterschiedliche Lösungswege - Aufgaben für Tests und alternative Formen der Leistungsbeurteilung - Wege zur Übernahme von mehr Verantwortung für das eigene Lernen durch die Schüler

59 Unterstützungsangebote für Mathematiklehrkräfte Über 500 Aufgaben online Aufgabendatenbank Schwerpunkt Kl Lösungen und didaktische Kommentare Suchmöglichkeit nach Thema, Kontext, Schülertätigkeiten, Schwierigkeit, Heurismen, Rechnereinsatz Orientierung an den Bildungsstandards Schnupperzugang: messe2008/messe2008

60 Materialangebot:

61 Ausblick: Lehrerfortbildung Aktuelle Halbjahreskurse in der Fortbildung: -Basics -Problemlösen -Computergestützt Mathematik lehren und lernen

62 Vorträge unter Kontakt: Lehrerfortbildungskurse unter Aufgabendatenbank für Lehrkräfte Materialplattform für Anwendungsorientierten MU