Kompl Zahln Körpr dr kompln Zahln Im n lässt sich im Allgminn kin Multiplikation drart dfinirn, dass im n di Körprignschaftn rfüllt sind. Körpr: s gibt zwi Abbildungn, bzüglich drr in Mng in ablsch Grupp bildt, und zusätzlich gilt Distributivität a b + c a b + a c. Ausnahm ist dr Fall n. Das führt auf dn Körpr dr kompln Zahln. Im hattn wir brits in Addition + + + Nun dfinirn wir in Multiplikation + Außrdm wähln wir als nutrals Elmnt dr Multiplikation. Dann gltn nbn dn Rchngstzn für di Addition im di Rgln α β γ a b c a b c Assoziativität a b b a Kommutativität a a a Eistnz ins nutraln Elmnts δ Di Glichung a b hat für a gnau in Lösung Eistnz ins Invrsn ε a + b c a c + b c Distributivität Also gltn di Körprignschaftn. Dr mit dr so dfinirtn Addition und Multiplikation hißt Körpr dr kompln Zahln. Di Eignschaftn α-γ und ε sind licht nachzurchnn. Zu δ: Di Glichung a b bdutt in Komponntn: a a b a + a b Diss Glichungssstm hat di Dtrminant D a +a > und damit in indutig bstimmt Lösung,, di nach dr Cramrschn Rgl brchnt wrdn kann. Di Lösung dr Glichung a bzichnn wir mit a. Di Cramrsch Rgl lifrt a a a + a a Darstllung komplr Zahln Da di Darstllung mit Spaltnvktorn schwrfällig ist, ghn wir wi folgt zur üblichn Schribwis + i übr: Jd kompl Zahl kann man in dr Form + schribn, dnn s ist + und + Für di imaginär Einhit i gilt i i + Wir schribn zur Abkürzung statt und damit rgibt sich + + i und i Di Idntifikation dr rlln Zahln mit dn Punktn Rchnoprationn grchtfrtigt: + + und ist durch di Mit dr nun Schribwis siht Addition und Multiplikation so aus: + i + + i + + i + + i + i + i +
Dabi rchnt man wi gwohnt mit dr inzign zusätzlichn Rgl dass i. Wir nnnn dn Raltil von z + i, smbolisch, und dn Imaginärtil von z, smbolisch Imz. Gomtrisch könnn wir jd Zahl z als Punkt dr kompln Ebn dutn: z + i Disr Fundamntalsatz sichrt di Eistnz wnigstns inr kompln Nullstll und gibt Auskunft darübr, wi vil Nullstlln mit Vilfachhit insgsamt zu rwartn sind. Btrachtn wir z.b. di kubisch Glichung 3 3p + q Es ist anschaulich klar, dass di Grad 3p + q immr mindstns inn Schnittpunkt mit dr Hprbl 3 habn muss. Nach dn Cardanischn Formln ist di rll Lösung für inn solchn Schnittpunkt: 3 q + q p 3 + 3 q q p 3 Allrdings sind kompl Zahln im Spil, sobald p 3 > q! Wnn man z.b. p 5, q btrachtt, d.h. 3 5 + 4, dann ist Damit wird rgibt sich di kompl Addition wi im durch Paralllkonstruktion: 3 + i + 3 i Mit ± i 3 ± i lässt sich das zu 4 vrinfachn. z + 5 3 5 + 4 5 z 5 Warum kompl Zahln? Ein wichtigr Satz ist dr Fundamntalsatz dr Algbra: Für jds Polnom p n + a n n +... + a + a gibt s kompl Zahln z k α k + iβ k sodass p z z n 3 5 4 4 Also rfordrn rll Problm kompl Zahln zu ihrr Lösung! Division mit kompln Zahln Zwar sind di Rchnnrgln dr Multiplikation fstglgt, abr s ist nicht immr ganz infach, kompl Ausdrück in di Standardform z + i zu 4
bringn. Für di Division zwir komplr Zahln, z gilt Bispil: z + i + i + i i + i i + + i + + + Konjugirt kompl Zahln + i + i + i i + i + i + i Für z + i dfinirn wir di zu z konjugirt kompl Zahl durch Es gltn di Rchnrgln z i + z z + z z z z di man licht nachrchnn kann. Gomtrisch kann man di Konjugation als Spiglung an dr rlln Achs dutn: z + i Es gltn auch di Rgln z + z und z z iimz Btrag und Argumnt dr kompln Zahln Dr Btrag inr kompln Zahl z + i ist dfinirt durch ihrn Abstand vom Nullpunkt in dr Zahlnbn, also durch Für dn Btrag gilt wi in + i + α z β z w w γ z + w + w Dricksunglichung Es gilt außrdm Für z + i ist durch z z dnn + i i + cosϕ und sinϕ in Winkl ϕ bis auf in Vilfachs von π fstglgt. Mit dism rgibt sich di Polardarstllung dr kompln Zahl z cosϕ + isinϕ Dr Winkl ϕ wird auch als Argumnt odr Phas bzichnt. Damit könnn wir di Multiplikation gomtrisch dutn: Für z cosϕ + isinϕ, w w cosψ + isinψ gilt z w w cosϕ cosψ sinϕ sinψ + icosϕ sinψ + cosψ sinϕ z w cosϕ + ψ + isinϕ + ψ z * i Damit ist di Abbildung z z w für fsts w in Drhstrckung: rst Drhung D ψ um dn Winkl ψ, dann Strckung mit dm Faktor w, odr umgkhrt. 5 6
z Damit könnn wir jd kompl Zahl z in dr Form z r iϕ, r, ϕ z z darstlln. Dabi ist r indutig bstimmt, und auch di Zahl iϕ ist durch z indutig bstimmt, dnn für z r iϕ ist r iϕ r r ϕ +ϕ ϕ ϕ und für z gilt damit iϕ z. Allrdings ligt ϕ nur bis auf in Vilfachs von π fst. Dahr fordrt man π < ϕ π, damit jdm z indutig in Winkl ϕ ] π,π] ntspricht. Für z + i gilt { arccos ϕ argz r arccos r < Di kompl Eponntialfunktion Wir dfinirn di kompl Eponntialfunktion in Analogi zur rlln Eponntialfunktion als z pz + z + z! + z3 3! + mit dr Eulrschn Zahl.788... Dis Funktion rfüllt wi im Rlln di Funktionalglichung Fz + w Fz Fw was man anhand dr Rihnntwicklung nachrchnn kann. Insbsondr könnn wir jtzt rmittln, was iϕ,ϕ ist: mit iϕ + iϕ + iϕ! + iϕ3 3! k z k k! + Cϕ + isϕ Cϕ ϕ! + ϕ4 cosϕ 4! Sϕ ϕ ϕ3 3! + ϕ5 sinϕ 5! Damit rgibt sich di Eulrsch Idntität iϕ cosϕ + isinϕ Rchnn mit kompln Zahln in Polardarstllung 7 i ϕ i π ϕ i π i π π i i i i ϕ r Multiplikation und Division wrdn in Polardarstllung bsondrs infach: Litratur: z r iϕ r iϕ r r iϕ +ϕ z r iϕ r iϕ r r iϕ ϕ 8
Hlmut Fischr, Hlmut Kaul, Mathmatik für Phsikr, Band : Grundkurs, 5. Auflag, Tubnr, Stuttgart 5. Grhard Brndt, Evln Wimar, Mathmatik für Phsikr, Band Analsis und Algbra,. Auflag, VCH, Winhim 99. K.F. Ril, M.P. Hobson, S.J. Bnc, Mathmatical mthods for phsics and nginring, Cambridg Univrsit Prss 998. 9