3.5 Faktorzerlegung von Polynomen

Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 154 3.5 Faktorzerlegung von Polynomen In diesem Abschnittes geht es um eine Verfeinerung der Methoden, mit denen man Polynome, z.b. mit Koeffizienten in Z oder Q, auf Irreduziblität untersuchen kann. Dies war bei der Einführung von Polynomen in Abschnitt 3.2 noch nicht möglich, da die eindeutige Primfaktorzerlegung aus Abschnitt 3.3 benötigt wird (und zwar sowohl für die Polynome selbst als auch für ihre Koeffizienten). Diese Kriterien werden in Kapitel 4 für die genauere Untersuchung von Körperweiterungen der rationalen Zahlen benötigt. Vorher wird in diesem Abschnitt noch eine andere Konstruktion nachgetragen, nämlich die Erweiterung eines nullteilerfreien Ringes R zu einem Körper, dem sogenannten Quotientenkörper von R. Dieses geschieht durch Einführung von formalen Brüchen, wie bei der vielleicht bekannten Konstruktion von Q aus Z. Diese Konstruktion hat eigentlich mit Polynomen nichts zu tun, ist aber die Grundlage für eine präzise Theorie von gekürzten Brüchen. Diese gilt im Quotientenkörper eines beliebigen Hauptidealrings und kann als der Kern des Beweises eines dann folgenden wichtigen Satzes von Gauß über die Zerlegung von Polynomen mit rationalen Koeffizienten angesehen werden. Gegeben sei also ein kommutativer Ring R mit 1. Wir möchten R möglichst sparsam (siehe unten 3.5.2 für eine präzise Formulierung) zu einem Körper erweitern. Wenn R schon Teilring eines Körpers K wäre, so müsste man mindestens noch alle Elemente b 1, b R {0} hinzunehmen, weiter dann alle ab 1, a R, b R {0}. Diese Elemente bilden dann aber tatsächlich schon einen Teilring von K, der selbst ein Körper ist: die Abgeschlossenheit unter Addition ergibt sich aus a 1 b 1 1 + a 2 b 1 2 = (a 1 b 2 + a 2 b 1 )b 1 1 b 1 2, (*) die weiteren Eigenschaften sind klar. Wenn man nur R hat und weit und breit noch kein Körper zu sehen ist, definiert man in geeigneter Weise Brüche a/b von Elementen aus R, die nach Konstruktion die gewünschte Eigenschaft haben, dass nämlich b/a invers zu a/b sind. Die Details sehen wir folgt aus: Satz und Definition 3.5.1 (Quotientenkörper) Es sei R ein nullteilerfreier Ring. Auf R R {0} wird durch (a, b) (a, b ) ab = a b eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse von (a, b) bzgl. dieser Relation heißt Bruch und wird mit a bezeichnet. Die folgenden Veknüpfungen + b

Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 155 und auf der Menge Quot(R) aller Brüche a 1 b 1 + a 2 b 2 := a 1b 2 + a 2 b 1 b 1 b 2 a 1 b 1 a2 b 2 := a 1 a 2 b 1 b 2 sind wohldefiniert und machen Quot(R) zu einem Körper, dem sogenannten Quotientenkörper von R. Die Abbildung ist eine Einbettung von R in Quot(R). i R : R Q(R), r r 1 R Beweisskizze: Die Wohldefiniertheit, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz rechnet man mit etwas Schreibarbeit anhand der Definitionen einfach nach. Das Nullelement ist 0, das Einselement ist 1, das Negative (additive Inverse) zu a a 1 1 ist. Somit haben wir einen Ring (wie gewünscht kommutativ mit b b Eins). Für a 0 b ist b ein multipikatives Inverses zum Element a. Also ist a b Quot(R) ein Körper. Wir schließen nun an die dem Satz vorangegangene Diskussion an und klären, dass in dem Fall, dass R bereits Teilring eines Körpers ist, der Quotientenkörper wirklich das ist, was wir uns unter ihm vorstellen. Bemerkung 3.5.2 Ist j : R K eine Einbettung von R in einen Körper K, so ist der Durchschnitt aller Teilkörper K mit j(r) K K wiederum ein Körper und nach Defintion der kleinste Teilkörper von K, der den Ring i(r) = R enthält. In dieser Situation gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus j : Quot K mit j = j i R, d.h. das Diagramm R j K i R QuotR j ist kommutativ. Dieser Homomorphsimus induziert einen Isomorphismus Quot R = K. Zusammengefasst: Der Quotientenkörper eines Intergritätsbereiches R ist der im wesentlichen eindeutig bestimmte kleinste Körper, der R als Teilring enthält.

Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 156 Falls R ein Hauptidealring ist, hat man im Quotientenkörper Quot(R) gekürzte Brüche. Jedes a Quot(R) läßt sich schreiben als a = a 0 b b b 0 mit ggt(a 0, b 0 ) = 1. In einer solchen Darstellung sind a 0, b 0 bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Genauer gilt a b = a 0 b 0 mit ggt(a, b) = 1 = ggt(a 0, b 0 ) = u R : a = ua 0, b = ub 0. Anders ausgedrückt: Auch in in Quot(R) existiert eine eindeutige Primfaktorzerlegung, nämlich mit positiven oder negativen Exponenten. Zunächst wählt man wie am Schluss von Abschnitt 3.3 auf Seite 143 ein Vertretersystem P R aller Primelemente in R bezüglich Assoziiertheit. Dann läßt sich jedes x Quot(R) eindeutig als x = u p P R p νp mit u R sowie ν p =: ν p (a) Z, ν p = 0 für fast alle p, schreiben. Im folgenden Satz benutzen wir die offensichtliche Verallgemeinerung des größten gemeinsamen Teilers in Hauptidealringen auf mehr als zwei Elemente: g = ggt(a 1,..., a r ) ist ein Erzeuger des Ideals Ra 1 + + Ra r und hat die Eigenschaft, dass es alle a i teilt und jeder Teiler von allen a i ein Teiler von g ist (für R = Z siehe 2.1.15). Bemerkung 3.5.3 (Gekürzte Brüche und Hauptnenner) Es sei R ein Hauptidealring und K = Quot(R) sein Quotientenkörper. Dann gibt es für je r Elemente x 1,..., x r K, die nicht alle gleich 0 sind, Elemente a 1,..., a r, b R, b 0 mit ggt(a 1,...,a r, b) = 1 und x i = a i /b für i = 1,...,r. Eine solche Darstellung ist bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt; genauer gibt es zu jeder weiteren solchen Darstellung a 1,...,a r, b R eine Einheit u R mit a i = ua i für i 1,...,r und b = ub. Das Element b heißt auch der Hauptnenner von x 1,...,x r. Für r = 1, x 1 = x heißt das Paar (a, b) eine gekürzte Bruchdarstellung, kurz gekürzter Bruch für x. Den Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe. Es sollte dabei weder Schwierigkeiten noch Überraschungen geben. Wir weisen darauf hin, dass die Sprechweise gekürzter Bruch zwar üblich und praktisch ist, aber eigentlich nicht korrekt: ein Bruch ist bereits eine Äquivalenzklasse, bzw. das zugehörige Körperelement. Kürzen kann man nur das Paar (a, b), in dem Zähler und Nenner einzeln vorhanden sind. Weiter beachte man, dass in einer Darstellung von zwei oder mehr Elementen mit einem gemeinsamen (Haupt-)Nenner b keine der einzelnen Darstellungen (a i, b) der x i gekürzt sein muss. Beispiel x 1 = 5/2, x 2 = 5/3 in Q. Hier ist (a 1, a 2, b) = (15, 10, 6).

Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 157 Wir kehren nun zu Polynomen zurück und interessieren uns für die Zerlegung von Polynomen über einem Hauptidealring. Der folgende Satz ist hierfür grundlegend: Satz 3.5.4 (Lemma von Gauß) Es sei R ein Hauptidealring, K = Quot(R) sein Quotientenkörper, f R[X] ein normiertes Polynom und f = g h eine Zerlegung in K[X], wobei g, h K[X] normierte Polynome seien. Dann gilt sogar g, h R[X]. Korollar 3.5.5 Es sei R ein Hauptidealring, f R[X] normiert mit grad(f) > 0 und c Quot(R) eine Nullstelle von f. Dann gilt c R, und c teilt den konstanten Term von f. Beweis: Wir wenden Satz 3.5.4 auf den Teiler X c von f im Polynomring Quot(R)[X] an. Beispiel. Das Polynom f = X 3 + 3X + 2 hat keine rationale Nullstelle. Dies überprüft man durch Einsetzen der Teiler von 2 in f, diese sind {±1, ±2}. Beweis von Satz 3.5.4: Sei f = g h wie im Satz und gradg = m, grad h = n. Wir stellen die Koeffiziententupel (g 0,...,g m ) und (h 0,...,h n ) von g und h, also g i, h j K jeweils als Brüche mit Hauptnenner von Elementen aus R dar, sagen wir (a 0,...,a m ; a) und (b 0,...,b n ; b). Es ist also g = a g, 1 h = 1 b h mit g = a i X i, h = b j X j R[X]. Zu zeigen ist, dass a = 1 und b = 1 (bzw. eine Einheit von R) ist. Wegen g m = h n = 1 ist a m = a und b n = b, also ggt(a 0,...,a m ) = ggt(a 0,..., a m, a) = 1, ebenso ggt(b 0,...,b n ) = 1. Wir haben nun die Polynomgleichung g h = (ab)f im Polynomring R[X]. Wir nehmen jetzt an, dass a oder b nicht Eins ist und führen diese Annahme zum Widerspruch. Sei p R ein Primelement, das ab teilt. Wir reduzieren in der Gleichung g h = (ab)f die Koeffizienten aller drei beteiligten Polynome modulo p, d.h. ersetzen sie durch ihre Restklassen a i = a i + pr R/pR für g, entsprechend für h. Auf der rechten Seite ergibt sich das Nullpolynom, links ergibt sich ḡ h, wobei ḡ, h R/pR[X] die Polynome mit den reduzierten Koeffizienten von g, h sind. Da R/pR nullteilerfrei ist (siehe 3.3.10 und 3.1.16, R/pR ist sogar ein Körper), ist der Polynomring R/pR[X] nach 3.2.6 b) wieder nullteilerfrei. D.h. es ist ḡ = 0 oder h = 0. Das heißt aber, dass alle Koeffizienten von g bzw. h durch p teilbar sind, im Widerspruch zu ggt(a 0,..., a m ) = ggt(b 0,...,b n ) = 1. Wir halten den eben benutzten Schluss über Reduktion der Koeffizienten eines Polynoms modulo einem Ideal noch einmal als separate Bemerkung fest: Bemerkung 3.5.6 Es sei ϕ : R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung ( ) ϕ X : R[X] S[X], ϕ X ri X i = ϕ(r i )X i der zugehörigen Polyonomringe ebenfalls ein Ringhomomorphismus.

Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 158 Man benutzt dieses oft für den Speziallfall des kanonischen Homomorphismus π : R R/I, r r auf einen Faktorring, wobei I R ein Ideal ist. Der induzierte Ringhomomorphismus π X : R[X] (R/I)[X], r 0 + r 1 X + r 2 X 2 +... r 0 + r 1 X + r 2 X 2 +... reduziert die Koeffizienten eines Polynoms modulo dem Ideal I. Wichtig für Beispiele irreduzibler Polynome ist neben Satz 3.5.4 und Korollar 3.5.5 noch folgendes Kriterium: Satz 3.5.7 (Eisenstein sches Irreduzibilitätskriterium) Es sei R ein Hauptidealring und f = X n + r n 1 X n 1 +... + r 1 X + r 0 R[X] normiert. Ferner existiere ein Primelement p R derart, dass alle r j mit j = 0,...,n 1 durch p teilbar sind, aber r 0 nicht durch p 2 teilbar ist. Dann ist f irreduzibel in Quot(R)[X]. Beweis: Angenommen, f ist reduzibel. Dann existieren nach 3.5.4 normierte Polynome g, h R[X] mit f = g h und grad(f) 1 grad(g). Wir benutzen nun den Reduktionshomomorphismus ϕ : R[X] (R/I)[X] nach dem Ideal I := pr und erhalten X n = ϕ(f) = ϕ(g) ϕ(h). Weil R/I ein Körper ist, ist R/I[X] ein Hauptidealring und X n besitzt in R/I[X] eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Nun ist X aber prim in R/I[X] und somit gilt ϕ(g) = X grad(g) =: X k sowie ϕ(h) = X grad(h) = X l. Zurückschauend auf die Polynome g, h R[X] ergibt dies insbesondere, dass die konstanten Terme g(0) und h(0) durch p teilbar sind. Damit ist aber f(0) = g(0) h(0) durch p 2 teilbar. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Korollar 3.5.8 Für eine Primzahl p N ist Φ p (X) := X p 1 + X p 2 +... + X + 1 = Xp 1 X 1 irreduzibel über Q. Man nennt Φ p (X) das p-te Kreisteilungspolynom. Beweis: Die Abbildung X X +1 induziert mittels des Einsetzungs-Homomorphismus einen (Ring-)Automorphismus von Q[X]. Damit ist f(x) := Φ p (X + 1) genau dann irreduzibel, wenn Φ p (X) irreduzibel ist. Wir rechnen nach f(x) = Φ p (X + 1) = (X+1)p 1 = p X+1 1 = X p 1 + px p 2 + ( p p 2 i=1 ( p i ) X i 1 ) X p 3 +... + ( p 2) X + p. Nun läßt sich Satz 3.5.7 anwenden, weil p alle Koeffizienten ( ) p i = p(p 1)... (p i+1) 1 2... i mit i = 1,...p 1 teilt und p 2 nicht den konstanten Term f(0) = p teilt. Damit ist f, also auch Φ irreduzibel über Q.