Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010
1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung
Normalapproximation Die Zufallsvariable X sei B(n, p)-verteilt E(X ) = n p und Var(X ) = n p (1 p) Die standardisierte Zufallsvariable zu X ist Y = X n p n p (1 p) Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass Y für große n annähernd standardnormalverteilt ist groß bedeutet n p (1 p) > 9
Normalapproximation: Formel Die Zufallsvariable X sei B(n, p)-verteilt mit n p (1 p) > 9 Dann gilt näherungsweise für natürliche Zahlen a < b ( P(a X b) = b + 1 2 Φ n p ( a 1 2 ) Φ n p ) n p (1 p) n p (1 p) Wenn a = 0 oder b = n ist, braucht man nur einen Term ( P(a X ) = a 1 2 1 Φ n p ) n p (1 p) ( P(X b) = b + 1 2 Φ n p ) n p (1 p) Die Terme 1 2 in den Formeln bezeichnet man als Stetigkeitskorrektur
Beispiel zur Normalapproximation Heilversuch mit 94 Fischen; Heilerfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p = 0.85 Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 80 Fische geheilt? Die Anwendung der Normalapproximation ist gerechtfertigt, denn n p (1 p) = 94 0.85 0.15 = 11.985 Also ( ) P(X 80) = 80 0.5 94 0.85 1 Φ 11.985 = 1 Φ( 0.1155) = Φ(0.1155) = Φ(0.12) = 0.548 Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 Fische geheilt werden, beträgt ungefähr 55%
Stetigkeitskorrektur: grafische Erklärung 1.0 0.8 0.6 P(80 X 81) 0.4 0.2 0.0 Verteilungsfunktion von B 94, 0.85 Verteilungsfunktion von N(79.9, 12.0) 79 80 81 82 83 84 85
Normalapproximation zur Bestimmung eines Stichprobenumfangs Zwei Würfel: Einer ist fair, einer gezinkt; bei dem gezinkten ist die Wahrscheinlichkeit einer 6 gleich 1 5 Will herausbekommen, welchen ich in der Hand habe Die Anzahl n der nötigen Würfe soll bestimmt werden Wahrscheinlichkeit, den fairen Würfel für gezinkt zu halten, soll höchstens 1% betragen Wahrscheinlichkeit, den gezinkten Würfel für fair zu halten, soll höchstens 5% betragen
Fortsetzung: der faire Würfel X zähle die Sechsen beim fairen Würfel X ist verteilt gemäß B n, 1/6 Ziel: bestimme a mit P(X > a) = 0.01 Normalapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur) P(X > a) = 1 Φ a n 6 = 0.01 n 1 6 5 6 Das bedeutet ( ) a n Φ = 0.99 6 5n 6
Fortsetzung: der faire Würfel Aus der Tabelle: Φ(2.326) = 0.99, also a n 6 5n 6 = 2.326 a = 0.3877 n + n 6 Wenn in n Würfen mehr als a Sechsen fallen, glauben wir, dass der Würfel gezinkt ist
Fortsetzung: der gezinkte Würfel Y zähle die Sechsen beim gezinkten Würfel Y ist verteilt gemäß B n, 1/5 Ziel: bestimme n so, dass P(Y a) = 0.05 Normalapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur) P(Y a) = Φ a n 5 = 0.05 n 1 5 4 5 Das bedeutet a n 5 2 n 5 = 1.645
Fortsetzung: Bestimmung von n den Wert für a einsetzen Die Gleichung lösen n 30 + 0.8667 n = 1.645 n 2 5 n 30 + 0.8667 n = 0.6580 n n 30 = 1.525 n n = 45.75 n = 2093 Wenn von 2093 Würfen mindestens 389 Sechsen fallen, dann ist der Würfel mit der geforderten Sicherheit gezinkt
Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Einheitsintervall [0, 1], wenn für je zwei Zahlen a und b mit 0 a < b 1 gilt P(a < X b) = b a Gleichverteilung heißt also, dass die Wahrscheinlichkeit nur von der Länge des Intervalls abhängt. Eine Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf einem beliebigen Intervall [c, d], wenn für je zwei Zahlen a und b mit c a < b d gilt P(a < X b) = b a d c Erwartungswert und Varianz für gleichverteiltes X E(X ) = c + d (d c)2, Var(X ) = 2 12
Verteilungsfunktion der Gleichverteilung auf [c, d] 0, x < c F (x) = x c d c, c x d 1, x > d. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1 0 1 2 3 4
Exponentialverteilung Eine Zufallsvariable X ist exponentialverteilt zum Parameter λ > 0, wenn für je zwei positive Zahlen a < b gilt Erwartungswert und Varianz P(a < X b) = e λ a e λ b E(X ) = 1 λ, Var(X ) = 1 λ 2 Die Exponentialverteilung wird benutzt, um Wartezeiten zu modellieren. In diesem Fall ist der Parameter λ der Kehrwert der mittleren Wartezeit
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung F (x) = { 1 e λx, x > 0 0, x 0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 λ = 1 2 λ =1 λ =2 0.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Beispiel: Glühbirne Eine Glühbirne hält im Schnitt 750h X = Lebensdauer der Glühbirne X exponentialverteilt zum Parameter λ = 1/750 = 0.001333 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne mindestens 1000h hält, ist gleich P(X 1000) = 1 P(X < 1000) = 1 F (1000) = 1 (1 e.00133 1000 ) = e 1.33 = 0.26
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit X sei exponentialverteilt zum Parameter λ Bestimme P(X > a + b X > a) P(X > a + b) = 1 P(0 < X a + b) = 1 (e λ 0 e λ (a+b) ) = 1 (1 e λ (a+b) ) = e λ (a+b) {X > a + b} {X > a} = {X > a + b} P(X > a + b X > a) = P(X > a + b) P(X > a) = e λ (a+b) e λ a = e λ b = P(X > b)
Exponentialverteilte Wartezeiten Bei einer exponentialverteilten Wartezeit ist die Wahrscheinlichkeit, noch b Zeiteinheiten warten zu müssen, unabhängig davon, wie lange schon gewartet worden ist
Poissonscher Strom Poissonscher Strom ist Folge von Ereignissen, so dass Wartezeit zwischen Ereignis und seinem Nachfolger exponentialverteilt ist Beispiel: Teilchenstrahl aus α-strahler Bei einem Poissonschen Strom erlaubt die Vergangenheit keine Schlüsse über das zukünftige Verhalten Ein solches Modell heißt Markoffsch
Differentialrechnung Teil IV Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung 2 Differentialrechnung Ableitung als Tangentensteigung Ableitungsregeln Höhere Ableitungen
Differentialrechnung Skizze Funktion f Tangente f(x) x Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x gibt die Steigung der Tangente in x an
Differentialrechnung Ableitung Die Tangentensteigung wird durch Sekantensteigungen approximiert Funktion f Sekante f(x +h) f(x +h) f(x) f(x) h x x +h
Differentialrechnung Grenzübergang Formale Definition der Ableitung Beispiel: f (x) = x 2 f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h (x + h) 2 x 2 h = (x 2 + 2x h + h 2 ) x 2 h 2x h + h2 = h = 2x + h h 0 2x Also f (x) = 2x für f (x) = x 2
Differentialrechnung Ableitungen wichtiger Funktionen f (x) = C Konstante f (x) = 0 f (x) = x n f (x) = 1 x f (x) = exp(x) f (x) = n x n 1 f (x) = 1 x 2 f (x) = exp(x) f (x) = ln(x) f (x) = 1 x
Differentialrechnung Ableitungsregeln C eine Konstante h(x) = C f (x) h (x) = C f (x) Beispiele h(x) = 5 x 3 h (x) = 15 x 2 h(x) = 5 exp(x) h (x) = 5 exp(x)
Differentialrechnung Ableitungsregeln h(x) = f (x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) Beispiel h(x) = x 3 + x 4 h (x) = 3 x 2 + 4 x 3
Differentialrechnung Produktregel h(x) = f (x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Beispiele h(x) = x 3 exp(x) h(x) = x 2 1 x h (x) = 3 x 2 exp(x) + x 3 exp(x) h (x) = 2 x 1 x + x 2 1 x 2 = 2 1 = 1
Differentialrechnung Kettenregel h(x) = f (g(x)) h (x) = f (g(x)) g (x) Spezialfall für Konstante C h(x) = f (C x) h (x) = C f (C x) Beispiele h(x) = exp(5 x) h (x) = 5 exp(5 x) h(x) = exp(x 4 ) h (x) = 4 x 3 exp(x 4 ) h(x) = ln(exp(x)) h 1 (x) = exp(x) exp(x) = 1
Differentialrechnung Höhere Ableitungen Die Ableitung der Ableitung nennt man zweite Ableitung und schreibt f (x) dafür Zweite Ableitungen treten in der Physik und überhaupt bei dynamischen Systemen auf Beispiel f (x) = 4 x 3 2 x f (x) = 12 x 2 2 f (x) = 24 x
Differentialrechnung Zweite Ableitung: Beispiel f (x) = 200 (x ln( x + 1)) ( f (x) = 200 1 1 ) x + 1 f (x) = 200 (x + 1) 2
Differentialrechnung Zweite Ableitung: Graph 1200 Funktion 1000 800 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 180 erste Ableitung 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 200 150 100 50 zweite Ableitung 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8