Aufgaben aus alten Abschlussarbeiten (2002/ 2003) - R 10 Teil 1 (1) 2002-1 Aufgabe 2 (10 Pkt) a) Auf welchen Betrag wachsen 16500 Euro in 12 Jahren bei einer jährlichen Verzinsung von 3,75 % Zinseszins an? b) Welches Kapital wächst in 8 Jahren bei einer jährlichen Verzinsung von 2,5 % Zinseszins auf 24368 Euro an? c) Ein Kapital von 18000 Euro wächst in 25 Jahren auf 50346 Euro an. Wie hoch ist die jährliche Verzinsung? d) In wie vielen Jahren wächst ein Kapital von 30000 Euro bei einer jährlichen Verzinsung von 5% Zinseszins auf 96800 Euro an? (2) 2002-1 Aufgabe 3 (10 Pkt) Ein Baugelände in Form eines stumpfwinkligen Dreiecks wird von drei Straßen begrenzt. Die Straßenseiten messen: AB = c = 675 m; BC = a = 534 m und AC = b = 1039 m. Vom Scheitelpunkt B des stumpfen Winkels soll ein Weg zur Mitte der gegenüberliegenden Seite angelegt werden. a) Fertige eine Planfigur an! b) Wie lang wird der Weg? c) Berechne die Fläche des Siedlungsgeländes! (3) 2002-1 Aufgabe 4 (10 Pkt) Aus einer quadratischen Pyramide mit V = 576.123 cm³ und h = 15,2 cm wird der größtmögliche Kegel geschnitten. a) Zeichne eine Planfigur als Schrägbild! b) Berechne den Abfall in cm³! c) Berechne die Oberfläche des Kegels! (4) 2002-1 Aufgabe 6 (10 Pkt) Auf dem Gipfel eines Berges steht ein 75 m hoher Turm. Vom Tal aus erblickt ein Beobachter den Fußpunkt und seine Spitze unter den Erhebungswinkeln 1 =55,7 und 2 =59,3. a) Fertige eine Planfigur an. b) Wie hoch ist der Berg (Höhe über dem Tal)? c) Berechne die Entfernungen vom Beobachter zum Fußpunkt und zur Spitze des Turmes. (5) 2002-1 Aufgabe 8 (10 Pkt) Eine Kugel aus Kupfer (Dichte 8,92 g/cm³) hat eine Masse von 4,700 kg. Da sie an der Oberfläche beschädigt ist, soll eine Schicht von 5 mm Stärke abgedreht werden. a) Fertige eine Skizze an. b) Berechne, um wie viel g sich die Masse der Kugel verringert. c) Wie viel Prozent sind das?
(6) 2002-2 Aufgabe 2 (10 Pkt) Der Wert eines Grundstücks stieg in 6 Jahren von 76650 Euro auf 125000 Euro. a) Um wie viel Prozent Zinseszins ist der Wert gestiegen? b) Welches Kapital hätte man bei 10,25 % Zinseszins anlegen müssen, um im gleichen Zeitraum dasselbe Endkapital zu erzielen? c) In wie vielen Jahren hätte sich das Anfangskapital bei 5,5% Zinseszins verdoppelt? d) Welchen Wert wird das Grundstück bei 8,5% Zinseszins nach weiteren 12 Jahren haben? (7) 2002-2 Aufgabe 4 (10 Pkt) Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD mit a = 6,2 cm, b = 4,3 cm, und e = 8,1 cm. b) Berechne die Winkel des Parallelogramms! c) Berechne die Länge der fehlenden Diagonalen! d) Berechne den Flächeninhalt! (8) 2002-2 Aufgabe 6 (10 Pkt) Die Höhe der senkrechten Werbeschrift auf einem Hochhaus soll bestimmt werden. Dazu wird eine 20 m lange, waagerechte Standlinie AB, die auf das Haus zuläuft, abgesteckt. Von A aus werden der untere und der obere Rand der Schrift anvisiert und zwar unter den Erhebungswinkeln 31,4 bzw. 35,2. Von B aus wird nur der untere Rand der Schrift unter einem Winkel von 42,5 anvisiert. a) Fertige eine Planskizze an! b) Wie hoch ist die Werbeschrift? c) Wie hoch ist das Haus? (9) 2002-2 Aufgabe 7 (10 Pkt) Einem Holzwürfel mit der Kantenlänge a = 5 cm wird mit Holzleim eine Pyramide aufgeklebt, deren Grundfläche mit einer Seitenfläche des Würfels übereinstimmt und deren Höhe halb so lang ist wie die Kantenlänge des Würfels. a) Zeichne ein genaues, maßstabsgetreues Schrägbild des zusammengesetzten Körpers und beschrifte dieses mit allen Größen, die du in deinen Berechnungen verwendest! b) Berechne das Gesamtvolumen des Körpers! c) Bestimme die Oberfläche des zusammengeklebten Körpers! (10) 2002-2 Aufgabe 8 (10 Pkt) Eine Boje hat die Form einer Halbkugel mit bündig aufgesetztem Kegel. Gegeben sind der Umfang der Halbkugel mit 135 cm und die Gesamthöhe des zusammengesetzten Körpers mit 95 cm. a) Zeichne einen Längsschnitt durch die Boje. b) Berechne das Volumen der Boje. c) Berechne die Oberfläche der Boje. (11) 2003 1 Aufgabe 1 (10 Pkt) Von einem Beobachtungspunkt werden die Ufer eines Sees unter den Tiefenwinkeln 48 und 27,6 angepeilt. Der Beobachtungspunkt liegt 350 m über Seehöhe. Gleichzeitig wird
die höchste Stelle der Steilwand, die sich unmittelbar am gegenüberliegenden Ufer des Sees senkrecht erhebt, unter einem Höhenwinkel von 30,9 gesehen. b) Wie breit ist der See? c) Wie hoch ist die Steilwand an ihrer höchsten Stelle? d) Wie weit ist der Beobachtungspunkt vom gegenüberliegenden Ufer entfernt? (12) 2003 1 Aufgabe 2 (10 Pkt) Ein Parkgelände hat die Form eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 1,784 km, b = 0,989 km und c = 2,041 km. Ein gerader Radweg verläuft vom gegenüberliegenden Eckpunkt so, dass er auf die längste Seite trifft. Der Radweg halbiert dabei den Winkel an dem Eckpunkt, von dem er ausgeht. a) Fertige eine Planfigur an! b) Welche Länge hat der Radweg? c) Wie groß ist die kleinere durch den Radweg entstandene Teilfläche? (13) 2003 1 Aufgabe 3 (10 Pkt) Ein kugelförmiger Öltank aus Beton hat einen äußeren Umfang von 9,45 m und eine Wandstärke von 10,50 cm. b) Berechne das Fassungsvermögen des Öltanks ganzzahlig auf Liter! c) Berechne die Masse des leeren Öltanks ( Beton = 2,1 t/m 3 ). d) Wie teuer wird eine neue Innenbeschichtung aus Kunststoff, wenn pro Quadratmeter mit einem Preis von 24,75 gerechnet wird? (14) 2003 1 Aufgabe 4 (10 Pkt) Der Wert eines Einfamilienhauses stieg in 8 Jahren von 180 000 auf 225 000 an. a) Berechne den jährlichen Wertzuwachs in Prozent. b) Wie viel Geld hätte man bei einem jährlichen Zinssatz von 7,25 % anlegen müssen, um im gleichen Zeitraum auf das Endkapital zu kommen? c) Nach wie viel Jahren hätte sich das Anfangskapital bei einem jährlichen Zinssatz von 7,25 % verdoppelt? d) Man geht davon aus, dass in den kommenden Jahren der Wert des Hauses jährlich um 9,0 % ansteigen wird. Wie viel wird das Haus nach weiteren 10 Jahren wert sein?
(15) 2003 1 Aufgabe 5 (10 Pkt) Ein runder Burgturm mit dem Umfang 15,7 m hat ein Dach in Form eines Kegels mit einem rechten Winkel an der Spitze. a) Zeichne eine Planfigur. b) Wie hoch ist der Turm bis zur Dachspitze, wenn sein zylindrischer Teil viermal so hoch ist wie das Dach? c) Wie groß ist das Gesamtvolumen des Turmes (einschließlich des Dachraumes)? d) Wie lang ist die Seitenkante des Daches? e) Wie groß ist die Dachfläche? (16) 2003 1 Aufgabe 6 (10 Pkt) Jod-131 ist ein instabiles Isotop, das mit einer Halbwertszeit von ungefähr 8 Tagen zerfällt. Beobachtet wird eine Probe, die am Anfang der Untersuchung 200 g enthält. a) Wie viel g des Jod-131 ist nach 30 Tagen noch vorhanden? b) Wie viel Prozent des Jod-131 ist nach 30 Tagen noch nicht zerfallen? c) Nach welcher Zeit wird der Jod-131-Anteil auf 1 % gesunken sein? d) Wie viel Jod-131 hätte man zu Beginn der Versuchsreihe einsetzen müssen, damit nach 5 Tagen noch 100 g übrig bleiben? (17) 2003 1 Aufgabe 8 (10 Pkt) Gegeben sind die beiden Gleichungen I und II. I 2x + 3y = 12 II 2x y = 4 a) Wandle beide Gleichungen in Funktionsgleichungen um und bestimme den Schnittpunkt der Funktionsgraphen. b) Berechne die Unbekannten x und y mit dem Additionsverfahren. c) Bestätige dein Ergebnis aus a) bzw. b) mit dem Einsetzungsverfahren. (18) 2003 2 Aufgabe 1 (10 Pkt) Segelflieger müssen zum Erwerb des Leistungsabzeichens Streckenflüge, hier einen Vierecksflug zurücklegen. Die Streckenlänge vom Start S zum 1. Wendepunkt W 1, also SW 1 beträgt 83 km; W 1 W 2 = 69 km; W 3 S = 103 km; =75 ; = 145. Wie viele volle km beträgt der gesamte Streckenflug?
(19) 2003 2 Aufgabe 2 (10 Pkt) Von einem Parallelogramm sind gegeben: a = 120 cm b = 101 cm = 43,6 a) Fertige eine Planfigur an! b) Berechne die längere Diagonale! c) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms! d) In welche Teilwinkel wird der Winkel durch die längere Diagonale zerlegt? (20) 2003 2 Aufgabe 3 (10 Pkt) Eine Hohlkugel aus Metall hat einen äußeren Umfang von 44 cm und eine Masse von m = 9,2 kg. Die Wandstärke w der Hohlkugel lässt sich nicht ausmessen. Deshalb wird die Hohlkugel vollständig mit Wasser gefüllt, um so das innere Volumen experimentell zu bestimmen. Die Hohlkugel kann mit 268 cm 3 Wasser gefüllt werden. b) Berechne den äußeren Durchmesser! c) Berechne die Wandstärke w der Hohlkugel! d) Berechne die Dichte des verwendeten Metalls! (21) 2003 2 Aufgabe 4 (10 Pkt) Ein Ehepaar hat in den vergangenen 5 Jahre 12 000 zu 4,5 % Zinsen pro Jahr angelegt gehabt. Es möchte sich in drei Jahren ein neues Auto kaufen und legt weitere 5 000 an. Für das gesamte Kapital bekommt das Ehepaar von nun an 5,25 % Zinsen pro Jahr. a) Wie viel hat das Ehepaar nach den 8 Jahren angespart? b) Wie viele volle Jahre müsste das Ehepaar das über 8 Jahre angesparte Geld bei 5,25% Zinsen pro Jahr noch anlegen, damit es sich einen Wagen für 30 000 leisten könnte? c) Wie viel hätte das Ehepaar ursprünglich anlegen müssen, damit es nach 8 Jahren bei 4,5 % Zinsen 30 000 angespart hätte? (22) 2003 2 Aufgabe 5 (10 Pkt) Ein Grenzstein hat die Form einer quadratischen Säule mit aufgesetzter Pyramide. Es werden gemessen: Grundkante a=28 cm, Höhe der Säule h 2 =145 cm, Gesamthöhe des Steins h 1 =163 cm. (Dichte 2,75 g/cm³) a) Fertige eine Planfigur an. b) Berechne, wie viel der Grenzstein wiegt. Runde auf kg. c) Berechne die Oberfläche des Grenzsteines in m².
(23) 2003 2 Aufgabe 6 (10 Pkt) Eine Firma hatte 1990 einen Gewinn von 126 000 DM. Aufgrund der schlechten Wirtschaftslage hat sich der Gewinn in den folgenden Jahren um jeweils 4,0 % verringert. Der Inhaber geht davon aus, dass sich diese negative Entwicklung in den nächsten Jahren genauso fortsetzen wird. a) Wie hoch war der Gewinn 1998? b) Um wie viel Prozent ist der Gewinn aus 1998 verglichen mit dem aus 1990 niedriger? c) Bei einem Jahresgewinn von 80 000 DM ist es nicht mehr wirtschaftlich, die Firma weiterzuführen. In welchem Jahr wäre dieser Zeitpunkt erreicht gewesen? d) Ab Anfang 1999 gab es wieder einen wirtschaftlichen Aufschwung. Der Gewinn wuchs seitdem gleichmäßig an. Wie hoch müsste die jährliche prozentuale Steigerung sein, wenn nach 6 Jahren wieder ein Gewinn von 126 000 DM erreicht werden soll? (24) 2003 2 Aufgabe 8 (10 Pkt) Gegeben sind die beiden Gleichungen I und II. I 2y + x = 4 II -2y + 3x = 8 a) Wandle beide Gleichungen in Funktionsgleichungen um und bestimme den Schnittpunkt der Funktionsgraphen. b) Berechne die Unbekannten x und y mit dem Additionsverfahren. c) Bestätige dein Ergebnis aus a) bzw. b) mit dem Einsetzungsverfahren.